ANLISE COMBINATRIA

FACULDADES KENNEDYANLISE COMBINATRIA PARA LICENCIATURA EM MATEMTICAPROF. AMINTAS PAIVA AFONSO

IPATINGA

2006

NDICE

1ANLISE COMBINATRIA

1.1 A Construo de Grupos

1.2 Fatorial de um Nmero

1.2.1 Exerccios

1.3 Princpio Fundamental da Contagem

1.3.1 Exerccios

1.4 Princpio Aditivo da Contagem

1.4.1 Exerccios

1.5 Exerccios de Fixao1.6 Permutao Simples 1.6.1 Exerccios

1.7 Arranjo Simples 1.7.1 Exerccios

1.8 Arranjo com Repetio1.9 Permutao Circular1.10 Exerccios de Fixao1.11 Combinao Simples 1.11.1 Exerccios

1.12 Permutao com Repetio1.13 Exerccios de Fixao

2BINMIO DE NEWTON

2.1 Desenvolvimento (Produtos Notveis)

2.1.1 Exerccios

2.2 Tringulo de Pascal

2.3 Relao de Stifel

2.1.1 Exerccios

2.4 Binmio de Newton 2.1.1 Exerccios

2.5 Frmula do Termo Geral 2.1.1 Exerccios

2.6 Exerccios de Fixao

1. ANLISE COMBINATRIAUm motivo to mundano quanto os jogos de azar que acabou levando ao desenvolvimento da Anlise Combinatria. A necessidade de calcular o nmero de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos mtodos de contagem. Grandes matemticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Anlise Combinatria visa desenvolver mtodos que permitam contar - de uma forma indireta - o nmero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condies.1.1 A Construo de Grupos

A Anlise Combinatria um conjunto de procedimentos que possibilita a construo, sob certas circunstncias, de grupos diferentes formados por um nmero finito de elementos de um conjunto.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com n elementos e os grupos formados com elementos de Z tero k elementos, isto , k ser a taxa do agrupamento, com k n.Dois conceitos so fundamentais para a anlise combinatria: Fatorial de um nmero e o Princpio Fundamental da Contagem.Os trs tipos principais de agrupamentos so as Permutaes, os Arranjos e as Combinaes. Estes agrupamentos podem ser simples, com repetio ou circulares.1.2 Fatorial de um Nmero

Nos problemas de contagem muito comum um tipo de problema em que, para se obter o resultado referente ao total das possibilidades, deve-se multiplicar um determinado nmero natural pelos seus antecedentes at chegar unidade.

Para facilitar a obteno desses resultados, as calculadoras (consideradas cientficas) vm com uma tecla conhecida como fatorial de n, que significa produto do nmero natural n pelos seus antecedentes at chegar unidade.

Considere n um nmero inteiro no negativo. O fatorial de n, indicado por n!, definido como sendo a seguinte multiplicao:n! = n (n-1) (n-2) ... 3 2 1A definio acima refere-se a nmeros maiores ou igual a 2, ou seja, n 2. Se n for igual a zero ou um, define-se:Exemplos:

7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5 040 0! = 1 e 1! = 1 Quatro pessoas que esto de p pretendem ocupar quatro cadeiras. Qual o nmero total de maneiras diferentes de ocup-las? 4! = 4.3.2.1 = 241.2.1 Exerccios1) Utilizando uma calculadora, verifique se a desigualdade 3100 > 100! verdadeira ou falsa.

2) Se x = 92! E y = 91!, ento:

a. Qual a relao entre x e y?

b. Calcule x/y

3) Considere as letras da palavra SOMA:

a. Quantos so os anagramas que podem ser formados com todas as quatro letras?

b. Quantos anagramas iniciam-se pela letra A?4) Assinale V ou F, conforme for verdadeira ou falsa, respectivamente, cada afirmao a seguir:a. ( ) 7! = 7.6.5!

b. ( ) 9! = 3! + 6!

c. ( ) 10! / 5! = 2

d. ( ) 6! / 4! = 30

e. ( ) Se n! = 6, ento n = 35) Encontre um nmero natural n tal que n! 12 . (n 1)! = 06) Calcule o nmero de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra ALUNO:7) Simplifique as expresses:

a. 50! / 49!b. n! / (n 1)!c. 100! + 99! / 99!d. (2n)! / (2n 1)!

1.3 Princpio Fundamental da ContagemSe determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, ento o nmero total T de maneiras de ocorrer o acontecimento dado por: T = k1 k2 k3 ... knExemplos: Imagine que dispomos de uma moeda e um dado. Lanando simultaneamente o dado e a moeda, quantos so os possveis resultados? 6 x 2 = 12 Uma senha eletrnica constituda de uma vogal, um algarismo escolhido entre 5, 7 e 9 e uma consoante escolhida entre R e T. Qual o nmero de senhas que podem ser formadas? 5 x 3 = 151.3.1 Exerccios1) Uma montadora de automveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se voc vai adquirir um veculo dessa montadora, quantas opes tem de escolha?

2) Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Quantos nmeros naturais de trs algarismos podem ser formados?

3) Em relao questo anterior, responda:a. Quantos nmeros naturais de trs algarismos distintos podem ser formados?

b. Quantos nmeros naturais de trs algarismos podem ser formados sabendo que pelo menos um deles se repete?

4) Uma prova de Matemtica constituda por 10 questes do tipo verdadeiro ou falso. Se um aluno chuta cada uma das questes, qual o nmero total de maneiras de apresentar o gabarito?

5) Lanando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual o nmero total de possveis resultados?

6) Num restaurante h 4 tipos de saladas, 5 tipos de pratos quentes e apenas 2 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos para fazer uma refeio com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?

7) Usando apenas os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda:

a. Quantos nmeros de 3 algarismos podemos formar?

b. Quantos nmeros mpares de 3 algarismos podemos formar?

c. Quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar?

d. Quantos nmeros mpares de 3 algarismos mpares podemos formar?

e. Quantos nmeros com 3 algarismos mpares podemos formar?f. Quantos nmeros com 3 mpares e distintos podemos formar?

8) Dado o conjunto A = {a; b; c} obtenha:

a. O nmero de subconjuntos que ele admite;

b. Todos os subconjuntos.

Um conjunto A que possui n elementos admite 2n subconjuntos.9) A partir da decomposio em fatores primos de um nmero natural, possvel obter o nmero de seus divisores naturais.

a. Quantos divisores naturais admite o nmero 60?

b. Quais so os divisores naturais do nmero 60?

1.4 Princpio Aditivo da Contagem

Existem situaes de contagem, em que adicionamos as possibilidades, e existem outras, nas quais multiplicamos as possibilidades. J estudamos aquelas situaes em que tivemos que efetuar uma multiplicao. Em tais situaes utilizamos o princpio multiplicativo para justificar. Mas como sabemos, diante de um experimento, se multiplicamos ou adicionamos as possibilidades?Antes de procurarmos dar uma resposta a essa questo, o que fundamental para os problemas de contagem, importante entender a utilizao de 2 conectivos em nossa lngua portuguesa: E ou OU.

O conectivo E utilizado, em princpio, na Lngua Portuguesa no sentido aditivo. Porm, em Matemtica, o mesmo conectivo E indica simultaneamente, dependncia.Exemplo da Lngua Portuguesa:

(I) Tenho aulas as quartas e s quintas-feiras.

Exemplo da Matemtica:

(II) Uma soluo da equao x + y = 10 x = 2 e y = 8. O conectivo OU utilizado, em princpio, na Lngua Portuguesa, no sentido excludente. Em Matemtica, o mesmo conectivo OU indica adio e incluso, como tambm pode acontecer na Lngua Portuguesa.

Exemplo da Lngua Portuguesa:

(III) Telefonarei pra voc hoje ou amanh.

Exemplo da Matemtica:

(IV) A igualdade x.y = 0 verdadeira para x = 0 ou y = o..

Concluso: Quando, num problema de contagem, aparecer o conectivo E, devemos pensar em simultaneidade, em dependncia.

Quando aparecer o conectivo OU num problema de contagem, deveremos interpret-lo no sentido aditivo.

Exemplo:Para ir de uma cidade A at uma cidade B, existem dois percursos, passando pela cidade C ou pela cidade D. Os caminhos possveis esto indicados no esquema abaixo. Quantas so as possibilidades de sair da cidade A e chegar cidade B?

Ateno:

Para obtermos o nmero de elementos de A U B, n(A U B), adicionamos o nmero de elementos de A, com o nmero de elementos de B e diminumos o nmero de elementos pertencentes a A e a B, simultaneamente.

n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B)

Subtramos n(A B) porque esses foram contados duas vezes; em n(A) e em n(B).1.4.1 Exerccios

1) Explique o significado, em cada frase, do conectivo OU:

a. Jos ou Joo vai passar no vestibular.

b. Jos ou Joo vo passar no vestibular.2) Quantos nmeros naturais de 4 ou cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9?

3) Para a diretoria de uma empresa, concorrem 4 candidatos presidncia e 6 vice-presidncia. Quantas maneiras distintas podem ocorrer na ocupao desses dois cargos?4) Para ir de uma cidade A a outra cidade B dispomos de cinco empresas de nibus, trs de avies e uma de navio. De quantos modos podemos viajar de A at B?

5) Voc deve pintar cada quadradinho de amarelo, ou de verde ou de azul.

De quantas maneiras diferentes isso possvel?

6) Um baralho tem 52 cartas. Se retirarmos duas cartas, uma de cada vez e sem reposio, quantas possibilidades existem?

7) Quantos nmeros de 5 algarismos distintos h em nosso sistema de numerao?

8) Um anfiteatro possui 5 portas.

De quantos modos ele pode ser aberto?

9) Num estdio de futebol h 12 portes de entrada. Quantas possibilidades existem de uma pessoa:

a. entrar por um porto e depois sair?

b. entrar por um porto e depois sair por outro diferente?

1.5 Exerccios de Processos Bsicos de Contagens1) (PUC-SP) O total de nmeros naturais de trs algarismos distintos que existem no nosso sistema de numerao :

a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 6482) A quantidade de nmeros inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que no figurem algarismos repetidos, :

a) 48 b) 66 c) 96 d)1203) (UFU-MG) De quantas maneiras trs mes e seus respectivos trs filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada me sente junto de seu filho?

a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48

4) (PUC-SP) Com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} so formados nmeros com trs algarismos distintos. A quantidade de nmeros formados, cuja soma dos algarismos um nmero par, :

a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 725) (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vo ser colocados lado a lado para tirar uma foto.

Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720

6) (MACK-SP) Os conjuntos M e N so finitos. Sabe-se que n(M U N) = 38, n(M N) = 12 e n(M) = 35, ento n(N) vale:

a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 507) (FGV-SP) Um restaurante oferece no cardpio duas saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poder fazer seu pedido?

a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12

8) (UCSAL-BA) Um cdigo para leitura tica constitudo por 6 barras, brancas ou pretas. Nenhum cdigo, tem barras de uma s cor.

Quantos desses cdigos, distintos entre si, podem ser formados?

a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16

9) (UFR-PE) Qual o nmero de placas de carros que poderiam ser registradas (cada uma contendo apenas trs letras) fazendo uso das letras A, B, C, D?

a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

10) (PUC-RS) O nmero de mltiplos de 11, inteiros e positivos, formados por trs algarismos ?

a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 10011) (UFRN) A quantidade de nmeros pares de 5 algarismos, sem repetio, que podemos formar com os dgitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 igual a:

a) 720 b) 1.140 c) 2.160 d) 2.280 e) 3.600

12) (CESESP-PE) Num acidente automobilstico, aps se ouvirem vrias testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veculo cuja placa era constituda de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, e o algarismo das unidades era o dgito 2. Assinale, ento, a nica alternativa correspondente ao nmero de veculos suspeitos:

a) 1.080 b) 10.800 c) 10.080 d) 840 e) 60.480

13) (UM-SP) Um trem de passageiros constitudo de uma locomotiva e seis vages distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir frente e que o vago-restaurante no pode ser colocado imediatamente aps a locomotiva, o nmero de modos diferentes de montar a composio :

a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 72014) (UFBA) Uma firma deseja imprimir calendrios de diversos modelos variando a quantidade de meses em cada folha do calendrio, desde que o nmero de meses includos em cada folha de determinado modelo seja constante. O nmero de modelos que podem ser feitos :

a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13.345

15) (PUC-RS) Com os algarismos significativos formam-se todos os nmeros de quatro algarismos distintos, sendo que x deles possuem um algarismo mpar na ordem das centenas. O valor de x :

a) 336 b) 567 c) 1.680 d) 3.335 e) 3.403

16) (CESGRANRIO-RJ) Um mgico se apresenta em pblico vestindo cala e palet de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sesses com conjuntos diferentes, o nmero mnimo de peas (nmero de palets mais nmero de calas) de que precisa :

a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8

17) Se 5 moedas distinguveis forem lanadas simultaneamente, o nmero de maneiras possveis de elas carem dado por:

a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 24018) (MACK-SP) O total de nmeros, formados com os algarismos distintos, maiores que 50.000 e menores que 90.000 e que so divisveis por 5, :

a) 1.596 b) 2.352 c) 2.686 d) 2.788 e) 4.03219) (PUC-SP) Chamam-se palndromos nmeros inteiros que no se alteram quando invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4.224, 74.847). O nmero total de palndromos de cinco algarismos :

a) 900 b) 1.000 c) 1.900 d) 2.500 e) 5.00020) (USP-SP) Quantos nmeros mpares de 4 algarismos, sem repetio, podem ser formados com os dgitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

1.6 Permutao SimplesPermutaes, so agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutaes podem ser simples, com repetio ou circulares.Permutaes simples de n elementos distintos so os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. O nmero de permutaes simples de n objetos distintos representado por Pn = n!.

Exemplos:

Conjunto ZZ = {A, B, C}n = 3

Grupos de Permutao Simples{ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}Pn

Frmula de ClculoPn = n!P3 = 3! = 6

ROMA uma das permutaes das letras da palavra AMOR.No caso de letras, cada permutao formada denomina-se anagrama.1.6.1 Exerccios1) Voc dispe de 9 livros: 3 de Matemtica, 4 de Fsica e 2 de Qumica. Todos so distintos.

a. Qual o nmero de maneiras distintas de dispor esses 9 livros lado a lado numa mesma prateleira?.

b. Qual o nmero de maneiras de dispor esses livros deixando juntos os da mesma disciplina?.2) Considerando as letras da palavra FORTE, calcule:

a. o nmero total de anagramas que podem ser formados com as 5 letras;

b. o nmero de anagramas que comeam e terminam por consoante.3) Cinco rapazes e duas moas devem ocupar os sete lugares de uma mesma fila de um cinema.a. De quantas maneiras distintas eles podem ocupar esses sete lugares?b. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moas devem ficar juntas?c. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moas devem ficar separadas?

4) Permutam-se de todos os modos possveis os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 e escrevem-se assim nmeros com cinco algarismos distintos, colocando-os em ordem crescente.

a. Qual o lugar ocupado pelo nmero 53.719;

b. Qual a soma dos nmeros assim formados?5) Considere apenas os algarismos 2, 4, 6 e 8.

a. Quantos nmeros naturais de 4 algarismos podemos formar?

b. Quantos nmeros naturais de 4 algarismos distintos podemos formar?

c. Quantos nmeros naturais de 4 algarismos, onde pelo menos 1 algarismo se repita, podemos formar?

6) Suponhamos que voc tenha uma nota de 100 reais, uma nota de 50 reais, uma nota de 10 reais, uma nota de 5 reais e uma nota de 1 real.

Colocando-as lado a lado, de quantas maneiras diferentes elas podem ser dispostas, como na fotografia, apenas mudando as posies entre elas?

7) Quantos so os anagramas da palavra SENHOR?

8) Quantos so os anagramas da palavra SENHOR que comeam e terminam por vogal?

9) Considere 5 moas e 5 rapazes que iro sentar-se em 10 cadeiras colocadas uma do lado da outra. (obs.: cada uma das 10 pessoas ocupar uma cadeira.)

a. De quantas formas diferentes essas cadeiras podero ser ocupadas?

b. De quantas formas diferentes essas cadeiras podero ser ocupadas sendo que no pode haver dois ou mais rapazes (ou duas ou mais moas) juntos?

10) Voc deve escolher 6 algarismos para formar uma senha com base nos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Ento, calcule:a. o nmero de senhas que podem ser formadas.

b. o nmero de senhas que podem ser formadas se os algarismos no podem se repetir.

1.7 Arranjo SimplesArranjos, so agrupamentos formados com k elementos, de forma que os k elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espcie. Os arranjos podem ser simples ou com repetio.

No ocorre a repetio de qualquer elemento em cada grupo de k elementos. Considerando um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de taxa k todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocao dos elementos. Veja um exemplo abaixo:

Conjunto ZZ = {A, B, C}n = 3

N de elementos dos Gruposk = 2Taxa de 2 elementos

Grupos de Arranjo Simples{AB, AC, BA, BC, CA, CB}An,k

Frmula de ClculoAn,k = n! / (n-k)!A3,2 = 3! / (3-2)! = 6

J analisamos uma situao em que 4 pessoas tinham que ocupar 4 cadeiras. Calculamos pelo princpio multiplicativo, que o nmero total de possibilidades era 24. Agora, considere 6 pessoas e 4 cadeiras apenas. Qual o nmero de formas de dispor essas pessoas nesses lugares?Na situao acima, tivemos que formar grupos com 4 pessoas a partir de 6 pessoas e, em cada grupo, tivemos que ordena-las. Em Anlise Combinatria, tal procedimento conhecido como Arranjo Simples de 6 elementos 4 a 4.Mas, antes de tirarmos alguma concluso, devemos observar uma outra situao:

Utilizando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, vamos formar nmeros naturais com 3 algarismos distintos. Como calcular quantos nmeros podem ser formados?Essa quantidade de arranjos simples poderia ser indicada por A5,3 ou A53 (l-se arranjo de 5 elementos tomados 3 a 3).

Podemos calcular o nmero de arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3, utilizando fatorial, ou seja:

A5,3 = 5.4.3 .: A5,3 = 5 . 4 . 3 . 2! / 2!A5,3 = 5! / 2! A5,3 = 5! / (5-3)!O clculo do nmero de n elementos tomados p a p, com n p pode ser efetuado pelo princpio multiplicativo, ou seja:

An,p = n . (n-1) . (n-2) . ... [n (p-1)]

* Multiplicando e dividindo o 2 membro0 por (n-p)! teremos:

An,p = n . (n-1) . (n-2) . ... [n (p-1)] . (n-p)! / (n-p)!

Logo: An,p = n! / (n-p)!

importante observar que tanto os problemas relacionados ao que aqui denominamos permutao quanto arranjo simples so resolvidos pelo princpio multiplicativo.

Agora, responda. Qual o valor de P5 e de A5,5? .....1.7.1 Exerccios

1) Calcule:

a) A7,3 b) A5,2 c) A10,52) Quantos nmeros naturais de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 at 9?

3) De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 4 lugares?

4) Se A um conjunto com 5 elementos e B um conjunto com 8 elementos, quantas funes f: A B so injetoras?

1.8 Arranjo com RepetioTodos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de k elementos. Veja o exemplo abaixo:Conjunto ZZ = {A, B, C}n = 3

N de elementos dos Gruposk = 2Taxa de 2 elementos

Arranjos com Repetio{AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC}An(k)

Frmula de ClculoAn(k) = nkA3(2) = 32 = 9

1.9 Permutao Circular

Existe um tipo de permutao denominada circular, em que os elementos so dispostos em crculos ou ao redor de uma mesa circular. Por exemplo, vamos colocar trs objetos A, B, e C, distintos em 3 lugares numa circunferncia.

Sendo (PC)3 o nmero de permutaes circulares de trs elementos temos que:

(PC)3 = 2!Exemplos:

1) Uma famlia composta por seis pessoas: o pai, a me e quatro filhos. Num restaurante, essa famlia vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposies diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a me fiquem juntos?Sabendo que pai e me devem ficar juntos, vamos amarrar os dois e trat-los como se fossem um nico elemento. Veja a figura 1 abaixo:

Ao tratar o pai e me como um nico elemento, passamos a ter somente 5 elementos. Portanto, utilizando a permutao circular de 5 elementos, calculamos o nmero de possibilidades desta famlia sentar-se ao redor da mesa com pai e me juntos sendo que o pai est esquerda da me.Permutao circular (Pc) de 5 elementos calcula-se:Pc5 = P4 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24Portanto, para o pai esquerda da me, temos 24 posies diferentes. Mas o pai pode estar direita da me, como na figura 2, e ento teremos mais 24 posies diferentes para contar (novamente Pc5).Portanto, o nmero total de disposies 48.2) Dois meninos e trs meninas formaro uma roda dando-se as mos. De quantos modos diferentes podero formar a roda de modo que os dois meninos no fiquem juntos?No total temos 5 elementos para dispor em crculo, ou seja, novamente utilizaremos Permutao Circular. Mas agora a restrio diferente, os dois meninos NO podem ficar juntos. Para esta situao, iremos calcular o nmero total de disposies (sem restrio) e diminuir deste resultado o nmero de disposies em que os meninos esto juntos (para calcular o nmero de disposies deles juntos, fazemos como no exerccio 1).O nmero total de disposies Pc5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.Agora, para calcular o nmero de disposies com os meninos juntos, devemos amarr-los e trat-los como um nico elemento, lembrando que podemos ter duas situaes:

O nmero total de disposies com os meninos juntos 2.Pc4 (4 elementos pois os meninos esto juntos e valem por 1). Calculando este valor:2.Pc4 = 2.(4-1)! = 2.3! = 2.3.2.1 = 12Portanto, o nmero de disposies em que os meninos no esto juntos 24-12=12.1.10 Exerccios de Fixao1) (UFU-MG) De quantas maneiras trs mes e seus trs respectivos filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada me sente junto de seu filho?

a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 482) (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vo ser colocados lado a lado, para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720

3) (UFRS) A expresso [(n+1)! n!] / [(n+1)! + n!] com n inteiro estritamente positivo vale:

a) (n2 + n) / (1 + n) b) (n2 + n - 1) / 2 c) (n2 - n) / (1 + n) d) n / (n +2)

4) (FUVEST-SP) O nmero de anagramas da palavra FUVEST que comea e termina por vogal ?

a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 1445) (FEI-SP) Obter o nmero de anagramas da palavra REPBLICA nos quais as vogais se mantm nas respectivas posies.6) (FGV-SP) Numa sala de reunies h 10 cadeiras e 8 participantes. De quantas maneiras distintas podemos sentar os participantes. (Duas pessoas ficaro de p?)

a) 181.440 b) 3.628.800 c) 1.814.400 d) 40.320 e) 403.200

7) (FCC-BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles tm as vogais juntas?

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 1808) (PUC-SP) O nmero de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogais em ordem alfabtica :

a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 1009) (UFOP-MG) Podemos ordenar as pessoas que esto numa certa fila de 24 maneiras diferentes. Ento, nessa fila esto quantas pessoas?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24

10) (TAUBAT-SP) Numa estante existem trs livros de Matemtica, trs livros de Histria e um de Geografia. Se desejarmos sempre um livro de Histria em cada extremidade, ento o nmero de maneiras de se arrumar esses sete livros :

a) 720 b) 36 c) 81 d) 12611) (UFCE) A quantidade de nmeros inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que no figurem algarismos repetidos, :

a) 48 b) 66 c) 96 d) 12012) (UFRN) Quantos nmeros de 7 dgitos, maiores que 6.000.000, podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los?

a) 1.800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160

13) (UFBA) Para abrir um cofre eletrnico deve-se digitar uma seqncia formada por quatro algarismos distintos, sendo que o primeiro o triplo do segundo. Uma pessoa que desconhece essa seqncia pretende abrir o cofre. O maior nmero possvel de seqncias que ela deve digitar :

a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 16814) Descubra o nmero de permutaes circulares de:

a) 4 objetos b) 5 objetos c) n objetos

15) (SANTA CECLIA-SP) O nmero de maneiras em que podemos dispor vinte pessoas em torno de uma mesa redonda :

a) 20! b) 20! / 2 c) 19! d) 19! / 2

6) (PUC-SP) Dois meninos e trs meninas formaro uma roda dando-se as mos. De quantos modos diferentes podero formar a roda de modo que os dois meninos no fiquem juntos?

a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 1217) (UFPE) Qual o maior inteiro n para que 20! Seja divisvel por 3n?

a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 201.11 CombinaoCombinaes, so agrupamentos de k elementos, de forma que os k elementos sejam distintos entre si apenas pela espcie. A posio dos elementos no importa e no os distingue.Combinaes simples de n elementos distintos tomados k a k so subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Duas combinaes so diferentes quando possuem elementos distintos, no importando a ordem em que os elementos so colocados:Conjunto ZZ = {A, B, C}n = 3

N de elementos dos Gruposk = 2Taxa de 2 elementos

Grupos de Combinao Simples{AB, AC, BC}Cn,k

Frmula de ClculoCn,k = n! / k!(n-k)!C3,2 = 3! / 2!(3-2)! = 3

O nmero acima tambm conhecido como Nmero Binomial. O nmero binomial indicado por:(nk) = n! / k!(n-k)!Numa faculdade os alunos dos cursos foram convidados a participar de um campeonato de futebol de salo. Inscreveram-se ao todo 15 times. Considerando que todos os times se enfrentaro uma nica vez (um turno) e que o campeo ser aquele que formar mais pontos, obtenha o nmero total de jogos disputados?

Voc j estudou a teoria dos conjuntos. Viu que, a partir de um conjunto, podemos formar subconjuntos. Vamos exemplificar:O conjunto A = {2; 3; 4; 5; 6} admite subconjuntos com nenhum elemento, com 1 elemento, com 2 elementos, com 3 elementos, com 4 elementos e com 5 elementos. Procure, a seguir, completar indicando os subconjuntos de A.* 0 elemento ..................................

* 1 elemento ..................................

* 2 elementos ..................................

* 3 elementos ..................................

* 4 elementos ..................................

* 5 elementos ..................................

Em Anlise Combinatria, precisamos encontrar um procedimento que nos permita obter, por exemplo, o nmero de subconjuntos que podem ser formados com uma certa quantidade de elementos de um conjunto dado. Entretanto no queremos fazer isso enumerando todos esses subconjuntos aps serem formados.Obs.: Cada subconjunto uma combinao simples de elementos.

Assim, por exemplo, as combinaes simples (subconjuntos) com 3 elementos do conjuntoA = {a1; a2; a3; a4; a5} so:

{a1; a2; a3} {a1; a2; a4} {a1; a2; a5} {a1; a3; a4};{a1; a3; a5} {a1; a4; a5};{a2; a3; a4} {a2; a3; a5} {a2; a4; a5} {a3; a4; a5}So 10 subconjuntos com 3 elementos em cada subconjunto. De modo equivalente, so 10 combinaes simples de 5 elementos agrupados 3 a 3. Em smbolos: C5,3 = 10Mas como podemos calcular o total de combinaes simples sem cont-las aps obt-las?

Vamos considerar o que estudamos at aqui:

Precisamos, para formar um subconjunto com 3 elementos, escolher esses elementos. Assim, temos:

5 possibilidades para o 1 elemento; 4 possibilidades para o 2 elemento;

3 possibilidades para o 3 elemento.

O total de subconjuntos com 3 elementos parece, a princpio, ser o resultado da multiplicao dessas possibilidades, isto , 5 . 4 . 3 = 60.

O problema, nesse raciocnio, est em que existem combinaes idnticas que foram contadas como se fossem diferentes, ou seja, por exemplo:

{a1; a2; a3} {a1; a3; a2} {a2; a1; a3}{a2; a3; a1} {a3; a1; a2} {a3; a2; a1}

Representam a mesma combinao. Resumindo, ao considerarmos 60 como resposta, estamos contando cada combinao uma vez para cada ordem utilizada para dispor seus elementos. Como em cada subconjunto h 3 elementos, em cada combinao os elementos podem ser escritos em P3 = 3! = 6 ordens diferentes. Sendo assim, cada combinao foi contada 6 vezes.

Portanto, a resposta C5,3 = 60/6 = 5 . 4 . 3 / 3! = 10

Logo: Cn,p = An,p / P3Resumindo:

Para escolhermos p objetos distintos entre n objetos distintos dados, ou, o que equivalente para formarmos subconjuntos com p elementos do conjunto {a1; a2; a3; ... an}, temos Cn,p possibilidades (np), onde

Cn,p = n . (n-1) . (n-2) . (...) . (n p+1) / p!

Cn,p = n . (n-1) . (n-2) . (...) . (n p+1) / p! . (n-p)!/(n-p)!Cn,p = n! / p!(n-p)!Observao: Quando calculamos o nmero de combinaes de n objetos tomados p a p, estamos calculando o nmero de maneiras de escolher p objetos de um agrupamento de n objetos.

1.11.1 Exerccios1) Em uma turma, voc dever escolher 4 pessoas como representantes da turma.

Qual o nmero total de escolhas possveis?

2) Ao final da aula, cada aluno da turma dever apertar a mo de todos os colegas uma nica vez.

Quantos apertos de mo existiro no total?

3) Considere 8 vrtices de um octgono convexo. Voc dever formar segmentos ligando esses pontos dois a dois. Qual o nmero total de segmentos que podem ser formados?

4) Ao final da aula, cada aluno da turma dever apertar a mo de todos os colegas uma nica vez.

Quantos apertos de mo existiro no total?

5) Qual o nmero total de diagonais de um octgono convexo?

6) Obtenha, utilizando combinaes simples, o nmero de jogos de futebol de salo na situao apresentada no incio da unidade.

7) Resolva a equao Cn,2 = 10:

8) Cinco pontos distintos A, B, C, D e E foram marcados numa circunferncia.

a. Quantos segmentos, com extremidades em 2 desses pontos, podem ser formados?

b. Quantos tringulos ficam determinados com vrtices em 3 desses pontos?

c. Quantos polgonos ficam determinados com vrtices nesses pontos?9) Considerando os alunos de sua turma, responda:

a. Quantas duplas distintas podem ser formadas?

b. Quantas equipes com 5 elementos podem ser formadas?

10) Um polgono convexo com n vrtices (n lados tambm) possui d diagonais, onde

D = n.(n - 3) / 2

Utilizando anlise combinatria, prove tal relao.11) Considere o conjunto A, onde A = {2, 3, 4, 5, 6}.

a. Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 1 elemento?

b. Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 3 elementos?

c. Quantos subconjuntos admitem (ao todo) o conjunto A?12) Uma comisso de cinco membros ser escolhida dentre 8 pessoas. Calcule o nmero de comisses diferentes que podem ser formadas.

13) Considere 6 pontos distintos marcados na reta r e 4 pontos distintos marcados na reta s. Sabendo-se que r e s so retas paralelas, qual o nmero total de tringulos que podem ser formados com vrtices nesses pontos?

14) Considere um grupo formado por uma menina e cinco rapazes. Uma comisso com 3 pessoas ser formada. Ento:

a. Qual o total de comisses distintas que podem ser formadas?

b. Em quantas dessas comisses a menina figura?

c. Em quantas dessas comisses a menina no figura?

d. verdadeiro que C6,3 = C5,2 + C5,3?1.12 Permutao com RepetioSe entre os n elementos de um conjunto existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o nmero total de permutaes que podemos formar dado por:

Conjunto ZZ = {B, A, B, A}n = 4

Repetio de elementosB = 2, A = 2a = 2, b = 2

Permutao com Repetio{BABA, BAAB, BBAA, AABB, ABAB, ABBA}Pn(a,b,c,...)

Frmula de ClculoPn(a,b,c,...) = n! / a!b!c!...P4(2,2) = 4! / 2!2! = 6

Voc j estudou problemas de Anlise Combinatria que tratavam da formao de anagramas das letras de uma palavra qualquer. Assim, por exemplo, a palavra RODA admite um total de 24 anagramas.

Para calcular esse nmero de anagrama, utilizamos o seguinte raciocnio:

Temos 4 possibilidades para a escolha da 1 letra;

Temos 3 possibilidades para a escolha da 2 letra;

Temos 2 possibilidades para a escolha da 3 letra;

Temos 1 possibilidade para a escolha da 4 letra.Pelo princpio multiplicativo, temos: 4 . 3 . 2. 1 = 4! = P4 anagramas possveis.

Agora descubra quantos so os anagramas da palavra ARARA.Na palavra ARARA, existem letras repetidas que dificultam, a princpio, o clculo do nmero total de anagramas. Mais tarde, voltaremos a essa palavra; por enquanto, vamos buscar um modo de calcular o nmero total de anagramas de uma palavra que tenha letras repetidas. Vamos considerar a palavra TARTARUGA.

* Sugerimos ler o captulo 1.9 Combinaes, antes de ler a explicao dada abaixo.Para formar um anagrama de TARTARUGA, temos que dispor 3A, 2T, 2R, 1G e 1U em 9 lugares.

o nmero de modos de escolher os lugares para os 3A C9,3;

o nmero de modos de escolher os lugares para os 2T C6,2; (trs lugares foram ocupados para os 3A);

o nmero de modos de escolher os lugares para os 2R C4,2;

o nmero de modos de escolher os lugares para G C2,1;

o nmero de modos de escolher os lugares para os U 1 (o que sobrou).

Quando escolhemos elementos, no estamos preocupados com a ordem, ou seja, fazemos uma combinao.

Agora, pelo princpio multiplicativo, temos que o nmero total de anagramas das letras de TARTARUGA :

C9,3 . C6,2 . C4,2 . C2,1 . 1 = 9! / 3!2!2!

9!: permutao das 9 letras

3!: permutao dos 3

2!: permutao dos 2T

2!: permutao dos 2RSe as 9 letras fossem diferentes, teramos P9 = 9! Anagramas. Como os A so iguais, contamos cada anagrama 3! Vezes (devemos ento dividir por 3!). Da mesma forma, contamos cada anagrama 2! Vezes e 2! Vezes por serem iguais os T e os R, respectivamente (ento devemos dividir por 2! E por 2!).

Isto tudo nos leva a pensar em permutao de 9 letras, das quais 3 so iguais a A, 2 so iguais a T, 2 so iguais a R, 1 a letra G e 1 a letra U.

(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em smbolos:

P93,2,2,1,1 = 9! / 3!2!2!

Retorne agora palavra ARARA.1.13 Exerccios de Fixao1) (FGV-SP) Quantos nmeros diferentes obtemos reagrupando os algarismos do nmero 718.844?

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180

2) (UFU-MG) O nmero de anagramas da palavra ERNESTO, comeando e terminando por consoante, :

a) 480 b) 720 c) 1.440 d) 1.920 e) 5.040

3) (UFPA) Uma cobaia percorre um labirinto tendo sete pontos em que pode virar direita, esquerda ou seguir em frente. De quantas maneiras esta cobaia percorre o labirinto, se segue um caminho diferente em cada vez?

a) A7,3 b) C7,3 c) 7 d) 37 e) 7! / 3!

4) (USP) Uma comisso de cinco alunos deve ser formada para discutir e planejar o desenvolvimento das partes esportiva de sua escola. Sabendo-se que estes cinco alunos devem ser escolhidos de um grupo de 10 alunos, ento o nmero possvel de escolha :a) 360 b) 180 c) 21.600 d) 252 e) 2105) (UFV-MG) Resolvendo a equao Cx2 = 21, encontramos:a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7

6) (UFRGS) A soluo da equao 2 . Ax4 = 4! Cxx-5 :a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6

7) (CESGRANRIO-RJ) Seja M um conjunto de 20 elementos. O nmero de subconjuntos de M que contm exatamente 18 elementos :a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18

8) (UFSC) Um experimento consiste em lanar uma moeda 6 vezes. Considera-se como resultado desse experimento a seqncia das faces obtidas no 1, 2, 3, 4, 5 e 6 lanamento, respectivamente. Por exemplo, indicando por c a face cara e por k a face coroa, um resultado possvel desse experimento a seqncia (c, c, k, c, k, c).

O nmero de resultados possveis desse experimento apresentando quatro caras e duas coroas : a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 159) (FGV-SP) Sobre uma mesa so colocadas em linha 6 moedas. O nmero total de modos possveis pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltados para cima :

a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

10) (UFBA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, ma, mamo e melo; calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se trs frutas distintas.

a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50

11) (PUC-MG) O nmero de maneiras pelas quais 6 pessoas podem ser distribudas em 3 grupos, cada um formado por 2 pessoas, ?

a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90

12) (UFRGS) Em uma classe de doze alunos, um grupo de cinco ser selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poder ser formado, sabendo que, entre os doze alunos, dois so irmos e s podero viajar se estiverem juntos?a) 30.240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 37213) (UFMG) Numa Cmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C. O nmero de comisses de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo cada comisso ser constituda de 3 vereadores do partido A, 2 vereadores do partido B e 2 vereadores do partido C, igual a:

a) 7 b) 36 c) 152 d) 1.200 e) 28.800

14) (UFSE) Considere todos os produtos de trs fatores distintos que podem ser obtidos com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 5, 7, 11}. Quantos deles so pares?

a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60

15) (FUVEST) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez, cada jogador joga uma vez contra os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Sugesto: indique por n o nmero de jogadores.

16) (UFPA) O elevador de um prdio de 12 andares parte lotado do 1 andar. Sabe-se que as pessoas descero em 3 andares diferentes na subida. De quantas maneiras isso pode ocorrer, se ningum descer no 2 andar?a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320

17) (UFRN) Com sete pontos sobre uma circunferncia, quantos tringulos, com vrtices nesses pontos, podem ser formados?

a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54

18) (UFF-RJ) Uma empresa vai fabricar cofres com senhas de 4 letras, usando 18 consoantes e 5 vogais. Se cada senha deve comear com uma consoante e terminar com uma vogal, sem repetir letras, o nmero de senhas possveis :

a) 3.060 b) 24.480 c) 37.800 d) 51.210 e) 53.440

19) (PUC-RS) Dispondo-se de 6 nmeros positivos e 6 negativos, o nmero de modos diferentes de escolher 4 nmeros cujo produto seja positivo :

a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255

20) (FEI-SP) Sejam duas retas paralelas (r e s). Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 em s. A razo entre o nmero total de quadrilteros convexo e o nmero total de tringulos que podem ser formados com vrtices nesses pontos :a) 1/2 b) 3/4 c) 2/3 d) 6/7 e) 4/521) (FUVEST-SP) A escrita braile para cegos um sistema de smbolos com o qual cada caractere formado por uma matriz de 6 pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relao aos outros. Assim, por exemplo:

. . . .

. . . .

. . . .

Qual o nmero mximo de caracteres distintos que podem ser representados nesse sistema de escrita?

a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36

22) (ITA) O nmero de solues inteiras e no-negativas da equao x + y + z + w = 5 :

a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56

23) (ITA) Um general possui n soldados para tomar uma posio inimiga. Desejando efetuar um ataque com dois grupos, um frontal com r soldados e outro de retaguarda com s soldados (r+s = n), ele poder dispor seus homens de quantas maneiras distintas nesse ataque?

a) n! / (r+s)! b) n! / r!s! c) n! / (rs)! d) 2(n!) / (r+s)! e) 2(n!) / r!s!2 BINMIO DE NEWTON2.1 Desenvolvimento (Produtos Notveis)

No Ensino Fundamental, voc estudou expresses algbricas. Dentro desse estudo trabalhou com monmios, binmios e, de um modo geral, polinmios. Certamente j ouviu falar dos casos de produtos notveis: o quadrado da soma e o quadrado da diferena: O quadrado da soma

Observe que o quadrado maior foi dividido em 4 partes: dois quadrados e dois retngulos.Para calcular a rea do quadrado maior S, podemos proceder de duas formas, isto :

1 maneira: Considerando o quadrado de lado medindo a + b, a rea ser: S = (a + b)22 maneira: Considerando os dois retngulos iguais e os dois quadrados, o mdio e o menor; teremos como rea: S = 2ab + a2 + b2Como as duas formas representam a rea do mesmo quadrado, ento igualamos as duas expresses: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2O quadrado da soma de dois termos o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. O quadrado de uma diferena

Queremos agora obter a rea S do quadrado menor da figura geomtrica acima. Podemos fazer isso de duas maneiras:

1 maneira

Considerando apenas o quadrado da medida de seu lado, isto : S = (a - b)22 maneira

Considerando as reas das figuras geomtricas que compem o quadrado de lado a, ou seja,S = a2 S1 2S2

S = a2 b2 - 2b . (a b)

S = a2 b2 - 2ab + 2b2 = a2 - 2ab + b2(a - b)2 = a2 2ab + b2O quadrado da diferena de dois termos o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Discutindo: Procure obter estes resultados algebricamente, ou seja, mostre que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 2ab + b2 Obtenha uma relao para o cubo de uma soma e o cubo de uma diferena, isto : (a + b)3 e (a b)3Nesta unidade estudaremos binmios do tipo (a + b)n para n ( IN, a e b ( IR.2.1.1 Exerccios1) Fatore cada uma das expresses algbricas abaixo:

a) x2 2xy + y2b) x3 3x2y + 3xy2 y3c) x2 + 2xy + y2d) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3e) x2 y2f) x4 y42) Desenvolva a potncia (x + y)43) Observando os coeficientes da expresso correspondente ao desenvolvimento de (x + y)4 e os valores das combinaes C4,0, C4,1, C4,2, C4,3 e C4,4 o que se pode concluir?4) Considere a expresso algbrica A = a3 3a2b + 3ab2 b3.

Qual o valor numrico que essa expresso assume para a = 2 35e 35 ?5) Qual o nmero de termos do desenvolvimento da potncia correspondente a:

a) (2x + y)2b) (x - y)4c) ((3 + y)3d) (x + a)46) Assinale V ou F conforme as afirmaes sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:( ) x3 + y3 (x + y)3( ) x2 y2 (x - y)2 para todo x e y( ) x2 . y2 = (x . y)2( ) (-1 + (-1 = (( + () / (( (( ( e ( 0)

7) A figura a seguir foi construda conforme uma lgica. Descubra qual essa lgica e d o valor de x e de y.1

11

121

1331

14641

15101051

16x201561

172135 y2171

8) Considere A = x3 y3 e B = (x y) (x2 + xy + y2). Sendo x = 2,12 e y = 4(3, quem o maior, A ou B?2.2 Tringulo de Pascal

A histria da matemtica foi e constituda no apenas por grandes descobertas e famosos gnios que conseguem decifrar enigmas e provar ou refutar teorias, mas tambm por aqueles, no menos ilustres matemticos, que possuem a capacidade de simplificar.So muitas as contribuies do francs Blaise Pascal (1623 1662) na Matemtica, na Filosofia e na Fsica.

Blaise Pascal

Blaise Pascal foi um Filsofo e Matemtico francs, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, tambm Matemtico. Em 1632, toda a famlia foi viver em Paris.O pai de Pascal, que tinha uma concepo educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele prprio a ensinar os filhos e que Pascal no estudaria Matemtica antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal comeou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ngulos de um tringulo igual a dois ngulos retos. Ento o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cpia do livro de Euclides.Aos 14 anos, Pascal comeou a acompanhar o seu pai nas reunies de Mersenne, onde se encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reunies, Pascal apresentou uma nica folha de papel que continha vrios teoremas de Geometria Projetiva, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama mstico" em que demonstra que "se um hexgono estiver inscrito numa cnica, ento as interseces de cada um dos 3 pares de lados opostos so colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho "Ensaio sobre seces cnicas", no qual trabalhou durante 3 anosEm 1639 a famlia de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido nomeado coletor de impostos da Normandia Superior.Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira mquina digital, chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adio e subtrao, e posteriormente organizou a produo e comercializao destas mquinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecnica dos anos 40). Pelo menos sete destes computadores ainda existem; uma foi apresentada rainha Cristina da Sucia em 1652.Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irms uma carta sobre a morte com um profundo significado cristo em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas idias religiosas foram a base para a sua grande obra filosfica "Penses" que constitui um conjunto de reflexes pessoais acerca do sofrimento humano e da f em Deus.Em Fsica destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilbrio dos lquidos" relacionado com a presso dos fludos e hidrulica. O princpio de Pascal diz que a presso em qualquer ponto de um fluido a mesma, de forma a que a presso aplicada num ponto transmitida a todo o volume do contentor. Este o princpio do macaco e do martelo hidrulicos.Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Tringulo aritmtico", publicado em 1654, diversas propriedades do tringulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, j Tartaglia usara o tringulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemticos rabes e chineses j o utilizavam. Este famoso tringulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o nmero de linhas conhecido como Tringulo de Pascal ou Tringulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de nmeros em que cada nmero igual soma do par de nmeros acima de si. O tringulo de Pascal apresenta inmeras propriedades e relaes, por exemplo, "as somas dos nmeros dispostos ao longo das diagonais do tringulo geram a Sucesso de Fibonacci.Em correspondncia com Fermat, durante o Vero de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. O seu ltimo trabalho foi sobre a Ciclide a curva traada por um ponto da circunferncia que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano desinteressou-se pela cincia; passou os ltimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e religio. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estmago se ter estendido ao crebro.Na Matemtica, comum relacionarmos o seu nome a um determinado tringulo formado por nmeros, representados por combinaes, ou seja:

Mas qual a importncia do Tringulo de Pascal?Embora existam curiosidades numricas relacionadas a esse tringulo, ns o utilizaremos no desenvolvimento de potncias de um binmio. Aguarde!

Utilizando o clculo de combinaes, vamos formar o tringulo de Pascal apenas com os resultados:

Voc saberia obter os nmeros da prxima linha sem calcular as combinaes correspondentes? Explique: O que voc pode dizer sobre o valor Cn,0, sendo n um nmero natural qualquer? Qual o valor de Cn,1 (n ( IN*)? E o valor de Cn,n?

Numa mesma linha do tringulo de Pascal, qual a relao entre os termos eqidistantes dos extremos?

Vamos retornar alguns fatos da Anlise Combinatria, para justificar alguns importantes resultados.

necessrio voltarmos s combinaes simples, estudadas em Anlise Combinatria, para entendermos alguns resultados que aqui sero teis.

Quando formamos subconjuntos com base em um conjunto qualquer, estamos combinando seus elementos.Vamos formar, com base nos elementos do conjunto A = {3; 4; 5; 6; 7}, todos os subconjuntos com 2 elementos e, a seguir, seus complementares em relao ao conjunto A.(Voc dever escrev-los)

Subconjuntos

Com 2 elementosSubconjuntoscomplementares

{3; 4}

{3; 5} {3; 6} {3; 7} {4; 5} {4; 6} {4; 7} {5; 6} {5; 7} {6; 7} ....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

So C5,2 = 10

subconjuntosSo ..........

Subconjuntos

complementares

Como a cada subconjunto de um conjunto finito podemos associar um subconjunto complementar ao conjunto dado, dizemos que os totais dessas combinaes so iguais. Assim, no nosso exemplo, temos: C5,2 = C5,3Combinaes complementares 2 + 3 = 5Observe que C5,2 e C5,3, na linha correspondente do Tringulo de Pascal, so elementos eqidistantes dos extremos, isto : C5,0 C5,1 C5,2 C5,3 C5,4 C5,5 Organizando as idiasEm uma mesma linha do Tringulo de Pascal, elementos eqidistantes dos extremos so iguais. Em smbolos, temos: Cn,p = Cn, n-pA relao matemtica acima conhecida como Relao das Combinaes Complementares. Voc poder facilmente justific-la no quadro a seguir, utilizando combinaes.

Justificativa:

Temos assim que numa linha qualquer do Tringulo de Pascal, elementos eqidistantes dos extremos so iguais. Entretanto at aqui no conseguimos ainda justificar a compreenso de como esse tringulo construdo. Falta um pequeno, mas importante, fato que daremos o nome de Relao de Stifel.

2.3 Relao de Stifel

Novamente, vamos utilizar uma situao envolvendo Anlise Combinatria e subconjuntos.Situao:

No quadro abaixo, esto todos os subconjuntos de A = {3; 4; 5; 6; 7} com exatamente 3 elementos. Ao todo so 10 subconjuntos, pois C5,2 = 10.{3; 4; 5} {3; 5; 7} {4; 5; 7}

{3; 4; 6} {3; 6; 7} {4; 6; 7};

{3; 4; 7} {4; 5; 6} {5; 6; 7}

{3; 5; 6}

Discutindo:Observando o quadro, faa o que se pede:

Quantos e quais so os subconjuntos de A = {3; 4; 5; 6; 7} formados com 3 elementos que contm o elemento 7?

Explique como obter esse total de subconjuntos pela Anlise Combinatria:

Quantos e quais os subconjuntos de A = {3; 4; 5; 6; 7} formados com 3 elementos que no contm o elemento 7?

Explique como obter esse total de subconjuntos pela Anlise Combinatria:

Somando o nmero de subconjuntos de 3 elementos de A que contm o elemento 7 com o nmero de subconjuntos de 3 elementos de A que no contm o elemento 7, qual o resultado? E a sua concluso?

Voltando ao Tringulo de Pascal, agora podemos compreender melhor como ele formado.C0,0

C0,1C1,1

C0,2C1,2C2,2

C0,3C1,3C2,3C3,3

C0,4C1,4C2,4 +C3,4C4,4

C0,5C1,5C2,5C3,5C4,5C5,5

C0,6C1,6 +C2,6C3,6C4,6C5,6C6,6

C0,7C1,7C2,7C3,7C4,7C5,7C6,7C7,7

..

.

Procure completar o quadro a seguir com os valores, dentro dos retngulos, correspondentes s combinaes, mas sem utilizar o clculo combinatrio.

Organizando as idias

Relao de Stifel: somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha de um Tringulo de Pascal, obtemos o elemento da prxima linha situado abaixo desses dois elementos.

Em smbolos:

Cn, p + Cn, p+1 = Cn+1, p+1Utilizando combinaes simples, justifique a Relao de Stifel no quadro a seguir:2.3.1 Exerccios

1) Qual o nmero de solues da equao C10,x = C10,6?2) Construa as 8 primeiras linhas do tringulo de Pascal e, a seguir, calcule a soma dos elementos de uma mesma linha (todos). Qual a concluso?

3) Resolva a equao C10,2 + C10,3 = C11,x .4) Calcule:

a) C2,0 + C2,1 + C2,2b) C3,0 + C3,1 + C3,2 + C3,3c) C4,0 + C4,1 + C4,2 + C4,3 + C4,4d) Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n5) Tomando 8 pontos distintos pertencentes a uma circunferncia, quantos polgonos convexos inscritos podem ser construdos com vrtices nesses pontos?

6) Considere o conjunto A tal que A = {a, e, i, o, u}

a) Qual o nmero de subconjuntos de A?

b) Em quantos subconjuntos de A, formados por 3 elementos, o elemento e figura?c) Em quantos subconjuntos de A, formados por 3 elementos, o elemento e no figura?7) Resolva a equao Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn, n-1 ?8) Numa turma com 32 pessoas, 5 sero escolhidas para participar de uma viagem. Qual o nmero de maneiras de escolher essas 5 pessoas sabendo que duas dessas pessoas s iro se forem juntas?

2.4 Binmio de Newton

Denomina-se Binmio de Newton, a todo binmio da forma (a + b)n, sendo n um nmero natural.

Exemplo:B = (3x - 2y)4 (onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binmio]).

Nota 1:

Isaac Newton - fsico e matemtico ingls (1642 - 1727).

Suas contribuies Matemtica, esto reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.

Exemplos de desenvolvimento de binmios de Newton:

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5Nota 2:

No necessrio memorizar as frmulas acima, j que elas possuem uma lei de formao bem definida, seno vejamos:

Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:

Observe que o expoente do primeiro e ltimos termos so iguais ao expoente do binmio,ou seja, igual a 5.

A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prtica de fcil memorizao:

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado ser o coeficiente do prximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teramos: 5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da varivel a decrescem de n at 0 e os expoentes de b crescem de 0 at n. Assim o terceiro termo 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).

Usando a regra prtica acima, o desenvolvimento do binmio de Newton (a + b)7 ser:

(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6 termo (21 a2b5)?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que 5.

Ento, 35.3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que o coeficiente do sexto termo, conforme se v acima.

Observaes:

1) o desenvolvimento do binmio (a + b)n um polinmio.

2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos.

3) os coeficientes dos termos eqidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (a + b)n so iguais.

4) a soma dos coeficientes de (a + b)n igual a 2n.2.4.1 Exerccios

1) Desenvolva a potncia de binmios:a) (x + y)5 = b) (2x - ()5 = c) (2x + 1)4 = d) (x 2y)5 = 2) Desenvolvendo a potncia ((2 + (3)4 obtm-se um nmero na forma a + b . (6. Calcule a + b.3) Considere que: (x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5.

a) Calcule o valor numrico da expresso (x + y)5 para x = y = 1. b) Calcule o valor numrico da expresso 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5 para x = y = 1.Ateno:A soma dos coeficientes numricos dos termos do desenvolvimento da potncia de um binmio pode ser calculada substituindo as variveis por 1, sem necessitar desenvolver os termos.4) Obtenha a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento:a) (2x + y)6 = b) (3x - ()10 = c) (2x - 4)50 = 2.5 Frmula do Termo Geral do Desenvolvimento do Binmio de Newton(x + y)n = (n0) xny0 + (n1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + ... + (xn) x0yn , com n ( IN

Tp+1 = (np) xn-p . yp Termo Central ou Mdio: aquele que fica no meio, se o desenvolvimento for de grau par. (p = n/2)

Termo Independente da varivel: aquele cujo expoente desta varivel igual a zero. (x0)

Exemplos:

1)Vamos escrever (3x +2)4 usando o teorema binomial:

(3x + 2)4 = (40)(3x)4.20 + (41)(3x)3.21 + (42)(3x)2.22 + (43)(3x)1.23 + (44)(3x)0.24(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16

2)Vamos escrever (a - 2)4 usando o teorema binomial:

(a - 2)4 = (40)(a)4.20 - (41)(a)3.21 + (42)(a)2.22 - (43)(a)1.23 + (44)(a)0.24(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 32a + 16.

3) Encontrar o 7 termo do desenvolvimento de (x3 2y)10O termo geral : (10k)(x3)10-k.(-2y)k = (10k)(-2)k.x30 3k.ykPara encontrarmos o 7 termo fazemos k = 6.

Assim, o termo procurado (106).(-2)6.x30-18.y6 = 13440 x12 y62.5.1 Exerccios1) Determine o 6 termo no desenvolvimento da potncia (x + a)10.2) No desenvolvimento de (a 1)20 obtenha o coeficiente do termo em a17.

3) Determine o coeficiente do termo mdio no desenvolvimento de (x3 + y2)8.

4) Determine, se houver, o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x)6.

5) Calcule, se existir, o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x)7.

2.6 Exerccios de Fixao1) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x + y)5, ou seja: (x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y52) (FEI-SP) A soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de (14x 13y)237 :a) 0 b) 1 c) -1 d) 331.237 e) 1.973.747

3) (UNIVALI-SC) Desenvolvendo o binmio (x2 2)5, temos (x2 2)5 = x10 + mx8 + 40x6 80x4 + 80x2 + n, portanto, m + n :a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -484) (UFMT) No desenvolvimento de (x 1/x)11 verificamos que o termo independente de x:a) o 5 b) o 6 c) o 7 d) o 8 e) no existe

5) (CESGRANRIO-RJ) No desenvolvimento de (x + y)n a diferena entre os coeficientes do 3 e do 2 termos igual a 54. Podemos afirmar que o termo mdio o:a) o 5 b) o 6 c) o 7 d) o 8 e) no existe

6) (PUC-RS) O termo independente de x no desenvolvimento do binmio (x/2 2/x)12 :a) 232 b) 326 c) 924 d) 1,012 e) 1214

7) (UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do desenvolvimento de (x + a)11 igual a 1.386x5, o valor de a deve ser:a) 6(3 b) 26(3 c) (10 d) 3 e) 3(108) (FEI-SP) No desenvolvimento de (1 + 2X2)6, o coeficiente de x8, :a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 9609) (PUC-MG) No desenvolvimento do binmio (x + a/x)6, o coeficiente do termo em x4 12. O valor de a :

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3

10) (USJT-SP) Qual o termo independente de x no desenvolvimento do Binmio de Newton (x + 1/x)6?a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 3211) (UFPA) No binmio (2x + 1/4x)n, a soma dos coeficientes binomiais do segundo e do terceiro termos igual a 36 e o terceiro termo sete vezes maior que o segundo. Ento o valor de x + 1/x, :a) -10/3 b) -5/3 c) -3/5 d) -3/10 e) -1/3

12) (UECE-CE) Se n = ((5 + (3)3 ((5 -(3)3, ento o nmero binomial Cn,3 igual a: a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70

13) (UFES) Qual o termo central de (x 3)6? a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x414) (UFSE) No desenvolvimento do binmio (1 + x)8, a soma dos coeficientes : a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 25615) (UFPA) Qual o valor do termo mdio do desenvolvimento de (2x + 3y)8? a) 70x4y4 b) 70.16.81 x4y4 c) 70.16.81 x5y4 d) 70.16.81 x4y5 e) 70.16.81 x5y516) (UFC-CE) O valor da expresso:

(1 + sen2)5 5.(1 + sen2)4 + 10.(1 + sen2)3 - 10.(1 + sen2)2 + 5.(1 + sen2) 1 igual a:a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 017) (MACK-SP) Um dos termos no desenvolvimento de (x +3a)5 360x3. Sabendo que a depende de x, o valor de a :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18) (FGV-SP) Desenvolvendo a expresso [(x + 1/x).(x 1/x)]5, obtm-se como termo independente de x o valor:a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 3619) (FATEC-SP) Sabendo que o segredo de um cofre uma seqncia de quatro algarismos distintos e o primeiro igual ao triplo do segundo, o maior nmero de tentativas diferentes que devemos fazer para conseguir abri-lo igual a:a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1.054 A

C

D

B

A B

A

B

a

a + b

a

b

b

a + b

a

a

b

b

a-b

a-b

S1

S2

S

S2

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