Distribuciones derivadas del muestreo

Distribuciones importantes

Ileana Castillo, Ph.D. 04/03/2013 2

• χ-cuadrada

• T-student

• F

04/03/2013

Ileana Castillo, Ph.D.

3

0

1)( dyey ySi α es un número

entero,

entonces

Γ(α)=(α-1)!

k grados de libertad (GL=k)

Distribución χ-cuadrada

Si X ~

E(X)=k y = 2k.

Esta distribución es importante para hacer inferencias acerca de la desviación estándar de una población con distribución normal, ya que si se obtiene una muestra de tamaño n, entonces el estadístico:

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2

k

2

Distribución χ -cuadrada

…tiene una distribución χ-cuadrada con n-1 grados de libertad

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Distribución T-student

Sea Z ~ N(0,1) y V ~ .

Si Z y V son independientes, entonces la variable aleatoria

tiene una distribución T con k grados de libertad, cuya función de densidad de probabilidad está dada por

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2

k

kV

ZT

Distribución T-student

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.con

1)2

()(

2

1

)(2

)1(2

21

x

k

xkk

k

xfk

Si X ~ T-student, E(X)=0 y = k/(k-2) para k >2. 2

Distribución T-student

Esta distribución es importante para hacer inferencias acerca de la media μ de una población, ya que si se obtiene una muestra de tamaño n, entonces el estadístico:

sigue una distribución T-student con n-1 grados de libertad

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nS

XT

/

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Distribución F

Sean W y Y variables aleatorias χ -cuadrada independientes con u y v grados de libertad, respectivamente,

entonces la variable aleatoria tiene una distribución F con u grados de libertad en el

numerador y v en el denominador, cuya función de densidad de probabilidad está dada por

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vY

uW

F

Distribución F

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.0con

1)2

()2

(

2)(

2)(

1)2

(2/

x

xv

uvu

xv

uvu

xfvu

uu

Si X ~ F, E(X)=v/(v-2) para v >2 y

.4,)4()2(

)2(22

22

v

vvu

vuv

Distribución F

Esta distribución es importante para inferir cuando se comparan varianzas, ya que si se tienen dos poblaciones con distribución normal y varianzas

y si se obtienen muestras de tamaño n1 y n2, entonces el estadístico:

sigue una distribución F con n1 y n2 grados de libertad en el numerador y denominador, respectivamente.

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2

2

2

2

2

1

2

1

/

/

S

SF

2

2

2

1 y

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Referencias

Gutiérrez-Pulido, H. y de la Vara-Salazar, R. (2009). Control Estadístico de Calidad y Seis Sigma. México: McGraw Hill.

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