Distribuciones

DistribucionesG. Edgar Mata

José Juan Díaz de Leon Moreno

Distribución BernoulliDefinición:

En la distribución de Bernoulli se obtiene dos resultados posibles éxito y fracaso, éxito se representa como 1 y el fracaso se representa como 0.

Explicación breve:

Esta distribución habla de dos posibles resultados los cuales se obtienen con la representación que ya comentamos en la definición.

Formula:

P (0)= p(X=0)= 1- p

P(1)= p(X=1)= p

La variable aleatoria X sigue una distribución con parámetro P.

Ejemplos Bernoulli1. Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 50% de que caiga “cara”.

Sea X= 1 si la moneda cae en “cara” y X= 0 si cae “águila”. ¿Cuál es la distribución de X? Solución: La probabilidad de éxito sea P(X=1)= 50%

2. Diez por ciento de los motores fabricados en Jhonn Deere mediante determinado proceso esta defectuoso. Se selecciona un motor aleatoriamente. Sea X = 1 si el componente esta defectuoso y x= 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X? Solución: La probabilidad de éxito es p = P (X=1)= 0.1

3. Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero . La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. Sea x=1 si anota el tiro , si no lo hace x=0. ¿Cuál es la distribución de x? Solución: La probabilidad de éxito es de p= P(X=1)= 0.55

Problemas Bernoulli Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de

0.55.

Sea X=1 si anota el tiro. Si no lo hace X=0. determine la media y la varianza de X.

Si anota el tiro, su equipo obtiene 2 puntos . Si lo falla su equipo no recibe puntos. Sea Y el número de puntos anotados ¿tiene una probabilidad de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique.

Determine la media y varianza de Y.

Respuesta

Media Px=(0)(1-0.55)+(1)(0.55)= PX=0.55

Varianza V2M=(0-0.55)2 (0.55)(0-0.55)2 (0.45)=

V2X =0.2475

No, una variable aleatoria de Bernoulli tiene valores positivos de 0 y 1 mientras que los valores de Y son 0 y 2.

X P XP

1 0.55 1.1

0 0.45 0

(Y-M) 2 *P

(2-1.1) 2 (0.55)(0-1.1) 2 (0.45)= 0.99

En un restaurante de comida rápida.25%de las órdenes para beber es una bebida pequeña, 35%una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y sea X=0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si la orden de la bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso sea Z =1 si la orden es una bebida pequeña o media y Z =0 para cualquier otro caso.

Sea PX la probabilidad de éxito de X. Determine PX

Sea PY la probabilidad de éxito de Y. Determine PY

Sea PZ la probabilidad de éxito de Z. Determine PZ

¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?

¿Es Z=X+Y? explique

Respuesta

PX=(0)(1-0.25)+(1)(0.25)= 0.25

PY=(0)(1-0.35)+(1)(0.35)= 0.35

PZ=(0)(1-0.40)+(1)(0.40)= 0.40

Si

No

No porque los valores son totalmente distintos

Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica 5%es la probabilidad de que se decolore a no agriete, o ambas. Sean X= 1 si se produce una decoloración y X =0 en cualquier otro caso Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso Z=1 si hay decoloración o grieta o ambas y Z =0 en cualquier otro caso




¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?

¿Es PZ=PX=PY?

¿Es Z=X-Y? explique

Respuesta

PX=(0)(1-0.05)+(1)(0.05)= 0.05

PY=(0)(1-0.20)+(1)(0.20)= 0.20

PZ=(0)(1-0.23)+(1)(0.23)= 0.23

Si

No

Si porque la superficie se decoloración y agrieta entonces X=1, Y=1 Y Z=1 pero X+Y= 2

Se lanzan al aire una moneda de 1 y 5 centavos. Sea X=1 si sale “cara “en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier caso. Sea Z =1 si sale “cara” en ambas monedas y Z = 0 en cualquier otro caso.




¿Son X y Y independientes?

¿Es PZ=PX PY?

¿Es Z=XY? explique

Repuesta

PX= ½

PY= ½

PZ = ¼

Si

Si

Si por que tienen las mismas posibilidades de que salgan los mismos resultados

Se lanzan dos dodos. Sea X=1 si sale el mismo número en ambos y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la suma es 6 y Y=0 en cualquier caso. Sea Z =1 si sale el mismo número en los dados y ambos sumen 6 y Z = 0 en cualquier otro caso.




¿Son X y Y independientes?

¿Es PZ=PX PY?

¿Es Z=XY? explique

Respuesta

PX= 2/12

PY= 3/12

PZ= 1/12

Si

Si

Si por que puede salir los números que se necesiten para formar un 6.

Distribución BinomialDefinición:

En la distribución binomial se obtiene una variable aleatoria, la cual realizan diferentes ensayos y cada uno de ellos son independientes para calcular el numero de éxitos y los resultados tienen la misma probabilidad.

Explicación Breve:

Esta distribución se basa en realizar diferentes ensayos de Bernoulli donde el resultado de cada ensayo no afecte a los demás y se calcule el numero de éxitos, como se menciona en la definición anterior.

Formulas:

Ejemplos Binomial1. Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el numero de caras que aparecen. ¿Cuál

es la distribución de X? Solucion: son 10 ensayos de Bernoulli y cada uno con una probabilidad de éxito de p= 0.5. La variable aleatoria X es igual al numero de éxitos en los diez ensayos. X – Bin(n,p).

2. Un lote contiene varios miles de componentes, de estos 10% están defectuosos. Se extraen siete componentes de la población. Sea X el numero de componentes defectuoso en la muestra. ¿Cuál es la distribución de X? Solucion: Su numero de éxitos representa una distribución binomial. Por tanto, se modela X con la distribución binomial Bin(7,0.1).

3. Una compañía industrial hace un descuento en cualquier factura que se pague en un lapso de 30 días. De todas las facturas, 10% recibió el descuento. En una auditoria de la compañía se selecciono aleatoriamente 12 facturas. ¿ Cual es la probabilidad de que menos de cuatro de las 12 facturas de la muestra tengan descuento? Solución: Entonces X – Bin (12,0.1). La probabilidad de que menos de cuatro facturas tengan descuento es p(X≤3). Se encuentra que P(X≤3)= 0.974

Problemas BinomialUn agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan. Solucion:

Las cinco personas

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3 P(X=5)=(5/5)(2/3)^5 = 0.132

Al menos tres personas

P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= (5/3)(2/3)^3(1/3)^2+(5/4)(2/3)^4(1/3)+(5/5)(2/3)^5= 0.791

Exactamente dos personas

P(X=2)= (5/2)(2/3)^2(1/3)^3= 0.164

Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5

P(X=2)= (10/2)(1/5)^2(4/5)^8= 0.3020

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = ¾

P(X=3)= (10/3)(1/4)^3(3/4)^7= 0.25

P(al menos uno)= 1-(10/0)(1/4)^0(3/4)^10= 0.9437

Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)= (4/3) 0.5 * 0.5+(4/4)0.5^4= 0.3125

¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?. k es el número de aciertos. En este ejemplo k igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k=6), n es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10, P es la probabilidad de éxito, es decir, que salga cara al lanzar la moneda. Por lo tanto P=0,5. Entonces:

205.05.05.0)!610(!6

!10)6X(P 6106

Distribución Poisson

Definición:

La distribución de poisson donde la probabilidad es discreta, se puede expresar a partir de una frecuencia, ocurre en un determinado numero de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Explicación Breve:

Esta distribución se basa en el numero de eventos que ocurre en cierto tiempo y como lo dice la definición, parte de una frecuencia.

Formula:

Ejemplos Poisson1. Calcule P(X=2), P(X=0), P(X= -1) y P(X=0.5). Solucion: Cuando se usa

la funcion de masa de probabilidad (4,9), con X=3 se obtiene

2. Calcule P(X≤2) y P(X›1). Solucion: P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+(P(X=2)

=e-4

= 0.0183+0.0733+0.1465

= 0.2381

Problemas Poisson La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez

que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.

Luego:

P (x = 3) = 0,0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%

La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?

Luego:

P (x = 5) = 4,602

Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recién nacidos es del 4,6%.

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

Lambda = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

Distribución Exponencial

Definición:

Distribución continua, a veces utilizamos el tiempo que transcurre antes de un evento a eso se le llama tiempo de espera.

Explicación breve:

La distribucion exponencial se basa conforme al tiempo que se le da a cada problema

Formula:

Problemas Exponencial Un componente eléctrico tiene una vida media de 8 años. Si su vida útil se distribuye en forma

exponencial.

a)Cuál debe ser el tiempo de garantía que se debe otorgar, si se desea reemplazar a lo más el 15 % de los componentes que fallen dentro de este periodo? Solucion:

Primeramente vamos a definir a la variable con la distribucion exponencial X

X: Tiempo de vida del componente electrico

Sea el T el tiempo de garantia del componente electrico es necesario que:

P(X<T)= 0.15

Si ademas tomamos en cuenta que B=8. Tendremos: 0.15= P(X<T)= 1-e^t/8. Probabilidad de que el componente electrico dure menos que el tiempo de garantia. Despues despejamos la exponencial

e^t/8= 0.85. -T/8=In(0.85) Finalmente: T=-8In(0.85)= 1.3 años

El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días.

a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 días?.

b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidad hay que trabaja más de 200 días más?

c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días.

Solución

Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo promedio de falla es de 360 días. Entonces, X ~Exp (ß=1/360) y su función de densidad es:

Suponga que la vida de cierto tipo de tubos electrónicos tiene una distribución exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida del tubo (tiempo q dura el tubo).

a) Hallar la probabilidad que se queme antes de las 300 horas.

b) ¿Cuál es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas?

c) Si un tubo particular ha durado 300 horas. ¿cúal es la probabilidad de que dure otras 400 horas?

Solución:

Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene un distribución exponencial con una media de 40 segundos.

a) Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que 20 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un cliente esté comprendido entre 1 y 2 minutos.

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