DISTRIBUCION EXPONENCIAL La distribución exponencial es una distribución continua que algunas veces se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento. A menudo, a aquél se le llama tiempo de espera. En algunas ocasiones la distribución exponencial se utiliza para modelar el tiempo de vida de un componente. Asimismo, hay una relación cercana entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial tiene un parámetro, que representa una constante positiva λ cuyo valor determina la localización y forma de la función. La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial con parámetro λ > 0 es:

la función de distribución acumulativa de X es:

media y varianza:

EJEMPLOS 1. El tiempo de vida de un circuito integrado particular tiene una distribución exponencial con media de dos años. Encuentre la probabilidad de que el circuito dure más de tres años. La distribución exponencial tiene una propiedad conocida como falta de memoria. La probabilidad de que se tenga que esperar t unidades adicionales, dado que ya se han esperado s unidades, es la misma que la probabilidad de que se tenga esperar t unidades desde el inicio. La distribución exponencial no “recuerda” cuánto tiempo se ha esperado. En particular, si el tiempo de vida de un componente sigue una distribución exponencial,

4.7 La distribución exponencial

La distribución exponencial es una distribución continua que algunas veces se utiliza paramodelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento. A menudo, a aquél se le lla-ma tiempo de espera. En algunas ocasiones la distribución exponencial se utiliza para mo-delar el tiempo de vida de un componente. Asimismo, hay una relación cercana entre ladistribución exponencial y la distribución de Poisson.

La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial tiene un paráme-tro, que representa una constante positiva λ cuyo valor determina la localización y forma dela función.

La figura 4.17 presenta la función de densidad de probabilidad de la distribución exponencialpara varios valores de λ. Si X es una variable aleatoria cuya distribución es exponencial conparámetro λ, se expresa como X ! Exp(λ).

FIGURA 4.17 Gráficas de la función de densidad de probabilidad exponencial para varios valores de λ.

Es fácil calcular la función de distribución acumulativa de la distribución exponencial.Para x ! 0, F(x) " P(X ! x) " 0. Para x # 0, la función de distribución acumulativa es

F(x) = P(X ≤ x) =! x

0λe−λt dt = 1 − e−λx

250 CAPÍTULO 4 Distribuciones comúnmente usadas

Definición

La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial con parámetroλ # 0 es

(4.31)f (x) ="

λe−λx x > 00 x ≤ 0

4

3

2

1

00 0.5 1 1.5 2 2.5 3

λ = 4

λ = 2

λ = 1

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4.7 La distribución exponencial 251

La media y la varianza de una variable aleatoria exponencial se pueden calcular me-diante la integración por partes. Al final de la sección se muestra las deducciones.

Si X ! Exp(2), encuentre mX, s2X y P(X ! 1).

SoluciónSe calcula mX y s2

X a partir de las ecuaciones (4.33) y (4.34), sustituyendo λ " 2. Se obtienemX " 0.5, s2

X " 0.25. Utilizando la ecuación (4.32), se tiene que

Con referencia al ejemplo 4.55, determine la mediana de X. Encuentre el 30o. percentil de X.

SoluciónSea m la mediana de X. Entonces P(X ! m) " 0.5. Mediante la ecuación (4.32) se tiene que1 # e#2m " 0.5. Al despejar m, se obtiene que m " 0.3466.

Sea p30 el 30o. percentil. Entonces P(X ! p30) " 0.30. Utilizando la ecuación (4.32), setiene que 1 # e#2p30 " 0.30. Al despejar p30 se obtiene que p30 " 0.1783.

La distribución exponencial y el proceso de PoissonSe mencionó que algunas veces se utiliza la distribución exponencial para modelar el tiempode espera de un evento. Resulta que la distribución exponencial es el modelo correcto para lostiempos de espera siempre y cuando los eventos sigan un proceso de Poisson. Recuerde de lasección 4.3 que los eventos que siguen un proceso Poisson con un parámetro de razón λ cuan-do los números de eventos en intervalos disjuntos son independientes, y el número X de even-tos que ocurre en un intervalo con una longitud t tiene una distribución de Poisson con media

P(X ≤ 1) = 1 − e−2(1) = 0.865

Resumen

Si X ! Exp(λ), la función de distribución acumulativa de X es

(4.32)F(x) = P(X ≤ x) =!

1 − e−λx x > 00 x ≤ 0

Si X ! Exp(λ), entonces

(4.33)

(4.34)σ 2X = 1

λ2

µX = 1λ

4.55Ejemplo

4.56Ejemplo

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4.7 La distribución exponencial 251

La media y la varianza de una variable aleatoria exponencial se pueden calcular me-diante la integración por partes. Al final de la sección se muestra las deducciones.

Si X ! Exp(2), encuentre mX, s2X y P(X ! 1).

SoluciónSe calcula mX y s2

X a partir de las ecuaciones (4.33) y (4.34), sustituyendo λ " 2. Se obtienemX " 0.5, s2

X " 0.25. Utilizando la ecuación (4.32), se tiene que

Con referencia al ejemplo 4.55, determine la mediana de X. Encuentre el 30o. percentil de X.

SoluciónSea m la mediana de X. Entonces P(X ! m) " 0.5. Mediante la ecuación (4.32) se tiene que1 # e#2m " 0.5. Al despejar m, se obtiene que m " 0.3466.

Sea p30 el 30o. percentil. Entonces P(X ! p30) " 0.30. Utilizando la ecuación (4.32), setiene que 1 # e#2p30 " 0.30. Al despejar p30 se obtiene que p30 " 0.1783.

La distribución exponencial y el proceso de PoissonSe mencionó que algunas veces se utiliza la distribución exponencial para modelar el tiempode espera de un evento. Resulta que la distribución exponencial es el modelo correcto para lostiempos de espera siempre y cuando los eventos sigan un proceso de Poisson. Recuerde de lasección 4.3 que los eventos que siguen un proceso Poisson con un parámetro de razón λ cuan-do los números de eventos en intervalos disjuntos son independientes, y el número X de even-tos que ocurre en un intervalo con una longitud t tiene una distribución de Poisson con media

P(X ≤ 1) = 1 − e−2(1) = 0.865

Resumen

Si X ! Exp(λ), la función de distribución acumulativa de X es

(4.32)F(x) = P(X ≤ x) =!

1 − e−λx x > 00 x ≤ 0

Si X ! Exp(λ), entonces

(4.33)

(4.34)σ 2X = 1

λ2

µX = 1λ

4.55Ejemplo

4.56Ejemplo

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entonces la probabilidad de que un componente que tiene s unidades de tiempo dure t unidades de tiempo adicionales es la misma que la probabilidad de que un componente nuevo dure t unidades de tiempo. En otras palabras, un componente cuyo tiempo de vida siga una distribución exponencial no muestra ningún síntoma de los años o del uso.

2. Una investigadora de catalizadores afirma que los diámetros, en micrones, de los poros de un nuevo producto que ella ha fabricado sigue una distribución exponencial con parámetro λ = 0.25.

a) ¿Cuál es la media del diámetro de los poros? � b) ¿Cuál es la desviación estándar de los diámetros de los �poros? � c) ¿Qué proporción de los poros tiene un diámetro menor a tres micrones? � d) ¿Qué proporción de los poros tiene un diámetro mayor a 11 micrones? � e) ¿Cuál es la mediana del diámetro de los poros? � f) ¿Cuál es el tercer cuartil de los diámetros de los poros? � g) ¿Cuál es el 99o. percentile de los diámetros de los poros? �

3. La longitud de tiempo para que un individuo sea atendido en una cafetería es

una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en, al menos, 4 de los siguientes 6 días?