Distribucin de PoissonDistribucin de Poisson

El eje horizontal es el ndicek. La funcin solamente est definida en valores enteros dek. Las lneas que conectan los puntos son solo guas para el ojo y no indican continuidad.Funcin de probabilidad

El eje horizontal es el ndicek.Funcin de distribucin de probabilidad

Parmetros

Dominio

Funcin de probabilidad(fp)

Funcin de distribucin(cdf)(dndees laFuncin gamma incompleta)

Media

Mediana

Moda

Varianza

Coeficiente de simetra

Curtosis

Entropa

Funcin generadora de momentos(mgf)

Funcin caracterstica

Enteora de probabilidadyestadstica, ladistribucin de Poissones unadistribucin de probabilidaddiscretaque expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto periodo de tiempo.Fue descubierta porSimon-Denis Poisson, que la dio a conocer en1838en su trabajoRecherches sur la probabilit des jugements en matires criminelles et matire civile(Investigacin sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).ndice[ocultar] 1Propiedades 2Intervalo de confianza 3Relacin con otras distribuciones 3.1Sumas de variables aleatorias de Poisson 3.2Distribucin binomial 3.3Aproximacin normal 3.4Distribucin exponencial 4Ejemplos 5Procesos de Poisson 6Enlaces externos 7References 8Vase tambin

[editar]PropiedadesLa funcin de masa de la distribucin de Poisson es

donde kes el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcin nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamentekveces). es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se espera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurrakveces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribucin de Poisson con = 104 = 40. ees la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)Tanto elvalor esperadocomo lavarianzade una variable aleatoria con distribucin de Poisson son iguales a . Losmomentosde orden superior sonpolinomios de Toucharden cuyos coeficientes tienen una interpretacincombinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribucin de Poisson es 1, entonces segn lafrmula de Dobinski, eln-simo momento iguala al nmero departicionesde tamaon.Lamodade una variable aleatoria de distribucin de Poisson con un no entero es igual a, el mayor de los enteros menores que (los smbolosrepresentan lafuncin parte entera). Cuando es un entero positivo, las modas son y 1.Lafuncin generadora de momentosde la distribucin de Poisson con valor esperado es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de serinfinitamente divisibles.Ladivergencia Kullback-Leiblerdesde una variable aleatoria de Poisson de parmetro 0a otra de parmetro es

[editar]Intervalo de confianzaUn criterio fcil y rpido para calcular un intervalo de confianza aproximada de es propuesto por Guerriero (2012).1Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los lmites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:

entonces los lmites del parmetroestn dadas por:.[editar]Relacin con otras distribuciones[editar]Sumas de variables aleatorias de PoissonLa suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parmetro es la suma de los parmetros de las originales. Dicho de otra manera, si

sonNvariables aleatorias de Poissonindependientes, entonces.[editar]Distribucin binomialLa distribucin de Poisson es el caso lmite de ladistribucin binomial. De hecho, si los parmetrosnyde una distribucin binomial tienden a infinito y a cero de manera quese mantenga constante, la distribucin lmite obtenida es de Poisson.[editar]Aproximacin normalComo consecuencia delteorema central del lmite, para valores grandes de, una variable aleatoria de PoissonXpuede aproximarse por otranormaldado que el cociente

converge a una distribucin normal de media nula y varianza 1.[editar]Distribucin exponencialSupngase que para cada valort> 0, que representa el tiempo, el nmero de sucesos de cierto fenmeno aleatorio sigue una distribucin de Poisson de parmetro t. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue ladistribucin exponencial.[editar]EjemplosSi el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernacin defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribucin de Poisson. En este caso concreto,kes 5 y, , el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es

Este problema tambin podra resolverse recurriendo a unadistribucin binomialde parmetros k = 5, n = 400 y=0,02.

2.9 Distribucin dePoisson

Esta distribucin debe su nombre al matemtico francs SimnPoisson(1781-1840), quien estableci su modelo.Existen fenmenos o experimentos en los que los eventos ocurren en intervalos continuos de tiempo o espacio (reas y volmenes), donde slo importa la ocurrencia del fenmeno, ya que la no ocurrencia no tiene sentido. Por ejemplo, si en cierta regin ocurren en promedio 2 terremotos por ao, la variable aleatoria ser el nmero de terremotos por ao y es claro que no tiene sentido hablar del nmero de no terremotos por ao. Lo mismo sucede para otros fenmenos, como el nmero de errores en una pgina, derrumbes anuales en una regin montaosa, accidentes de trfico diarios en cierto crucero, personas atendidas en un banco en un perodo de 10 minutos, partculas de polvo en cierto volumen de aire, nacimientos de nios en un periodo de tiempo, rayos que caen en una tormenta, llamadas que llegan a un conmutados telefnico en un minuto, insectos por planta en un cultivo, etc. Tambin es de importancia mencionar que cada ocurrencia puede considerarse como un evento en un intervalo de tiempo determinado.Si consideramos que:1.La esperanza de ocurrencia de un evento en un intervalo es la misma que la esperanza de ocurrencia del evento en otro intervalo cualesquiera, sin importar donde empiece el intervalo2.Que las ocurrencias de los eventos son independientes, sin importar donde ocurran3.Que la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo depende de la longitud del intervalo4.Que las condiciones del experimento no varan, y5.Que nos interesa analizar el nmero promedio de ocurrencias en el intervaloentoncesse puede afirmar, que la variable aleatoria mencionada en los fenmenos descritos es una variable dePoisson.Caractersticas de la Distribucin dePoissonUn modelo de probabilidad dePoissontiene las siguientes caractersticas:1.El espaciomuestralse genera por un nmero muy grande (puede considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo de probabilidad es el deBernoulli, con probabilidad de xito muy pequea. Por esta razn, a la distribucin dePoissonsuele llamrselede eventos raros. Las repeticiones del experimento deBernoullise realizan en cada uno de los puntos de un intervalo de tiempo o espacio.2.El nmero de xitos en el intervalolies ajeno al nmero de xitos en el intervalolk,por lo quelilk=3.La probabilidad de que se tengan dos o ms xitos en el mismo punto del intervalo es cero.4.El nmero promedio de xitos en un intervalo es unaconstante, que no cambia de intervalo a intervalo.Para aclarar el significado de estos 4 postulados, se presenta el siguiente ejemplo.Ejemplo 5. 16.Anteriormente se mencion el nmero de accidentes diarios en un cruce de calles como un caso de fenmeno en el que los eventos ocurren en intervalos continuos de tiempo, donde slo importa la ocurrencia del fenmeno, y de acuerdo a sus caractersticas puede decirse que la variable aleatoria del nmero de accidentes diarios puede representarse por un modelo dePoisson. En seguida analizamos lo razonable de los 4 postulados anteriores en esta situacin:1.Si consideramos un lapso, tan pequeo como se quiera, pero que para propsitos prcticos puede ser un segundo y tomamos como xito que ocurra un accidente en ese lapso, tenemos que en el intervalo de tiempo de un da hay 86,400 segundos, o sean 86,400 repeticiones de un experimento deBernoulli. Es obvio que la probabilidad de xito en cada repeticin es muy pequea.2.Aqu, cada intervalolipuede ser un da, por lo que es lgico suponer que el nmero de accidentes en un da es independiente del nmero de accidentes en otro da cualquiera, lo cual no ocurre, por ejemplo, con el nmero de personas que adoptan una moda en un da determinado, ya que una moda tiene una etapa creciente, un apogeo y una etapa decreciente. En estas ltimas condiciones, se dice que existecontagioy el modelo de probabilidad no puede suponer independencia entre los intervalos. En el caso del modelo dePoissonse dice que no existecontagio.3.Puesto que una repeticin del experimento deBernoulliocurre cada segundo, es razonable suponer que no pueden ocurrir dos accidentes en el mismo segundo.4.Mientras las condiciones de vialidad no cambien en el crucero de calles, es aceptable el supuesto de que el nmero promedio de accidentes por da, al que representaremospor,permanece constante.Funcin de ProbabilidadLa deduccin de la funcin de probabilidad de una variable aleatoria cuyo modelo de probabilidad es dePoissonqueda fuera del alcance de este curso, por lo que enseguida se presenta una definicin de esta funcin.Una variable aleatoria X tiene una distribucin dePoisson, si su funcin de probabilidades est dada por:

dondeees la base de los logaritmos naturales yel promedio de la distribucin, la cual debe ser mayor que cero.Ntese que una vez especificado el promediopuede calcularse cualquier probabilidad, pero para cada valor dese tiene una funcin de probabilidades distinta.Ejemplo 5. 17.Un entomlogo examina una planta de algodn y cuenta el nmero dehuevecillosde un insecto por planta. De estudios anteriores se sabe que bajo las condiciones del experimento el nmero dehuevecillospor planta puede representarse por una distribucin dePoissoncon= 0.9. Si se selecciona una planta al azar, calcular la probabilidad de que se encuentren cuando mucho 3huevecillos.Solucin.Las probabilidades de que el entomlogo encuentre 0, 1, 2, 3,huevecillospor planta son:

Con los clculos anteriores podemos ver que:

Funcin de Distribucin AcumuladaSiXes una variable aleatoria que tiene distribucin dePossoncon parmetro, entonces:La funcin de distribucin acumulada correspondiente es:

En muchos casos el clculo de probabilidades de variables aleatorias que se apegan a una distribucin dePoissones largo y tedioso. En donde sea posible, al igual que en la distribucinBinomial, se puede hacer uso de las tablas que vienen en el apndice, las cuales se basan en la funcin de distribucin acumulada y tan slo hay que aplicar las propiedades ya vistas para esta funcin para simplificar los clculos.Para efectos de representacin y un mayor control de los datos que intervienen en la tabla, haremos queEjemplo 5. 18.Resolver el problema 5.17.utilizandolas tablas que representan la funcin de distribucin acumulada.Solucin.Para determinar la probabilidad, localizamos la fila correspondiente ax= 3 y luego buscamos la interseccin con la columna= 0.9 y leemos que:P(X3) = F(0.9, 3) = 0.9865Ejemplo 5. 19.SeaXuna variable aleatoria que tiene distribucin dePoissoncon promedio 2 (=2). Calcular:a)P(x= 4)b)P(x4)c)P(x