Distribucin de Poisson

Fue descubierta por Simon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilit des jugements en matires criminelles et matire civile (Investigacin sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

La distribucin fue posteriormente e independientemente descubierta por von Bortkiewicz, Rutherford, y Gosset. Fue von Bortkiewicz quien la llamo La Ley de los Pequeos numeros.

Origen

Suponga que usted normalmente recibe 4 piezas de correo por da. Esto se convierte en su expectativa, sin embargo siempre va existir cierta variacin, a veces recibir ms, a

veces menos, y algunas veces puede que no reciba ninguna pieza.

Dada nicamente la taza promedio, para un cierto periodo de observaciones (piezas de corre recibidas durante el da, llamadas telefnicas por hora, etc..) y asumiendo que el proceso, o el conjunto de procesos, que producen el flujo de eventos es esencialmente

aleatorio.

La Distribucin de Poisson nos dice que tan probable es que se pueda obtener 3, 5 o 11 o cualquier otro numero durante un periodo de observacin.

Es decir, nos ayuda a predecir el grado de propagacin alrededor de una taza promedio de ocurrencias conocida (El promedio de resultado mas probable de ocurrencias es el pico de cada una de las curvas de Poisson) Para valores pequeos de p, la Distribucin

de Poisson puede simular a la Distribucin Binomial.

Descripcin

Los experimentos que resultan en valores numricos de una variable aleatoria X, misma que representa el nmero de resultados durante un intervalo de tiempo dado o en una regin especifica, frecuentemente se llaman experimentos de Poisson.

El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duracin por ejemplo 1 minuto, una semana 1 mes o inclusive 1 ao.

Experimentos de Poisson

Numero de llamadas telefnicas por hora que se reciben en una oficina.

Numero de das en que la escuela se cierra durante el invierno debido a la nieve.

Numero de juegos pospuestos debido a la lluvia durante la temporada de bisbol.

La regin especificada podra ser un segmento de una lnea, una rea o un volumen o tal vez el numero de ratas de campo por acre, el numero de bacterias en un determinado cultivo, etc.

Ejemplos de Experimentos de Poisson

La Distribucin de Poisson es una distribucin de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto periodo de tiempo, esta dada por:

Distribucin de Probabilidad

Curvas de Poisson

Caractersticas de la Distribucin de Poisson

Calculo en Excel

Ejemplos

1. Desintegraciones radiactivas

Se sabe que una fuente radiactiva emite partculas alfa a un ritmo de 1.5 por minuto. Si medimos el nmero de partculas alfa emitidas en dos minutos Cul es el resultado promedio esperado?Cul es la probabilidad de observar x = 0,1,2,3,4 ? y la probabilidad de que x 5 ?

Desintegraciones radiactivas

Sucesos observados

X

0 1 2 3 4

Probabilidad %

5% 15% 22% 22% 17%

Prob(x 5) = 100%-(5+15+22+22+17)% = 19%

Desintegraciones radiactivas.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0 1 2 3 4

=3

2. Granja de gallinas.

En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo al da. Si se recogen los huevos cada hora Cul es el nmero medio de huevos que se recogen en cada visita? Con qu probabilidad encontraremos x huevos para x = 0,1,2,3? y la probabilidad de que x 4 ?

Granja de gallinas.

Sucesos observados

X

0 1 2 3 x 4

Probabilidad %

47.2% 35.4% 13.3% 3.3% 0.8%

Prob(x 5) = 100%-(47.2+35.4+13.3+3.3+.6)% = 0.2%

Granja de gallinas.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

0 1 2 3 4

=0.75

Ejemplo 3

A la oficina de reservaciones de una aerolnea regional llegan 48 llamadas en una hora. 1. Calcule la probabilidad de recibir cinco llamadas en un lapso de 5 minutos 2. Estime la probabilidad de recibir exactamente 10 llamadas en un lapso de 15

minutos 3. Suponga que no hay ninguna llamada en espera. Si el agente de viajes

necesitara 5 minutos para la llamada que est atendiendo, Cuntas llamadas habr en espera para cuando el termine?Cual es la probabilidad de que no haya ninguna llamada en espera?

4. Si en este momento no hay ninguna llamada Cul es la probabilidad de que el agente de viajes pueda tomar 3 minutos de descanso sin ser interrumpido por una llamada?

Resolucin Inciso 1.

Calcular la media

= 485

60= 4 llamadas cada 5 minutos

Calcular Poisson

=

!

5 =454

5! 5 =

10244

120 = 0.1562

Resolucin Inciso 2.

Calcular la media

= 4815

60= 12 llamadas cada 15 minutos

Calcular Poisson

=

!

10 =121012

10! 10 = 0.1048

Resolucin Inciso 3.

Calcular las llamadas en espera

= 485

60= 4 Despus de 5 minutos habr cuatro llamadas en

espera Calcular Poisson

=

!

0 =404

0! 0 = 0.0183

0.0183 es la probabilidad de que no haya ninguna llamada en

espera

Resolucin Inciso 4.

Calcular la media

= 483

60= 2.4

Calcular Poisson

=

!

0 =2.402.4

0! 0 = 0.0907

0.0907 es la probabilidad de que no haya ninguna

interrupcin en tres minutos

En Estados Unidos, cada ao, ms de 50 millones de huspedes se alojan en un Bread and breakfast(B&B). El sitio Web dedicado a los alojamientos tipo Bread and Breakfast en Estados Unidos(www.bestinns.net), que tiene un promedio aproximado de siete visitantes por minuto, permite a muchos B&B obtener huspedes (Time, septiembre de 2001). 1. Calcule la probabilidad de que no haya ningn visitante al sitio Web

en un lapso de un minuto. 2. De que haya dos o ms visitantes al sitio Web en un lapso de un

minuto. 3. De que haya uno o ms visitantes al sitio Web en un lapso de 30

segundos.

Ejemplo 4

Resolucin Inciso 1.

Calcular las llamadas en espera

= 7 Visitantes por minuto

Calcular Poisson

=

!

0 =707

0! 0 = 0.0009

0.0009 es la probabilidad de ningn visitante en el lapso de un minuto.

Resolucin Inciso 2. Calcular las llamadas en espera = 7 Visitantes por minuto Calcular Poisson

=

!

0 =707

0! 0 = 0.0009

1 =717

1! 0 = 0.0064

Calcular el complemento F(2)= 1 { f(0)+f(1) } = 1 (0.0009 + 0.0064) = 0.9927 0.9927 es la probabilidad de que haya dos o mas visitantes en el sitio.

Resolucin Inciso 3.

Calcular la media

=7

2= 3.5

Calcular Poisson

=

!

0 =3.503.5

0! 0 = 0.0302

F(1)= 1 { f(0)} = 1 (0.0302) = 0.9698

0.9698 es la probabilidad de que haya uno o mas de visitantes en el

sitio.