Diseño de filtros IIR - uncor.edu

de 27

FCEFyN Universidad Nacional de Cordoba

Diseño de filtros IIR

Procesamiento Digital de Señales – FCEFyN – UNC Diseño de filtros IIR

CAPÍTULO IX Introducción

Existen dos métodos generales para el diseño de filtros digital de respuesta al impulso infinita. El más

común consiste en diseñar un filtro analógico IIR para luego mapearlo a su equivalente digital.

El segundo método emplea un procedimiento de diseño algorítmico, que por lo general requiere del

uso de computadoras para resolver un conjunto de ecuaciones lineales y no lineales. Este método es

utilizado para resolver filtros con respuesta en frecuencia arbitraria, no caracterizados por las respuestas

en frecuencia de filtros analógicos existentes.

1 Prototipos de filtros analógicos pasabajos

La mejor aproximación consiste en desarrollar el diseño de un filtro analógico cuya ganancia sea menor

a la unidad.

( ) 11 ≤Ω≤− jHapδ Ec. 1

a. Especificaciones en términos de pδ y sδ b. Especificaciones en términos de pΩ y sΩ

Figura 1. Diferentes convenciones para especificar los requerimientos de los filtros (Monson Hayes, 1999)

Existen diversos factores de interés:

Factor de discriminación ( ) 2/1

2

2

111

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−= −

s

pdδδ

Ec. 2

de 27




Desarrollando:

2/1

2

2

2/1

2

2

2

112

1121

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+−=

s

pp

s

s

ppd

δ

δδ

δδδδ

Así:

12 −=

Ad ε

Ec. 3

Otro factor de interés es:

Factor de selectividad s

pkΩ

Ω= Ec. 4

Los filtros analógicos más utilizados son: Butterworth, Chebyshev y elíptico.

1.1 Filtro Butterworth

Un filtro pasabajo de Butterworth está conformado principalmente por polos:

( ) N

c

a

jj

jH 22

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩ

+

=Ω Ec. 5

Siendo N el orden del filtro que es igual al número de polos de la función de transferencia. cΩ es la

frecuencia de corte a ‐3dB.

La respuesta en frecuencia del módulo también puede ser escrita como:

( ) N

p

a

jj

jH 22

2

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΩΩ

+

=Ω

ε

Ec. 6

Donde:

N

c

p⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩ

=ε Ec. 7

de 27




La respuesta en frecuencia de un filtro de Butterworth decrece monotónicamente cuando aumenta Ω y

cuando el orden del filtro se incremente la banda de transición se estrecha.

( ) ( ) ( )Ω=

−=Ωjsaaa sHsHjH .2 Ec. 8

De igual manera, se puede escribir:

( ) ( ) ( ) ( ) N

c

asaa

js

sHsHjHsG 22

1

1.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−

=−=Ω= Ec. 9

Figura 2. La magnitud de la respuesta en frecuencia en Función de la cantidad de polos (Monson Hayes, 1999)

Por lo tanto, ( )sGa tendrá 2N polos ubicados a igual distancia sobre el círculo de radio cΩ :

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++

Ω=Ω−=N

kNjjjs ccN

k 221exp.1 2/1 π

k = 0, 1, …, 2N‐1 Ec. 10

Estos polos son simétricos respecto al eje Ωj :

de 27




Figura 3. Polos para un filtro de orden 6 (izquierda) y orden 7 (derecha)

(Monson Hayes, 1999)

La función ( )sHa está formada entonces por las N raíces de ( ) ( )sHsH aa −. ubicadas en el semiplano

izquierdo del plano s. Para un filtro Butterworth normalizado con 1=Ωc la función toma la siguiente

forma:

( ) ( ) NNNNN

Na asasasassA

sH+++++

==−

−− ......11

12

21

1

Ec. 11

La

Tabla 1 muestra los coeficientes de ( )sAN para 81 ≤≤ N . Como se puede observar, los coeficientes

tienen simetría.

Tabla 1. Coeficientes de ( )sAN para 81 ≤≤ N (Monson Hayes, 1999)

de 27




1.2.1 Proceso de diseño de un filtro de Butterworth pasabajo

Dado pΩ , sΩ , pδ y sδ , los pasos involucrados en el diseño son los siguientes:

1. Encontrar los valores del factor de selectividad k y el factor de discriminación d.

2. Determinar el orden del filtro requerido para cumplir las especificaciones usando la fórmula:

( )( )kdN

loglog

≥ Ec. 12

3. Colocar la frecuencia de corte de ‐3dB, cΩ , en cualquier valor dentro del rango:

( )[ ] [ ] Nssc

Npp

2/122/12 111−−−− −Ω≤Ω≤−−Ω δδ Ec. 13

4. Sintetizar la función de transferencia de Butterworth con la siguiente función:

( ) ( ) ( ) N

c

aaa

js

sHsHsG 2

1

1.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+

=−= Ec. 14

que recae en el semiplano izquierdo de s. Por lo tanto:

( ) ∏−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=1

0

N

k k

ka ss

ssH Ec. 15

donde:

( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++

Ω=N

kNjs ck 221exp. π

k = 0, 1, 2, …, N‐1 Ec. 16

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1.2.2 Ejemplo de diseño de un filtro de Butterworth

Diseñar un filtro pasabajo que cumpla con los siguientes requisitos:

KHzfp 6= KHzfs 10= 1,0== sp δδ

1. Se determinan los factores de selectividad y discriminación:

( ) ( )⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−= −−

2/1

2

22/1

2

2

11,011,01

111

s

pdδδ

0487,0=d

⇒==ΩΩ

=KHzKHz

ff

ks

p

s

p

106 6,0=k

2. Se determina el orden del filtro:

( )( )

( )( ) 92,5

6,0log0487,0log

loglog

==≥kdN

Redondeando:

6=N

3. Luego, los límites donde se encontrará la frecuencia de corte serán:

( )[ ] ( )[ ] HzKHzffN

pp 677011,01.6116.2/122/12

inf =−−=−−−−−−

= δ

[ ] HzKHzf 681911,0.66.2/12

sup =−=−−

Por lo tanto:

supinf fff c ≤≤

HzfHz c 68196770 ≤≤

de 27




La función de transferencia del filtro Butterworth queda definida construyendo un polinomio

normalizado de orden 6 de la siguiente forma:

( )1.8637,3.4641,7.1416,9.4641,7.8637,3

123456 ++++++

=ssssss

sHa

Luego hay que reemplazar s por cs Ω/ para 1≠Ωc . Como:

HzfHz c 68196770 ≤≤

se toma el valor medio de la ventana:

⇒= Hzfc 6790 Hzfcc 6790.2.2 ππ ==Ω

Finalmente, la función de transferencia será:

( )1.8637,3.4641,7.1416,9.4641,7.8637,31

12

23

34

45

56

6 +Ω

+Ω

+Ω

+Ω

+Ω

+Ω

=ssssss

sH

cccccc

a

1.3 Filtros de Chebyshev

Los filtros de Chebyshev están definidos en términos de los polinomios de Chebyshev:

( )( )( )( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

−

−

1cosh.cosh

1cos.cos1

1

x xN

x xNxTN Ec. 17

Estos polinomios pueden ser generados recursivamente de la siguiente manera:

de 27




( ) ( ) ( ) 1k xTxxTxT kkk ≥−= −+ 11 2 Ec. 18

Con ( ) 10 =xT y ( ) xxT =1 . Los polinomios de Chebyshev tienen propiedades distintivas. Las mismas se

listan a continuación.

1. Para 1≤x los polinomios están limitados a 1 en magnitud, ( ) 1≤xTN y oscila entre 1± . Para

1>x , el polinomio se incrementa monotónicamente con el valor de x.

2. ( ) 11 =NT para todo N.

3. ( ) 10 ±=NT para N par y ( ) 00 =NT para N impar.

4. Todas las raíces de ( )xTN están en el intervalo 11 ≤≤− x .

Hay dos tipos de filtros de Chebyshev. Un filtro tipo I compuesto solamente por polos, con una banda

pasante equiripple y un decrecimiento monotónico en la banda de rechazo.

La magnitud de la respuesta en frecuencia es:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΩΩ

+

=Ω

pN

a

T

jH2

2

.1

1

ε

Ec. 19

Donde N es el orden del filtro, pΩ es la frecuencia de corte de la banda de paso y ε es el parámetro

que controla la amplitud del ripple en la banda de paso. Debido a que ( )pNT ΩΩ /2 varía entre 0 y 1 para

pΩ<Ω , ( ) 2ΩjHa oscila entre 1 y ( )21/1 ε+ .

A medida que el orden del filtro se incrementa, el número de oscilaciones del ripple en la banda de paso

se incrementa y la transición entre la banda de paso y la de rechazo se hace más angosta.

de 27




Figura 4. Respuesta de un filtro de Chebyshev tipo I de orden N = 5 (izquierda)

y orden N = 6 (derecha) (Monson Hayes, 1999)

La función de un filtro Chebyshev tipo I tiene la siguiente forma:

( ) ( )∏−

= −−

=1

0

.0N

k k

kaa ss

sHsH Ec. 20

donde:

( ) ( ) 2/1210−

−= εsH si N es par Ec. 21

( ) 10 =aH si N es impar

1.3.1 Proceso de diseño de un filtro de Chebyshev pasabajo

Dado pΩ , sΩ , pδ y sδ o ε y A, los pasos involucrados en el diseño son los siguientes:

1. Encontrar los valores de los factores de discriminación k y selectividad d:

s

pkΩ

Ω=

( )11

112

2/1

2

2

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−=

−A

ds

p εδ

δ Ec. 22

2. Determinar el orden del filtro usando la siguiente ecuación:

de 27




( )( )k

dN/1cosh/1cosh

1

1

−

−

≥ Ec. 23

3. De la función racional:

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ω+

=−=

pN

aaa

jsT

sHsHsG221

1.ε

Ec. 24

donde ( )[ ] 2/12 11 −−= pδε , se construye la función del filtro ( )sHa tomando los N polos de ( )sGa que

caen en el semiplano izquierdo de s.

1.3.2 Ejemplo de diseño de un filtro de Chebyshev

Se diseñará un fiiltro pasabajo de Chebyshev tipo I que cumpla con las siguientes especificaciones:

KHzfp 6= KHzfs 10= 1,0== sp δδ

1. Se calculan los factores de discriminación y selectividad:

6,0106

===Ω

Ω=

KHzKHz

ff

ks

p

s

p ( ) 0487,0

11,011,01

2/1

2

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

=−

d

2. El orden del filtro para cumplir con los requerimientos será:

( )( )

( )( ) 38,3

6,0/1cosh0487,0/1cosh

/1cosh/1cosh

1

1

1

1

==≥−

−

−

−

kdN

Redondeando:

4=N

de 27




3. Se calcula ε :

( )[ ] ( )[ ] 4843,011,01112/122/12 =−−=−−= −−

pδε

Y:

( ) xxxT 4.4 34 −=

Entonces:

( ) 222

2

17527,31

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΩΩ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΩΩ

+

=Ω

pp

a jH

donde:

Hzp 6000.2π=Ω

1.4 Filtro de Chebyshev tipo II

A diferencia del tipo I, el filtro Chebyshev tipo II tiene una banda de paso monotónica y una banda de

rechazo equiripple. La función de transferencia tiene tanto polos como ceros:

( )( )( )

22

2

//

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΩΩ

ΩΩ+

=

spN

psN

a

TT

sH

ε

Ec. 25

donde ε es el parámetro que controla el ripple en la banda de rechazo, pΩ es la frecuencia de paso y

sΩ la frecuencia de rechazo. N es el orden del filtro.

A medida que el orden del filtro se incrementa, la frecuencia del ripple se incrementa y la banda de

transición se hace más angosta.

La función del filtro tipo II tiene la forma:

( ) ∏−

= −−

=1

0

N

k k

k

k

ka as

bsbasH Ec. 26

de 27




Los polos están en:

1-N0,1,2,...,k s

ak

sk =

Ω=

2

Ec. 27

Donde ks son los polos de Chebyshev tipo I. Los ceros kb caen sobre el eje Ωj en ciertas frecuencias tal

que se cumpla ( ) 0/ =ΩΩsNT .

Figura 5. Respuesta de un filtro de Chebyshev tipo II de orden N = 5 (izquierda)

y orden N = 6 (derecha) (Monson Hayes, 1999)

El procedimiento de diseño de un filtro de Chebyshev de tipo II es el mismo que el aplicado para el de

tipo I, exceptuando que:

( ) 2/12 1−

−= sδε Ec. 28

1.5 Filtro elíptico

El filtro elíptico en su función de transferencia posee polos y ceros. La misma está dada por:

( ) ( )pNa U

sHΩΩ+

=/1

122

2

ε Ec. 29

de 27




donde ( )pNU ΩΩ / es la función elíptica jacobiana. Esta es una función racional de orden N con la

siguiente propiedad:

( ) ( )Ω=ΩN

N UU 1/1 Ec. 30

Los filtros elípticos tienen un equiripple en la banda de paso y en la de rechazo. Los ripples son

distribuidos uniformemente a lo largo de ambas bandas.

Figura 6. Equiripple en la banda de paso y de rechazo de un filtro elíptico

(Monson Hayes, 1999)

Estos filtros son óptimos en el sentido de que tienen el ancho de banda de transición más angosto, para

un filtro dado del mismo orden. El diseño de un filtro elíptico es más dificultoso que uno de Butterworth

o uno de Chebyshev ya que su diseño recae en el uso de tablas o series de aproximación.

Sin embargo, el orden del filtro puede ser estimado por la siguiente ecuación:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥

qdN

/1/16log

2

Ec. 31

donde d es el factor de discriminación y q se expresa como:

de 27




130

90

500 150152 qqqqq +++= Ec. 32

Asimismo:

( )( ) 4/12

4/12

011

1121

k

kq−+

−−= Ec. 33

siendo k el factor de selectividad.

1.6 Diseño de filtros IIR desde un filtro analógico

El diseño de un filtro digital desde su prototipo analógico requiriere transformar ( )tha en ( )nha o lo que

es lo mismo, ( )sHa en ( )zHa . El mapeo del plano s en el plano z puede ser escrito como:

( ) ( ) ( )zmsaa sHzH=

= Ec. 34

donde ( )zm es la función de mapeo. Para que la transformación produzca un filtro digital aceptable el

mapeo ( )zm debe cumplir con las siguientes propiedades:

1. Mapeo del eje Ωj al círculo unidad 1=z . Este mapeo debe ser uno a uno sobre el círculo unidad

en función de preservar la característica de respuesta en frecuencia del filtro analógico.

2. Los puntos del semiplano izquierdo deber ser mapeados en puntos dentro del círculo unidad para

preservar la estabilidad de los filtros analógicos.

3. El mapeo ( )zm debe ser una función racional de z para que ( )sHa sea mapeada a una función

racional en z.

Se describen a continuación dos métodos comúnmente utilizados para mapear filtros analógicos en

filtros digitales.

de 27




1.6.1 Invarianza al impulso

Con el método de invarianza al impulso un filtro digital es diseñado por el muestreo de la respuesta al

impulso del filtro analógico:

( ) ( )sa nThnh = Ec. 35

Por el teorema del muestreo, se dice que la respuesta en frecuencia del filtro digital ( )ωjeH se relaciona

con la respuesta en frecuencia del filtro analógico ( )ΩjHa a través de:

( ) ∑∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

k ssa

s

j

Tkj

TjH

TeH πωω 21

Ec. 36

Generalizando, esto puede ser extendido al plano complejo de la siguiente forma:

( ) ∑∞

−∞== ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

k sa

sez T

kjsHT

zH ssT

π21 Ec. 37

El mapeo entre el plano s y el plano z es ilustrado en la siguiente figura:

Se advierte que a pesar de que el eje Ωj es mapeado en el círculo unidad el mapeo no es uno a uno. En

particular cada intervalo de longitud sT/2π a lo largo del eje Ωj es mapeado al círculo unidad y el

contenido del semiplano izquierdo es mapeado al interior de este círculo.

de 27




Figura 7. Mapeo del plano s en el plano z (Monson Hayes, 1999)

Si la respuesta en frecuencia del filtro analógico ( )ΩjHa es suficientemente limitada en banda,

entonces:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

sa

s

j

TjH

TeH ωω 1

Ec. 38

Aunque la invarianza al impulso puede producir un diseño razonable, en algunos casos, esta técnica es

esencialmente aplicada a filtros analógicos de banda limitada.

Se supone el siguiente filtro:

( ) ∑= −

=P

k k

ka ss

AsH1

Ec. 39

La respuesta al impulso ( )tha es:

( ) ( )∑=

=P

k

tska teAth k

1

μ Ec. 40

de 27




Puesto que el filtro digital se genera utilizando la técnica de invarianza al impulso, se tiene lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

===P

k

nTsk

P

k

nTsksa teAteAnThnh sksk

11

μμ Ec. 41

Y la función del sistema:

( ) ∑=

−−=

P

kTsk

zeAzH

sk1

11 Ec. 42

Así que el polo kss = del filtro analógico es mapeado al polo skTsez = en el filtro digital.

Generalizando:

1111

−−→

− zess skTsk

Ec. 43

Por el contrario, los ceros no son mapeados de ninguna manera obvia.

1.6.2 La transformada bilineal

La transformada bilineal es un mapeo entre el plano s y el plano z definido por:

1

1

112

−

−

+−

=zz

Ts

s Ec. 44

Dado un filtro analógico cuyo función de transferencia es ( )sHa su equivalente digital es:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

=−

−

1

1

112

zz

THzH

sa Ec. 45

de 27




La transformada bilineal es una función racional que mapea el semiplano izquierdo s en el interior del

círculo unidad y el eje Ωj en el círculo unidad uno a uno. Sin embargo, la relación entre el eje Ωj y el

círculo unitario es altamente no lineal y está dada por la función de curvatura de frecuencia o

“frequency prewarping”:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ω=2

arctan2 sTω Ec. 46

Como resultado de esta curvatura, la transformada bilineal solamente preserva la respuesta de la

magnitud de los filtros analógicos cuya respuesta en frecuencia es prácticamente constante. Por lo

tanto, la transformada bilineal generalmente es utilizada para filtros selectivos en frecuencia.

El parámetro sT en la transformada bilineal es normalmente incluido por razones históricas. Sin

embargo no entra en el proceso de diseño porque solamente escala el eje Ωj en la función de curvatura

de frecuencia y este escalamiento puede ser hecho en la especificación del filtro analógico. Por lo tanto,

sT puede ser colocado a cualquier valor para simplificar el proceso de diseño.

El procedimiento de diseño con los parámetros pω , sω , pδ y sδ es el siguiente:

1. Aplicar la inversa de la función de curvatura a las frecuencias de corte de la banda de paso y de

rechazo del filtro digital para obtener las frecuencias de paso y de rechazo del filtro analógico. Este

paso se conoce como “pre‐warp”, “precursar” o “pandear” las frecuencias del filtro analógico. Con

2=sT se tiene:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω

2tan ω

o ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω

2tan2 ω

sT Ec. 47

de 27




2. Diseñar el filtro analógico con las frecuencias de corte halladas en el paso 1 y haciendo uso de pδ y

sδ . Cabe aclarar que el filtro analógico se puede diseñar mediante cualquiera de los métodos

anteriormente vistos.

3. Aplicar la transformada bilineal al filtro resultante del paso 2.

1.6.2.1 Ejemplo de diseño de un filtro digital con la transformada bilineal

Se diseñará un filtro de primer orden pasabajo digital con frecuencia de corte a ‐3dB de πω 25,0=c

aplicando la transformada bilineal a un filtro de Butterworth, cuya función de transferencia es:

( )

c

a ssH

Ω+

=1

1 Ec. 48

Se aplica el “pre‐warpping”:

ss

c

sc TTT

828,0225,0tan2

2tan2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=Ωπω

Ec. 49

Entonces:

( )

828,01

1s

a TssH

+= Ec. 50

Aplicando la transformada bilineal:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+

=

+−

+==

−

−

−

−+

−=

−

−

1

1

1

1112

11

828,021

1

828,01121

11

1

zzT

zz

T

sHzHs

s

zz

Tsa

s

Ec. 51

( ) 1

1

4159,0112920,0

−

−

−+

=z

zzH

de 27




Queda demostrado que sT no participa en el diseño.

1.7 Transformaciones en frecuencia

Hay dos métodos que pueden ser usados para diseñar filtros de frecuencia selectivas de otros tipos,

tales como pasaaltos, pasabanda, eliminabanda. El primer método es diseñar un filtro pasabjo analógico

y luego aplicar las transformaciones en frecuencia (Tabla 2), para finalmente aplicar el mapeo del plano

s al plano z.

El segundo método es diseñar un filtro pasabajo analógico, mapearlo a un filtro digital mediante algún

método de transformación del plano s al plano z y finalmente aplicar las transformaciones en frecuencia

ya en el mundo discreto (Tabla 3), de acuerdo al tipo de filtro que se necesite.

Tabla 2. Transformaciones de un filtro analógico pasabajo a otras clases de filtros selectivos (Monson Hayes, 1999)

Tabla 3. Transformaciones de un filtro digital pasabajo a otras clases de filtros selectivos (Monson Hayes, 1999)

de 27




Ejemplo. Usando la transformada bilineal diseñar un filtro discreto pasaaltos de Chebyshev con un

equiripple y banda de paso:

( )( ) πω

πω

ω

ω

≤≤≤≤

≤≤≤≤

0,3 eH0,9

0,10 eHj

j

1

1,00 Ec. 52

Para diseñar un filtro pasaalto de tiempo discreto hay dos métodos aplicables. Se puede diseñar un filtro

analógico de Chebyshev tipo I pasabajo y luego mapearlo a un filtro digital usando la transformada

bilineal y luego aplicar la transformada de pasabajo a pasaalto en el domino z (Tabla 3).

de 27




Figura 8. Respuesta en frecuencia del filtro deseado (Monson Hayes, 1999)

Alternativamente, antes de aplicar la transformada bilineal se puede realizar la transformación de

pasabajo a pasaalto en el plano s (Tabla 2) y luego mapear el filtro pasaalto analógico a un filtro pasaalto

discreto aplicando la transformada bilineal.

Debido a que ambos métodos resultan en el mismo diseño no es de importancia cuál se utilizará. En

este caso se aplicará el segundo ya que es más simple algebraicamente.

Dado que se quiere diseñar un filtro pasaalto con una frecuencia de corte en la banda de rechazo

πω 1,0=s y una frecuencia de corte en la banda de paso πω 2,0=p , primero se transformarán las

especificaciones del filtro digital al tiempo continuo con 2=sT :

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=Ω21,0tan

2tan πωs

s 1584,0=Ωs

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω

23,0tan

2tan πωp

p 5095,0=Ωs

Empleando la transformación ss /1→ para mapear las frecuencias del filtro pasaalto a frecuencias del

filtro pasabajo, se tiene:

⇒=Ω5095,01

p 9627,1=Ωp

de 27




⇒=Ω1584,01

s 3138,6=Ωp

Luego, el factor de selectividad del filtro Chebyshev tipo I será:

⇒=Ω

Ω=

3138,69627,1

s

pk 3109,0=k

Con 1,0== sp δδ el factor de discriminación es:

( ) ( )⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−=

−−

2/1

2

22/1

2

2

11,011,01

111

s

pdδδ

04867,0=d

Por lo tanto, el orden del filtro requerido es:

( )( )

( )( ) ⇒==

−

−

−

−

3109,0/1cosh04867,0/1cosh

/1cosh/1cosh

1

1

1

1

kdN 03,2=N

Se redondea hacia abajo, resultando el orden del filtro en 2=N . Con un filtro de Chebyshev de 2do

orden se está lo suficientemente cerca como para cumplir con las especificaciones‐

El próximo paso es diseñar un filtro de Chebyshev tipo I pasabajo de 2do orden con los siguientes datos:

( )( ) Ω≤Ω≤Ω

Ω≤Ω≤≤Ω≤

sa

pa

jH

0 jH

1,0

19,0

donde 9627,1=Ωp y 3138,6=Ωp . Ahora se debe hallar el factor ε :

de 27




pδε

−=−

11

12

Despejando:

( ) ( )2346,01

1,0111

11

222 =−

−=−

−=

pδε

Para un filtro de Chebyshev de 2do orden el polinomio es:

( ) ( ) ( ) 122 2012 −=−= xxTxxTxT

Potenciando ( )xT2 se tiene:

( ) 144 2422 +−= xxxT

Y por lo tanto, la magnitud al cuadrado de la respuesta en frecuencia del filtro de Chebyshev será:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1/4/411

/11

242222

+ΩΩ−ΩΩ+=

ΩΩ+=Ω

pppNa T

jHεε

Sustituyendo pΩ y ε por sus valores:

( ) 422

0632,02436,02346,11

Ω+Ω−=ΩjHa

Luego es necesario encontrar ( ) ( )sHsH aa − sustituyendo js−=Ω :

( ) ( ) ( ) 422

0632,02436,02346,11

ssjHsHsH

jsaaa ++=Ω=−

−=Ω

de 27




Factorizando el polinomio denominador, se encuentra que hay dos raíces en el semiplano izquierdo de

s:

7811,1163,11 js +−= 7811,1163,1*12 jss −−==

Por lo tanto, el filtro resultante es:

( )( )( ) 4185,42375,2

9778,3

1

12*

11

*11

2 ++=

−−−=

sssssssssHa

ε

Ahora se transforma este filtro pasabajos en un filtro pasaaltos utilizando la transformación ss /1→ :

( ) 2

2

4185,42327,219778,3

ssssHa ++

=

Finalmente, aplicando la transformada bilineal se obtiene:

( ) 2

1

1

1

1

2

1

1

114185,4

112327,21

119778,3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

=

−

−

−

−

−

−

zz

zz

zz

sHa

Multiplicando numerador y denominador por ( )211 −+ z se obtiene:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )211121

21

14185,4112327,21

19778,3−−−−

−

−+−+++

−=

zzzz

zsHa

Resolviendo, la función de transferencia del filtro digital pasaalto es:

de 27




( ) ( )21

21

4164,0894,012152,0

−−

−−

+−+−

=zz

zzsHa

La respuesta en frecuencia resultante es:

Figura 9. Respuesta en frecuencia del filtro pasaalto digital resultante (Monson Hayes, 1999)

A modo de verificación, se computará la magnitud de la respuesta en frecuencia para πω 1,0= :

( ) 1044,01,0

== πω

ωja eH

valor muy próximo al requerido. Hay que recordar que el orden del filtro se redondeó hacia abajo para

obtener un filtro más sencillo a expensas del cumplimiento exacto de las especificaciones.

Para πω 9,0= :

( ) 9044,09,0

== πω

ωja eH

Ejercicios teóricos

1. a. Se desea diseñar un filtro digital pasabajo cuya frecuencia de corte en la banda de paso sea

πω 375,0=p con 01,0=pδ y frecuencia de corte en la banda de rechazo πω 5,0=s con 01,0=sδ .

Utilizar la transformada bilineal.

de 27




b. Qué orden de filtro es necesario para cumplir con las especificaciones para un diseño de Butterworth,

Chebyshev y elíptico.

2. Empleando el método de invarianza al impulso, diseñar un filtro digital a partir del siguiente prototipo

analógico:

( )( ) 22 bas

assHa++

+=

3. Se desea diseñar un filtro pasabajo en tiempo discreto utilizando el método de invarianza al impulso

sobre un filtro continuo de Butterworth cuya función de transferencia es:

( ) N

c

a

jj

sH 22

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩ

−

=

Las especificaciones del filtro de tiempo discreto son:

( )( ) πωωδ

ωωδ

ω

ω

≤≤≤

≤≤≤≤−

ssj

pj

p

eH

0 eh 11

Demostrar que el diseño no es afectado por el periodo de muestreo empleado en el método de

invarianza al impulso.

Bibliografía

Monson H. Hayes, 1999. Digital signal processing. Editorial Schaum´s outline

Diseño de filtros IIR - uncor.edu

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