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DISEO DE VIGAS A FLEXION4.10 DISEO DE VIGAS A FLEXION CON ARMADURA DE COMPRESIONExisten dos razones fundamentales por las cuales, en una viga sometida a flexin se puede requerir un diseo que, a ms de la armadura de traccin tradicional, se utilice armadura sometida a compresin:

Porque existe un limitante mximo de tipo arquitectnico, constructivo o funcional que impide que la viga aumente sus dimensiones. Porque, por aspectos constructivos o de diseo, ya existe armadura de compresin y se desea aprovechar su existencia obligatoria para disminuir el armado de traccin.

Las especificaciones de los cdigos imponen criterios de diseo que permiten que, a pesar de incrementar el armado de las vigas, se mantengan los niveles de ductilidad que son exigidos para las vigas que solamente requieren armadura de traccin. Cuando la viga no resiste solicitaciones ssmicas, la cuanta de armado a traccin mxima admisible se define mediante la siguiente expresin:

Donde: r : cuanta de armado a traccin r b: cuanta balanceada a traccin cuando no existe armadura de compresin r : cuanta de armado a compresin Cuando la viga resiste solicitaciones ssmicas, la cuanta de armado a traccin se define mediante la siguiente expresin: Para secciones rectangulares, las cuantas de armado anotadas anteriormente se calculan con las siguientes expresiones:

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El criterio bsico detrs de las expresiones que definen la cuanta mxima es el de que la presencia de la armadura de compresin hace cambiar la magnitud de la cuanta balanceada, que puede ser calculada con la siguiente expresin:

La expresin anterior presupone que el momento en que el acero de traccin ha alcanzado la deformacin de fluencia (e s = e y = Fy / Es) y el hormign ha alcanzado su mxima deformacin (e c = 0.003), el acero de compresin ha igualado o superado la deformacin de fluencia (e s e y). Para el caso ms comn, de vigas rectangulares, el problema puede representarse esquemticamente de la siguiente manera:

En el grfico anterior, adems de la geometra bsica de la viga, constan el diagrama de deformaciones unitarias (e ) y el diagrama de fuerzas internas (P).

a. DISEO DE VIGAS QUE DIMENSIONES EXTERIORES:

NO

PUEDEN

INCREMENTAR

SUS

Con bastante frecuencia existen limitantes en cuanto a las dimensiones mximas que pueden tener las vigas y, en ocasiones, al intentar disear a flexin tales vigas, se encuentra que es necesario un armado de traccin que supera los porcentajes de la cuanta balanceada especificados por los cdigos (75% de la cuanta balanceada para elementos que no resisten sismos, y 50 % de la cuanta balanceada para elementos que resisten sismos), o sencillamente ya no existe armadura capaz de resistir el momento flector solicitante. En este caso se puede utilizar el siguiente procedimiento:

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Se calcula el momento flector que es capaz de resistir la seccin de hormign armado cuando utiliza la cuanta mxima permitida por los cdigos (75% o 50% de la cuanta balanceada, segn el caso). Se calcula la parte de momento flector solicitante que no alcanza a ser resistida por la cuanta de armado definida anteriormente, y que debe ser resistida con armadura de traccin adicional y con armadura de compresin. Se calcula una primera aproximacin del acero adicional de traccin y el acero de compresin requeridos para resistir la parte del momento flector solicitante que no puede ser resistida por la cuanta de armado mxima definida por los cdigos. Se calcula el momento flector real que resiste el armado propuesto. Iterativamente se corrige el armado de traccin y compresin hasta obtener el diseo ms econmico.

EJEMPLO 4.1: Disear la viga rectangular de la figura que est sometida a un momento flector ltimo Mu = 27 T-m, si el hormign tiene una resistencia a la rotura fc = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm 2. La viga debe ser diseada para una zona ssmica.

Verificacin de la Necesidad de Armadura de Compresin: Si se supone que el acero de traccin se encuentra en fluencia, se puede utilizar la siguiente expresin para calcular la armadura requerida para resistir el momento flector solicitante:

-4Los datos son: fc = 210 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 b = 30 cm d = 44 cm f = 0.90 Mu = 27 T-m = 2700000 Kg-cm El acero de traccin requerido es:

As = 19.67 cm2 La cuanta de armado es:

La cuanta balanceada de la seccin es:

La cuanta mxima permisible para zonas ssmicas es: r mx = 0.50 r b = 0.01084 Dado que la cuanta de armado calculada (0.01490) supera a la cuanta mxima permisible (0.01084), se requiere de acero de compresin para poder resistir los momentos flectores solicitantes.

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Clculo del Momento Flector Mximo que puede Resistirse Unicamente con Armadura de Traccin: La cuanta mxima de armado sin armadura de compresin es: r mx = 0.01084 La cantidad de acero mxima permisible para la seccin, sin armadura de compresin, es: As1 = r mx . b . d = (0.01084) (30 cm) (44 cm) As1 = 14.31 cm2

La altura a del bloque de compresin es:

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El momento flector ltimo resistente Mu1 es:

Mu1 = 20.77 T-m

Clculo del Momento Flector que debe ser Resistido con la Armadura de Traccin Adicional y con la Armadura de Compresin: El momento flector que falta por ser resistido es: Mu2 = Mu - Mu1 = 27.00 T-m - 20.77 T-m Mu2 = 6.23 T-m Se requerir de ms acero de traccin (As2) aadido al ya calculado, y de acero de compresin (As) para resistir el momento flector faltante.

Clculo de la Seccin de Acero de Traccin Adicional, del Acero Total de Traccin y del Acero de Compresin: Se va a suponer tentativamente que la posicin del eje neutro calculada para la cuanta de armado mxima nicamente con acero de traccin se mantiene luego de aadir el acero faltante de traccin y el acero de compresin (esta hiptesis es una aproximacin pues, por los condicionamientos de los cdigos de diseo, el eje neutro ascender ligeramente y el bloque de compresin del hormign se reducir, sin embargo se demostrar con este ejemplo que la variacin de la posicin del eje neutro tiene un efecto muy pequeo sobre el diseo). Bajo esta hiptesis el momento flector faltante deber ser resistido nicamente por el acero de traccin adicional y el acero de compresin. Dado que el acero de traccin est en fluencia, la seccin adicional aproximada de acero es:

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Donde: Mu2 = 6.23 T-m = 623000 Kg-cm f = 0.90 Fy = 4200 Kg/cm2 d = 44 cm r = 6 cm De donde:

As2 = 4.34 cm2 Por condiciones de ductilidad, el armado complementario de traccin que se acaba de calcular debe ser mximo el 50% del armado de compresin (en zonas no ssmicas sera el 75% del armado de compresin), por lo que: As2 0.50 As La condicin ms econmica se produce con la igualdad: As2 = 0.50 As De donde:

As = 8.68 cm2 El acero de compresin total es: As = As1 + As2 = 14.31 cm2 + 4.34 cm2 As = 18.65 cm2

-8Clculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto:

As = 18.65 cm2 As = 8.68 cm2 La fuerza de traccin del acero, que se encuentra en fluencia, es: T = As . Fy = (18.65 cm2) (4200 Kg/cm2) T = 78330 Kg Tentativamente se puede suponer que el acero de compresin tambin ha entrado en fluencia (e s e y), lo que posteriormente deber ser verificado, y corregido en caso de ser necesario. En este caso el esfuerzo en el acero de compresin es el esfuerzo de fluencia. fs = Fy fs = 4200 Kg/cm2 La fuerza de compresin Cs del acero es: Cs = As . fs = (8.68 cm2) (4200 Kg/cm2) Cs = 36456 Kg Por equilibrio de fuerzas horizontales, la fuerza de compresin en el hormign es: Cc = T - Cs = 78330 Kg - 36456 Kg Cc = 41874 Kg La altura a del bloque de compresin es:

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a = 7.82 cm La posicin del eje neutro queda definida como:

c = 9.20 cm La deformacin unitaria en el acero de compresin e semejanza de tringulos, de donde:s

puede obtenerse por

e s = 0.001043 En vista de que la deformacin unitaria en el acero de compresin (0.001043) es inferior a la deformacin unitaria de fluencia (0.002), la capa de compresin no ha entrado en fluencia y su esfuerzo debe ser corregido mediante la siguiente expresin: fs = Es . e s La primera correccin sera: fs = (2100000 Kg/cm2) (0.001043) = 2190 Kg/cm2 Cs = As . fs = (8.68 cm2) (2190 Kg/cm2) = 19009 Kg Cc = T - Cs = 78330 Kg - 19009 Kg = 59321 Kg

La segunda correccin sera:

- 10 fs = Es . e s = (2100000 Kg/cm2) (0.001619) = 3400 Kg/cm2 Cs = As . fs = (8.68 cm2) (3400 Kg/cm2) = 29508 Kg Cc = T - Cs = 78330 Kg - 29508 Kg = 48822 Kg

En vista de que la convergencia es lenta, conviene utilizar una hoja electrnica para realizar los clculos. Iteracin fs' (Kg/cm ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2190 3400 2776 3128 2938 3043 2986 3017 3000 3009 3004 3007 3006 3006 3006 3006 3006 3006 30062

Cs (Kg) 19009 29508 24094 27148 25505 26412 25918 26189 26041 26122 26078 26102 26089 26096 26092 26095 26093 26094 26094

Cc (Kg) 59321 48822 54236 51182 52825 51918 52412 52141 52289 52208 52252 52228 52241 52234 52238 52235 52237 52236 52236

a (cm) 11,08 9,12 10,13 9,56 9,86 9,70 9,79 9,74 9,76 9,75 9,76 9,75 9,76 9,75 9,75 9,75 9,75 9,75 9,75

c (cm) 13,03 10,73 11,92 11,24 11,61 11,41 11,51 11,46 11,49 11,47 11,48 11,47 11,48 11,48 11,48 11,48 11,48 11,48 11,48

e s' 0,001619 0,001322 0,001489 0,001399 0,001449 0,001422 0,001437 0,001429 0,001433 0,001431 0,001432 0,001431 0,001432 0,001431 0,001432 0,001431 0,001432 0,001432 0,001432

- 11 Los valores de convergencia son: fs = 3006 Kg/cm2 Cs = 26092 Kg Cc = 52238 Kg a = 9.75 cm c = 11.48 cm e s = 0.001432 El momento ltimo resistente de la seccin se puede calcular con la siguiente expresin:

Mu = 2731777 Kg-cm = 27.3 T-m En vista de que el momento flector resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante (hay un exceso de 0.31777 T-m), se puede efectuar un pequeo ajuste de disminucin de acero de traccin y acero de compresin: D Mu = 31777 Kg-cm

D As = 0.22 cm2

- 12 D As = 0.44 cm2 Las secciones de acero de traccin y compresin corregidas son: As = 18.65 cm2 - 0.22 cm2 As = 18.43 cm2 As = 8.68 cm2 - 0.44 cm2 As = 8.24 cm2 Por la rapidez de la convergencia de este proceso (en la primera correccin de armadura se aadieron 4.34 cm2 al acero de traccin y 8.68 cm2 al acero de compresin; en esta segunda correccin se quitaron solamente 0.22 cm2 del acero de traccin y 0.44 cm2 del acero de compresin, lo que representa aproximadamente la veinteva parte de la primera correccin de la armadura de traccin), no es necesario repetir el clculo detallado. Se escogen 5 varillas de 22 mm a traccin (19.00 cm2), y 2 varillas de 20 mm + 1 varilla de 16 mm a compresin (8.29 cm2).

Si se est realizando un procesamiento manual de la informacin, el diseo puede suspenderse tan pronto se realiza el clculo del acero adicional de traccin y el acero de compresin, evitndose todo el proceso de Clculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto, sin cometerse errores de trascendencia. Si el diseo se est realizando con computadora, conviene refinar la determinacin del armado con un proceso similar al propuesto en el problema anterior.

- 13 b. DISEO DE VIGAS QUE YA DISPONEN DE ARMADURA DE COMPRESIN: Se puede utilizar el siguiente procedimiento:

Se calcula la armadura de traccin necesaria si nicamente existiera acero de traccin. Se calcula el momento flector real que resiste el armado propuesto. Iterativamente se corrige el armado de traccin hasta obtener el diseo ms econmico.

EJEMPLO 4.2: Disear la viga rectangular de la figura que est sometida a un momento flector ltimo Mu = 46 T-m, si el hormign tiene una resistencia a la rotura fc = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2. Por armado de estribos la viga dispone de 3 varillas de 18 mm en la zona de compresin. La viga debe ser diseada para una zona ssmica.

Clculo de la Armadura Requerida sin Incluir el Efecto de la Armadura de Compresin: Si se supone que el acero de traccin se encuentra en fluencia, y que no existe armadura de compresin, la seccin transversal de la armadura de traccin se puede calcular con la siguiente expresin:

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Los datos son: fc = 210 Kg/cm2 Fy = 4200 Kg/cm2 b = 35 cm d = 64 cm f = 0.90 Mu = 46 T-m = 4600000 Kg-cm El acero de traccin requerido es:

As = 21.43 cm2 La armadura de compresin es: As = 3 (2.54 cm2) = 7.62 cm2 Clculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto:

As = 21.43 cm2 As = 7.62 cm2

- 15 La fuerza de traccin del acero, que se encuentra en fluencia, es: T = As . Fy = (21.43 cm2) (4200 Kg/cm2) T = 90006 Kg Se puede suponer que el acero de compresin tambin ha entrado en fluencia (e s e y). En este caso el esfuerzo en el acero de compresin es el esfuerzo de fluencia. fs = Fy fs = 4200 Kg/cm2 La fuerza de compresin Cs del acero es: Cs = As . fs = (7.62 cm2) (4200 Kg/cm2) Cs = 32004 Kg La fuerza de compresin en el hormign es: Cc = T - Cs = 90006 Kg - 32004 Kg Cc = 58002 Kg La altura a del bloque de compresin es:

a = 9.28 cm La posicin del eje neutro queda definida como:

c = 10.92 cm La deformacin unitaria en el acero de compresin e s es:

e s = 0.001352

- 16 En vista de que la deformacin unitaria en el acero de compresin (0.001352) es inferior a la deformacin unitaria de fluencia (0.002), el esfuerzo del acero de compresin se corrige con la siguiente expresin: fs = Es . e s La primera correccin sera: fs = (2100000 Kg/cm2) (0.001352) = 2839 Kg/cm2 Cs = As . fs = (7.62 cm2) (2839 Kg/cm2) = 21633 Kg Cc = T - Cs = 90006 Kg - 21633 Kg = 68373 Kg

La segunda correccin sera: fs = Es . e s = (2100000 Kg/cm2) (0.001602) = 3364 Kg/cm2 Cs = As . fs = (7.62 cm2) (3364 Kg/cm2) = 25635 Kg Cc = T - Cs = 90006 Kg - 25635 Kg = 64371 Kg

Se puede utilizar una hoja electrnica para preparar una tabla de clculo de convergencia: Iteracin fs' Cs Cc a c e s'

- 17 (Kg/cm2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2839 3364 3182 3248 3224 3233 3229 3231 3230 3230 (Kg) 21633 25635 24244 24747 24568 24632 24609 24617 24614 24615 (Kg) 68373 64371 65762 65259 65438 65374 65397 65389 65392 65391 (cm) 10,94 10,30 10,53 10,45 10,47 10,46 10,47 10,47 10,47 10,47 (cm) 12,88 12,12 12,38 12,29 12,32 12,31 12,31 12,31 12,31 12,31 0,001602 0,001515 0,001546 0,001535 0,001539 0,001538 0,001538 0,001538 0,001538 0,001538

Los valores de convergencia son: fs = 3230 Kg/cm2 Cs = 24615 Kg Cc = 65391 Kg a = 10.47 cm c = 12.31 cm e s = 0.001538 El momento ltimo resistente de la seccin se puede calcular con la siguiente expresin:

Mu = 4743334 Kg-cm = 47.4 T-m En vista de que el momento flector resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante (hay un exceso de 1.43334 T-m), se puede efectuar un pequeo ajuste de disminucin de acero de traccin: D Mu = 143334 Kg-cm

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D As = 0.65 cm2 Se corrige la seccin de acero de traccin: As = 21.43 cm2 - 0.65 cm2 As = 20.78 cm2 As = 7.62 cm2 Al igual que en el ejemplo anterior, no es necesario repetir el clculo detallado. Se escogen 2 varillas de 25 mm + 3 varillas de 22 mm a traccin (21.22 cm2), y 3 varillas de 28 mm a compresin (7.62 cm 2) que ya existan previamente.

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