Análisis de varianza y el diseño completamente aleatorizado.

A continuación se muestra el uso del análisis

de varianza para probar la igualdad de k

medias poblacionales en un diseño

completamente aleatorizado.

La forma general de esta prueba de hipótesis

es

donde

Se asume que de cada una de las k

poblaciones o tratamientos se toma una

muestra aleatoria simple de tamaño nj.

Para los datos muestrales resultantes, sean

Las fórmulas para la media y la varianza

muestral del tratamiento j son las siguientes

La media muestral general, es la suma de

todas las observaciones divididas entre la

cantidad total de observaciones, es decir

donde

Si el tamaño de cada muestra es n, la

ecuación anterior se reduce a

En otras palabras, si todas las muestras son

del mismo tamaño, la media muestral general

es el promedio de las k medias muestrales.

En el experimento de Chemitech, como todas

las muestras constaban de n=5

observaciones, la media muestral general

está dada por

Si la hipótesis nula es verdadera, la media

muestral general es la mejor estimación de la

media poblacional.

Estimación de la varianza poblacional entre tratamientos

A la estimación de entre tratamientos

también se le llama cuadrado medio debido a

los tratamientos y se denota como CMTR. La

fórmula general para calcularlo es

Al numerador de la ecuación (1) se le llama

suma de cuadrados debido a los tratamientos

y se denota por SCTR. El denominador, k-1,

representa los grados de libertad asociados

con la SCTR.

Si H0 es verdadera, el CMTR proporciona una

estimación insesgada de . No obstante, si

las medias de las k poblaciones no son

iguales, el CMTR sobreestima a .

Para los datos de Chemitech obtenemos los

siguientes resultados

Estimación de la varianza poblacional

dentro de los tratamientosA la estimación de dentro de los

tratamientos también se le llama cuadrado

medio debido al error y se denota como CME.

La fórmula general para calcularlo es

Al numerador de la ecuación (2) se le llama

suma de cuadrados debido al error y se

denota por SCE. El denominador, nT-k,

representa los grados de libertad asociados

con la SCE.

El que H0 sea o no verdadera no tiene ninguna

influencia, por lo que el CME proporciona

siempre una estimación insesgada de .

Para los datos de Chemitech obtenemos los

siguientes resultados

Comparación de las estimaciones de las

varianzas: la prueba FSi la hipótesis nula es verdadera y se

satisfacen los supuestos del ANOVA, la

distribución muestral del CMTR/CME es una

distribución F con k-1 grados de libertad en el

numerador y nT-k grados de libertad en el

denominador.

PRUEBA DE IGUALDAD DE k MEDIAS

POBLACIONALES

ESTADISTICO DE PRUEBA

REGLA DE RECHAZO

donde pertenece a la distribución F con k-1

grados de libertad en el numerador y nT-k

grados de libertad en el denominador.

Ahora bien, en el experimento de Chemitech

se usará como nivel de significancia

, para realizar la prueba de hipótesis. En este

caso el valor del estadístico de prueba es

Con utilizamos la siguiente tabla

para calcular el valor de , considerando 2

grados de libertad en el numerador y 12 en el

denominador, de modo que

Como , H0 es rechazada y

concluimos que las medias de las tres

poblaciones no son iguales.

Tabla de ANOVA

Los cálculos anteriores se pueden presentar

de manera adecuada en un instrumento

conocido como tabla de análisis de varianza o

tabla de ANOVA. En la siguiente figura se

observa la forma general de una tabla ANOVA

para un diseño completamente aleatorizado.