Diseño a flexion de una vigatipo Aashto

7/24/2019 Diseo a flexion de una vigatipo Aashto

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Universidad de Guanajuato

Ingeniera Civil

Guanajuato, Gto a 29 de octubre, 2014

Diseo a momento flexionante de

vigas Aashto reforzadas.Concreto I

Javier Olaf Ruiz Ornelas.


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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.

Problemtica

Calcular el refuerzo de acero de una viga de seccin tipo aashto con un porcentaje de

acero determinado y obtener el momento resistente a flexin de dicha viga.

Consideraciones

Las varillas de refuerzo debern estar espaciadas lo ms uniformemente posible

alrededor del permetro de la seccin, teniendo al menos una varilla de refuerzo en cada

uno de los cambios de direccin de la seccin transversal como se muestra en la figura

siguiente:

Las varillas propuestas para refuerzo, no debern estar separadas ms de 20 cm entre

stas, teniendo una distribucin final similar a la mostrada en la siguiente figura:


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Se podr concentrar acero de refuerzo adicional en los patines superior e inferior para

tener la cuanta de acero de refuerzo que se solicita. La separacin libre mnima permitida

ser de 5 cm.

Procedimiento

Las hiptesis que se utilizaran en el diseo sern las siguientes:

1. Las deformaciones a flexin son proporcionales al eje neutro.

2. Las secciones planas antes de la deformacin permanecen planas despus de la

deformacin.

3. La falla del elemento a flexin se alcanza a una deformacin unitaria ltima cu

igual a .003

4. No hay deslizamiento relativo entre el concreto y el acero de refuerzo

5. El acero de refuerzo tiene un comportamiento elstico-plstico perfecto.

6. El acero a compresin tiene la misma curva esfuerzo deformacin que a tensin.7. El concreto no resiste esfuerzos a tensin.

8. El bloque real de esfuerzo de compresin en el concreto se substituye por un

bloque rectangular equivalente.

Previamente debemos conocer fc (resistencia del concreto a compresin), y fy ( esfuerzo

de fluencia del acero).

Introduciendo como porcentaje de acero o cuanta de acero definido como:

Donde:

As=rea de acero de refuerzo

Ac=rea de la seccin de concreto


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3Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.

Eje Neutro.

Definimos el eje neutro como el eje de una seccin donde no se presentan esfuerzos de

tensin ni de compresin y por lo tanto no hay deformaciones, este eje es el que separa

las fuerzas de compresin y las de tensin. El eje neutro de la seccin aashto se muestra

en la figura siguiente:

Para calcular el rea de concreto que estar a compresin necesitamos conocer que

fuerza provocaran las varillas, se analiza la figura siguiente:

La distancia d ser el brazo de palanca que ocasionara la varilla de acero. Para conocer

la fuerza que ocasionara ste refuerzo necesitamos conocer la deformacin que ocurre en

ella.


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Con la hiptesis no.3 podemos construir el siguiente bloque de deformaciones.

Donde:

cu=0.003 (Hiptesis no. 3)

Por tringulos semejantes podemos realizar: + Y despejando s

+

Podemos observar que si d>c la deformacin ser positiva, ser el refuerzo que estar atensin y si d


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Si el fs encontrado es mayor del esfuerzo de fluencia del acero utilizado (fy), este se

mantiene como fydebido a que necesitamos tener el acero en cuestin fluyendo.

Teniendo esto podemos calcular la fuerza que ocasiona el acero:

Y por ltimo calculamos el momento que ocasionar:

Este anlisis se hace para cada varilla utilizada para reforzar la viga, resultando una tabla

similar a:

Esfuerzos y deformaciones en el acero de refuerzo

Varilla d as es fs Fuerza Momento

(cm) (cm) (kg/cm) (kg) (kg-cm)

1 42.5 2.8502 0.00073317 1466.33624 4179.39492 177624.284

2 42.5 2.8502 0.00073317 1466.33624 4179.39492 177624.284

3 31.5 2.8502 -0.00023306 -466.127256 -1328.56969 -41849.9452

4 31.5 2.8502 -0.00023306 -466.127256 -1328.56969 -41849.9452

5 53.5 2.8502 0.0016994 3398.79974 9687.35952 518273.734

Segn el American Concrete Institute (ACI) la capa de acero ms cercana a la cara de

tensin de concreto tiene que tener por lo menos una deformacin de 0.004para asegurar

que el refuerzo no exceda la cuanta mxima.

Adems las Normas Tcnicas Complementarias especifican que la cuanta mnima estar

dada por la frmula:

Nota: Al calcular el refuerzo que se utilizara se debe verificar que los dos parmetros

anteriores se cumplan.


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Ahora se analiza la siguiente figura:

Para que exista equilibrio en la estructura las fuerzas de compresin deben ser iguales a

las fuerzas de tensin, esto es:

+ El rea sombreada es la que est a compresin, el bloque de esfuerzos de la seccin

achurada se asemeja al de una parbola y siguiendo la hiptesis no. 8 este se cambia por

un bloque equivalente de esfuerzos rectangular, multiplicando el eje neutro c por un

parmetro de relacin de esfuerzos definido como:

0.65 1.051400 .85 .80


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Si est fuera de estos valores se utiliza el valor ms cercano entre estos dos lmites.

El rea sin achurar es el rea a tensin del concreto, siguiendo la hiptesis no. 7 esta sedesprecia.

Se necesita calcular el rea de concreto que estar a compresin y dado que la seccin a

analizar no tiene una geometra constante, como es por ejemplo una seccin rectangular,

y por lo tanto se tienen que hacer ciertas consideraciones especiales. Si se observa la

seccin siguiente es fcil analizar que la figura consiste en cinco reas compuestas y en

base a esto consideramos 5 casos:


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1er caso:

a es menor o igual que h1

En este caso el rea de concreto a compresin es un rectngulo, y el rea se calcula con

la frmula:

Y su centroide se calcula con:

2

El centroide calculado en este caso y en los dems ser el brazo de palanca que ejerza el

concreto en el lecho superior de la viga


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2do caso:

a es menor o igual que h1 + h2

En este caso se tienen dos reas analizar, un rectngulo y un trapecio, el primer

mencionado se calcula con la frmula:

Y su centroide se calcula con:

2 Para calcular el rea primero se necesita conocer la base menor del trapecio, debido a

que aes variable la base menor estar en funcin de la ecuacin de la recta, si tomamos

un eje y ponemos las coordenadas de los puntos como se observa en la figura siguiente:


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Con estos puntos podemos calcular la ecuacin de la recta:

02 2 2 2 2Despejamos x:

2 +2 La base menor ser dos veces lo anterior encontrado:

+En este caso y=a-H1, por lo tanto

+

Y se calcula el rea del trapecio:

+ + 2


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El centroide ser:

2 + +

3 [ + + ] +

El rea total ser la suma las reas:

+ Y el centroide de las figuras ser:

+ 3er caso:

a es menor o igual a H1+H2+H3


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Tenemos 3 reas a considerar, un rectngulo, un trapecio y un rectngulo nuevamente.

El rea de un rectngulo es:

Y su centroide

2 El rea del trapecio se calcula con:

+ 2 Su centroide:

2+3+ +

Y el rea del segundo rectngulo es:

( +) Con centroide:

+ +

2

El rea total ser:

=

Y su centroide:

= =


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4to caso:

a es menor o igual que H1+H2+H3+H4

En este caso tendremos 4 reas, 2 rectngulos y 2 trapecios

El rea del primer rectngulo es:

Y su centroide

2 El rea del trapecio se calcula con:

+ 2 Su centroide:

2+3+ +


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El rea del segundo rectngulo se calcula con:

Con centroide:

2+ +Para la ltima rea se tiene que hacer algo parecido al caso 2, tomamos el origen y las

coordenadas como se muestra en la siguiente figura:

Se calcula la ecuacin de la recta con los puntos mostrados:

02 2 2 2 2

Despejamos x:

2 +2


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La base mayor del trapecio ser dos veces lo encontrado:

+Para este caso y=a-(H1+H2+H3), por lo tanto:

a H+H+H +Y el rea ser:

a H+ H+H

+ + 2 a H+ H+ H

Con centroide:

2 + (a H+ H+ H) +

3 + (a H+ H+ H) + (a H+ H+ H)

Y se aplica de nuevo:

=

= =


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5to caso

a es menor o igual que (H1+H2+H3+H4)

Se tienen 5 reas

Para la primera rea

2

Para la segunda rea:

+

2

2+3+ +Para la tercera rea:


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2+ +Para la cuarta rea:

+2

+++2+3+ Para la quinta rea:

+++ ++++2

Y finalmente:

=

= = La fuerza de compresin del concreto C se calcula con:

.85

Siendo A el rea calculada utilizando algn caso anteriormente propuestos (1-5).

Estas fuerzas estn en funcin del eje neutro calculado y se recomienda el uso de hojas

del clculo para encontrarlo.


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Por ltimo se hace la suma del momento causado por todas las varillas y el rea de

concreto a compresin y este ser el momento resistente de la seccin:

+ Donde:

Ms=Momento causado por el acero

Mc=Momento causado por el concreto

Es importante mencionar que el momento causado por el concreto ser negativo, por sera compresin.

Este momento se multiplica por un factor de reduccin por cuestiones de seguridad

Fr=0.9, por cuestiones imprevistas que no se haya contemplado en el clculo del

momento que debe resistir:

0.9 Se realizan el procedimiento anteriormente expuesto, para determinar el momento

resistente a flexion de una viga Aashto con una resistencia de compresin simple (fc)de

300 Kg/cm, un esfuerzo de fluencia del acero (fy) de 4200 Kg/cm2y una cuanta de 5%,

para la siguiente figura:


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Concreto I

Ingeniera Civil

Javier Olaf Ruiz Ornelas

Viga tipo II

= 5%

Dimensiones viga asshto

B1 30 cm

B2 15 cm

B3 45 cm

H1 15 cm

H2 8 cm

H3 38 cm

H4 15 cm

H5 15 cmHT 91 cm

Acero de refuerzo

Materiales # x (cm) y (cm)

f'c = 300 kg/cm 1 6 4 3

fy = 4200 kg/cm 2 6 -4 3

Es = 2000000 kg/cm 3 6 4 14

4 6 -4 14

f*c = 240 kg/cm 5 6 4 -8

f"c = 204 kg/cm 6 6 -4 -8

7 8 4 24

Seccion 8 8 -4 24x (cm) y(cm) 9 6 0 32

7.5 0 10 8 11 32

7.5 22.5 11 8 -11 32

15 30.5 12 8 0 42

15 45.5 13 8 11 42

-15 45.5 14 8 -11 42

-15 30.5 15 8 4 -18

-7.5 22.5 16 8 -4 -18

-7.5 0 17 8 11 -25

-7.5 -15.5 18 8 -11 -25

-22.5 -30.5 19 8 0 -32

-22.5 -45.5 20 8 18 -32

22.5 -45.5 21 8 -18 -32

22.5 -30.5 22 8 0 -42

7.5 -15.5 23 8 9 -42

7.5 0 24 8 -9 -42

25 8 18 -42

26 8 -18 -42


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Concreto I

Ingeniera Civil


Aconcreto 2325 cm

Aacero 116.28 cm

5.00%

-60

-40

-20

0

20

40

60

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40


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Concreto I

Ingeniera Civil


Eje Neutro c

=34.1532971 cm

= 0.85

a = 29.0303025 cm

Centroide= 12.5867602

Esfuerzos y deformaciones en el acero de refuerzo

Varilla d as es fs Fuerza Momento

(cm) (cm) (kg/cm) (kg) (kg-cm)

1 42.5 2.85022957 0.00073317 1466.33624 4179.394917 177624.284

2 42.5 2.85022957 0.00073317 1466.33624 4179.394917 177624.2843 31.5 2.85022957 -0.00023306 -466.127256 -1328.569688 -41849.94516

4 31.5 2.85022957 -0.00023306 -466.127256 -1328.569688 -41849.94516

5 53.5 2.85022957 0.0016994 3398.79974 9687.359522 518273.7344

6 53.5 2.85022957 0.0016994 3398.79974 9687.359522 518273.7344

7 21.5 5.06707479 -0.00111146 -2222.91225 -11263.66264 -242168.7469

8 21.5 5.06707479 -0.00111146 -2222.91225 -11263.66264 -242168.7469

9 13.5 2.85022957 -0.00181417 -3628.34025 -10341.60268 -139611.6361

10 13.5 5.06707479 -0.00181417 -3628.34025 -18385.07143 -248198.4643

11 13.5 5.06707479 -0.00181417 -3628.34025 -18385.07143 -248198.4643

12 3.5 5.06707479 -0.00269256 -4200 -21281.71412 -74485.99943

13 3.5 5.06707479 -0.00269256 -4200 -21281.71412 -74485.99943

14 3.5 5.06707479 -0.00269256 -4200 -21281.71412 -74485.99943

15 63.5 5.06707479 0.00257779 4200 21281.71412 1351388.847

16 63.5 5.06707479 0.00257779 4200 21281.71412 1351388.847

17 70.5 5.06707479 0.00319267 4200 21281.71412 1500360.846

18 70.5 5.06707479 0.00319267 4200 21281.71412 1500360.846

19 77.5 5.06707479 0.00380754 4200 21281.71412 1649332.844

20 77.5 5.06707479 0.00380754 4200 21281.71412 1649332.844

21 77.5 5.06707479 0.00380754 4200 21281.71412 1649332.844

22 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.986

23 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.986

24 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.986

25 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.98626 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.986

facero 146972.726 Macero 19926539.94

fconcreto -146972.726 Mconcreto -1849910.453

f -1.8807E-07 M 18076629.48

Mr 162.6896654 ton-m


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