DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO -...

Un cuerpo rígido es aquelconstituido por un sistemade partículas, tal que al seraplicada una fuerza

A BF1F2

aplicada una fuerzaexterna, la distancia entredos de ellas permanececonstante. Está sometido ados tipos de movimientos:traslación y rotación.

1Física I Mg. José Castillo Ventura

Ri

Z

iωr

ivr3

2

1

iiii

iiiiii

iiii

ii

vxrmL

vmxrpxrL

Rsenrv

rxv

=

==

===

ωθωω

rrr

rrrrr

rrr( )ω

ω2iiiz

iiiiz

RmL

RRmL

=

=

Ri

Ai

irr

2

π

iLr

izLr

iθ4

2cos

iiiiz

iiii

iiiiiz

iiii

vRmL

senvrm

vrmL

=⇒

=

−=

θ

θπ


Si deseamos hallar el momentumangular total a lo largo del eje Z, debemos sumar las contribuciones de las otras partículas:

( )ω2233

222

211

1321

...................

.................

nn

n

iizznzzz

RmRmRmRm

LLLLLLz

++++=

=++++= ∑=

51

2∑=

=n

iiiRmI

I: momento de inercia

6ωILiz = 7αωI

dt

dI

dt

dLiz ==

Para determinar el momentumangular de todo el cuerpo:

∑=+++= iLLLLLrvrrr

.....................321


X0

Y0

z0

z

Existen por lo menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para los que el momentumangular es paralelo al eje de rotación; estos

X0

Y0

z0

Y0

z0

X0

eje de rotación; estos reciben el nombre de ejes principales de inercia (x0, y0, z0 ), y sus momentos omento principales de inercia. (Ix, Iy, Iz)


En forma general cuando un cuerpo rota alrededor de un eje principal de inercia, el momentum angular total es paralelo a ω

r

8ωrr

IL =

( ) αω rrr

IIdt

d

dt

Ld ==⇒

9αrr

IM =

Rv ω=Para una partícula que se encuentra rotando con velocidad vi, la expresión para la energía cinética es:

ii Rv ω=

102

1

2

1

2

1

2

1

2

22222

ω

ωω

IE

RmRmEvmE

k

i i iiiiikiik

=

==⇒=∑ ∑ ∑


Para un conjunto discreto de partículas:

12∑=i

ii RmI

( ) 322

222

dmyxI

yxR

z

i

∫ +=⇒

+=

De la figura:

Z

PR

Si del cuerpo anterior se toma una placa

Consideremos un cuerpo rígido que gira alrededor del eje Z, tomemos un dm en el punto P.

X

Yx

P

y

R

dm

5

2

2

yxz

y

x

III

dmxI

dmyI

+=⇒

=

=

∫

∫

X

Y

Z

xy

R

4

se toma una placa delgada, los momentos de inercia respecto a X é Y son:


Este teorema relaciona el momento de inerciaalrededor de un eje que pasa por el centro de masas yotro paralelo al mismo

Zc

Z

a = separación entre

los ejes Z y Zc

P

X

Y Yc

a

CM

RCM

P’

x

yR

los ejes Z y Zc

CM = origen del CM

Zc, eje paralelo que

pasa a través del CM

del cuerpo


De la figura: ( )

yaaRR

yaayxayxR

yxR

Cm

CM

2

2222

222222

222

++=⇒

+++=++=

+=

Luego el momento de inercia respecto del eje Z es:

( )( )∑∑ ∑

∑∑++=

++==

yamamRm

yaaRmRmI

CM

CM

2

2

22

222

∑++= ymaMaI 22 ∑++= ymaMaICM 22

La cantidad

puede ser evaluada de la posición del CM:

, pero yCM= 0

∑ ym

∑∑=

m

ymYCm

6:;0 2∑ +==⇒ aMIIluegoym CM8

Física I Mg. José Castillo Ventura

Ejemps.

1.- Hallar el momento deinercia del sistemamostrado para la rotaciónalrededor de un ejeparalelo que pasa a travésde las dos masas. m

m

m

m

2b

2a

1

2

3

4

2

24

23

22

21

24

1

8

)2()2()0()0(

amI

amammmrmI ii

i

=

+++==∑=


m1 m2

m3m4

z

x

y2.- Cuatro partículas están en los vértices deun cuadrado unidas por varillas sin masa, demodo que m1=m3= 3 kg y m2=m4= 4 kg. Lalongitud del lado del cuadrado es L = 2m. (a)Hallar el momento de inercia respecto a uneje perpendicular al plano de las partículas yque pasa a través de m4. (b)¿Cuánto trabajo senecesita para producir una rotación de 2rad/s alrededor de este eje?

∑∑

=+=+==

=+=+==

+=

28)4(3)4(4)2()2(

28)4(4)4(3)2()2(

23

22

2

22

21

2

mmxmI

mmymI

III

iiy

iix

yxz(a)

256 mkgIz =

( ) Js

radmkgIEEw kk 112456

2

1

2

12

222

0 =

==−= ω(b)


3.- Calcular el momento de inercia de una varilla delgada homogénea con respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa a través de (a) un extremo; y (b) al centro.

dx

xx

y

dx

xx

y yc

x

L

x

L/2L/2

(a)

2

0

3

0

2

0

2

2

3

1

3LM

L

MxI

dxxL

Mdx

L

MxI

dxL

MdmperodmxI

L

y

LL

y

y

=

=

=

=

==

∫∫

∫(b)

2

2

2

2

2

32

12

1

3

LMI

x

L

Mdx

L

MxI

CM

L

L

L

LCM

=

=

= ∫−−

2

222

2

12

1

23

1

2

LMI

LMLMaMII

LaaMII

CM

CM

Cm

=

−=−=

=+=Usando el teorema de Steiner:


r

dr

y

z

4.- Calcular el momento de inercia de un disco homogéneo con respecto a(a) Un eje perpendicular que pasa por su centro; (b) Un eje que coincidecon un diámetro.

( )

( )

[ ] 20

42

0

3

02

2

22

2

1

4

2

22

;2;

RMIrR

MI

drrR

Mdrr

A

MrI

rAdrrA

MdmdmrI

R

RR

=⇒

=

=

=

=

==

∫∫

∫

πππ

ππ(a)

Rx

y

(b) En este caso Ix = Iy

2

4

1

2

1

2

RMIII

IIIIIIPara

xx

xyxz

=⇒=

=⇒+==


5.- Emplear el teorema de Steiner para hallar el momento de inercia de una esfera maciza alrededor de un eje tangente a la esfera.

2aMII +=

Según el teorema de Steiner:

R 2aMII CM +=

2RMIIRa CM +=⇒=

R


R

r

x

dx

CM

De la figura:

Consideremos un conjunto de discos de espesor dx yradio r, que cubren el volumen de la esfera.

( ) ( ) 3222

3

4RVdxxR

V

Mdxr

V

Mdm πππ =−==

Para un disco dmdiscodelmasaRMI == ,2

1 2

( )( )

−−==⇒= ∫ dxxRxRM

rdmdIdIIR

CM22222 11 π

CM ( )( )

−−==⇒= ∫−

dxxRxRV

MrdmdIdII

R

CM22222

2

1

2

1 π

( )

( )2

222

222

5

2

2

2

1

RMI

dxxRMVI

dxxRMVdI

CM

R

R

CM

=

−=

−=⇒

∫−

π

π

222

5

7

5

2RMRMRMI =+=⇒


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