DINAMICA MOLECULAR

Métodos de simulación

-Permitir el estudio de propiedades de sistemas complejos

-Generación de conjunto de configuraciones distintas para un mismo sistema

-Predicción del comportamiento temporal de un sistema (MD)

Dos métodos:

-Dinámica molecular - promedio temporal

-Monte Carlo - promedio de ensamblado

Propiedad A: dependiente de las posiciones y momentos de todas las partículas:

A(pN(t), rN(t))

pN(t) = momentos de las partículas en el tiempo t

rN(t) = posiciones de las partículas en el tiempo t

Momentos y posiciones definen el ESPACIO DE FASE

Valor exp. = promedio durante el tiempo del exp. (promedio temporal)

Aave = lim ∞

dtttA NN

t

))(),((1

0

rp

Se puede calcular el valor promedio de una propiedad simulando el comportamiento de un sistema, i.e. determinando los valores instantáneos de la propiedad

Alternativa: promedio de ensamble mecánica estadística

),(),( rprprp NNNNNN AddA

<A> = valor esperado de la propiedad

(pN, rN) = densidad de probabilidad

Hipótesis ergódica

<A> = Aave

corresponde a la distribución de Boltzmann:

QTkE BNNNN /)/),(exp()( rprp

E(pN, rN) = energía

Q = función de partición

)]/),(exp[1

!

13

TkEddhN

Q BNVT NNNN

Nrprp

Q para el ensamble canónico = N, V y T ctes.

Propiedades termodinámicas

Mecánicas

-Energía

M

i

iEMU1

/1

-Capacidad calorífica

VVT

UC )(

A partir de una sola simulación:

CV = {<E2> - <E>2}/kBT2 = <(E -<E>)2>/kBT2

-Presión

Teorema del virial

TNkpxW Bxi i 3´

xi = coordenada i

p´xi = derivada de p a lo largo de coordenada i (fuerza)

Para un gas real:

TNkdr

rdVrPVW B

N

i

N

ij ij

ijij 3

)(3

1 1

N

i

N

i

ijijB

B frTk

TNkVP1 13

1/1

Temperatura

)3(22

||

1

2

cB

N

i iNN

Tk

m

iK

p

NC = número de “constricciones” del sistema

Térmicas

-Entropía

-Energía libre

-Potencial químico

No son fácilmente derivables técnicas especiales

Propiedades mecánicas dependen de la derivada primera de la función de partición

Propiedades térmicas - dependen de la función de partición misma

Método de Dinámica Molecular (DM o MD)

Concepto básico: generación de configuraciones sucesivas de un sistema a partir de la integración de las leyes de movimiento de Newton:

i

xi

m

F

dt

xid 2

2

Fxi = fuerza sobre una partícula en la dirección xi

Tres situaciones

1) Conjunto de moléculas que sufren colisiones en ausencia de fuerzas externas entre colisiones

2) Cada partícula experimenta una fuerza constante entre las colisiones (ej: carga en un campo eléctrico)

3) La fuerza sobre cada partícula depende de la posición relativa de las demás partículas

Primeras simulaciones fueron del tipo 1 (modelos de esferas duras)

Primera simulación “real”: Argon (1964)

Simulaciones con potenciales continuos y variables

Para resolver las ecuaciones diferenciales (Newton) se aplican métodos de “diferencia finita”

Idea básica: la integración de las ecuaciones se realiza en etapas de tiempo muy pequeñas (t)

Para cada t:

1) Evaluar la energía potencial de sistema (FF) a partir de las posiciones actuales de las partículas

2) Derivar la fuerza para cada partícula

3) Obtener la aceleración para cada partícula

4) Calcular nuevas posiciones a partir de aceleración, velocidad y posiciones actuales

Se asume fuerzas ctes. durante cada t

)()()(2)( 2 ttttttt arrr

tttttt Δ2/)]()([)( rrv

Ventajas:

-Simple y expeditivo

-Combinable con otros algoritmos

Desventajas:

-Poca precisión

-Cálculo de velocidades

2) Leap-frog

Utiliza la aceleración y velocidad para el cálculo de la posición:

)()()( 2/12/1 tttttt avv

)()()( 2/1 tttttt vrr

Algortimos de integración

Verlet)()()()( 22/1 ttttttt avrr

)()()()( 22/1 ttttttt avrr

Ventajas:

-Simple

-Calculas las velocidades explícitamente

Desventajas:

-Posiciones y velocidades se obtienen desfasadas en el tiempo

3) Velocity Verlet

)]()([)()( 2/1 ttttttt aavv

)()()()( 22/1 ttttttt avrr

Ventajas:

-Calcula velocidades explícitamente y en fase con posiciones

4) Beeman

Asume una variación lineal de la aceleración en el intervalo t

tttttttt /)]()([)()( aaaa

)(

)()()()(

6/1

6/53/1

ttt

tttttttt

a

aavv

)(

)()()()(

2

2

6/1

3/2

ttt

ttttttt

a

avrr

Ventajas:-Mayor precisión-Mayor tamaño det-Cálculo explícito de velocidades

Desventajas:

-Mayor costo computacional

5) Gear (predictor-corrector)

3 pasos:

1) Predicción de r(t + t), v(t + t), a(t + t), etc. a partir de expansiones de Taylor

2) Cálculo de la fuerza en las nuevas posiciones y obtención de a(t + t)

3) Comparación de a (t + t) calculadas y predichas

La diferencia entre los valores predichos y calculados se usan para corregir las posiciones, velocidades, etc., en el paso de corrección:

)()()( tttttt c aaa

aceleración teórica

)()()( 0 ttcttttc arr

)()()( 1 ttcttttc avv

)(2/)(2/)( 2 ttcttttc aaa

)(6/)(6/)( 3 ttcttttc abb

Ventajas:

-Gran precisión

-Uso de t mayor

Desventajas:

-Mayor espacio de almacenamiento

-Evaluación doble de las fuerzas en cada t

SHAKE

Algoritmo de constricción

Permite el uso de t significativamente mayores simulaciones más largas

Constraints del tipo:

rij2 – dij

2 = 0 constricción holonómica

rij = distancia entre átomos i y j

dij= valor fijo de distancia entre i y j

Elección del algoritmo de DM

Factores:

1) Esfuerzo computacional en cada paso2) Tamaño de t3) Conservación de la energía (ens. microcanónico)4) Requerimientos de memoria y espacio en disco5) Precisión

En general, el algoritmo óptimo debe demandar poco costo computacional (cálculo, memoria y espacio), debe ser preciso (resultados similares a los experimentales), posibilitar trayectorias largas en tiempos razonables, ser moldeable (sencillo de modificar) y adaptarse adecuadamente a diferentes condiciones de simulación

SHAKE utiliza un procedimiento iterativo que en cada t ajusta todas las distancias de enlace a valores pre-establecidos

Dinámica Molecular a temperatura y presión constantes

-Ensamble microcanónico: N, V y E ctes.

-Ensamble canónico: N, V y T ctes.

-Ensamble isotermo-isobárico: N, T y P ctes.

Temperatura:

<K>NVT = 3/2NkBT

1) Escalamiento de velocidades

Se multiplican las velocidades por un cierto factor )

))(/( tTToT0 = temperatura de referencia

T(t) = temperatura instantánea

N

i B

iiN

i B

ii

Nk

vm

Nk

vmT

1

2

1

2

)) (2/1

(2/1 3/23/2

T = (2 -1)T(t)

2) Acople térmico

Se acopla el sistema a un baño térmico (T) con el cual intercambia energía

))((/1)(

tTTdt

tdTba

Tba = temperatura del baño

= constante de acoplamiento

T = t/(Tba – T(t))

t = tiempo de integración

)1)(

(12 tT

Tt ba

Ventaja

-Permite la fluctuación de temperatura alrededor del valor de referencia

3) Colisiones estocásticas

Se reasignan velocidades a partir de una distribución de Maxwell-Boltzmann a la temperatura de referencia

Baño térmico emitiendo partículas térmicas!

La frecuencia de “colisiones” para una partícula es:

Nk

a

B3/23/13

2

= conductividad térmica

= densidad de partículas

N = número de partículas

o

=c/N2/3 c = frecuencia de colisión intermolecular

Desventaja

-Introduce discontinuidades en la trayectoria

Presión

1) Escalamiento del volumen

2) Acople a baño de presión

))((/1)(

tPPdt

tdPbap

)(1 bap

PPt

= compresibilidad isotérmica

T

P

V

V)(

1

r´i =1/3ri

Escalamiento:

-isotrópico

-anisotrópico

Algoritmo de Dinámica Molecular

En cada t de integración, el algoritmo tipo (basado en leap-frog) de DM puede resumirse en los siguientes pasos:

0) Las posiciones (ri(tn)) y velocidades (vi(tn – t/2) para todos los átomos y el largo (Rbox(tn)) y volumen (Vbox(tn) ) de la caja son conocidos en t = tn

1)Cálculo de las fuerzas (no constreñidas):

2) Cálculo de la energía cinética, el virial y la presión:

i

nni

r

trVtF

))((

)(

)(3

))()2/((2)(

))().((2/1)(

))2/((2/1)(1

2

nbox

nnkinn

ji

nijnijn

N

i

iinkin

tV

tttEtP

tFtrt

ttnvmtE

Algoritmo de Dinámica Molecular

3) Cálculo de la temperatura:

4) Cálculo de las nuevas velocidades no constreñidas:

5) En caso de ajuste de temperatura, multiplicación de velocidades por factor:

6) Cálculo de las nuevas posiciones no constreñidas:

i

ninini

m

ttFttvttv

)()2/()2/(

Bdf

nkinn

kN

ttEttT

)2/(2)2/(

)2/(

121

0

ttT

Tt

k

c

nB

vT

tttvtrttr ninini )2/()()(

Algoritmo de Dinámica Molecular

7) En caso de aplicación de constricciones (SHAKE), almacenamiento de posiciones no constreñidas:

8) En caso de aplicación de constricciones (SHAKE), cálculo de nuevas posiciones constreñidas:

9) En caso de aplicación de constricciones (SHAKE) cálculo de nuevas velocidades constreñidas:

)()(' ttrttr nini

))(),('),(( ttrttrtrSHAKE ninini

t

trttrttv

ninini

)()(

)2/(

Algoritmo de Dinámica Molecular

10) En caso de aplicación de constricciones (SHAKE), cálculo de fuerzas no constreñidas:

11) En caso de ajuste de presión, multiplicación de posiciones por factor:

y cálculo del nuevo largo y volumen de la caja:

tttrttr

mtFnini

ini

2

)(')()(

))((1 0

3/1

n

p

Tp tPPt

)()( nboxpnbox tRttR

)()( 3nboxpnbox tVttV

Fases de una simulación (MD o MC)

1) InicioElección del modelo energético (FF)Elección de la configuración de partida y entornoAsignación de velocidades

2) Equilibramiento

Evolución del sistema desde la configuración inicial hasta el equilibrio (incluye pre-calentamiento)

3) Producción

Recolección de datos y cálculo de propiedades simples

4) AnálisisCálculos más complejos de propiedadesExamen estructuralDetección de problemasEstimación de errores

Condiciones de borde o frontera

Aspecto relevante en una simulación

Tipos de borde

1) Vacío

El sistema se encuentra totalmente aislado

Aproximación pobre:

-Distorsión de la forma molecular en la interfase

-Cambios en la forma global por efecto de interacciones intramoleculares

2) Seudovacío

Sin solvente explícito pero se incluyen efectos del solvente

Ej: campo de fuerza NIS, dinámica estocástica

Mejor aproximación: algunos efectos del solvente son tenidos en cuenta: apantallamiento de cargas e interacciones de van der Waals.

3) Condiciones periódicas (PBC)

Copias del modelo repetidas periódicamente

Ventaja:

-Permite simular sistemas pequeños atenuando efectos de vacío: los átomos siempre están rodeados de otros átomos

Desventajas:

-Pérdida de fluctuaciones con longitud de onda mayor al largo de la celda

-Pérdida de interacciones no enlazantes

4) Solvente

-Condiciones periódicas

-Pared extendida (“extended wall”)

Tratamiento de las interacciones no enlazantes

Evaluación costosa - pares de interacciones prop. a N2

Potenciales no enlazantes dependen inversamente de la distancia:Uso de radios de cut off:

1) Twin range method

Dos radios de cut off

-rc1 Lennard Jones + Coulomb

-rc2 Coulomb

rc2 > rc1 (ej: rc1 = 8Å y rc2 = 15Å)

En PBC convención de mínima imagen: la interacción se calcula con respecto al átomo mismo o a su imagen más cercana (una sólo vez)

rc2 < l/2 (caja cúbica)

Combinación de radios cut off con lista de vecinos no enlazantes (non bonded neighbour list)

Los vecinos se determinan cada n ts y se almacenan en una lista:

En cada t, se calculan las distancias con respecto a la lista de vecinos

rcnei >= rc2

Necesidad de actualizar la lista de vecinos periódicamente

2) Twin range + neighbour pair list

r < rc1 todas las interacciones en cada t

rc1 < r < rc2 - sólo interacciones electrostáticas cada vez que se actualiza la lista de vecinos

3) Radios de cut off entre grupos

Cálculo de interacciones no enlazantes entre grupos de átomos en vez de átomos aislados.

Concepto de grupos de carga (charge groups):

Carga total = 0 dipolo-dipolo término dominante

Radios de cut off entre grupos:

-Medido entre los centros de masa

-Considerando un átomo marcador

Ventajas

-Menor alcance de interacciones electrostáticas (1/r3)

-Funciona mejor con radios de cut off

Desventajas del uso de radios de cut off

1) Aproximación

2) Introducción de discontinuidades en el potencial y la fuerza

Mejoras en la discontinuidad del potencial

1) Potenciales corridos: “shifted potentials”

V´(r) = V(r) – Vc r <= rc

V´(r) = 0 r > rc

Vc = valor del potencial en rc

2) Funciones de cambio: “switching functions”

S = 1 rij < rc1

S = (rc2 –rij)/(rc2 –rc1) rc1<=rij<=rc2

S = 0 rc2 < rij

V´(r) = V(r)S(r)Tratamiento de las fuerzas de largo alcance

-Sumatoria de Ewald

-Campo de reacción-Celdas multipolo

Campo de reacción

Término adicional al potencial electrostático (calculado dentro de rc)

Vi = Ei.i

cij rrj

j

cs

si

r ;2)

1(

1

)1(2μE

i: dipolo de molécula i

j: dipolo de molécula j dentro de rc

s: constante dieléctrica del medio fuera de rc

Se modelan los átomos fuera del radio de cut off como un dieléctrico continuo (buena aproximación para fluidos)

Ventajas-Simple conceptualmente-Fácil de implementar

Desventajas:

-Necesidad de conocer s

Análisis de la simulación

1) Energético:

Evolución de la energía total (cinética + potencial)

Evolución de la energía potencial

Evaluación de componentes de energía potencial:

-Energía covalente: enlaces y ángulos

-Energía no covalente: diedros e interacciones no enlazantes

-Energías de interacción no enlazante entre grupos (soluto-solvente, ligando-proteína, etc.)

Promedios de energía total y potencial y cálculo de energías libres

2) Estructural:

RMSD (desviaciones cuadráticas medias)

Valor de la desviación promedio entre todos los átomos o coordenadas de conformaciones

Factores B (temperatura)

Valor de la desviación promedio de cada átomo por separado en las distintas conformaciones

m: masa del átomo i

ri(tk): posición de átomo i en el tiempo tk

<r>i: posición promedio de átomo i

at

at

refiirefiirefii

coordN

ZZYYXX

DSMR

N

i

3

)()()(

.... 1

222,,,

at

at

refiirefiirefii

atN

ZZYYXX

DSMR

N

i

1

222 )()()(

....

,,,

n

kikii rtr

mB

1)(

22

3

8

P.M.I. (momentos principales de inercia)

Medida de la distribución de masa del sistema entre los ejes cartesianos

Noción de volumen y forma del sistema

Centro de masas para fragmento k:

ri: posición de átomo i ; mi: masa del átomo i

nk: número de átomos de fragmento k

Radio de giro para fragmento k:

Matriz de momentos de inercia:

3 valores propios de Mk --- momentos de inercia del fragmento K

k

k

n

i

i

n

i

ii

gk

m

rmR

1

1

nk

igkiik RrmI

1)(

2

kn

i

gkigkiiKk RrRrmIM1

)()(1 1: matriz identidad