dinamica del levitron

5/16/2018 dinamica del levitron - slidepdf.com

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Simulacion numerica de la dinamica de un “Levitron”

Alberto T. Perez IzquierdoDpto. de Electronica y Electromagnetismo

Universidad de Sevilla

Agosto 2010

El “Levitron” es un juguete magnetico que consiste en una peonza queflota libremente en el aire por encima de una base formada por un bloquede material imantado. La peonza esta hecha, a su vez, de una ceramicamagnetica y se mantiene en el aire gracias a la repulsion del potente imanque contiene la base. El polo norte del iman de la peonza apunta hacia elpolo norte del iman de la base. Para conseguir que la peonza flote librementees necesario que su peso y velocidad de giro esten finamente ajustados.

El giro de la peonza la convierte en una especie de gir oscopo y tiene lafuncion de mantenerla orientada en la direccion y sentido correctos para quesea repelida por el iman de la base. En ausencia de esta rotacion la peonza sevolcarıa, sometida al par de fuerzas del campo magnetico de la base, y caerıaatraıda por esta.

Aunque los principios fısicos sobre los que se fundamenta el juguete sonconocidos desde el siglo XIX solo el descubrimiento en el siglo XX de nuevosmateriales magneticos ha hecho posible la construccion del Levitron. Tantola peonza como la base son potentes imanes hechos de un material ceramicoque no conduce la electricidad. Los imanes metalicos usuales no valdrıanpara este proposito ya que las corrientes de Foucault originadas en el metalfrenarıan el giro y disiparıan la energıa cinetica de rotacion proporcionada

inicialmente.Los detalles dinamicos del movimiento del Levitron son muy complejos. El

acoplamiento entre la fuerza magnetica y la dinamica de rotacion de la peonzada lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que no puedenresolverse analıticamente. Algunos autores han abordado el problema de laestabilidad del vuelo del Levitron mediante metodos propios de la teorıa desistemas dinamicos. El problema consiste en determinar bajo que condicioneses posible obtener un vuelo estable.

Tres son los elementos basicos que determinan la estabilidad del Levitron.En primer lugar el campo magnetico debe cumplir ciertas restricciones, sin lascuales no hay un punto de equilibrio en el que la peonza pueda mantenerse.En segundo lugar el peso de la peonza debe ser tal que equilibre la fuerza

1



magnetica en el punto adecuado. Una peonza mas pesada que cierto valor nopuede ser sustentada por el campo magnetico, mientras que una mas ligerasale volando sin control. El rango en el que el peso iguala la fuerza magneticaes bastante estrecho. Por ello el Levitron de juguete que se comercializanormalmente tiene un juego de anillas de distinto peso que se pueden quitar

o anadir a la peonza para ajustar su peso. Por ultimo el vuelo estable solose consigue si la velocidad de giro esta entre dos valores extremos. Tanto sila peonza gira a baja velocidad como si gira muy r apido se sale del punto deequilibrio. De nuevo el rango en el que se debe encontrar la velocidad de giroes estrecho, lo que suele hacer difıcil volar el levitron las primeras veces quese intenta.

En este artıculo trato de explicar la fısica fundamental del levitron. Todolo que sigue esta esencialmente tomado de los artıculos de Dullin y Easton [1],Simon et al. [2] y Genta et al. [3]. No son estos artıculos faciles, especialmenteel primero, por lo que espero que mi trabajo ayude a la comprensi on del

problema al lector interesado.Utilizando el programa comercial Matlab he escrito un programa de orde-nador para resolver numericamente las ecuaciones que gobiernan el movimien-to del Levitron. Con ayuda de este programa he resuelto las ecuaciones envarios casos ilustrativos.

Condicion de equilibrio

El levitron esta sometido a la fuerza de la gravedad y a la fuerza magnetica.Para modelar la fuerza magnetica basta considerar al levitron como un dipolo

magnetico. La fuerza total sobre el dipolo es:

F = −mgez +∇(µ · B) (1)

donde m es la masa de la peonza, g la aceleracion de la gravedad, µ sumomento dipolar magnetico, B el campo magnetico creado por la base yez el vector unitario en la direccion vertical. Para que exista un punto deequilibrio en la direccion vertical es necesario que se cumpla, en este punto,la condicion:

−mg + µdBz

dz= 0 (2)

Dado que el campo decrece en valor absoluto a medida que nos alejamosde la base, la condicion de equilibrio solo puede cumplirse si el campo y el

2



momento dipolar µ apuntan en sentidos contrarios. Solo en ese caso la baserepele a la peonza.

La condicion de equilibrio en direccion z no asegura que la peonza este enequilibrio estable. De hecho, el teorema de Earnshaw asegura que no se puedeconseguir un equilibrio mecanico estable solo gracias a fuerzas electrostaticas

o magnetostaticas. Este teorema es consecuencia de que el campo magnetico,en la zona de interes, deriva de un potencial, ya que ∇ × B es cero en esaregion. Podemos tomar entonces:

B = −∇V (3)

Como ademas ∇ · B = 0, V cumple la ecuacion de Laplace:

∇2V = 0 (4)

Derivando respecto a z:

∇2B

z= 0 (5)

Esto nos lleva a la conclusion de que si la peonza esta siempre orientada enla direccion z la fuerza sobre ella deriva de un potencial U = mgz −µBz quecumple la ecuacion de Laplace. Ahora bien, sabemos que las soluciones de laecuacion de Laplace no tienen maximos ni mınimos. Por tanto, si conseguimosque se cumpla la condicion (2) estaremos necesariamente ante un punto desilla, y el dipolo se encontrara en un maximo de energıa respecto de lasdirecciones transversales si esta en un mınimo en la direccion vertical.

La clave para que el levitron funcione es que la peonza no se mantieneen la direccion z estrictamente, sino que tiende a alinearse con la direccionlocal del campo (mas adelante justificare esta afirmacion). De esta forma suenergıa potencial viene dada por:

U = mgz − µ ·B = mgz + µB (6)

(a partir de ahora voy a considerar que el vector µ esta orientado opuesta-mente a B, de ahı el cambio de signo.)

En lo que sigue considerare que el campo tiene simetrıa cilındrica y queel punto de equilibrio se encuentra en el eje de simetrıa. En estas condicionesla componente transversal del campo es muy pequena. Desarrollando la raızcuadrada del modulo en serie de Taylor y reteniendo solo el primer termino:

B =

B2r + B2

z = Bz + 12

B2r

Bz

(7)

3



donde r es la coordenada cilındrica radial.A continuacion, desarrollamos en serie las dos componentes del campo

alrededor del punto de equilibrio r = 0 y z = zc:

Bz(r, z) = B

z+

∂Bz

∂z(z−

zc) +

1

2

∂ 2Bz

∂z2(z−

zc)2 +

1

2

∂ 2Bz

∂r2r2 (8)

Br(r, z) =∂Br

∂rr +

1

2

∂ 2Br

∂r2r2 (9)

donde he tenido en cuenta que la simetrıa cilındrica obliga a que Br = 0 enr = 0 y que Bz no puede tener terminos lineales en r. Tanto Bz como Br ysus derivadas estan evaluadas aquı en el punto r = 0, z = zc.

Usando los desarrollos (7-9) podemos expresar la energıa potencial hastaterminos de orden r2 y (z − zc)2, que resulta ser:

U = mgz + µBz + µ∂Bz

∂z

(z

−zc) +

µ1

2

∂ 2Bz

∂z2(z − zc)2 + µ

1

2

∂ 2Bz

∂r2+

1

2Bz

(∂Br

∂r)2

r2 (10)

La condicion de equilibrio es, al igual que antes, mg+µ∂Bz

∂z= 0. Pero para

que este equilibrio sea estable los dos coeficientes de los terminos cuadraticosdeben ser positivos. De esa forma el potencial es un paraboloide abierto haciaarriba y con su vertice en el punto de equilibrio. Las condiciones de equilibrioestable son, pues:

∂ 2Bz

∂z2

> 0 (11)

∂ 2Bz

∂r2+

1

Bz

(∂Br

∂r)2 > 0 (12)

Tanto Br y sus derivadas como Bz y sus derivadas respecto de r se puedenexpresar en funcion solamente de Bz(z) y sus derivadas si hacemos uso delas ecuaciones de la magnetostatica. De la divergencia nula de B tenemos:

1

r

∂rBr

∂r= −∂Bz

∂z(13)

Integrando:

Br(r, z) = −12

∂Bz

∂zr (14)

4



donde ∂Bz/∂z esta evaluada en r = 0.En la zona de interes el rotacional de B tambien es cero, ya que las fuentes

de campo estan en la base. Luego:

∂Bz

∂r=

∂Br

∂z(15)

Sustituyendo el valor de Br obtenido e integrando:

Bz(r, z) = Bz(z) − 1

4

∂ 2Bz

∂z2r2 (16)

Estas expresiones de Bz y Br permiten expresar las condiciones de equi-librio estable en funcion solo de Bz(z).

∂ 2Bz

∂z2> 0 (17)

−12

∂ 2

Bz

∂z2 + 14Bz

(∂Bz

∂z)2 > 0 (18)

Queda claro que no todas las configuraciones de campo pueden propor-cionar una levitacion estable.

Eleccion de una forma funcional concreta del

campo magnetico

Para un campo de simetrıa cilındrica las expresiones (14) y (16) permiten

expresar el campo para puntos cercanos al eje conocida solamente la funcionBz(z). Ademas, en esta zona el rotacional del campo es cero, luego podemoscalcularlo a partir de un potencial escalar. Sea V (z) el potencial escalarmagnetico en el eje de simetrıa. Para que la funcion V (z) sea adimensionalvamos a escogerla de tal forma que Bz(z) = −B0adV/dz. Aquı B0 representaun valor de referencia de la magnitud del campo generado y a es la escalatıpica de variacion del campo. En funcion de V las expresiones (14) y (16) seconvierten en:

Br(r, z) = B01

2

d2V

dz2r (19)

Bz(r, z) = −B0 dV dz

+ 14

d3V dz3

r2 (20)

5



La condicion de equilibrio es

mga

µB0

− V ′′(zc) = 0 (21)

donde zc es adimensional.

Y las condiciones de equilibrio estable se expresan para V (z) como

V ′′′(zc) < 0 (22)

V ′′′(zc) − 1

2

(V ′′(zc))2

V ′(zc)> 0 (23)

Siguiendo a Dullin y Easton [1] voy a elegir como funci on V (z) la delpotencial producido por un disco de radio a con un hueco de radio ba. Paraesta configuracion se tiene:

V (z) = 2πz 1

√b2 + z2 −1

√1 + z2

(24)

donde z y b son adimensionales y el radio a del disco se ha tomado como lareferencia de distancias.

La figura 1 representa V ′′(z) en funcion de z. La lınea horizontal esta situ-ada en un valor cercano a uno, donde es posible el equilibrio. Este valor lodetermina el cociente mga/µB0. Hay dos puntos que cumplen la condicion.El punto de z mas bajo es claramente inestable, ya que si desplazamos lapeonza hacia arriba la fuerza magnetica, representada por la curva, es mayorque el peso, representado por la lınea recta horizontal, y la peonza se ira maspara arriba todavıa. Si la peonza cae por debajo del punto el peso es mayor y

caera aun mas. Un razonamiento similar muestra que el punto de z mas altoes estable. Cuantitativamente esta condicion queda reflejada en la exigenciade que V ′′(z) sea una funcion decreciente (ecuacion (22)). Para el valor de bescogido V ′′(z) es decreciente para z > 1, 22.

El que el equilibrio de z > 1, 22 sea estable en la direccion z no aseguraque lo sea transversalmente. Debe, ademas, cumplirse la otra condicion. Lafigura 2 representa esta funcion. Se ve que para z < 1, 3 la funcion es positiva.

En conclusion, la zona en la que el levitron puede ser “volado” de mane-ra estable para esta forma funcional del campo magnetico es la de 1, 22 <z < 1, 3. Esta restriccion podemos denominarla estatica. Es el resultado del

analisis de la forma de la energıa potencial del levitron. Como veremos en lasproximas secciones hay, ademas, restricciones dinamicas.

6



1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z

V ’ ’ ( z )

Figura 1: Forma de la funcion V ′′(z). La lınea horizontal marca la condicionde equilibrio. Dos puntos cumplen la condicion de equilibrio, pero solo el demayor valor de z es estable.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

z

Figura 2: Forma de la funcion V ′′′(z)−

1

2

V ′′(z)2

V ′

(z)

. La zona de estabilidad co-rresponde a la zona en que la funcion es positiva.

7



Ecuaciones de movimiento

Para describir el movimiento del levitron voy a utilizar los angulos deEuler en la convencion denominada x, y, z. No es esta la convencion habitual,pero tiene la ventaja de que las ecuaciones diferenciales resultantes son re-

gulares en torno al eje θ = 0, lo que facilita su integracion numerica. En esteconvenio la orientacion de la peonza en el espacio viene determinada por tresangulos: ψ, θ y φ. El angulo ψ representa un giro alrededor del eje z. Para unobjeto con simetrıa axial, como la peonza, es un giro del objeto alrededor desu eje de simetrıa. El angulo θ es un giro respecto del eje y. El tercer angulo,φ, es un giro respecto del eje x. Las figuras 3 a 6 ilustran las tres rotacionessucesivas.

La velocidad angular de la peonza tiene los valores θ y cos θφ segun losdos ejes perpendiculares al eje de simetrıa y el valor ψ + sin θφ segun el ejede simetrıa. Con ello la funcion lagrangiana es:

L(x,y,z,ψ ,θ ,φ) = 12

m(x2 + y2 + z2)

+1

2I 1(θ2 + cos2 θφ2) +

1

2I 3(ψ + sin θφ)2 − U (x,y,z,ψ ,θ ,φ) (25)

donde m es la masa de la peonza, I 3 el momento de inercia respecto del ejede simetrıa e I 1 el momento de inercia respecto de un eje perpendicular alde simetrıa.

El eje de la peonza esta orientado segun el vector n = sin θex+cos θ sin φey+cos θ cos φez, por lo que la energıa potencial es:

U = mgz + µ(Bx sin θ + By cos θ sin φ + Bz cos θ cos φ) (26)

Los momentos angulares pψ, pθ y pφ se obtienen de la lagrangiana en laforma habitual:

pψ =∂ L

∂ ψ= I 3(ψ + sin θφ) (27)

pθ =∂ L

∂ θ= I 1θ (28)

pφ =∂ L

∂ φ= I 3 sin θψ + (I 3 sin2 θ + I 1 cos2 θ)φ (29)

8



Figura 3: Posicion de la peonza sin alterar. El punto negro es una referenciapara apreciar la rotacion de la peonza sobre sı misma.

Figura 4: Posicion de la peonza cuando el angulo ψ vale π/4.

9



Figura 5: Posicion de la peonza cuando ha girado π/4 sobre sı misma y π/4en el eje y ( psi = π/4 y θ = π/4).

Figura 6: Posicion de la peonza cuando los tres angulos valen pi/4.

10



Despejando las velocidades en funcion de los momentos se obtiene lafuncion hamiltoniana, que resulta ser [1]:

H(x,y,z,px, py, pz, ψ , θ , φ) =1

2m( p2

x + p2y + p2

z)

+ 12I 1

( p2θ + ( pφ − pψ sen θ)2

cos2 θ) + p2ψ

2I 3+ U (x,y,z,ψ ,θ ,φ) (30)

Es conveniente usar magnitudes adimensionales para la integracion numeri-ca. Como referencia de tiempo voy a usar el cociente τ =

I 1/(µB0) y como

referencia de escala espacial el valor a definido anteriormente. Con ello lasecuaciones de Hamilton resultan ser:

x = px, y = py, z = pz, (31)

˙ px = −∂U

∂x, ˙ py = −∂U

∂y, ˙ pz = −∂U

∂z(32)

ψ = λpψ + sin θcos2 θ

( pψ sin θ − pφ), (33)

θ = pθ, (34)

φ = − 1

cos2 θ( pψ sin θ − pφ), (35)

˙ pψ = 0, (36)

˙ pθ =1

cos3 θ( pψ sin θ − pφ)( pφ sin θ − pψ) − ∂U

∂θ, (37)

˙ pφ = −∂U

∂φ. (38)

donde la funcion U esta definida por:

U = Gz +1

Λ(

1

2xV ′′(z)sin θ

+1

2yV ′′(z)cos θ sin φ− (V ′(z) +

1

4(x2 + y2)V ′′′(z)) cos θ cos φ) (39)

Los parametros adimensionales que gobiernan el movimiento son:

Λ =ma2

I 1G =

gI 1aµB0

(40)

λ = I 1I 3

(41)

11



El producto ΛG = mag/µB0 determina la coordenada z del punto deequilibrio. Como vemos en la figura 1 debe ser un valor un poco por debajode 0,9.

Aspectos cualitativos de la dinamica: veloci-dades maxima y mınima de rotacion

La dinamica de rotacion de la peonza sigue la ecuacion:

dL

dt= µ× B (42)

donde L es el momento angular total de la peonza. En ausencia de par defuerzas el momento angular permanece constante, con lo que la peonza semantiene orientada en una direccion fija del espacio. Para una peonza quegire alrededor de su eje el momento angular es L = I 3ω0. Si el valor de ω0

es grande el momento angular y el dipolo magnetico estan esencialmentealineados y el par magnetico µ×B es perpendicular a los vecotres B y L. Elresultado es que L precesa en torno a B. En consecuencia L no cambia demodulo con lo que

|dL

dt| = ω pL = µB (43)

donde ω p es la velocidad de precesion de la peonza. Dado que L ≃ I 3ω0 seobtiene

ω p =µB

I 3ω0(44)

Para que el efecto giroscopico sea efectivo, y la peonza apunte esencial-mente en la direccion del campo magnetico, el momento angular total tieneque ser muy proximo a I 3ω0. Dicho de otro modo, el momento angular asocia-do a la rotacion perpendicular al eje de simetrıa tiene que ser mucho menorque el asociado a la rotacion alrededor del eje de simetrıa. La precesion hacegirar la peonza en torno a un eje perpendicular al de simetrıa, y el momentoangular asociado a esta rotacion es I 1ω p.

La condicion de que exista efecto giroscopico se expresa, por lo tanto:

I 1ω p < I 3ω0 (45)

o

ω20 > I 1µB0

I 23(46)

12



Esta es la razon de la existencia de una velocidad mınima para la esta-bilidad del levitron. Por debajo de esta velocidad la peonza no mantiene suorientacion y se vuelca. Un calculo riguroso [2, 3, 1] muestra que la velocidadangular mınima para obtener una levitacion estable incorpora un factor 4,resultando ser:

ω2min = 4 I 1µB0

I 23(47)

El correspondiente valor adimensional es:

ωminτ = 2I 1I 3

= 2λ (48)

A la vez que una velocidad mınima para la obtencion de una levitacionestable, tambien existe una velocidad maxima, por encima de la cual la pe-onza se sale del punto de equilibrio. Esta velocidad maxima esta asociadatambien a la precesion. Si ω0 es demasiado grande ω p se hace pequena, y lapeonza tarda mucho tiempo en completar una revolucion alrededor del vector

de campo magnetico. Visto de otra forma: si ω0 es muy grande la peonza casino cambia de direccion, y no sigue la direccion del campo, sino la direccioninicial. En estas condiciones el teorema de Earnshaw entra en accion y lapeonza se desestabiliza radialmente.

La velocidad de precesion tiene que ser suficientemente rapida como paraque la peonza este orientada, esencialmente, en la direccion local del campode forma que la energıa potencial efectiva sea la dada por (10). De nuevoun analisis riguroso proporciona el valor de la frecuencia angular maxima[2, 3, 1]:

ωmax = γ 1

gI 3 µ3B3

0

m(49)

donde γ es un factor cercano a la unidad. Adimensionalmente

ωmaxτ = γ λ

G√

Λ(50)

Para que exista un rango de estabilidad de la velocidad de la peonza se debetener ωmax > ωmin. Como ωmax/ωmin = 1/(2G

√Λ) (donde he tomado

γ = 1) y para que haya equilibrio GΛ ∼ 1 se llega a la conclusion de que Gdebe ser un valor inferior a 1 y Λ mayor que 1.

Por ultimo es interesante notar que, adimensionalmente, la relacion entrela velocidad de rotacion y la de precesion es:

ω pω0 = λ (51)

13



Propiedades de un levitronI 3 2, 2× 10−6 kg/m2

I 1 1, 32× 10−6 kg/m2

m 0,02135 kgµ 0,65 Am2

La comprobacion de esta relacion proporciona un buen test para la sim-ulacion numerica.

Simulacion numerica

Los valores tıpicos de las propiedades mecanicas y magneticas de un le-vitron de juguete figuran en la tabla (ver [3, 2]).

Genta et al. dan para el campo magnetico B0 = 0, 0136 Teslas y ∂Bz/∂z =−0, 322 T/m. Con la eleccion realizada de la forma funcional de V (z) estosvalores permiten estimar el valor de la escala espacial de variacion del campoa de la siguiente forma:

a = −V ′′(zc)

V ′(zc)

0, 0136

0, 322(52)

que da a = 0, 0433 cm para zc = 1, 25 y b = 0, 5.Con todos estos valores se obtienen los siguientes parametros adimension-

ales:

Λ = 30 G = 0, 0338 λ = 0, 6 (53)Estos valores dan un producto ΛG = 1, 0140 para el que no existe equi-

librio, por lo que he reducido un poco el valor de G en las simulaciones,tomando G = 0, 03005. El tiempo de referencia para la simulacion es

τ =

I 1

µB0= 0, 0122s (54)

y los valores mınimo y maximo de la velocidad de giro adimensional para losque las expresiones (48-50) predicen un vuelo estable son:

ωmin = 1, 1956 ωmax = 2, 867 (55)

14



.Las ecuaciones de Hamilton (31-38) forman un conjunto de nueve ecua-

ciones diferenciales ordinarias de primer orden no lineales. Estan escritasya en una forma que resulta muy conveniente para su resolucion numericausando Matlab, ya que las funciones Matlab de resolucion de sistemas de

ecuaciones diferenciales ordinarias requieren que las ecuaciones se escribancomo un sistema de primer orden. En todas las simulaciones he utilizado lafuncion ode45.

Junto a las ecuaciones hay que proporcionar valores iniciales de las vari-ables. En todas las simulaciones que voy a presentar he usado z0 = 1, 28, yθ0 = 0, 005. Todos los demas valores iniciales son cero, excepto la velocidadangular inicial ψ0 que es distinta para cada simulacion.

Tomando Λ = 30, G = 0, 03005, λ = 0, 6, b = 0,5 he obtenido simula-ciones estables de vuelo para ω0 = ψ0 en el rango 1, 3 < ω0 < 2, 7. Paravalores fuera de este rango la peonza se desestabiliza y se sale de la zona de

equilibrio.Las figuras 7 y 8 muestran el comportamiento de la altura de la peonzaen funcion del tiempo y en funcion de la coordenada x, respectivamente, parauna simulacion con ω0 = 2. La peonza ejecuta un movimiento oscilatorio enel eje z alrededor del punto de equilibrio. La dinamica en el eje x es erratica,pero se mantiene dentro de unos margenes determinados.

El movimiento de precesion queda ilustrado al representar la evolucion dela proyeccion del eje de la peonza en el plano XY . Esta proyeccion esta re-presentada en la figura 9 para una velocidad angular de 2 y en la figura 10para una velocidad angular de 1.5. En ambos casos ademas del movimientode precesion (giro del eje de la peonza alrededor del centro) hay un no-

table movimiento de nutacion (oscilacion del eje en sentido radial). El ori-gen del movimiento de nutacion esta en las componentes radiales del campomagnetico. Estas componentes radiales (Bx y By) hacen que el par de fuerzasmagnetico tenga una componente en direccion z, lo que produce una levevariacion del momento angular en sentido radial.

La figura 11 muestra la variacion de z con x para ω0 = 1. Para este valorde la velocidad de giro la peonza se desestabiliza muy rapidamente y cae.

Con ayuda de algunas funciones de Matlab elaboradas por el profesorBruce R. Land [4], de la Universidad de Cornell, he elaborado el modelografico de la peonza que aparece en la figura 3 y siguientes. Las mismas fun-

ciones del profesor Land me han servido para generar, una vez calculadaslas coordenadas y los angulos de la peonza en funcion del tiempo, anima-

15



0 50 100 150 2001.278

1.28

1.282

1.284

1.286

1.288

1.29

1.292

t

z

Figura 7: Variacion de la altura de la peonza z en funcion del tiempo paraω0 = 2.

−6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−3

1.278

1.28

1.282

1.284

1.286

1.288

1.29

1.292

x

z

Figura 8: Variacion de la altura de la peonza z en funcion de la coordenada

x para ω0 = 2.

16



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

x 10−3

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10x 10

−3

Figura 9: Proyeccion en el plano XY del eje de giro de la peonza para ω0 = 2.

−6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−3

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−3

Figura 10: Proyeccion en el plano XY del eje de giro de la peonza para

ω0 = 2.

17



−0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

x

z

Figura 11: Variacion de la altura de la peonza z en funcion de la coordenadax para ω0 = 2.

ciones demostrativas de la simulacion. Estas animaciones pueden verse enyoutube [5]. En ellas se muestran tres casos: una peonza demasiado ligera(Λ = 25), un giro demasiado lento (ω0 = 1) y un caso estable (Λ = 30 yω0 = 2). En este ultimo caso he introducido una leve friccion de la peonzacon el aire, anadiendo un termino −ν ψ en la ecuacion (36) con ν = 0,002.En este caso la peonza se va parando lentamente hasta que el valor de lavelocidad de giro cae por debajo del lımite inferior.

Referencias

[1] Holger R. Dullin and Robert W. Easton, “Stability of Levitrons”. Phys-

ica D , vol. 126, pp. 1-17 (1999).

[2] Martin D. Simon, Lee O. Helfinger and S. L. Ridgway, “Spin stabilizedmagnetic levitation”. Am. J. Phys., vol. 65, no. 4, pp. 286-292, (1997).

[3] G. Genta, C. Delprete and D. Rondano, “Gyroscopic Stabilization of

Passive Magnetic Levitation”. Meccanica , vol. 34, pp. 411-424, (1999).

18



[4] http://www.nbb.cornell.edu/neurobio/land/projects/hierarchy/

[5] http://www.youtube.com/watch?v=zL10aoUkUtw

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dinamica del levitron

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