Dinamica de particulas

Cuando un automóvil se desplaza sobre el tramo curvo de una pista de carreras, está sujeto a una componentede aceleración dirigida hacia el centro de la curvatura de su trayectoria. La fuerza de gravedad y las otras fuerzasexternas ejercidas sobre el automóvil deben considerarse tanto como las componentes de aceleración. Este capí-tulo estudiará la relación entre la fuerza, la masa y la aceleración.

12C A P Í T U L O

Cinética de partículas:segunda ley de Newton

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692

12.1. INTRODUCCIÓN

La primera y la tercera leyes de Newton del movimiento se emplearon demanera amplia en estática para estudiar cuerpos en reposo y las fuerzasque actúan sobre ellos. Estas dos leyes también se utilizan en dinámica;en realidad, son suficientes para el estudio del movimiento de cuerposque no tienen aceleración. Sin embargo, cuando los cuerpos están acele-rados, esto es, cuando cambia la magnitud o la dirección de su velocidad,es necesario recurrir a la segunda ley de movimiento de Newton para rela-cionar el movimiento del cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él.

En este capítulo se estudiará la segunda ley de Newton y se apli-cará al análisis del movimiento de partículas. Como se establece en lasección 12.2, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partí-cula no es cero, ésta tendrá una aceleración proporcional a la magnitudde la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante. Además, esposible utilizar el cociente entre las magnitudes de la fuerza resultantey de la aceleración para definir la masa de la partícula.

En la sección 12.3, se define la cantidad de movimiento lineal deuna partícula como el producto L � mv de la masa m y la velocidad vde la partícula, y se demuestra que la segunda ley de Newton puedeexpresarse en una forma alternativa que relaciona la razón de cambiode la cantidad de movimiento lineal con la resultante de las fuerzas,que actúan sobre la partícula.

La sección 12.4 subraya la necesidad de unidades consistentes enla solución de problemas dinámicos y ofrece un repaso del SistemaInternacional de Unidades (unidades del SI) y el sistema de uso comúnen Estados Unidos.

En las secciones 12.5 y 12.6 y en los problemas resueltos que siguen,se aplica la segunda ley de Newton a la solución de problemas de inge-niería, utilizando componentes rectangulares o componentes tangencia-les y normales de las fuerzas y las aceleraciones implicadas. Hay querecordar que en un cuerpo real, incluidos cuerpos tan grandes como unautomóvil, un cohete o un aeroplano, puede considerarse como partícu-la con el fin de analizar su movimiento mientras sea posible ignorar elefecto de una rotación del cuerpo alrededor de su centro de masa.

La segunda parte del capítulo se dedica a la solución de problemasen términos de las componentes radial y transversal, subrayando demanera particular el movimiento de la partícula bajo una fuerza central.La sección 12.7, la cantidad de movimiento angular HO de la partículaalrededor del punto O se define como el momento alrededor de O de lacantidad de movimiento lineal de la partícula: HO � r � mv. Luego sededuce de la segunda ley de Newton que la razón de cambio de la can-tidad de movimiento angular HO de la partícula es igual a la suma de losmomentos alrededor de O de las fuerzas que actúan sobre esa partícula.

La sección 12.9 trata el movimiento de una partícula bajo la acción deuna fuerza central, esto es, sujeta a una fuerza dirigida hacia o alejándosede un punto fijo O. Puesto que una fuerza de este tipo tiene momento ceroalrededor de O, se concluye que se conserva la cantidad de movimientoangular de la partícula alrededor de O. Esta propiedad simplifica de mane-ra considerable el análisis del movimiento de una partícula bajo una fuer-za central; en la sección 12.10 se aplica la solución de problemas que impli-can el movimiento orbital de cuerpos sometidos a atracción gravitacional.

Las secciones de la 12.11 a la 12.13 son opcionales. Presentan unadiscusión más amplia del movimiento orbital y contienen varios pro-blemas relacionados con mecánica celeste.

CINÉTICA DE PARTÍCULAS:SEGUNDA LEY DE NEWTON

12.1 Introducción12.2 Segunda ley de movimiento de

Newton12.3 Cantidad de movimiento de una

partícula. Razón de cambio de lacantidad de movimiento lineal

12.4 Sistemas de unidades12.5 Ecuaciones de movimiento12.6 Equilibrio dinámico12.7 Cantidad de movimiento angular

de una partícula. Razón decambio de la cantidad demovimiento angular

12.8 Ecuaciones de movimiento entérminos de las componentesradial y transversal

12.9 Movimiento para una fuerzacentral. Conservación de lacantidad de movimiento angular

12.10 Ley de gravitación de Newton12.11 Trayectoria de una partícula bajo

la acción de una fuerza central12.12 Aplicación en mecánica celeste12.13 Leyes de Kepler del movimiento

planetario


69312.2. Segunda ley de movimiento de Newton

†Más precisamente al centro de masa del sistema solar.

F1

a1

(a)

F2

a2

(b)

F3

a3

(c)

a

m

F = ma

Figura 12.1

Figura 12.2

LA SEGUNDA LEY DE NEWTON SE PUEDE ENUNCIAR DE LAMANERA SIGUIENTE:

La segunda ley de Newton se puede enunciar de la manera siguiente:Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la

partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de laresultante y en la dirección de esta fuerza resultante.

La segunda ley de movimiento de Newton se comprende mejor alimaginar el siguiente experimento: una partícula se somete a una fuerzaF, de dirección constante y magnitud constante F1. Bajo la acción de esafuerza, se observa que la partícula se mueve en línea recta y en la direc-ción de la fuerza (figura 12. la). Al determinar la posición de la partícu-la en diferentes instantes, se encuentra que su aceleración tiene unamagnitud constante a1. Si el experimento se repite con fuerzasF2,F3, . . . , o de diferente magnitud o dirección (figura 12.1b y c), se des-cubre que cada vez que la partícula se mueve en la dirección de la fuer-za que actúa sobre ella y que las magnitudes a1, a2, a3, . . . , de las acele-raciones son proporcionales a las magnitudes F1, F2, F3, . . . , de las fuer-zas correspondientes

� � � p � constante

El valor constante que se obtiene para el cociente de las magnitu-des de las fuerzas y aceleraciones es característico de la partícula quese considera; se denomina la masa de la partícula y se denota median-te m. Cuando sobre una partícula de masa m actúa una fuerza F, lafuerza F y la aceleración a de la partícula deben satisfacer entonces larelación

F � ma (12.1)

Esta relación proporciona una formulación completa de la segunda leyde Newton; no sólo expresa que la magnitud de F y a son proporciona-les, sino también (puesto que m es un escalar positivo) que los vectoresF y a tienen la misma dirección (figura 12.2). Debe advertirse que laecuación (12.1) sigue cumpliéndose cuando F no es constante sino quevaría con el tiempo de magnitud o dirección. Las magnitudes de F y apermanecen proporcionales, y los dos vectores tienen la misma direc-ción en cualquier instante determinado. Sin embargo, en general, noson tangentes a la trayectoria de la partícula.

Cuando una partícula se somete de manera simultánea a variasfuerzas, la ecuación (12.1) debe sustituirse por

�F � ma (12.2)

donde �F representa la sumatoria, o resultante, de todas las fuerzasque actúan sobre la partícula.

Debe notarse que el sistema de ejes con respecto al cual se deter-mina la aceleración a no es arbitrario. Estos ejes deben tener una orien-tación constante con respecto a las estrellas, y es necesario que su origenesté unido al Sol† o se mueva con velocidad constante con respecto alSol. Un sistema de ejes de estas características recibe el nombre de sis-

F3�a3

F2�a2

F1�a1


Figura 12.3

tema de referencia newtoniano.† Un sistema de ejes unido a la Tierra noconstituye un sistema de referencia newtoniano, ya que la Tierra gira conrespecto a las estrellas y está acelerada con respecto al Sol. Sin embargo,en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, la aceleración a puededeterminarse con respecto a los ejes unidos a la Tierra y las ecuaciones(12.1) y (12.2) se utilizan sin ningún error apreciable. Por otro lado, estasecuaciones no se cumplen si a representa una aceleración relativa medi-da con respecto a ejes en movimiento, tales como los ejes unidos a unautomóvil acelerado o a una pieza de maquinaria rotatoria.

Se observa que si la resultante �F de las fuerzas que actúan sobrela partícula es cero, se deduce de la ecuación (12.2) que la aceleracióna de la partícula también es cero, Si la partícula se encuentra inicial-mente en reposo (v0 � 0) con respecto al sistema de referencia newto-niano utilizado, así se mantendrá en reposo (v � 0). Si en un principiose movía con una velocidad v0, la partícula mantendrá una velocidadconstante v � v0; esto es, se moverá con velocidad constante vo en unalínea recta. Esto es el enunciado de la primera ley de Newton (sección2.10). De tal modo, la primera ley de Newton constituye un caso parti-cular de la segunda ley y puede omitirse de los principios fundamenta-les de la mecánica.

12.3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UNAPARTÍCULA. RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVI-MIENTO LINEAL

Si se reemplaza la aceleración a por la derivada dv�dt en la ecuación(12.2), se escribe

�F � m

o, ya que la masa m de la partícula es constante,

�F � (mv) (12.3)

El vector mv se denomina como la cantidad de movimiento lineal, osimplemente cantidad de movimiento de la partícula. Tiene la mismadirección que la velocidad de la partícula, y su magnitud es igual al pro-ducto de la masa m y la velocidad v de la partícula (figura 12.3). Laecuación (12.3) expresa que la resultante de las fuerzas que actúansobre la partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movi-miento lineal de la partícula. En esta forma fue que Newton enuncióoriginalmente la segunda ley de movimiento. Al denotar por L la can-tidad de movimiento lineal de la partícula,

L � mv (12.4)

y por L su derivada con respecto a t, es posible escribir la ecuación(12.3) en la forma alternativa

�F � L (12.5)

d�dt

dv�dt

694 Cinética de partículas: segunda ley de newton

†Puesto que las estrellas no están realmente fijas, una definición más rigurosa de sis-tema de referencia newtoniano (denominado también sistema inercial) es uno respecto alcual se cumple la ecuación (12.2).

v

mmv


Debe notarse que la masa m de la partícula se supone cons-tante en las ecuaciones (12.3) a (12.5). La ecuación (12.3) o (12.5) nodebe entonces usarse para resolver problemas que impliquen el movi-miento de cuerpos, como cohetes, que ganan o pierden masa. Los pro-blemas de ese tipo se considerarán en la sección 12.12.†

Se desprende de la ecuación (12.3) que la razón de cambio de lacantidad de movimiento lineal mv es cero cuando �F � 0. De talmodo, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, lacantidad de movimiento lineal de la partícula permanece constante,tanto en magnitud corno en dirección. Éste es el principio de conser-vación de la cantidad de movimiento lineal para una partícula, el cualpuede reconocerse como un enunciado alternativo de la primera ley deNewton (sección 2. 10).

12.4. SISTEMAS DE UNIDADES

Al utilizar la ecuación fundamental F � ma, las unidades de fuerza,masa, longitud y tiempo no pueden elegirse de manera arbitraria. Si esoocurriera, la magnitud de la fuerza F que se requiere para proporcio-nar una aceleración a a la masa m no sería numéricamente igual al pro-ducto ma; sólo sería proporcional a este producto. En consecuencia, sepueden elegir tres o cuatro unidades de manera arbitraria, pero se debeescoger la cuarta unidad de manera que se satisfaga la ecuaciónF � ma. Se dice entonces que las unidades forman un sistema de uni-dades cinéticas consistentes.

Suelen utilizarse dos sistemas de unidades cinéticas consistentes: elSistema Internacional de Unidades (unidades del 5.11) y unidades uti-lizadas comúnmente en Estados Unidos. Ambos sistemas se estudiaronen detalle en la sección 1.3 y se describen sólo de manera breve en estasección.

Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI). Eneste sistema, las unidades básicas son las de longitud, masa y tiempo, yse denominan respectivamente, el metro (m), el kilogramo (kg) y elsegundo (s). Las tres se definen en forma arbitraria (sección 1.3). Launidad de fuerza es una unidad derivada. Se denomina Newton (N) yse define como la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s2 a unamasa de 1 kg (figura 12.4). De la ecuación (12.1) se describe

1 N � (1 kg)(1 m/s2) � 1 kg � m/s2

Se afirma que las unidades del SI forman un sistema absoluto de uni-dades. Lo anterior significa que las tres unidades básicas elegidas sonindependientes de la ubicación donde se efectúan las mediciones. Elmetro, el idlogramo y el segundo pueden ser utilizados en cualquierparte sobre la Tierra; incluso pueden ser usados en otro planeta. Ysiempre tendrían el mismo significado.

El peso W de un cuerpo, o la fuerza de gravedad que se ejercesobre ese cuerpo, al igual que otra fuerza, se expresará en newtons.Puesto que un cuerpo sometido a su propio peso adquiere una acelera-ción igual a la aceleración de la gravedad g, se deduce de la segunda leyde Newton que la magnitud W del peso de un cuerpo de masa m es

W � mg (12.6)

69512.4. Sistemas de unidades

†Por otro lado, las ecuaciones (12.3) y (12.5) se cumplen en mecánica relativista, en lacual se supone que la masa ni de la partícula varía con la velocidad de la misma.

‡SI es la abreviatura de Système International d’Unités (en francés).

a = 1 m/s2

m = 1 kgF = 1 N

Fig 12.4


Al recordar que g � 9.81 m/s2, se encuentra que el peso de un cuerpode masa 1 kg (figura 12.5) es

W � (1 kg)(9.81 m/s2) � 9.81 N

Los múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud, masa yfuerza se usan con frecuencia en la práctica de la ingeniería. Estos son,respectivamente, kilómetro (km) y el milímetro (mm); el megagramo†(Mg) y el gramo (g); y el kilonewton (kN). Por definición,

1 km � 1000 m 1 mm � 0.001 m1 Mg � 1000 kg 1 g � 0.001 kg

1 kN � 1000 N

La conversión de estas unidades a metros, kilogramos y newtons, res-pectivamente, se efectúa simplemente desplazando el punto decimaltres lugares a la derecha o la izquierda.

Otras unidades aparte de las de masa, longitud y tiempo puedenexpresarse en términos de estas tres unidades básicas. Por ejemplo, launidad de cantidad en movimiento lineal se obtiene al recordar su defi-nición y al escribir

mv � (kg)(m/s) � kg � m/s

Unidades de uso común en Estados Unidos. La mayoría de losingenieros estadounidenses siguen utilizando de forma común un sis-tema en el que las unidades básicas son las de longitud, fuerza y tiem-po; estas unidades corresponden, respectivamente, al pie (ft), la libra(lb), y el segundo (s). El segundo es el mismo que la unidad correspon-diente del SI. El pie se define como 0.3048 m. La libra se define comoel peso de un patrón de platino, denominado libra estándar, que se con-serva en el National Institute of Standards and Technology, cerca deWashington, y cuya masa equivale a 0.453 592 43 kg. Puesto que el pesode un cuerpo depende de la atracción gravítacional de la Tierra, la cualvaría con la ubicación, se especifica que la libra estándar debe situarsea nivel del mar y a una altura de 45° para definir de manera adecuadauna fuerza de 1 lb. Es claro que las unidades de uso común en EstadosUnidos no forman un sistema de unidades absoluto. En virtud de sudependencia de la atracción gravitacional terrestre, se señala que for-man un sistema gravitacional de unidades.

En tanto que la libra estándar sirve también como la unidad demasa en transacciones comerciales en Estados Unidos, no puede uti-lizarse en cálculos de ingeniería, pues una unidad de ese tipo no seráconsistente con las unidades básicas definidas en el párrafo anterior.En realidad, cuando actúa sobre ella una fuerza de 1 lb, esto es, cuan-do se somete a su propio peso, la libra estándar recibe la aceleraciónde la gravedad, g � 32.2 ft/s2 (figura 12.6) y no la aceleración unitariaque requiere la ecuación (12.7). La unidad de masa consistente con elpie, la libra y el segundo es la masa, que recibe una aceleración de 1ft/s2 cuando se le aplica una fuerza de 1 lb (figura 12.7). Esta unidad,llamada en ocasiones un slug, puede deducirse de la ecuación F = madespués de sustituir 1 lb y 1 ft/s2 en vez de F y a, respectivamente. Seescribe

F � ma 1 lb � (1 slug)(1 ft/s2)

Fig 12.5

Fig 12.6

Fig 12.7


†Conocida también como tonelada métrica.

a = 9.81 m/s2

m = 1 kg

W = 9.81 N

a = 32.2 ft/s2

m = 1 lb

F = 1 lb

a = 1 ft/s2

m = 1 slug(= 1 lb⋅s2/ft)

F = 1 lb


y se obtiene

1 slug � � 1 lb � s2/ft

Al comparar las figuras 12.6 y 12.7, se concluye que el slug es una masa32.2 veces mayor que la masa de una libra estándar.

El hecho de que los cuerpos se caractericen en el sistema de uni-dades de uso común en Estados Unidos por su peso en libras más quesu masa en slugs, fue una conveniencia en el estudio de la estática, enla que se trata principalmente con pesos y otras fuerzas, y rara vez conmasas. Sin embargo, en el estudio de la cinética, la cual implica fuerzas,masas y aceleraciones, será necesario de manera repetida expresar enslugs la masa m de un cuerpo, cuyo peso W se ha indicado en libras. Alrecordar la ecuación (12.6), se escribe

m � (12.7)

donde g es la aceleración de la gravedad (g � 32.2 ft/s2).Otras unidades aparte de las de fuerza, longitud y tiempo pueden

expresarse en términos de estas tres unidades básicas. Por ejemplo, launidad de cantidad de movimiento lineal puede obtenerse utilizando ladefinición de cantidad de movimiento lineal para escribir

mv � (lb � s2/ft)(ft/s) � lb � s

Conversión de un sistema de unidades a otro. Las conver-siones de las unidades del sistema de uso común en Estados Unidos alas del Sistema Internacional de Unidades, y viceversa, se estudió en lasección 1.4. Hay que recordar que los factores de conversión que seobtuvieron para las unidades de longitud, fuerza y masa, son, respecti-vamente,

Longitud 1 ft � 0.3048 mFuerza: 1 lb � 4.448 NMasa: 1 slug � 1 lb � s2/ft � 14.59 kg

Aunque no puede utilizarse como una unidad de masa consistente, lamasa de una libra estándar es, por definición,

1 libra/masa � 0.4536 kg

Es posible utilizar esta constante para determinar la masa en unidadesdel SI (kilogramos) de un cuerpo que se ha caracterizado por su pesoen unidades de uso común en Estados Unidos (libras).

12.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Considérese una partícula de masa m sobre la que actúan varias fuer-zas. Se tiene de la sección 12.2 que la segunda ley de Newton puedeexpresarse mediante la ecuación

�F � ma (12.2)

que relaciona las fuerzas que actúan sobre la partícula y el vector ma(figura 12.8). Sin embargo, para resolver los problemas que implican elmovimiento de una partícula se encontrará más conveniente sustituir laecuación (12.2) por ecuaciones equivalentes que incluyen cantidadesescalares.

W�g

1 lb�1 ft/s2

69712.5. Ecuaciones de movimiento

= m m

ma

F1

F2

Figura 12.8


Figura 12.9

Componentes rectangulares. Al descomponer cada fuerza Fy la aceleración a en componentes rectangulares, se escribe

�(Fxi � Fy j � Fzk) � m(axi � ay j � azk)de lo que se deduce

�Fx � max �Fy � may �Fz � maz (12.8)Al recordar de la sección 11.11 que las componentes de la aceleraciónson iguales a la segunda derivada de las coordenadas de la partícula, setiene

�Fx � mx �Fy � mÿ �Fz � mz (12.8�)Considérese, como un ejemplo, el movimiento de un proyectil. Si

se ignora la resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre el pro-yectil después de que éste se ha lanzado es su peso W � �Wj. En con-secuencia las ecuaciones que definen el movimiento del proyectil son

mx � 0 mÿ � �W mz � 0y las componentes de la aceleración del proyectil corresponden a

x � 0 ÿ � � � �g z � 0

donde g es 9.81 m/s2 or 32.2 ft/s2. . Las ecuaciones que se obtienen seintegran de manera independiente, como se muestra en la sección 11.11, para obtener la velocidad y el desplazamiento del proyectil en cual-quier instante.

Cuando un problema implica dos o más cuerpos, las ecuaciones demovimiento deben escribirse para cada uno de ellos (véanse los pro-blemas resueltos 12.3 y 12.4). Se recuerda de las secciones 12.2 quetodas las aceleraciones deben medirse con respecto a un sistema dereferencia newtoniano. En la mayoría de las aplicaciones de ingeniería,es posible determinar las aceleraciones con respecto a ejes unidos a laTierra, aunque las aceleraciones relativas medidas con respecto a ejesmóviles, como los ejes unidos al cuerpo acelerado, no pueden sustituir-se en lugar de a en las ecuaciones de movimiento.

Componentes tangencial y normal. Al descomponer las fuerzas y laaceleración de la partícula en componentes a lo largo de la tangente a latrayectoria (en la dirección de movimiento) y la normal (hacia el interior

W�m


de la trayectoria) (figura 12.9) y sustituir a la ecuación (12.2), se obtie-nen las dos ecuaciones escalares

�Ft � mat �Fn � man (12.9)Al sustituir a, y a,, de las ecuaciones (11.40), se tiene

�Ft � m �Fn � m (12.9�)

Las ecuaciones que se obtienen pueden resolverse para dos incógnitas.

v2

��

dv�dt

=man

ma t

n

m

t

n

m

tΣFn

ΣFt

Fotografía 12.1 Cuando viaja sobre la partecurva de la pista, el trineo de carreras está sujetoa una componente normal de la aceleracióndirigida hacia el centro de curvatura de sutrayectoria.


12.6. EQUILIBRIO DINÁMICO

Al volver a la ecuación (12.2) y trasponer el miembro del lado derecho,se escribe la segunda ley de Newton en la forma alternativa

�F � ma � 0 (12.10)

en la que se expresa que si se suma el vector �ma a las fuerzas que actú-an sobre la partícula, se obtiene un sistema de vectores equivalente a cero(figura 12. 10). El vector �ma, de magnitud ma y de dirección opuesta ala de la aceleración, se denomina vector de inercia. De tal modo, es fac-tible considerar que la partícula está en equilibrio bajo la acción de lasfuerzas dadas y del vector de inercia. Se afirma que la partícula está enequilibrio dinámico, y el problema que se considera puede resolversemediante los métodos que se desarrollaron antes en estática.

En el caso de fuerzas coplanares, todos los vectores que se mues-tran en la figura 12.10, incluyendo al vector de inercia, pueden trazar-se uno después del otro para formar un polígono vectorial cerrado.También es posible igualar a cero la suma de los componentes de todoslos vectores en la figura 12.10, incluyendo de nuevo al vector de iner-cia. En consecuencia, utilizando componentes rectangulares, se escribe

�Fx � 0 �Fy � 0 incluyendo el vector de inercia (12.11)

Cuando se usan las componentes tangencial y normal, resulta más con-veniente representar el vector de inercia por medio de sus dos compo-nentes �ma t y �man en el mismo dibujo (figura 12.11). La compo-nente tangencial del vector de inercia ofrece una medida que la resis-tencia de la partícula presenta a un cambio en la velocidad, en tantoque su componente normal (también llamadafuerza centrífuga) repre-senta la tendencia de la partícula a abandonar su trayectoria curva. Esnecesario advertir que cualquiera de estas dos componentes puedenser cero en condiciones especiales: 1) si la partícula parte del reposo, suvelocidad inicial es cero y la componente normal del vector de inerciaes cero en t � 0; 2) si la partícula se mueve con velocidad constante alo largo de su trayectoria, la componente tangencial del vector de iner-cia es cero y sólo es necesario considerar su componente normal.

Debido a que mide la resistencia que la partícula ofrece cuando setrata de ponerla en movimiento, o cuando se intenta cambiar las con-diciones de este mismo, los vectores de inercia a menudo se denomi-nan fuerzas de inercia. Sin embargo, las fuerzas de inercia no son simi-lares a las que se encuentran en estática, que son fuerzas de contacto ofuerzas gravitacionales (pesos). Por consiguiente, muchas personasobjetan el uso de la palabra “Fuerza” cuando se refieren al vector �ma,o incluso evitan el concepto de equilibrio dinámico. Otros afirman quelas fuerzas de inercia y las fuerzas reales, como las gravitacionales, afec-tan nuestros sentidos en la misma forma y no es posible distinguirlaspor mediciones físicas. Un hombre que viaja en un elevador que se ace-lera hacia arriba puede sentir que su peso se ha incrementado de mane-ra repentina; y ninguna medida efectuada dentro del elevador podríaestablecer si éste en verdad está acelerado o si se ha incrementado demanera repentina la fuerza de atracción ejercida por la Tierra.

Se ha llegado a las soluciones de los problemas resueltos de estetexto mediante la aplicación directa de la segunda ley de Newton, comose ilustra en la figura 12.8 y 12.9, y no mediante el método de equili-brio dinámico.

Figura 12.10

69912.6. Equilibrio dinámico

= 0

–ma

F1

F2

m

= 0–ma t

–ma n

F1

F2

F3

n

m

t

Figura 12.11


PROBLEMA RESUELTO 12.1

Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano horizontal. Determine la mag-nitud de la fuerza P que se requiere para dar al bloque una aceleración de 10ft/s2 hacia la derecha. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y elplano es �k � 0.25.

SOLUCIÓN

La masa del bloque es

m � � � 6.21 lb � s2/ft

Se tiene que F � �kN � 0.25N y que a � 10 ft/s2.. Al expresar que las fuer-zas que actúan sobre el bloque son equivalentes al vector ma, se escribe

y� �Fx � ma: P cos 30° � 0.25N � (6.21 lb � s2/ft)(10 ft/s2)P cos 30° � 0.25N � 62.1 lb (1)

�x�Fy � 0: N � P sen 30° � 200 lb � 0 (2)

Al resolver (2) para N y sustituir el resultado en (1), se obtiene

N � P sen 30° � 200 lbP cos 30° � 0.25(P sen 30° � 200 lb) � 62.1 lb P � 151 lb

200 lb�32.2 ft/s2

W�g


Un bloque de 80 kg descansa sobre un plano horizontal. Determine la mag-nitud de la fuerza P requerida para dar al bloque una aceleración de 2.5 m/s2

hacia la derecha. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el planoes �k � 0.25.

SOLUCIÓN

El peso del bloque es

W � mg � (80 kg)(9.81 m/s2) � 785 N

Se tiene que F � �kN � 0.25N y que a � 2.5 m/s2. Al expresar que las fuer-zas que actúan sobre el bloque son equivalentes al vector ma, se escribe

y� �Fx � ma: P cos 30° � 0.25N � (80 kg)(2.5 m/s2)P cos 30° � 0.25N � 200 N (1)

�x�Fy � 0: N � P sen 30° � 785 N � 0 (2)

Al resolver (2) para N y sustituir el resultado en (1), se obtiene

N � P sen 30° � 785 NP cos 30° � 0.25(P sen 30° � 785 N) � 200 N P � 535 N

P

30°

200 lb

=

P30°

NF

W = 200 lb

ma

m = 6.21 lb⋅s2/ft

P

30°

80 kg

=

P

30°

NF

W = 785 N

ma

m = 80 kg

700



Los dos bloques que se muestran empiezan a moverse a partir del reposo. Elplano horizontal y la polea no presentan fricción y se supone que la masa dela polea puede ignorarse. Determine la aceleración de cada bloque y la ten-sión de cada cuerda.

SOLUCIÓN

Cinemática. Se tiene que si el bloque A se mueve la distancia xA haciala derecha, el bloque B desciende

xB � �12�xA

Al diferenciar dos veces con respecto a t, se tiene

Cinética. Se aplica sucesivamente la segunda ley de Newton al bloqueA, el bloque B y la polea C.

aB � �12�aA (1)

Bloque A. Al denotar mediante T1 la tensión en la cuerda ACD, se escribe

y� �Fx � mAaA: T1 � 100aA (2)

Bloque B. Al observar que el peso del bloque B es

WB � mBg � (300 kg)(9.81 m/s2) � 2940 N

y al denotar mediante T2 la tensión en la cuerda BC, se escribe

�w�Fy � mBaB: 2940 � T2 � 300aB

o, al sustituir aB de (1).

2940 � T2 � 300(�12�aA)

T2 � 2940 � 150aA (3)

Polea C. Puesto que mC se supone igual a cero, se tiene

�w�Fy � mCaC � 0: T2 � 2T1 � 0 (4)

Al sustituir T1 y T2 de (2) y (3), respectivamente, en (4), se obtiene

2940 � 150aA � 2(100aA) � 02940 � 350aA � 0 aA � 8.40 m/s2

Mediante la sustitución del valor que se obtuvo para aA en (1) y (2), se tiene

aB � �12�aA � �

12�(8.40 m/s2) aB � 4.20 m/s2

T1 � 100aA � (100 kg)(8.40 m/s2) T1 � 840 N

Recordando (4), se escribe

T2 � 2T1 T2 � 2(840 N) T2 � 1680 N

Se tiene que el valor que se obtuvo para T2 no es igual al peso del bloque B.

701

100 kg

300 kg

A

B

D

C

=

=

=

B

A

WA

WB = 2940 N

T1

T1 T1

T2

T2

N

0

mAaA

mBaB

mA = 100 kg

mB = 300 kg

C


702


El bloque B de 12 lb empieza a moverse desde el reposo y desliza sobre lacuña A de 30 lb, la cual está sobre una superficie horizontal. Si se ignorala fricción, determine a) la aceleración de la cuña, b) la aceleración del blo-que relativa a la cuña.

SOLUCIÓN

Cinemática. Se examina primero la aceleración de la cuña y la acele-ración del bloque.

Cuña A. Puesto que la cuña está restringida a moverse sobre la super-ficie horizontal, su aceleración aA es horizontal. Se supondrá que ésta apun-ta hacia la derecha.

Bloque B. La aceleración aB del bloque B puede expresarse como lasuma de la aceleración de A y de la aceleración de B relativa a A. Se tiene

aB � aA � aB�A

donde aB�A está dirigida a lo largo de la superficie inclinada de la cuña.Cinética. Se dibujan los diagramas del cuerpo libre de la cuña y del

bloque y se aplica la segunda ley de Newton.Cuña A. Se denotan las fuerzas ejercidas por el bloque y la superficie

horizontal sobre la cuña A mediante N1 y N2, respectivamente.

y� �Fx � mAaA: N1 sen 30° � mAaA

0.5N1 � (WA�g)aA (1)

Bloque B. Al utilizar los ejes de coordenadas que se muestran y des-componer aB y sus componentes aA y aB�A, se escribe

�p�Fx � mBax: �WB sen 30° � mBaA cos 30° � mBaB�A�WB sen 30° � (WB�g)(aA cos 30° � aB�A)

aB�A � aA cos 30° � g sin 30° (2)�r�Fy � mBay: N1 � WB cos 30° � �mBaA sen 30°

N1 � WB cos 30° � �(WB�g)aA sen 30° (3)

a. Aceleración de la cuña A. Si se sustituye N1 de la ecuación (1) enla ecuación (3), se tiene

2(WA�g)aA � WB cos 30° � �(WB�g)aA sen 30°

Al resolver para aA y sustituir los datos numéricos, se escribe

aA � g � (32.2 ft/s2)(12 lb) cos 30°

��2(30 lb) � (12 lb) sin 30°

WB cos 30°��2WA � WB sin 30°

30°A

B

=

=

30°

30°

30°

30°

A

B

WA

WB

N1

N1

N2

mAaA

aA

aA

aB/A

mBaA

mBaB/A

y y

x x

b. Aceleración del bloque B relativa a A Al sustituir el valor que seobtuvo para aA en ecuaciones (2), se tiene

aB�A � (5.07 ft/s2) cos 30° � (32.2 ft/s2) sin 30°aB�A � �20.5 ft/s2 aB�A � 20.5 ft/s2 d30°


703


La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de círculo en un planovertical. Si la tensión de la cuerda de estos puntos es cinco veces el peso dela plomada en la posición que se indica, determine la velocidad y la acelera-ción de la plomada en esa posición.

SOLUCIÓN

El peso de la plomada es W � mg; la tensión en la cuerda corresponde con-secuentemente a 2.5 mg. Al recordar que a, apunta hacia 0 y suponiendo quea, en la forma que se muestra, se aplica la segunda ley de Newton y se obtie-ne

�o�Ft � mat: mg sin 30° � mat

at � g sin 30° � �4.90 m/s2 at � 4.90 m/s2o

�r�Fn � man: 2.5 mg � mg cos 30° � man

an � 1.634 g � �16.03 m/s2 an � 16.03 m/s2r

Puesto que an � v2��, se tiene v2 � �an � (2 m)(16.03 m/s2)


Determine la rapidez máxima de la curva de una autopista de radio � � 400ft que tiene un ángulo de peralte � � 18° La rapidez máxima de la curvaperaltada de una autopista es aquella a la cual un automóvil debe viajar paraque no exista fuerza de rozamiento lateral en sus neumáticos.

SOLUCIÓN

El automóvil se traslada en una trayectoria circular horizontal de radio p. Lacomponente normal a,, de la aceleración apunta hacia el centro de la trayec-toria; su magnitud es an � v2��, donde v es la velocidad del automóvil en ft�sLa masa m del auto es W�g, donde W es su peso. Puesto que no se va a ejer-cer fuerza de fricción lateral sobre el automóvil, la reacción R del camino sepresenta perpendicular al mismo. Al aplicar la segunda ley de Newton seescribe

�x�Fy � 0: R cos � � W � 0 R � �co

Ws �� (1)

z� �Fn � man: R sin � � �Wg�an (2)

Al sustituir R de (1) en (2), y recordar que an � v2��,

�co

Ws ��sin � � �

Wg� �

v�

2

� v2 � g� tan �

Al sustituir � � 400 ft y � � 18° en esta ecuación, se obtiene

v2 � (32.2 ft/s2)(400 ft) tan 18°v � 64.7 ft/s v � 44.1 mi/h

30°2 m

O

m

=T = 2.5 mg

W = mg

man

n

t

mat

30°

n

y

W

R

man

= 18° 90°

= 18°

= 18°

=

q

q

q


704

R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S E N F O R M A I N D E P E N D I E N T E

En los problemas de esta sección, se aplicará la segunda ley de movimiento de New-ton, �F � ma, para relacionar las fuerzas que actúan sobre una partícula con el mo-vimiento de esta misma.

1. Escritura de las ecuaciones de movimiento. Al aplicar la segunda ley deNewton a los tipos de movimiento que se estudian en esta lección, se encontrará másconveniente expresar los vectores F y a en términos de sus componentes rectangula-res o de sus componentes tangencial y normal.

a. Cuando se utilicen componentes rectangulares, y recordando de la sec-ción 11.11 las expresiones que se obtuvieron para ax, ay, y az, se debe escribir

�Fx � mx �Fy � mÿ �Fz � mz

b. Cuando se use las componentes tangencial y normal, y recordando de lasección 11.13 las expresiones que se obtuvieron para at y an se debe escribir

�Ft � m�ddvt� �Fn � m �

v�

2

�

2. El dibujo de un diagrama de un cuerpo libre que muestre las fuerzas apli-cadas y un diagrama equivalente que indique al vector ma o sus componentes pro-porcionará una representación gráfica de la segunda ley de Newton [problemasresueltos 12.1 a 12.6]. Estos diagramas resultarán de gran ayuda cuando se escribanlas ecuaciones de movimiento. Hay que observar que cuando el problema incluye doso más cuerpos, suele ser mejor considerar cada cuerpo por separado.

3. Aplicación de la segunda ley de Newton. Como se observó en la sección12.2, la aceleración utilizada en la ecuación �F � ma siempre debe ser la aceleraciónabsoluta de la partícula (es decir, es necesario medirla con respecto a un sistema dereferencia newtoniano), Además, si se desconoce el sentido de la aceleración a o no esfácil deducirlo, hay que suponer un sentido arbitrario para la misma (por lo general ladirección positiva de un eje de coordenada) y dejar que la solución proporcione des-pués el sentido correcto. Por último, hay que advertir cómo las soluciones de los pro-blemas resueltos 12.3 y 12.4 se dividieron en la parte cinemática y en la parte cínéti-ca, y cómo en el problema resuelto 12.4 se usaron dos sistemas de ejes coordenadospara simplificar las ecuaciones de movimiento.

4. Cuando un problema incluye fricción seca, hay que cerciorarse de revisar-las importantes secciones de Estática [secciones 8.1 a 8.31 antes de tratar de resol-verlo. En particular, se debe saber cuándo recurrir a cada una de las ecuaciones F ��sN y F � �kN. También se debe reconocer que si no se especifica el movimiento deun sistema, es necesario suponer primero un posible movimiento y luego verificar lavalidez de la suposición.


5. Solución de problemas que implican movimiento relativo. Cuando el cuerpo Bse mueve con respecto al cuerpo A, como en el problema resuelto 12.4, a menudoresulta conveniente expresar la aceleración de B como

aB � aA � aB�A

donde aB�A es la aceleración de B relativa a A, esto es, la aceleración de B según seobserva desde un sistema de referencia unido a A y en traslación. Si se observa que Bse mueve en línea recta, aB�A estará dirigida a lo largo de esa línea. Por otro lado, si seobserva que B se mueve en una trayectoria circular, la aceleración relativa aB�A debedescomponerse en las componentes tangencial y normal a esta trayectoria.

6. Por último, hay que considerar siempre las implicaciones de cualquier suposi-ción que se haga. Por consiguiente, en un problema que incluya dos cuerdas, sisupone que la tensión en una de las cuerdas es igual a su máximo valor permisible, sedebe verificar si algún otro requerimiento impuesto para la otra cuerda será satisfe-cho en ese caso. Por ejemplo, ¿la tensión T en esa cuerda cumplirá la relación 0 T Tmáx? esto es, ¿la cuerda permanecerá estirada y su tensión será menor que su valormáximo permisible?

705


706

Problemas

12.1 En Marte, la aceleración debida a la gravedad es de 3.75 m/s2.Si oficialmente se ha designado la masa de una barra de plata como igual a20 kg, determine este peso en newtons en Marte.

12.2 El valor de la aceleración de la gravedad a cualquier latitud �está dado por g � 9.7087(1 � 0.0053 sin2 �) m/s2, donde se ha tomado encuenta el efecto de la rotación de la Tierra junto con el hecho de que éstano es esférica. Si oficialmente se ha designado la masa de una barra de orocomo igual a 2 kg, determine con hasta cuatro cifras significativas su masaen kilogramos y su peso en newtons a una latitud de a) 0o, b) 45º, c) 60º.

12.3 Una báscula de resorte A y una báscula de brazo B que tienenbrazos de palanca iguales se fijan al techo de un elevador, y se les cuelganen la forma indicada paquetes idénticos. Si en el momento que el elevadorse mueve hacia abajo con aceleración de 2 ft/s2 la báscula de resorte indicauna carga de 7 lb, determine a) el peso de los paquetes, b) la carga indicadapor la báscula de resorte y la masa necesaria para equilibrar la báscula debrazo cuando el elevador asciende con aceleración de 2 ft/s2.

12.4 Un satélite para el sistema de posicionamiento global (GPS, porsus siglas en inglés) se encuentra en órbita circular a 12,580 mi sobre la su-perficie de la Tierra y completa una órbita cada 12 h. Si la magnitud de lacantidad de movimiento lineal del satélite es de 750 103 lb?s y el radio dela Tierra es de 3960 mi, determine a) la masa del satélite, b) el peso del sa-télite antes de ser lanzado desde la Tierra.

12.5 El bloque de 40 lb inicia su movimiento desde el reposo despla-zándose hacia arriba cuando se aplican fuerzas constantes de 10 y 20 lb so-bre las cuerdas que lo sostienen. Si se ignoran las masas de las poleas y elefecto de la fricción, determine la velocidad del bloque después que se hamovido 1.5 ft.

12.6 Un automovilista que viaja a una velocidad de 108 km/h aplicalos frenos de manera súbita y se detiene después de patinar 75 m. Deter-mine a) el tiempo requerido para que el automóvil se detenga, b) el coefi-ciente de fricción entre las llantas y el pavimento.

12.7 Un automóvil de 1400 kg se conduce hacia abajo por una pendientede 4° a una velocidad de 88 km/h cuando se aplican los frenos, lo que ocasionauna fuerza de frenado total de 7500 N aplicada sobre el automóvil. Determinela distancia recorrida por el auto antes de detenerse por completo.

12.8 En la prueba de frenado de un automóvil deportivo, su veloci-dad se reduce de 70 mi/h a cero en una distancia de 170 ft con resbalamientoinminente. Si el coeficiente de fricción cinética corresponde a 80 por cientodel coeficiente de fricción estática, determine a) el coeficiente de fricciónestática, b) la distancia de frenado para la misma velocidad inicial si el auto-móvil patina. Ignore la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento.

A

B

Figura P12.3

Figura P12.5

10 lb 20 lb

40 lb


12.9 Un cohete a escala que pesa 0.2 lb se lanza verticalmente desdeel reposo en el tiempo t = 0 con un empuje constante de 2 lb durante un se-gundo y sin empuje en t > 1 s. Si se ignora la resistencia y la reducción demasa del cohete, determine a) la altura máxima h que alcanza, b) el tiemponecesario para llegar a su altura máxima.

12.10 Un paquete de 40 kg se encuentra sobre un plano inclinadocuando se le aplica una fuerza P. Determine la magnitud de P si se requie-ren 4 s para que el paquete recorra 10 m al ascender por el plano. Los coe-ficientes de fricción estática y cinética entre el paquete y el plano son, res-pectivamente, de 0.30 y 0.25.

12.11 Si la distancia de frenado de un automóvil a partir de 100 km/hes de 60 m sobre pavimento parejo, determine dicha distancia a partir de100 km/h cuando el automóvil a) asciende por una pendiente de 6º, b) va ha-cia abajo sobre un plano con 2 por ciento de inclinación.

12.12 Los dos bloques mostrados en la figura se encuentran en reposoal principio. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de fricción enéstas y entre los bloques y el plano inclinado, determine a) la aceleración decada bloque, b) la tensión en el cable.

12.13 Los dos bloques mostrados en la figura se encuentran en reposoal principio. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de la fricción enéstas, y suponiendo que los componentes de fricción entre ambos bloques yla pendiente son �s � 0.25 y �k � 0.20, determine a) la aceleración de cadabloque, b) la tensión en el cable.

12.14 Un tren ligero consta de dos carros y viaja a 55 mi/h cuando seaplican los frenos en ambos carros. Si el carro A pesa 55,000 lb y el carro B44,000 lb, y la fuerza de frenado es de 7000 lb en cada carro, determine a)la distancia recorrida por el tren antes de detenerse, b) la fuerza presente enel acoplamiento entre los carros mientras el tren disminuye su velocidad.

Figura P12.9

Figura P12.14

Figura P12.10

Figura P12.12 y P12.13

707Problemas

h

30°

20°

P

A

10 kg

30°

8 kgB

55 mph

55,000 lb 44,000 lbA B



12.15 Resuelva el problema 12.14 suponiendo que los frenos del ca-rro B no funcionan.

12.16 El bloque A pesa 80 lb y el bloque B 16 lb. Los coeficientes defricción entre todas las superficies de contacto son �s � 0.20 y �k � 0.15. SiP = 0, determine a) la aceleración del bloque B, b) la tensión en la cuerda.

12.17 El bloque A pesa 80 lb y el bloque B 16 lb. Los coeficientes defricción entre todas las superficies de contacto son �s � 0.20 y �k � 0.15. SiP � 10 lby, determine a) la aceleración del bloque B, b) la tensión en lacuerda.

12.18 Las cajas A y B están en reposo sobre una banda transportadoraque se encuentra inicialmente en reposo. La banda se empieza a mover demanera repentina en dirección ascendente de modo que ocurre deslizamientoentre la banda y las cajas. Si los coeficientes de fricción cinética entre la banday las cajas son (�k)A � 0.30 y (�k)B � 0.32, determine la aceleración inicialde cada caja.

12.19 El sistema que muestra la figura se encuentra inicialmente enreposo. Ignore las masas de las poleas y el efecto de la fricción en las mismas,y determine a) la aceleración de cada bloque, b) la tensión en cada cable.

12.20 Cada uno de los sistemas que muestra la figura está al princi-pio en reposo. Ignore la fricción del eje y las masas de las poleas, y deter-mine para cada sistema a) la aceleración del bloque A, b) la velocidad delbloque A después de haberse movido 5 ft, c) el tiempo necesario para queel bloque A alcance una velocidad de 10 ft/s.

B

A

P

25°

A B

45 kg

36 kg

15°

20 lb 20 lbAB

60 lb C

AA A50 lb

100 lb100 lb

50 lb 1050 lb

1100 lb

(1) (2) (3)


Figura P12.18

Figura P12.19

Figura P12.20


12.21 El remolque de plataforma plana transporta dos vigas de 3000lb con la viga superior asegurada por medio de un cable. Los coeficientes defricción estática entre las dos vigas y entre la viga inferior y la plataforma delremolque son, respectivamente, de 0.25 y 0.30. Si no hay desplazamiento dela carga, determine a) la aceleración máxima del remolque y la tensión co-rrespondiente en el cable, b) la desaceleración máxima del remolque.

12.22 El bloque B de 10 kg está sostenido por el bloque A de 40 kg,el cual se jala hacia arriba sobre un plano inclinado mediante una fuerza cons-tante de 500 N. Si se ignora la fricción entre el bloque y la pendiente y elbloque B no resbala sobre el bloque A, determine el valor mínimo permisi-ble del coeficiente de fricción estática entre los bloques.

12.23 Un paquete está en reposo sobre una banda transportadora queen un principio se encuentra en reposo. La banda empieza a moverse despla-zándose hacia la derecha durante 1.5 s con aceleración constante de 3.2 m/s2.Después la banda se mueve con desaceleración constante a2 y se detiene luegode un desplazamiento total de 4.6 m. Si los coeficientes de fricción entre elpaquete y la banda son �s � 0.35 y �k � 0.25, determine a) la desaceleracióna2 de la banda, b) el desplazamiento del paquete relativo a la banda cuandoésta se detiene.

12.24 Para transportar una serie de bultos de tejas A hasta un techo,un contratista utiliza un montacargas motorizado compuesto por una plata-forma horizontal BC que se monta sobre los rieles instalados a los lados deuna escalera. El montacargas empieza su movimiento desde el reposo; al prin-cipio se mueve con aceleración constante a1 como indica la figura. Despuésse acelera a una tasa constante a2 y se detiene en D, cerca de la parte supe-rior de la escalera. Si el coeficiente de fricción estática entre el bulto de te-jas y la plataforma horizontal es de 0.30, determine la aceleración máximapermisible a1 y la desaceleración máxima permisible a2 si el bulto no resbalasobre la plataforma.

Figura P12.21

Figura P12.22

Figura P12.23

Figura P12.24

709Problemas

A

B

40 kg

10 kg

30°

500 N

A

B C

5 m

65°

0.9 m

a1

D



12.25 Para bajar de un camión una pila de madera comprimida, elconductor inclina primero la cama del vehículo y después acelera desde elreposo. Si los coeficientes de fricción entre la lámina de madera compri-mida del fondo y la cama son �s � 0.40 y �k � 0.30, determine a) la acele-ración mínima del camión que provocará el deslizamiento de la pila de ma-dera, b) la aceleración del camión necesaria para que la esquina A de la pilade madera llegue al extremo de la cama en 0.4 s.

12.26 Los propulsores de un barco de masa m pueden generar unafuerza impulsora F0; cuando los motores se invierten, se produce una fuerzade igual magnitud pero dirección opuesta. Si el barco se está desplazandohacia delante a su velocidad máxima v0 cuando los motores se ponen en re-versa, determine la distancia que recorre el barco antes de detenerse. Su-ponga que la resistencia friccionante del agua varía directamente con el cua-drado de la velocidad.

12.27 Se aplica una fuerza constante P al pistón y la varilla de masatotal m para que se muevan en un cilindro lleno de aceite. Conforme semueve el pistón, el aceite es obligado a atravesar los orificios del pistón paraejercer sobre éste una fuerza de magnitud kv en la dirección opuesta al mo-vimiento del pistón. Si el pistón parte del reposo en t = 0 y x = 0, muestreque la ecuación relativa x, v y t es lineal en cada una de las variables, dondex es la distancia recorrida por el pistón y v la velocidad del mismo.

12.28 Un proyectil de 4 kg se dispara verticalmente con velocidad ini-cial de 90 m/s, alcanza su altura máxima y cae al suelo. El arrastre aerodiná-mico D tiene magnitud D = 0.0024v2, donde D y v se expresan en newtonsy m/s, respectivamente. Si la dirección del arrastre siempre es opuesta a lade la velocidad, determine a) la altura máxima de la trayectoria, b) la veloci-dad del proyectil cuando llega al suelo.

12.29 Un resorte AB de constante k se une a un soporte A y a un co-llarín de masa m. La longitud normal del resorte es l. Si se suelta el collaríndesde el reposo en x � x0 y se ignora la fricción entre el collarín y la varillahorizontal, determine la magnitud de la velocidad del collarín cuando pasapor el punto C.

12.30 El sistema de tres bloques de 10 kg se sostiene en un plano ver-tical y está inicialmente en reposo. Ignorando las masas de las poleas y elefecto de la fricción sobre éstas, determine a) el cambio en posición del blo-que A después de 0.5 s, b) la tensión en el cable.

12.31 Los coeficientes de fricción entre el bloque B y el bloque A son�s � 0.12 y �k � 0.10, y entre el bloque A y el plano inclinado son �s � 0.24y �k � 0.20. El bloque A tiene masa de 10 kg y el bloque B de 5 kg. Si elsistema se libera desde el reposo en la posición indicada, determine a) la ace-leración de A, b) la velocidad de B relativa a A en t = 0.5 s.

Figura P12.29

Figura P12.25

Figura P12.27

Figura P12.30

Figura P12.31

1 m 20°A

P

A

BCl

x0

A

B10 kg

10 kg

10 kg

C

A

B

30°


711Problemas

12.33 Los coeficientes de fricción entre los tres bloques y las superfi-cies horizontales son �s � 0.25 y �k � 0.20. Los pesos de los bloques sonwA � wC � 20 lb, y wB � 10 lb. Si los bloques están inicialmente en reposoy C se mueve hacia la derecha 2.4 ft en 0.4 s, determine a) la aceleración decada bloque, b) la tensión en el cable, c) la fuerza P. No tome en cuenta lafricción en el eje ni las masas de las poleas.

12.34 Un bloque A de 25 kg descansa sobre una superficie inclinada,y un contrapeso B de 15 kg se une al cable en la forma que se indica. Si seignora la fricción, determine la aceleración de A y la tensión en el cable in-mediatamente después de que el sistema empieza a moverse desde el re-poso.

12.35 Una caja B de 250 kg está suspendida de un cable unido a unacarretilla A de 20 kg montada sobre una viga I inclinada en la forma que se muestra. Si en el instante indicado la carretilla tiene una aceleración de0.4 m/s2 hacia arriba y a la derecha, determine a) la aceleración de B rela-tiva a A, b) la tensión en el cable CD.

12.36 Una esfera de 2 kg gira en un círculo horizontal a una veloci-dad constante de 1.5 m/s. Si L = 600 mm, determine a) el ángulo � que formala cuerda con la vertical, b) la tensión en la cuerda.

12.37 Un alambre ACB de 2 m de longitud pasa por un anillo colo-cado en C, el cual está unido a una esfera que gira a velocidad constante ven el círculo horizontal mostrado en la figura. Si �1 � 60° y �2 � 30° y la ten-sión es la misma en ambos tramos del alambre, determine la velocidad v.

12.38 Dos alambres AC y BC están unidos a una esfera de 15 lb quegira a velocidad constante v en el círculo horizontal mostrado por la figura.Si �1 � 50° y �2 � 25° y d = 4 ft, determine el rango de valores de v para elcual ambos alambres se mantienen tensos.



Figura P12.35

Figura P12.36

Figura P12.34

12.32 Los pesos de los bloques A, B y C son wA � wC � 20 lb, y wB � 10 lb. Si P = 50 lb y se ignoran las masas de las poleas y el efecto de lafricción, determine a) la aceleración de cada bloque, b) la tensión en el cable.

CP

B

A

20°

AB

A

B

C D

T

25°

q L

B

A

C

d

1

2q

q



12.39 Durante la práctica de un lanzador de martillo, la cabeza A de16 lb del martillo gira a velocidad constante v en un círculo horizontal en laforma que muestra la figura. Si � � 3 ft y � � 60°, determine a) la tensiónen el alambre BC, b) la velocidad de la cabeza del martillo.

12.40 Una esfera de 1 kg está en reposo respecto a un plato parabó-lico que gira a razón constante alrededor de un eje vertical. Si se ignora lafricción y sabiendo que r = 1 m, determine a) la velocidad v de la esfera, b)la magnitud de la fuerza normal ejercida por la esfera sobre la superficie in-clinada del plato.

12.41 Un collarín C de 1 kg se desliza sin fricción a lo largo de la va-rilla OA y está unido, sin fricción, a la varilla BC mediante un pasador. Lasvarillas giran en el plano horizontal. En el instante que se indica, BC rotaen sentido contrario al de las manecillas del reloj y la rapidez de C es de 1 m/s, la cual aumenta a razón de 1.3 m/s. En el instante señalado, deter-mine a) la tensión en la varilla BC, b) la fuerza que ejerce el collarín sobrela varilla OA.

A

C

B

qr

1 m

r

yy = r2

2

0.6 m

A

C

0.3 m 30°

O

B

Figura P12.39

Figura P12.40

Figura P12.41


713Problemas*12.42 Las esferas de 0.5 kg del regulador centrífugo giran a veloci-dad constante v en el círculo horizontal de 150 mm de radio que muestra lafigura. Sin tomar en cuenta las masas de los eslabones AB, BC, AD y DE, ycon la restricción de que los eslabones sólo soportan fuerzas de tensión, de-termine el intervalo de valores permisibles de v para que las magnitudes delas fuerzas de los eslabones no excedan de 75 N.

*12.43 Como parte de una exposición al aire libre, un modelo C de laTierra, con masa de 5 kg, se une a los alambres AC y BC y se hace girar avelocidad constante v en el círculo horizontal mostrado por la figura. Deter-mine el intervalo de valores permisibles de v si ambos alambres permane-cerán tensos y la tensión en cualquiera de ellos no será mayor de 116 N.

12.44 Una pequeña esfera de peso W se sostiene como indica la fi-gura mediante dos alambres AB y CD. Si se corta el alambre AB, determinela tensión en el otro alambre a) antes de cortar AB, b) inmediatamente des-pués de cortar AB.

12.45 Una serie de pequeños paquetes se traslada por medio de unabanda transportadora delgada que pasa sobre las poleas locas de 300 mm deradio. La banda inicia su movimiento desde el reposo en el tiempo t = 0 ysu velocidad se incrementa a una tasa constante de 150 mm/s2. Si el coefi-ciente de fricción estática entre los paquetes y la banda es de 0.75, deter-mine el tiempo necesario para que el primer paquete resbale.

12.46 El piloto de un avión comercial asciende a un nuevo nivel devuelo a lo largo de la trayectoria indicada. Si la velocidad del avión dismi-nuye a razón constante desde 540 ft/s en el punto A hasta 480 ft/s en el puntoC, determine la magnitud de este brusco cambio en la fuerza ejercida sobreun pasajero de 200 lb cuando el avión pasa por el punto B.

12.47 El piloto de un avión comercial asciende a un nuevo nivel devuelo a lo largo de la trayectoria indicada. El movimiento del avión entre Ay B se define mediante la relación s = 3t(180 – t), donde s es la longitud delarco en metros, t el tiempo en segundos, y t = 0 cuando el avión está en elpunto A. Determine la fuerza ejercida por el asiento de un pasajero de 165lb sobre esa persona a) exactamente después que el avión pasa por el puntoA, b) justo antes de que el avión alcance el punto B.

Figura P12.43Figura P12.42

Figura P12.44

Figura P12.45


A

B

C

D

E

20°

0.5 kg 0.5 kg

30°

B

A

C

15°

40°0.9 m

50° 70°

B

A D

C

300 mm

0.5 mi

8°

r = 4 mi

A B C



12.48 En el transcurso de una persecución a alta velocidad, un auto-móvil deportivo de 1110 kg que viaja con rapidez de 160 km/h apenas pierdecontacto con el camino cuando alcanza la cresta A de una colina. a) Deter-mine el radio de curvatura � del perfil vertical del camino en A. b) Utilizandoel valor de � calculado en el inciso a, determine la fuerza que ejerce el asientodel conductor sobre un piloto de 70 kg que maneja un automóvil de 1400 kgcuando este último, viajando a velocidad constante de 80 km/h, pasa por A.

12.49 A una pequeña esfera B de 0.2 kg se le imprime una velocidadhacia abajo v0 y oscila con libertad en un plano vertical, primero alrededorde O y luego en torno a la tachuela A después de que el cordón hace con-tacto con esta última. Determine la velocidad máxima permisible v0 si la ten-sión en la cuerda no es mayor de 10 N.

12.50 Un bloque B de 0.5 lb se encuentra dentro de una pequeña ca-vidad recortada en el brazo OA, el cual gira en el plano vertical a razón cons-tante de tal modo que v = 9 ft/s. Si el resorte ejerce una fuerza de magni-tud P = 0.3 lb sobre el bloque B, y sin tomar en cuenta la fuerza de fricción,determine el rango de valores de � para el cual el bloque B está en contactocon la cara de la cavidad más cercana al eje de rotación.

12.51 Una piloto de 120 lb vuela un jet de entrenamiento en una me-dia vuelta vertical de radio de 3600 ft, de manera que la velocidad del jetdisminuye a razón constante. Si los pesos aparentes de la piloto en los pun-tos A y C son, respectivamente, de 380 y 80 lb, determine la fuerza que ejercesobre ella el asiento del jet cuando se encuentra en el punto B.

Figura P12.48

Figura P12.49

Figura P12.50

Figura P12.51

A

r

0.6 m

B O

A

C

0.3 m

v0

A

B

O

v

q

3 ft

A

B

C

3600 ft


715Problemas12.52 Un automóvil viaja a velocidad constante v sobre un camino pe-raltado. Determine el intervalo de valor de v para el cual el automóvil no pa-tina. Exprese su respuesta en términos del radio r de la curva, el ángulo deperalte �, y el ángulo de fricción estática �s entre las llantas y el pavimento.

12.53 En una pista de carreras, cierta curva tiene radio de 200 m yvelocidad máxima de 180 km/h. (Vea en el problema resuelto 12.6 la defini-ción de velocidad máxima). Si un auto de carreras comienza a derrapar so-bre la curva cuando viaja a una velocidad de 320 km/h, determine a) el án-gulo del peralte �, b) el coeficiente de fricción estática entre las llantas y lapista bajo las condiciones prevalecientes, c) la velocidad mínima a la cual elmismo automóvil podría pasar la curva sin dificultades.

12.54 Los trenes de inclinación como el Acela, que viaja desde Was-hington hasta Nueva York y Boston, están diseñados para desplazarse con se-guridad a altas velocidades sobre secciones curvas de vías diseñadas para tre-nes convencionales más lentos. Al entrar a una curva, cada vagón se inclinagracias a actuadores hidráulicos montados sobre sus plataformas. La inclina-ción característica de los vagones también incrementa el confort de los pasa-jeros al eliminar o reducir de manera considerable la fuerza lateral Fs (para-lela al piso del vagón) a la cual los pasajeros se sienten sujetos. Para un trenque viaja a 125 mi/h sobre una sección curva de vía con ángulo de peralte de� � 8° y rapidez máxima permitida de 75 mi/h, determine a) la magnitud de la fuerza lateral que siente un pasajero de peso W en un vagón estándarsin ninguna inclinación (� � 0), b) el ángulo de inclinación � requerido si elpasajero no debe sentir ninguna fuerza lateral. (Vea en el problema resuelto12.6 la definición de velocidad máxima).

12.55 Las pruebas llevadas a cabo con los trenes de inclinación des-critos en el problema 12.54 revelan que los pasajeros se marean cuando mi-ran a través de la ventana del vagón si el tren recorre una curva a alta velo-cidad, incluso sin sentir una fuerza lateral. En consecuencia, los diseñadoresprefieren reducir, pero no eliminar esa fuerza. Para el caso del tren del pro-blema 12.54, determine el ángulo de inclinación � requerido si los pasajerosdeben sentir sólo fuerzas laterales iguales al 12 por ciento de su peso.



θ

q

f


12.59 Un bloque de 6 lb está en reposo respecto a un plato parabó-lico que gira a velocidad constante alrededor de un eje vertical. Si el coefi-ciente de fricción estática corresponde a 0.5 y r = 6 ft, determine la máximavelocidad permisible v del bloque.

12.60 Cuatro segundos después que una pulidora empieza a moversea partir del reposo, se observa el vuelo de pequeñas borlas de lana que sa-len de la circunferencia de 10 in de diámetro de la almohadilla de pulido. Sila pulidora se enciende de tal manera que la lana de la circunferencia se so-mete a una aceleración constante de 12 ft/s2, determine a) la velocidad v dela borla cuando ésta se desprende de la almohadilla, b) la magnitud de lafuerza requerida para liberar la borla si el peso promedio de la misma co-rresponde a 60 10-6 oz.


Figura P12.60

12.56 Un pequeño collarín C de 250 g puede deslizarse por una varillasemicircular diseñada para girar alrededor de la vertical AB a una tasa de 7.5 rad/s. Determine los tres valores de � para los cuales el collarín no se des-lizará por la varilla, suponga que no existe fricción entre el collarín y la varilla.

12.57 Para el collarín y la varilla del problema 12.56, suponga que loscoeficientes de fricción son �s � 0.25 y �k � 0.20, e indique si el collarín sedeslizará por la varilla al soltarlo en la posición correspondiente a a) � � 75º,(b) � � 40º. También determine la magnitud y la dirección de la fricción ejer-cida sobre el collarín inmediatamente después de haberlo soltado.

12.58 Un pequeño bloque B encaja en el interior de un corte de ra-nura hecho en el brazo OA, el cual gira en un plano vertical a velocidad cons-tante. El bloque permanece en contacto con el extremo de la ranura máscercano a A, y su velocidad es de 4.2 ft/s para 0 � 150°. Si el bloque secomienza a deslizar cuando � � 150°, determine el coeficiente de fricciónestática entre el bloque y la ranura.

Figura P12.58

Figura P12.59

B

1 ft

O

q

A

y = r2

12

6 ft

r

y

v

Figura P12.56

A

B

O

C250 g

r = 500 mm

q


12.61 Sobre un escenario, se construye una plataforma giratoria A quese utilizará en una producción teatral. Durante un ensayo se observa que elbaúl B empieza a deslizarse sobre la plataforma giratoria 12 s después de queésta empieza a girar. Si el baúl se somete a una aceleración constante de 0.75ft/s2, determine el coeficiente de fricción estática presente entre el baúl y laplataforma giratoria.

12.62 El mecanismo de enlace paralelo ABCD se utiliza para trans-portar un componente I entre los procesos de manufactura de las estacionesE, F y G al tomarlo en una estación cuando � � 0 y depositarlo en la esta-ción siguiente cuando � � 180°. Si el elemento BC permanecerá horizontaldurante su movimiento y los enlaces AB y CD giran a velocidad constanteen un plano vertical, de manera que vB � 0.7 m/s, determine a) el valor mí-nimo del coeficiente de fricción estática presente entre el componente y BCmientras se efectúa la transferencia, b) los valores de � para los cuales el des-lizamiento es inminente.

12.63 Si los coeficientes de fricción entre el componente I y el ele-mento BC del mecanismo del problema 12.62 son �s � 0.35 y �k � 0.25,determine a) la velocidad máxima permitida vB si el componente no va a des-lizarse sobre BC mientras se transfiere, b) los valores de � para los cuales eldeslizamiento es inminente.

12.64 En el tubo de rayos catódicos que se muestra en la figura, loselectrones emitidos por el cátodo y atraídos por el ánodo pasan a través deun pequeño agujero ubicado en el ánodo, y luego viajan en línea recta convelocidad v0 hasta que inciden sobre la pantalla situada en A. Sin embargo,al establecer una diferencia de potencial de V entre las dos placas paralelas,los electrones están sujetos a una fuerza F perpendicular a las placas mien-tras viajan entre éstas, e inciden en la pantalla en el punto B que está a unadistancia � de A. La magnitud de la fuerza F es F = eV/d, donde –e es lacarga de un electrón y d es la distancia entre las placas. Ignore los efectosde la gravedad y deduzca una expresión para la desviación � en términos deV, v0, la carga –e y la masa m de un electrón, así como las dimensiones d, ly L.

12.65 En el problema 12.64, determine el valor mínimo permitido delcociente d/l en términos de e, m, v0, y V si en x = l la distancia mínima per-mitida entre la trayectoria de los electrones y la placa positiva es igual a0.075d.

Figura P12.61


Figura P12.62

717Problemas

A B2.5 m

A B8 ft

I

BE F G

C

DA

0.2 m 0.4 m 0.2 m

0.2 m 0.2 m

0.4 m

q

vB

A

B

x

y

Vl

�

Ánodo

Cátodo

Pantalla

d

L

<<45>> Ánodo

<<46>> Cátodo

47 P t ll



Figura 12.12

12.7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNAPARTÍCULA RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DEMOVIMIENTO ANGULAR

Considérese una partícula P de masa m que se mueve con respecto aun sistema de referencia newtoniano Oxyz. Como se estudió en la sec-ción 12.3, la cantidad de movimiento lineal de la partícula en un ins-tante determinado se define como el vector mv obtenido al multipli-car la velocidad v de la partícula por su masa m. El momento alrededorde 0 del vector mv se denomina momento de la cantidad de movimiento,o la cantidad de movimiento angular de la partícula en torno a 0 enese instante y se denota por medio de Ho. Al recordar la definición delmomento de un vector (sección 3.6) y denotar mediante r el vector deposición de P, se escribe

HO � r � mv (12.12)

se tiene que HO es un vector perpendicular al plano que contiene r ymv y de magnitud

HO � rmv sen � (12.13)

donde � es el ángulo entre r y mv (figura 12.12). El sentido de HO

puede determinarse a partir del sentido de mv aplicando la regla de lamano derecha. La unidad de cantidad de movimiento angular se ob-tiene al multiplicar las unidades de longitud y de cantidad de movi-miento lineal (sección 12.4). Con unidades del SI se tiene

(m)(kg � m/s) � kg � m2/s

Con unidades de uso común en Estados Unidos, se escribe

(ft)(lb � s) � ft � lb � s

Al descomponer los vectores r y mv en componentes y aplicar lafórmula (3.10), se escribe

HO � � � (12.14)

Las componentes de HO, las cuales representan también los momentosde la cantidad de movimiento lineal mv alrededor de los ejes de coorde-nadas, se obtienen expandiendo el determinante en (12.14). Se tiene

Hx � m(yvz � zvy)Hy � m(zvx � xvz) (12.15)Hz � m(xvy � yvx)

En el caso de una partícula que se mueve en el plano xy, se tienez � vz � 0 y las componentes Hx y Hy se reducen a cero. De tal modo,la cantidad de movimiento angular es perpendicular al plano xy; en esecaso se define por completo mediante el escalar

HO � Hz � m(xvy � yvx) (12.16)

i j kx y z

mvx mvy mvz

P

HO

rO

z

x

y

mv

f

Fotografía 12.2 Durante los balanceos depráctica de un lanzador de martillo, este últimoadquiere una cantidad de movimiento angularalrededor del eje vertical en el centro de sutrayectoria circular.


P

O

r

mv

mvr

mvf

q

q

que será positivo o negativo de acuerdo con el sentido en el cual seobserva que la partícula se mueve desde 0. Si se recurre a coordenadaspolares, se descompone la cantidad de movimiento lineal de la partícu-la en las componentes radial y transversal (figura 12.13) y se escribe

HO � rmv sen � � rmv� (12.17)

o, al recordar de (11.45) que v� � r �,

HO � mr2� (12.18)

A continuación se calcula la derivada con respecto a t de la canti-dad de movimiento angular HO de la partícula P que se mueve en elespacio. Al diferenciar ambos miembros de la ecuación (12.12), y re-cordar la regla para la diferenciación de un producto vectorial (sección11.10), se escribe

HO � r � mv � r � mv � v � mv � r � ma

Puesto que los vectores Y y mv son colineales, el primer término de laexpresión que se obtiene es cero; y, mediante la segunda ley de New-ton, ma es igual a la suma �F de las fuerzas que actúan sobre P. Si r � �F representa la suma �MO de los momentos alrededor de O deestas fuerzas, se escribe

�MO � HO (12.19)

La ecuación (12.19), resulta directamente de la segunda ley deNewton, establece que la suma de los momentos de 0 de las fuerzasque actúan sobre la partícula es igual a la razón de cambio del mo-mento de la cantidad de movimiento, o cantidad de movimiento angu-lar, de la partícula alrededor de 0.

12.8. ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN TÉRMINOS DE LASCOMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL

Considérese una partícula P, de coordenadas polares r y �, que semueve en un plano bajo la acción de varias fuerzas. Al descomponerlas fuerzas y la aceleración de la partícula en las componentes radial ytransversal (figura 12.14) y sustituir la ecuación (12.2), se obtienen lasdos ecuaciones escalares

Figura 12.13

71912.8. Ecuaciones de movimiento en términosde las componentes radial y transversal

P

O

rm P

O

rm=

mar

maΣF ΣFrq

q

q q

Figura 12.14



�Fr � mar �F� � ma� (12.20)

Al sustituir ar y a� de acuerdo con las ecuaciones (11.46), se tiene

�Fr � m(r � r�2) (12.21)

�F� � m(r� � 2r�) (12.22)

Las ecuaciones que se obtienen pueden resolverse para dos incógnitas,Era posible deducir la ecuación (12.22) de la ecuación (12.19). Al

recordar (12.18) y notar que �MO � r�F�, la ecuación (12.19) produce

r�F� � �ddt�(mr2�)

� m(r2� � 2rr �)

y, después de dividir ambos miembros entre r,

�F� � m(r� � 2r �) (12.22)

12.9. MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL.CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

Cuando la única fuerza que actúa sobre una partícula P es una fuerza Fdirigida hacia O alejándose de un punto fijo O, se dice que la partículase está moviendo bajo una fuerza central, y el punto O se conoce comoel centro defuerza (figura 12.15). Puesto que la línea de acción de F pasapor O, se debe tener �MO � 0 en cualquier instante. Al sustituir la ecua-ción (12.19), se obtiene

HO � 0

para todos los valores de t e, integrar en t,

HO � constante (12.23)

Se concluye en consecuencia que la cantídad de movimíento angularde una partícula que se mueve bajo unafuerza central es constante, tantoen magnitud como en dirección.

Al recordar la definición de la cantidad de movimiento angular deuna partícula (sección 12.7), se escribe

r � mv � HO � constante (12.24)

de la cual se concluye que el vector de posición r de la partícula P debeser perpendicular al vector constante HO. Por consiguiente, una partículasometida a una fuerza central se mueve en un plano fijo perpendicular aHO. El vector HO y el plano fijo se definen mediante el vector de posición

P

F

O

z

x

y

Figura 12.15

Fotografía 12.3 La trayectoria de un espécimenbajo prueba en una centrífuga es un círculohorizontal. Las fuerzas que actúan sobre elespécimen y su aceleración puedendescomponerse en componentes radial ytransversal con componentes r � constante.


inicial r0 y la velocidad inicial v0 de la partícula. Por conveniencia, seconsiderará que el plano de la figura coincide con el plano fijo de movi-miento (figura 12.16).

Puesto que la magnitud HO de la cantidad de movimiento angularde la partícula P es constante, el miembro del lado derecho de la ecua-ción (12.13) debe ser constante. Por lo tanto, se escribe

rmv sen � � r0mv0 sen �0 (12.25)

Esta relación se aplica al movimiento de cualquier partícula sometidaa una fuerza central. Puesto que la fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre un planeta es una fuerza central dirigida hacia el centrodel Sol, la ecuación (12.25) es fundamental para el estudio del movi-miento planetario. Por una razón similar, también es fundamental parael estudio del movimiento de vehículos espaciales en órbita alrededorde la Tierra.

De manera alternativa, al recordar la ecuación (12.18), es posibleexpresar el hecho de que la magnitud HO de la cantidad de movimientoangular de la partícula P es constante al escribir

mr2� � HO � constante (12.26)

o, dividir entre m y denotar por h el movimiento angular por masa uni-taria HO/m,

r2� � h (12.27)

Es posible dar a la ecuación (12.27) una interpretación geométrica in-teresante. Si se observa en la figura 12.17 que el vector radial OP ba-rre un área infinitesimal dA � �

12�r2 d� conforme gira t in ángulo d�, y

si se define la velocídad de área de la partícula como el cociente dA/dt,se nota que el miembro del lado izquierdo de la ecuación (12.27) re-presenta el doble de la velocidad de área de la partícula. Por consi-guiente, se concluye que citando tina partícula se mueve bajo unafuerza central, su velocidad de área es constante.

12.10. LEY DE GRAVITACIÓN DE NEWTON

Como se estudió en la sección anterior, la fuerza gravitacional que ejerceel Sol sobre un planeta o por la Tierra sobre un satélite en órbita es unejemplo importante de una fuerza central. En esta sección, se apren-derá cómo determinar la magnitud de una fuerza gravitacional.

En su ley de la gravitación universal, Newton postuló que dos par-tículas de masa M y in a una distancia r tina de la otra se atraen entresí con fuerzas iguales y opuestas F y –F dirigida a lo largo de la líneaque las une (figura 12.18). La magnitud común F de las dos fuerzas es

F � G (12.28)Mm�r2

O

P

r

mv

mv0

P0r0

0f

P

r

O

Fdq

r d

dA

q

q

m

M

F

–F

r

Figura 12.16

Figura 12.17

Figura 12.18

72112.10. Ley de gravitación de Newton



donde G es una constante universal, llamada la constante de gravita-ción. Los experimentos indican que el valor de G corresponde a(66.73 � 0.03) 10�12 m3/kg � s2 en unidades del SI o aproximada-mente 34.4 10�9 ft4/lb � s4 en unidades del sistema de uso común enEstados Unidos. Las fuerzas gravitacionales existen entre cualquier parde cuerpos, pero su efecto sólo es apreciable cuando uno de los cuer-pos tiene una masa muy grande. El efecto de las fuerzas gravitaciona-les es patente en los casos de movimiento de un planeta alrededor delSol, de satélites que orbitan alrededor de la Tierra, o de cuerpos quecaen sobre la superficie terrestre.

Puesto que la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masam localizado sobre o cerca de su superficie se define como el peso Wdel cuerpo, es posible sustituir la magnitud W � mg del peso por F, yel radio R de la Tierra por r, en la ecuación (12.28). Se obtiene

W � mg � m o g � (12.29)

donde M es la masa de la Tierra. En virtud de que la Tierra no es ver-daderamente esférica, la distancia R desde el centro terrestre de-pende del punto elegido sobre su superficie, y los valores de W y gvariarán entonces con la altura y la latitud del punto que se esté con-siderando. Otra razón para la variación de W y g con la latitud es queun sistema de ejes unido a la Tierra no constituye un sistema de refe-rencia newtoniano (véase la sección 12.2). Una definición más precisadel peso de un cuerpo debe, por lo tanto, incluir una componente querepresente la fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre. Los va-lores de g a nivel del mar varían de 9.781 m/s2, o 32.09 ft/s2, en el ecua-dor, a 9.833 m/s2, or 32.26 ft/s2, en los polos.†

La fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa m ubicadoen un espacio a una distancia r de su centro, puede determinarse a par-tir de la ecuación (12.28). Los cálculos se simplificarán un poco ya quede acuerdo con la ecuación (12.29), el producto de la constante de gra-vitación G y de la masa M de la Tierra puede expresarse como

GM � gR2 (12.30)

donde g y el radio R de la Tierra serán dados en sus valores prome-dio g � 9.81 m/s2 y R � 6.37 106 m en unidades del ‡ y g � 32.2 ft/s2

y R � (3960 mi)(5280 ft/mi) en unidades de uso común en EstadosUnidos.

El descubrimiento de la ley de la gravitación universal se ha atri-buido a menudo a la creencia de que, luego de observar la caída deuna manzana de un árbol, Newton reflexionó que la Tierra debe atraera una manzana y a la Luna de la misma manera. Si bien es dudoso queeste incidente haya ocurrido en la realidad, sí es posible afirmar queNewton no habría formulado su ley si no hubiera percibido primeroque la aceleración de un cuerpo que cae debe ser consecuencia de lamisma causa que la aceleración que mantiene a la Luna en su órbita.El concepto básico de la continuidad de la atracción gravitacional secomprende mejor en la actualidad, cuando la brecha entre la manzanay la Luna se está llenando de satélites terrestres artificiales.

GM�R2

GM�R2

†Una fórmula que expresa g en términos de la latitud � se proporcionó en el problema 12. l.

‡El valor de R se encuentra fácilmente si se recuerda que la circunferencia terrestre es2�R � 40 106 m.


723


Un bloque B de masa m se puede deslizar libremente sobre un brazo OAsin fricción, que gira en un plano horizontal a razón constante �0 Si sesabe que B se suelta a una distancia ro de 0, exprese como función de r,a) la componente vr, de la velocidad de B a lo largo de OA, b) la magni-tud de la fuerza horizontal F ejercida sobre B por el brazo OA.

SOLUCIÓN

Puesto que todas las otras fuerzas son perpendiculares al plano de la figura, laúnica fuerza que se muestra actuando sobre B es la fuerza F perpendicular a OA.

Ecuaciones de movimiento. Al usar las componentes radial y transversal.�p�Fr � mar: 0 � m(r � r �2) (1)�r�F� � ma�: F � m(r� � 2r �) (2)

a. Componente vr de la velocidad. Puesto que vr � r , se tiene

r � vr � �ddvtr

� � �ddvrr

� �ddrt� � vr�

ddvrr

�

Al sustituir r en (1), y recordar que � � �0, y separar las variables,vr dvr � �2

0r drAl multiplicar por 2 e integrar de 0 a v, y de ro a r,

vr2 � �2

0(r2 � r20) vr � �0(r2 � r2

0)1�2

b. Fuerza horizontal F. Al dejar � � �0, � � 0, r � vr en la ecuación(2), y sustituir la expresión para vr que se obtuvo en la parte a,

F � 2m �0(r2 � r20)1�2 �0 F � 2m�2

0(r2 � r20)1�2


Se lanza un satélite en dirección paralela a la superficie de la Tierra con unavelocidad de 18 820 mi/h desde una altura de 240 mi. Determine la veloci-dad del satélite cuando éste alcanza su altura máxima de 2 340 mi. Recuér-dese que el radio de la Tierra es de 3 960 mi.

SOLUCIÓN

Puesto que el satélite se mueve bajo el efecto de una fuerza central di-rigida hacia el centro 0 de la Tierra, su cantidad de movimiento angu-lar HO es constante. De la ecuación (12.13) se tiene

rmv sen � � HO � constanteque muestra que v es mínima en B, donde tanto r como sen � son máximos.Al expresar la conservación de la cantidad de movimiento angular entre A y B.

rAmvA � rBmvB

vB � vA �rr

A

B� � (18,820 mi/h)

vB � 12,550 mi/h

3960 mi � 240 mi��3960 mi � 2340 mi

q

vrr

B

A

O

q q⋅ ⋅0=

q

ma

mar

O

F

=q

2340 mi

18,820 mi /h

Earth

240 mi

AB

mvA

mvB

rB rA

mv

OAB

f


724


En esta lección se continuó el estudio de la segunda ley de Newton expresando lafuerza y la aceleración en términos de sus componentes radial y transversal, dondelas ecuaciones de movimiento correspondientes son

�Fr � mar: �Fr � m(r � r�2)�F� � ma�: �F� � m(r� � 2r�)

Se introdujo el momento (le la cantidad de movimiento, o la cantidad de movimientoangular, Ho de una partícula alrededor de O

HO � r � mv (12.12)

y se encontró que HO es constante cuando la partícula se mueve bajo unafuerza cen-tral con su centro localizado en O.

1. Empleo de las componentes radial y transversal. Las componentes radial ytransversal se presentaron en la últirna lección del capítulo 11 [sección 11.14]; es ne-cesario que se repase dicho material antes de tratar de resolver los siguientes pro-blemas. Además, los comentarios en la lección anterior respecto a la aplicación de lasegunda ley de Newton (dibujo de un diagrama de cuerpo libre y un diagrama ma,etc.) siguen aplicándose [problema resuelto 12.71. Por último, hay que percatarse deque la solución de ese problema resuelto depende de la aplicación de las técnicasque se desarrollaron en el capítulo 11 —es necesario recurrir a técnicas similarespara resolver algunos de los problemas de esta lección.

2. Resolución de problemas que implican el movimiento de una partícula sometida aunafuerza central. En problemas de este tipo, se conserva la cantidad de movimientoangular HOde la partícula alrededor del centro de fuerza O. Es conveniente introducirla constante h � HO/m, que representa a la cantidad del movimiento angular por uni-dad (le masa. La conservación de la cantidad del movimiento angular de la partícula Pen torno a O se expresa entonces mediante alguna de las siguientes ecuaciones

rv sin � � h or r2� � h

donde r y � son las coordenadas polares de P, y � es el ángulo que la velocidad v dela partícula forma con la línea OP (figura 12.16). La constante h se determina a partirde las condiciones iniciales y es posible resolver cualquiera de las ecuacionesanteriores para una de las incógnitas.

3. En los problemas de mecánica celeste que implican el movimiento orbital deun planeta alrededor del Sol, o un satélite en torno a la Tierra, la Luna, o algún otro


725

725

planeta, la fuerza central F es la fuerza de la atracción gravitacional; ésta se dirigehacia el centro de fuerza O y tiene la magnitud

F � G�Mr2m� (12.28)

Adviértase que en el caso particular de la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra,el producto GM puede sustituirse por gR2, donde R es el radio terrestre [ecuación12.30]. Con frecuencia se encuentran los siguientes dos casos de movimiento orbital:

a. En el caso de un satélite en órbita circular, la fuerza F es normal a la ór-bita y se puede escribir F � man; al sustituir F de la ecuación (12.28) y observar quean � v2/� � v2/r, se obtendrá

G�Mr2m� � m �

vr

2

� or v2 � �G

rM�

b. Para un satélite en una órbita elíptica, el vector del radio r y la veloci-dad v del satélite son perpendiculares entre sí en los puntos A y B, los cuales son,respectivamente, el más alejado y el más cercano al centro de fuerza O [problemaresuelto 12.8]. De tal manera, la conservación del momento angular del satélite en-tre estos dos puntos se expresa como

rAmvA � rBmvB


726

Problemas

12.66 Un bloque B de 0.5 kg se desliza sin fricción dentro de la ra-nura del brazo OA que gira en un plano vertical a razón constante, � � 2rad/s. Cuando � � 30°, r � 0.6 m y la fuerza que el brazo ejerce sobre elbloque es cero. Determine a) la velocidad relativa del bloque respecto albrazo, b) la aceleración relativa del bloque respecto al brazo.

qO

BA

r

r

B

q

O

A



A

r

qB

A'

O

D

Figura P12.70

12.67 Un bloque B de 0.5 kg se desliza sin fricción dentro de la ra-nura del brazo OA que gira en un plano vertical. El movimiento de la vari-lla se define mediante la relación � � 10 rad/s2, constante. Cuando � � 45°,r � 0.8 m y la velocidad del bloque es cero. Determine, en ese instante, a)la fuerza que el brazo ejerce sobre el bloque, b) la aceleración relativa delbloque respecto al brazo.

12.68 El movimiento de un bloque B de 4 lb en un plano horizontalse define mediante las relaciones r = 3t2 – t3 y � � 2t2, donde r se expresaen pies, t en segundos, y � en radianes. Determine las componentes radial ytransversal de la fuerza ejercida sobre el bloque cuando a) t = 0, b) t = 1 s.

12.69 El movimiento de un bloque B de 1 lb en un plano horizontalse define mediante las relaciones r � 6(1 � cos2�t) y � � 2�t, donde r seexpresa en pies, t en segundos, y � en radianes. Determine las componentesradial y transversal de la fuerza ejercida sobre el bloque cuando a) t = 0, b)t = 0.75 s.

12.70 El collarín B de 6 lb se desliza sobre un brazo AA¢ sin fricción.El brazo está unido a un tambor D y gira alrededor de O en un plano hori-zontal a una velocidad � � 0.8t, donde � y t se expresan en rad/s y segun-dos, respectivamente. Cuando el arreglo brazo-tambor gira, un mecanismodentro del tambor libera una cuerda de manera que el collarín se mueve ha-cia fuera a partir de O con velocidad constante de 1.5 ft/s. Si en t = 0, r = 0,determine el tiempo al cual la tensión en la cuerda es igual a la magnitud dela fuerza horizontal que ejerce el brazo AA¢ sobre B.


12.71 La varilla horizontal OA gira alrededor de una flecha vertical deacuerdo con la relación � � 10t, donde � y t se expresan en rad/s y segun-dos, respectivamente. Un collarín B de 0.5 lb se sostiene por medio de unacuerda con resistencia a la ruptura de 4 lb. Si se ignora la fricción, deter-mine, inmediatamente después de que se rompe la cuerda, a) la aceleraciónrelativa del collarín respecto a la varilla, b) la magnitud de la fuerza hori-zontal que ejerce la varilla sobre el collarín.

40 lb A

B

50 lb

r q


727Problemas

1.5 ft

B

O

q

A

Figura P12.71

0⋅

B

A

O

Resorte

r

�

Figura P12.72

12.72 El disco A gira en un plano horizontal alrededor de un eje ver-tical a la velocidad constante de �0 � 15 rad/s. La corredera B tiene masa de230 g y se mueve sin fricción en una ranura del disco. La corredera se unea un resorte de constante k = 60 N/m, el cual se mantiene sin deformarcuando r = 0. Si en un instante dado la aceleración de la corredera relativaal disco es r � �12 m/s2 y la fuerza horizontal que el disco ejerce sobre lacorredera es de 9 N, determine en ese instante a) la distancia r, b) la com-ponente radial de velocidad de la corredera.

12.73 Un collarín de 1.5 kg se une a un resorte y se desliza sin fric-ción a lo largo de una varilla circular en un plano vertical. Si la tensión en elresorte es de 70 N y la velocidad del collarín es de 3.8 m/s cuando pasa porel punto A, determine, para ese instante, las componentes radial y transver-sal de aceleración del collarín.

12.74 Los dos bloques se liberan desde el reposo cuando r = 2.4 ft y� � 30°. Si se ignora la masa de la polea y el efecto de la fricción en ésta yentre el bloque A y la superficie horizontal, determine a) la tensión inicialen el cable, b) la aceleración inicial del bloque A, c) la aceleración inicial delbloque B.

12.75 La velocidad del bloque A es de 6 ft/s hacia la derecha cuandor = 2.4 ft y � � 30°. Si se ignora 1a masa de la polea y el efecto de la fric-ción en ésta y entre el bloque A y la superficie horizontal, determine, paraese instante, a) la tensión en el cable, b) la aceleración del bloque A, c) laaceleración del bloque B.

A

125 mm

θ

r

175 mm

Figura P12.73



hA

N

S

BHorizonte

R = 6370 km

Figura P12.85

12.76 Una partícula de masa m se lanza desde el punto A con veloci-dad inicial v0 perpendicular a la línea OA y se mueve bajo la acción de unafuerza central F que se aleja del centro de fuerza O. Si la partícula sigue unatrayectoria definida por la ecuación r � r0/�cos 2�� y se usa la ecuación(12.27), exprese las componentes radial y transversal de velocidad v de la par-tícula como funciones de �.

12.77 Para la partícula del problema 12.76, demuestre que a) la velo-cidad de la partícula y la fuerza central F son proporcionales a la distancia rque va desde la partícula hasta el centro de fuerza O, b) el radio de curva-tura de la trayectoria es proporcional a r3.

12.78 Una partícula de masa m se lanza desde el punto A con veloci-dad inicial v0 perpendicular a la línea OA y se mueve bajo una fuerza cen-tral F a lo largo de una trayectoria semicircular de diámetro OA. Si r � r0

cos � y se usa la ecuación (12.27), demuestre que la velocidad de la partículaes v � v0�cos2 �.

12.79 Para la partícula del problema 12.78, determine la componentetangencial Ft de la fuerza central F a lo largo de la tangente a la trayectoriade la partícula para a) � � 0, b) � � 45°.

12.80 El radio de la órbita de una luna de determinado planeta es tresveces más grande que el radio del planeta. Si la densidad media del planetase denota mediante �, demuestre que el tiempo requerido por la luna paracompletar una revolución alrededor del planeta es 9(��G�)1�2, donde G esla constante de gravitación.

12.81 Los satélites de comunicaciones se ubican en una órbita geosin-crónica, esto es, en una órbita circular tal que completan una revolución alre-dedor de la Tierra en un día sideral (23.934 h), y de esa manera parecen esta-cionarios respecto a la superficie terrestre. Determine a) la altura de estos satélitessobre la superficie de la Tierra, b) la velocidad con que describen su órbita. Pro-porcione sus respuestas tanto en unidades SI como en las del sistema inglés.

12.82 Demuestre que el radio r de la órbita de una luna de cierto pla-neta puede calcularse a partir del radio R del planeta, de la aceleración dela gravedad sobre la superficie del planeta, y del tiempo requerido por laluna para completar una revolución alrededor del planeta. Determine la ace-leración de la gravedad sobre la superficie del planeta Júpiter si R = 44,400mi, � 3.551 días, y r = 417,000 mi en el caso de su luna Europa.

12.83 La órbita del planeta Venus es casi circular con velocidad orbi-tal de 78.3 103 mi/h. Si la distancia media desde el centro del Sol hasta elcentro de Venus es de 67.2 106 mi y el radio del Sol es de 432 103 mi,determine a) la masa del Sol, b) la aceleración de la gravedad sobre la su-perficie del Sol.

12.84 Se ha observado que los periodos orbitales de los satélites Ga-nímedes y Calisto de Júpiter son, respectivamente, de 7.15 y 16.69 días. Sila masa de Júpiter es 319 veces la de la Tierra y las órbitas de los dos satéli-tes mencionados son circulares, determine a) el radio de la órbita de Ganí-medes, b) la velocidad con la cual Calisto describe su órbita. Proporcione susrespuestas en unidades SI. (El periodo orbital de un satélite es el tiempo queéste requiere para completar una revolución alrededor de un planeta).

12.85 El periodo orbital (vea el problema 12.84) de un satélite te-rrestre en órbita circular es de 120 min. Determine a) la altura h del saté-lite, b) el tiempo durante el cual el satélite se encuentra sobre el horizontepara un observador ubicado en el polo norte.

r0AO

F

mr

θ v0

v

Oq

F

A

v

v0

r0

m

r




729Problemas12.86 Un vehículo espacial se encuentra en órbita circular a 200 misobre la superficie de la Luna. Si el radio y la masa de la Luna son de 1080mi y 5.03 1021 lb�s2/ft, respectivamente, determine a) la aceleración de lagravedad en la superficie de la Luna, b) el periodo orbital del vehículo es-pacial (vea el problema 12.84).

12.87 Se ha observado que los periodos orbitales (vea el problema12.84) de los satélites Tetis y Rea del planeta Saturno son de 1.888 y 4.52días, respectivamente. Si las órbitas son circulares y el radio de la órbita deTetis mide 183.3 103 mi, determine a) el radio de la órbita de Rea, b) lamasa de Saturno.

12.88 Durante un vuelo de inspección de la Tierra, la velocidad de lanave espacial es de 10.4 103 m/s cuando ésta alcanza su altura mínima de960 km sobre la superficie en el punto A. Se observa, en el punto B, que lanave espacial tiene ya una altura de 8300 km. Suponiendo que la trayectoriade esta nave es parabólica, determine su velocidad en B.

Órbita dela Tierra

SolA B

Órbita detransferencia

Órbitade Marte

6370 km8300 km

960 kmA

B

1300 mi

1400 mi

A B

Figura P12.89

Figura P12.88

Figura P12.90

12.89 Como primera aproximación al análisis de un vuelo espacial de laTierra a Marte, suponga que las órbitas de ambos planetas son circulares ycoplanares. Las distancias medias del Sol a la Tierra y a Marte son, respecti-vamente, de 92.96 106 y 141.5 106 mi. Para ubicar la nave espacial den-tro de una órbita de transferencia elíptica en el punto A, su velocidad seincrementa durante un breve intervalo hasta vA, que es 1.83 mi/s más rápidoque la velocidad orbital terrestre. Cuando la nave espacial llegue al punto Bsobre la órbita de transferencia elíptica, su velocidad vB se habrá incremen-tado hasta la velocidad orbital de Marte. Como la masa del Sol es 332.8 103

veces la masa de la Tierra, determine el aumento en la velocidad requeridoen B.

12.90 Un vehículo espacial está en una órbita circular de 1400 mi deradio alrededor de la Luna. Para pasar a una órbita más pequeña de 1300 mide radio, el vehículo se ubica primero en una trayectoria elíptica AB redu-ciendo su velocidad en 86 ft/s cuando pasa por A. Si la masa de la Luna esde 5.03 1021 lb�s2/ft, determine a) la velocidad del vehículo cuando seaproxima a B sobre la trayectoria elíptica, b) la cantidad que su velocidaddebe reducirse cuando se aproxima a B para incorporarse en la órbita circu-lar más pequeña.



12.91 Un trasbordador espacial S y un satélite A se encuentran en lasórbitas circulares que se muestran en la figura. Para recuperar el satélite, eltrasbordador se ubica primero en una trayectoria elíptica BC al incrementarsu velocidad en vB � 85 m/s cuando pasa por B. Cuando el trasbordadorse aproxima a C, su velocidad se incrementa en vC � 79 m/s para incorpo-rarlo en la segunda órbita CD de transferencia elíptica. Si la distancia de Oa C es de 6900 km, determine la cantidad mediante la cual la velocidad deltrasbordador debe incrementarse cuando se aproxima a D para insertarlo enla órbita circular del satélite.

D COB

A

S

610 km

290 km

r

E

A

O

D

B

C

12.92 Dos collarines A y B de 2.6 lb pueden deslizarse, sin fricción, so-bre un armazón compuesto por la varilla horizontal OE y la varilla vertical CD,la cual puede girar con libertad alrededor de CD. Los dos collarines están co-nectados por una cuerda que se desplaza sobre una polea unida al armazón enO, y un tope mantiene fijo al collarín B. El armazón gira a la razón � � 10 rad/sy r = 0.6 ft cuando se quita el tope permitiendo que el collarín A se mueva alo largo de la varilla OE. Sin tomar en cuenta la fricción ni la masa del arma-zón, determine a) la tensión en la cuerda y la aceleración del collarín A rela-tiva a la varilla OE inmediatamente después de quitar el tope, b) la compo-nente transversal de velocidad del collarín A cuando r = 0.9 ft.

12.93 Dos collarines A y B de 2.6 lb se pueden deslizar, sin fricción,sobre un armazón compuesto por la varilla horizontal OE y la varilla verticalCD, la cual puede moverse con libertad alrededor de CD. Los dos collari-nes están conectados mediante una cuerda que se desplaza sobre una poleaunida al armazón en O, y un tope mantiene fijo al collarín B. El armazón giraa la razón � � 12 rad/s y r = 0.6 ft cuando se quita el tope permitiendo queel collarín A se mueva a lo largo de la varilla OE. Si se ignora la fricción y lamasa del armazón, determine, para la posición r = 1.2 ft, a) la componentetransversal de velocidad del collarín A, b) la tensión en la cuerda y la acele-ración del collarín A relativa a la varilla OE.

12.94 Un collarín de 300 g puede deslizarse sobre una varilla hori-zontal que gira libremente alrededor de un eje vertical. El collarín se sos-tiene inicialmente en A mediante una cuerda unida al eje y comprime un re-sorte con una constante de 5 N/m, el resorte está sin deformar cuando elcollarín se localiza a 750 mm del eje. Cuando el eje gira a la tasa � � 12rad/s, la cuerda se corta y el collarín se mueve hacia fuera a lo largo de la va-rilla. Si se ignora la fricción y la masa de la varilla determine, para la posi-ción B del collarín, a) la componente transversal de la velocidad del collarín,b) las componentes radial y transversal de su aceleración, c) la aceleracióndel collarín relativa a la varilla.

12.95 En el problema 12.94 determine, para la posición B del colla-rín, a) la componente radial de la velocidad del collarín, b) el valor de �.

Figura P12.91


A B

150 mm600 mm

Figura P12.94


73112.11. Trayectoria de una partícula bajo laacción de una fuerza central

*12.11. TRAYECTORIA DE UNA PARTÍCULA BAJO LA ACCIÓNDE UNA FUERZA CENTRAL

Considérese una partícula P que se mueve bajo el efecto de una fuerzacentral F. Se desea obtener la ecuación diferencial que define su tra-yectoria.

Si se supone que la fuerza F está dirigida hacia el centro de fuerza0, se tiene que �Fr y �F� se reduce, respectivamente, a �F y cero enlas ecuaciones (12.21) y (12.22). Por lo tanto, se escribe

m(r � r�2) � �F (12.31)m(r� � 2r�) � 0 (12.32)

Estas ecuaciones definen el movimiento de P. Sin embargo, se susti-tuye la ecuación (12.32) por la ecuación (12.27), la cual es equivalentea la ecuación (12.32), lo cual se verifica sin dificultad al diferenciarlacon respecto a t, pero cuyo uso es más conveniente. Se escribe

r2� � h o r2 � h (12.33)

La ecuación (12.33) se usa para eliminar la variable independientet de la ecuación (12.31). Al resolver la ecuación (12.33) para � o d��dtse tiene

� � � (12.34)

de la cual se deduce que

r � �ddrt� � �

dd�

r� �

dd�

t� � �

rh2� �

dd�

r� � �h�

dd��

1r

�� (12.35)

r � �ddrt� � �

dd�

r� �

dd�

t� � �

rh2� �

dd�

r�

o, al sustituir r de (12.35),

r � �rh2� �

dd�� h�

dd��

1r

��r � ��

hr2

2

� �dd�

2

2��1r

�� (12.36)

La sustitución de � y r de (12.34) y (12.36), respectivamente, en laecuación (12.31) e introducir la función u � l�r, se obtiene después desimplificaciones

� u � (12.37)

Para obtener la ecuación (12.37), se supuso que la fuerza F estaba di-rigida hacia O. Por lo tanto, la magnitud F será positiva si F realmenteapunta hacia O (fuerza atractiva) y negativa si F apunta alejándose deO (fuerza repulsiva). Si F es una función conocida de r y, en conse-cuencia, de u, la ecuación (12.37) es una ecuación diferencial en u y �que define a la trayectoria seguida por la partícula bajo la acción de lafuerza central F. La ecuación de la trayectoria se obtiene al resolver laecuación diferencial (12.37) para u con una función de � y al determi-nar las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales.

F�mh2u2

d2u�d�2

h�r2

d��dt

d��dt


*12.12. APLICACIÓN EN MECÁNICA CELESTE

Después de que ha finalizado la última etapa de los cohetes de lanza-miento, los satélites terrestres y otros vehículos espaciales están suje-tos sólo a la atracción gravitacional de la Tierra. En consecuencia, esposible determinar su movimiento de las ecuaciones (12.33) y (12.37),las cuales gobiernan el movimiento de una partícula bajo una fuerzacentral, luego de que F se ha sustituido por la expresión que se obtuvopara la fuerza de atracción gravitacional. † Al sustituir la expresión enla ecuación (12.37)

F � � GMmu2

donde M � masa de la Tierram � masa del vehículor � distancia del centro de la Tierra al vehículou � l/r

se obtiene la ecuación diferencial

� u � (12.38)

donde se observa que el miembro del lado derecho es una constante.La solución de la ecuación diferencial (12.38) se obtiene al sumar la

solución particular u � GM�h2 a la solución general u � C cos (� � �0)de la ecuación homogénea correspondiente (esto es, la ecuación que seobtiene al igualar a 0 el miembro del lado derecho). Si se fija el eje po-lar de manera que �0 � 0, se escribe

� u � � C cos � (12.39)

La ecuación (12.39) es la correspondiente a una sección cónica (elipse,parábola o hipérbola) en las coordenadas polares r y �. El origen O delas coordenadas, el cual se ubica en el centro de la Tierra, es unfocode esta sección cónica, y el eje polar es uno de sus ejes de simetría (fi-gura 12.19).

El cociente entre las constantes C y GM�h2 define la excentrici-dad de la sección cónica; al dejar

� � (12.40)

puede escribirse la ecuación (12.39) en la forma

�1r

� � �GhM2�(1 � cos �) (12.39�)

Esta ecuación representa las tres posibles trayectorias.

1. � 1, o C � GM�h2: Hay dos valores �1 y ��1 del ángulo po-lar, definido cos �1 � �GM�Ch2, para los cuales el miembro

Ch2

�GM

C�GM�h2

GM�h2

1�r

GM�h2

d2u�d�2

GMm�

r2

Figura 12.19

†Se supone que los vehículos espaciales considerados aquí son atraídos únicamente porla Tierra, y que sus masas son ignorables en comparación con la masa de la Tierra. Si unvehículo se inueve muy alejado de la Tierra su trayectoria quizá sea afectada con la atrac-ción del Sol, la Luna u otro planeta.

A

r

O

q


Fotografía 12.4 La Estación EspacialInternacional y el vehículo espacial están sujetosal jalón gravitacional de la Tierra, y si se ignorantodas las demás fuerzas, la trayectoria de cadauno será un círculo, elipse, parábola o hipérbola.


73312.12. Aplicación en mecánica celestederecho de la ecuación (12.39) se vuelve cero. Para estos dosvalores, el vector radio r se vuelve infinito, la sección cónicaes una hipérbola (figura 12.20).

2. � 1, o C � GM�h2: El vector radio se vuelve infinito para� � 180°; la sección cónica es una parábola.

3. � 1, o C � GM�h2: El vector radio permanece finito paratodo valor de �; la sección cónica es una elipse. En el caso par-ticular en que � C � 0, la longitud del vector radio es cons-tante, la sección cónica es un círculo.

Ahora se verá cómo las constantes C y GM�h2, que caracterizan latrayectoria de un vehículo espacial, se determinan a partir de la posi-ción y velocidad del vehículo al principio de su vuelo libre. Se consi-dera que, como es en general el caso, la fase impulsada de su vuelo seha programado de manera tal, que al consumirse la última etapa delcohete de lanzamiento, el vehículo tiene una velocidad paralela a la su-perficie de la Tierra (figura 12.21). En otras palabras, se supondrá queel vehículo espacial empieza su vuelo libre en el vértice A de su tra-yectoria.†

Al denotar el vector radio y la velocidad del vehículo al principiode su vuelo libre, respectivamente, por r0 y v0, se observa que la velo-cidad se reduce a su componente transversal y, en consecuencia, quev0 � r0�0. Al recordar la ecuación (12.27), se expresa el momento an-gular por masa unitaria h como

h � r20�0 � r0v0 (12.41)

Es posible utilizar el valor obtenido para h para determinar la cons-tante GM�h2. También se tiene que el cálculo de esta constante se sim-plificará si se usa la relación que se obtuvo en la sección 12.10:

GM � gR2 (12.30)

donde R es el radio de la Tierra (R � 6.37 106 m o 3960 mi) y g esla aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

La constante C se obtiene fijando � � 0, r � r0 en (12.39):

C � � (12.42)

Al sustituir h de (12.41), es posible expresar fácilmente C en términosde r0 y v0.

Se determinarán ahora las condiciones iniciales correspondientesa cada una de las tres trayectorias fundamentales indicadas antes. Alconsiderar primero la trayectoria parabólica, se hace C igual a GM�h2

en la ecuación (12.42) y se elimina h entre las ecuaciones (12.41) y(12.42). Al resolver para v0, se obtiene

v0 � ��2G

r0

M��

Se puede verificar fácilmente que un valor mayor de la velocidad inicialcorresponde a una trayectoria hiperbólica y que un valor más pequeño co-rresponde a una órbita elíptica. Puesto que el valor de v0 que se obtuvo

GM�h2

1�r0

Figura 12.20

Figura 12.21

AO

1q

– 1q

< 1

= 1

> 1

e

e

e

A

Lanzamiento

Impulso de vuelo

Vuelo libre

QuemadoO r0

v0

†Los problemas que impliquen lanzamientos oblicuos se considerarán en la sección 13.9.



para la trayectoria parabólica es el valor más pequeño para el cual elvehículo espacial no regresa a su punto de inicio, recibe el nombre develocidad de escape. Por consiguiente, se escribe

vesc � �� o vesc � �� (12.43)

Si se recurre a la ecuación (12.30), se advierte que la trayectoria será (1)hiperbólica si v0 � vesc, (2) parabólica si v0 � vesc y (3) elíptica si v0 � vesc.

Entre las diversas órbitas elípticas posibles, la que se obtienecuando C � 0, la órbita circular, resulta de interés especial. Se en-cuentra con facilidad el valor de la velocidad inicial correspondiente auna órbita circular es

vcirc � �� o vcirc � �� (12.44)

si se toma en cuenta la ecuación (12.30). De la figura 12.22 se tiene quepara valores v0 mayores que vcirc pero más pequeños que vesc, el punto Adonde se inicia el vuelo libre es el punto de la órbita más cercano a la Tie-rra; este punto recibe el nombre de perigeo, mientras que el punto A’, quees el más alejado de la Tierra, se conoce como apogeo. Para valores de v0más pequeños que vcirc, el punto A es el apogeo, en tanto que el puntoA”, en el otro lado de la órbita, es el perigeo. Para valores de v0 muchomás pequeños que vcirc, la trayectoria del vehículo espacial interceptan lasuperficie de la Tierra; en tal caso, el vehículo no entra en órbita.

Los misiles balísticos, que se diseñan para golpear contra la su-perficie terrestre, también viajan a lo largo de trayectorias elípticas. Enrealidad, se debe reconocer ahora que cualquier objeto lanzado en elvacío con una velocidad inicial de v0 más pequeña que vcirc se moveráa lo largo de una trayectoria elíptica. Sólo en el caso en que las dis-tancias implicadas son pequeñas es posible suponer que el campo gra-vitacional de la Tierra es uniforme, y que la trayectoria elíptica puedeaproximarse mediante una trayectoria parabólica, como se hizo antes(sección 11.11) en el caso de proyectiles convencionales.

Periodo orbital. Una característica importante del movimiento deun satélite terrestre es el tiempo que éste requiere para describir su ór-bita. Este tiempo, conocido como el periodo orbital del satélite, se de-nota mediante . Observamos primero, en vista de la definición de ve-locidad de área (sección 12.9), que se obtiene al dividir el área dentrode la órbita entre la velocidad de área. Al advertir que el área de unaelipse es igual a �ab, donde a y b denotan, respectivamente, los semie-jes mayor y menor, y que la velocidad de área es igual a h/2, se escribe

� (12.45)

En tanto que h puede determinarse de inmediato a partir de r0 yv0 en el caso de un satélite lanzado en una dirección paralela a la su-perficie terrestre, los semiejes a y b no se relacionan directamente conlas condiciones iniciales, Puesto que, por otro lado, los valores de r0 yr1 de r correspondientes al perigeo y al apogeo de la órbita pueden de-terminarse sin dificultades a partir de la ecuación (12.39), se expresanlos semiejes a y b en términos de r0 y r1.

Considérese la órbita elíptica que se muestra en la figura 12.23. Elcentro de la Tierra se ubica en O y coincide con uno de los dos focos de

2�ab�

h

gR2

�r0

GM�

r0

2gR2

�r0

2GM�

r0

Figura 12.22

Figura 12.23

O

v0 < vcirc

vcirc < v0 < vesc

v0 = vcirc

A' A" A

b

a

r1 r0

CA' AO'

B

O


la elipse, en tanto que los puntos A y A� representan, respectivamente,el perigeo y el apogeo de la órbita. Fácilmente se confirma que

r0 � r1 � 2a

y consecuentementea � �

12�(r0 � r1) (12.46)

Si se recuerda que la suma de las distancias desde cada uno de los fo-cos hasta cualquier punto de la elipse es constante, se escribe

O�B � BO � O�A � OA � 2a o BO � a

Por otro lado, se tiene que CO � a � r0. Por lo tanto, es posible escribir

b2 � (BC)2 � (BO)2 � (CO)2 � a2 � (a � r0)2

b2 � r0(2a � r0) � r0r1

y, por lo tanto,b � �r0r1� (12.47)

Las fórmulas (12.46) y (12.47) indican que los semiejes mayor y me-nor de la órbita son iguales, respectivamente, a la media aritmética ygeométrica de los valores máximo y mínimo del vector radio. Una vezque r0 y r1 se han determinado, las longitudes de los semiejes puedencalcularse fácilmente y sustituirse por a y b en la fórmula (12.45).

*12.13. LEYES DE KEPLER EN EL MOVIMIENTO PLANETARIO

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un satélite terrestrese pueden utilizar para describir el movimiento de la Luna alrededorde la Tierra. En este caso, sin embargo, la masa de la Luna no es des-preciable comparada con la masa terrestre, y los resultados que se ob-tienen no son del todo precisos.

La teoría que se desarrolló en las secciones precedentes tambiénse aplican al estudio del movimiento de los planetas alrededor del Sol.Aunque se introduce otro error al ignorar las fuerzas que los planetasejercen entre sí, la aproximación que se obtiene es excelente. De he-cho, incluso antes de que Newton hubiera formulado su teoría funda-mental, las propiedades expresadas por la ecuación (12.39), donde Mrepresenta la masa del Sol, y mediante la ecuación (12.33) habían sidodescubiertas por el astrónomo alemán Johann Kepler (1571–1630) apartir de observaciones astronómicas del movimiento de los planetas.

Las tres leyes del movimiento planetario de Kepler se enuncian delmodo siguiente.

1. Cada planeta describe una elipse, con el Sol ubicado en unode sus focos.

2. El vector radio trazado desde el Sol hasta un planeta barreáreas iguales en tiempos iguales.

3. Los cuadrados de tiempos penodicos de los planetas son pro-porcionales a los cubos de los ejes semimayores de sus órbitas.

La primera ley establece un caso particular del resultado que seestableció en la sección 12.12, y la segunda ley expresa que la veloci-dad de área de cada planeta es constante (véase la sección 12.9). Tam-bién es posible obtener la tercera ley de Kepler de los resultados a losque se llegó en la sección 12.12.†

†Véase el probleina 12.120.

73512.13. Leyes de Kepler en el movimiento planetario


736


Un satélite se lanza en una dirección paralela a la superficie de la Tierra conuna velocidad de 36 900 km/h desde una altura de 500 km. Determine a) la al-tura máxima alcanzada por el satélite, b) el periodo orbital del satélite.

SOLUCIÓN

a. Altitud máxima. Después de que se lanza el satélite, éste se en-cuentra sujeto únicamente a la atracción gravitacional de la Tierra; en con-secuencia, su movimiento lo gobierna la ecuación (12.39),

�1r

� � �GhM2� � C cos � (1)

Puesto que la componente radial de la velocidad es cero en el punto de lan-zamiento A, se tiene h � r0v0 Al recordar que para la Tierra R � 6 370 km,se calcula

r0 � 6370 km � 500 km � 6870 km � 6.87 106 m

v0 � 36 900 km�h � �336..69

1100

3

6

sm

� � 10.25 103 m/s

h � r0v0 � (6.87 106 m)(10.25 103 m/s) � 70.4 109 m2/sh2 � 4.96 1021 m4/s2

Puesto que GM � gR2, donde R es el radio de la Tierra, se tiene

GM � gR2 � (9.81 m/s2)(6.37 106 m)2 � 398 1012 m3/s2

�GhM2� ��

43.9986

1100

1

2

2

1mm

3

4//ss

2

2�� 80.3 10�9 m�1

Al sustituir este valor dentro de (1), se obtiene

�1r

� � 80.3 10�9 m�1 � C cos � (2)

Al advertir que el punto A es � � 0 y r � r0 � 6.87 106 m se calcula laconstante C:

�6.87

1106 m� � 80.3 10�9 m�1 � C cos 0° C � 65.3 10�9 m�1

En A�, el punto de la órbita más alejado de la Tierra, se tiene � � 180°. Me-diante (2), se calcula la distancia correspondiente rl:

�r1

1� � 80.3 10�9 m�1 � (65.3 10�9 m�1) cos 180°

r1 � 66.7 106 m � 66 700 kmAltura máxima � 66 700 km � 6370 km � 60 300 km

b. Periodo orbital. Puesto que A y A� son el perigeo y el apogeo,respectivamente, de la órbita elíptica, se utilizan las ecuaciones (12.46) y(12.47) y se calculan los semiejes mayor y menor de la órbita

a � �12�(r0 � r1) � �

12�(6.87 � 66.7)(106) m � 36.8 106 m

b � �r0r1� � �(6.87)(�66.7)� 106 m � 21.4 106 m

� �2�

hab� �

� 70.3 103 s � 1171 min � 19 h 31 min

2�(36.8 106 m)(21.4 106 m)��

70.4 109 m2/s

Maximum altitude

36,900 km/h

Earth

500 km

RA' A

r1

v0

r0

rq

OA' AC

B

r1 r0

a

b



En esta lección, se continuó el estudio del movimiento de una partícula bajo unafuerza central y se aplicaron los resultados a problemas en mecánica celeste. $e en-contró que la trayectoria de una partícula bajo una fuerza central se define mediantela ecuación diferencial

�dd

2

�

u2� � u � �

mhF2u2� (12.37)

donde u es el recíproco de la distancia r de la partícula al centro de fuerza (u � 1�r),F es la magnitud de la fuerza central F, y h es una constante igual a la cantidad demovimiento angular por unidad de masa de la partícula. En problemas de mecánicaceleste, F es la fuerza de atracción gravitacional ejercida sobre el satélite o nave es-pacial por el Sol, la Tierra u otro planeta alrededor del cual viaja. Al sustituir F �GMm�r2 � GMmu2 en la ecuación (12.37), se obtiene para ese caso

�dd

2

�

u2� � u � �

GhM2� (12.38)

donde el miembro del lado derecho es una constante.

1. Análisis del movimiento de satélites y naves espaciales. La solución de laecuación diferencial (12.38) define la trayectoria de un satélite o nave espacial. Éstase obtuvo en la sección 12.12 y se expresó en dos formas alternativas.

�1r

� � �GhM2� � C cos � o �

1r

� � �GhM2�(1 � cos �) (12.39, 12.39�)

Al aplicar estas ecuaciones recuérdese que � � 0 corresponde siempre al perigeo (elpunto de máximo acercamiento) de la trayectoria (figura 12.19) y que h es una cons-tante para una trayectoria determinada. Dependiendo del valor de la excentricidade, la trayectoria será una hipérbola, una parábola o una elipse.

a. � � 1: La trayectoria es una hipérbola, por lo que para este caso la naveespacial nunca retorna a su punto de partida.

b. � � 1: La trayectoria es una parábola. Éste es el caso límite entre trayec-torias abierta (hiperbólica) y cerrada (elíptica). Para este caso la velocidad vo en elperigeo es igual a la velocidad de escape vesc,

v0 � vesc � ��2G

r0

M�� (12.43)

Adviértase que la velocidad de escape es la velocidad más pequeña para la cual lanave espacial no regresa al punto de partida.

737


c. � � 1: La trayectoria es una órbita elíptica. En problemas que implicanórbitas elípticas, tal vez se encuentre útil en la solución de problemas subsecuentesla relación que se obtuvo en el problema 12.102.

�r1

0� � �

r1

1� � �

2Gh2

M�

cuando se aplique esta ecuación, hay que recordar que r0 y r1 son las distancias desdeel centro de fuerza desde el perigeo (� � 0) y el apogeo (� � 180°), respectivamente;que h � r0v0 � r1v1 y que, para un satélite que orbita a la Tierra, GMtierra � gR2

donde R es el radio terrestre. Recuérdese también que la trayectoria es un círculocuando � 0.

2. Determinación del punto de impacto de una nave espacial que desciende.En problemas de este tipo, es posible que se suponga que la trayectoria sea elíptica,y que el punto inicial de la trayectoria de descenso es el apogeo de la trayectoria (fi-gura 12.22). Adviértase que en el punto de impacto, la distancia r en las ecuaciones(12.39) y (12.39�) es igual al radio R del cuerpo sobre el cual la nave espacial aterrizao se estrella. Además, se tiene que h � RvI sen �I, donde vI es la velocidad de lanave espacial en el impacto y �I es el ángulo que su trayectoria forma con la verti-cal en el punto de impacto.

3. Cálculo del tiempo de recorrido entre dos puntos sobre una trayectoria. Parael movimiento de fuerza central, el tiempo t que se requiere para que una partícularecorra una porción de su trayectoria se determina al recordar de la sección 12.9 quela razón a la cual el vector de posición r barre el área en la unidad de tiempo es iguala la mitad de la cantidad de movimiento angular por masa unitaria h de la partícula:dA�dt � h�2. Se concluye que, dado que h es constante para una trayectoria dada, que

t � �2hA�

donde A es el área total barrida en el tiempo t.

a. En el caso de una trayectoria elíptica, el tiempo que se requiere para com-pletar una órbita recibe el nombre de periodo orbital y se expresa como

� �2(�

hab)� (12.45)

donde a y b son los semiejes mayor y menor, respectivamente, de la elipse y se re-lacionan con las distancias r0 y r1 mediante

a � �12�(r0 � r1) y b � �r0r1� (12.46, 12.47)

b. La tercera ley de Kepler proporciona una relación conveniente entre los pe-riodos orbitales de dos satélites que describen órbitas elípticas alrededor del mismocuerpo [sección 12.13]. Al denotar los semiejes mayores de las dos órbitas de a1 y a2,respectivamente, y los periodos orbitales correspondientes por 1 y 2 se tiene

�

2122� � �

aa

3132�

c. En el caso de una trayectoria parbólica, es posible que se recurra a la ex-presión dada en la portada del libro para un área parabólica o un área semiparabó-lica con el fin de calcular el tiempo que se requiere para viajar entre los dos puntosde la trayectoria.

738


739

Problemas

12.96 Una partícula de masa m se proyecta desde el punto A con ve-locidad inicial v0 perpendicular a OA y se mueve bajo una fuerza central Fa lo largo de una trayectoria elíptica definida por la ecuación r � r0�(2 � cos�). Mediante la ecuación (12.37), demuestre que F es inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia r medida desde la partícula hasta el cen-tro de fuerza O.

AO

r

q

r0

F

m v0

v

F m

O

q

r

12.97 Una partícula de masa m describe la trayectoria definida por laecuación r � r0�(6 cos � � 5) bajo la acción de una fuerza central F dirigidaalejándose del centro de fuerza O. Mediante la ecuación (12.37), demuestreque F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r medidadesde la partícula hasta O.

12.98 Una partícula de masa m describe la parábola y � x2�4r0 bajouna fuerza central F dirigida hacia el centro de fuerza C. Mediante las ecua-ciones (12.37) y (12.39’) con � 1, demuestre que F es inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia r medida desde la partícula hasta el cen-tro de fuerza y que la cantidad de movimiento angular por masa unitaria esh � �2GMr�0�.

12.99 Una partícula de masa m describe la espiral logarítmica r � r0eb�

bajo una fuerza central F dirigida hacia el centro de la fuerza O. Usando laecuación (12.37), muestre que F es inversamente proporcional al cubo de ladistancia r medida desde la partícula hasta O.

12.100 Cuando la sonda espacial Voyager 1 llegó al punto de su tra-yectoria más cercano al planeta Júpiter, se observó que había una distanciade 350 103 km medida desde el centro del planeta, y la sonda tenía unavelocidad de 26.9 km/s. Determine la masa de Júpiter, suponiendo que latrayectoria de la sonda espacial era parabólica.

Figura P12.96 Figura P12.97

Figura P12.98

y

C

mq

F

O

r

r0

x



3960 mi11,870 mi

R = 3960 mi A

Figura P12.105

12.101 Cuando una sonda espacial que se aproxima al planeta Venusen una trayectoria parabólica alcanza el punto A de máximo acercamiento alplaneta, su velocidad se reduce para incorporarla en una órbita circular. Sila masa y el radio de Venus son de 334 1021 lb?s2/ft y 3761 mi, respecti-vamente, determine a) la velocidad de la sonda cuando se aproxima a A, b)la reducción de velocidad que se requiere para incorporarla en una órbitacircular.

12.102 Cuando la nave espacial Galileo alcanzó el punto de su tra-yectoria más próximo a Io, una de las lunas de Júpiter, se observó que se ubi-caba a una distancia de 2820 km medida desde el centro de Io y tenía unavelocidad de 15 km/s. Si la masa de Io es 0.01496 veces la masa de la Tie-rra, determine la excentricidad de la trayectoria de la nave espacial cuandose aproximaba a Io.

12.103 Se informó que un pequeño satélite de Júpiter, descubierto en2002, tiene una órbita con semieje mayor a 23.6 ¥ 106 km y excentricidad de0.45. Si la masa de Júpiter es 318 veces la masa de la Tierra, determine lasvelocidades máxima y mínima del satélite.

12.104 Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un pla-neta de masa M. Si se denotan mediante r0 y r1, respectivamente, los valo-res mínimo y máximo de la distancia r medida desde el satélite hasta el cen-tro del planeta, deduzca la relación

� �

donde h es la cantidad del momento angular por unidad de masa del satélite.

12.105 Un satélite describe una órbita circular a una altura de 11,870mi sobre la superficie de la Tierra. Determine a) el aumento en velocidadrequerido en el punto A para que el satélite alcance la velocidad de escapee ingrese a una órbita parabólica, b) la disminución en velocidad necesariaen el punto A para que el satélite entre a una órbita elíptica de 3960 mi dealtura mínima, c) la excentricidad de la órbita elíptica.

2GM�

h21

�r1

1�r0

175 mi

A

C

B

A BO

r1r0

Figura P12.104

Figura P12.101


741Problemas12.106 El observatorio de rayos X Chandra, lanzado en 1999, alcanzó unaórbita elíptica de altura mínima igual a 10,000 km y altura máxima de 140,000km sobre la superficie terrestre. Si se supone que el observatorio se transfi-rió a esta órbita desde una órbita circular de 10,000 km de altura en el puntoA, determine a) el aumento en velocidad requerido en A, b) la velocidad delobservatorio en B.

12.107 Conforme describe una órbita elíptica alrededor del Sol, una naveespacial alcanza una distancia máxima de 325 l06 km medida desde el cen-tro del Sol en el punto A (llamado afelio) y una distancia mínima de 148 l06

km en el punto B (llamado perihelio). Para colocar la nave espacial en unaórbita elíptica más pequeña con afelio A’ y perihelio B’, donde A’ y B’ se loca-lizan, respectivamente, a 264.7 106 km y 137.6 106 km, desde el centrodel Sol, la velocidad de la nave espacial se reduce primero cuando ésta pasapor A y después se reduce más cuando pasa por B’. Si la masa del Sol es 332.8 103 veces la masa de la Tierra, determine a) la velocidad de la naveespacial en A, b) la cantidad que la velocidad de la nave espacial debe redu-cirse en A y B’ para que ingrese en la órbita elíptica deseada.

A' B'A B

264.7 × 106 km

325 × 106 km

137.6 × 106 km

148 × 106 km

12.108 Una sonda espacial se colocará en una órbita circular de 9000 kmde radio alrededor del planeta Venus en un plano especificado. Cuando lasonda alcanza A, que es el punto de su trayectoria original más cercano aVenus, se inserta en una primera órbita de transferencia elíptica al reducir suvelocidad en vA. Esta órbita lo lleva al punto B con una velocidad más baja.Allí, la sonda se inserta en una segunda órbita de transferencia ubicada en elplano especificado al cambiar la dirección de su velocidad y además reducirsu rapidez en vB. Por último, cuando la sonda llega al punto C, se inserta enla órbita circular deseada al reducir su velocidad en vC. Si la masa de Venuses 0.82 veces la masa de la Tierra, rA � 15 103 km y rB � 300 103 km, yla sonda se aproxima a A en una trayectoria parabólica, determine en cuántodebe reducirse la velocidad de la sonda a) en A, b) en B, c) en C.

12.109 Para la sonda espacial del problema 12.108, rA � 15 103 km y lavelocidad de la sonda se reduce hasta 6500 m/s cuando ésta pasa por A.Determine a) la distancia desde el centro de Venus hasta el punto B, b) lacantidad en que debe reducirse la velocidad de la sonda en B y C, respecti-vamente.

Figua P12.108

Figura P12.107

A B

10 000 km140 000 km

R = 6370 km

Figura P12.106

A

C

Órbita circular

9000 kmSegunda órbita de transferencia

Primera órbita de transferencia

B

rB rA

Trayectoria de aproximación



12.110 Una sonda espacial se encuentra en órbita circular alrededor deMarte. La órbita debe tener un radio de 2500 mi y localizarse en un plano es-pecificado que es diferente al plano de la trayectoria de acercamiento. Cuandola sonda llega a A, que es el punto de su trayectoria original más cercano aMarte, ingresa a una primera órbita de transferencia elíptica reduciendo su ve-locidad. Esta órbita la lleva al punto B con una velocidad mucho más redu-cida. Ahí la sonda se incorpora a una segunda órbita de transferencia al redu-cir aún más la velocidad. Si la masa de Marte es 0.1074 veces la masa de laTierra, rA � 5625 mi y rB � 112,500 mi, y la sonda se aproxima a A sobre unatrayectoria parabólica, determine el tiempo necesario para que la sonda espa-cial viaje desde A hasta B sobre su primera órbita de transferencia.

12.111 El cometa Halley viaja en una órbita elíptica alargada para lacual la distancia mínima desde el Sol es de aproximadamente �

12� rE, donde

rE � 92.9 106 mi es la distancia media del Sol a la Tierra. Si el periodo or-bital del cometa Halley es de alrededor de 76 años, determine la distanciamáxima desde el Sol alcanzada por este cometa.

12.112 Una nave espacial y un satélite están en posiciones diametral-mente opuestas en la misma órbita circular a 310 mi de altura sobre la Tie-rra. Al pasar por el punto A, la nave espacial enciende su motor durante uncorto intervalo para incrementar su velocidad e ingresar a una órbita elíptica.Si la nave regresa a A al mismo tiempo que el satélite llega a A después decompletar una y media órbitas, determine a) el aumento de velocidad re-querido, b) el periodo orbital correspondiente a la órbita elíptica.

A Nave espacialSatélite

310 mi

R = 3960 mi

A

B

C

4560 mi

B

R

A

bv0

nR

O

Figura P12.110

Figura P12.112

Figura P12.114

Figura P12.116

C

AB

Segunda órbita detransferencia

Primeraórbita de

transferencia

Trayectoriade acercamiento

2500 mi

rB rA

O

12.113 Con base en las observaciones efectuadas durante el avista-miento en 1996 del cometa Hyakutake, se concluyó que la trayectoria de éstees una elipse sumamente alargada para la cual la excentricidad es casi de �0.999887. Si para el avistamiento de 1996 la distancia mínima entre el co-meta y el Sol era de 0.230RE, donde RE es la distancia media desde el Solhasta la Tierra, determine el periodo orbital del cometa.

12.114 Se observó que durante su primer vuelo sobre la Tierra, la naveespacial Galileo tuvo una velocidad de 6.48 mi/s al alcanzar su distancia mí-nima de 4560 mi desde el centro terrestre. Suponiendo que la trayectoria deGalileo fue parabólica, determine el tiempo necesario para que la nave viajede B a C sobre su trayectoria.

12.115 Un trasbordador espacial se encuentra en una órbita elípticacon excentricidad de 0.0356 y a una altura mínima de 182 mi sobre la su-perficie terrestre. Si el radio de la Tierra es de 3960 mi, determine el pe-riodo orbital para el trasbordador.

12.116 Una sonda espacial describe una órbita circular de radio nR conuna velocidad v0 alrededor de un planeta de radio R y centro O. Cuando lasonda pasa por un punto A, su velocidad se reduce de v0 a �v0, donde � � 1,para situarla en una trayectoria de impacto. Exprese en términos de n y � elángulo AOB, donde B denota el punto de impacto de la sonda sobre el planeta.


743Problemas12.117 Antes de las misiones Apolo a la Luna, se utilizaron varios or-bitadores lunares para fotografiar la superficie del satélite y obtener infor-mación relativa a posibles sitios de alunizaje. Al final de cada misión, se ajustóla trayectoria de cada nave de manera que se estrellara con el fin de efec-tuar estudios adicionales de las características de la superficie lunar. En la fi-gura se muestra la órbita elíptica del Lunar Orbiter 2. Si la masa de la Lunaes 0.01230 veces la masa de la Tierra, determine la cantidad que debe re-ducirse la velocidad del orbitador en el punto B de modo que choque con lasuperficie lunar en el punto C. (Sugerencia. El punto B es el apogeo de latrayectoria elíptica de impacto).

R = 1080 mi

A B

C

70°

1110 mi 2240 mi

12.118 na trayectoria balística de largo alcance entre los puntos A y Bsobre la superficie terrestre consta de un tramo de elipse con apogeo en elpunto C. Si el punto C está a 930 mi sobre la superficie de la Tierra, y el al-cance R� de la trayectoria es igual a 3700 mi, determine a) la velocidad delproyectil C, b) la excentricidad de la trayectoria.

12.119 Un trasbordador espacial describe una órbita circular a una al-tura de 200 mi sobre la superficie terrestre. Cuando pasa por el punto A, en-ciende su motor durante un breve intervalo para reducir la velocidad en un6 por ciento y empezar su descenso hacia la Tierra. Determine la altura deltrasbordador en el punto B si el ángulo AOB es igual a 50º. (Sugerencia. Elpunto A es el apogeo de la órbita elíptica descendente).

12.120 Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un pla-neta. Denotando mediante r0 y r1 las distancias correspondientes, respecti-vamente, al perigeo y al apogeo de la órbita, demuestre que la curvatura deesta última en cada uno de los dos puntos indicados puede expresarse como

� � � �12.121 a) Exprese la excentricidad de la órbita elíptica descrita por

un satélite alrededor de un planeta en términos de las distancias r0 y r1 co-rrespondientes, de manera respectiva, al perigeo y al apogeo de la órbita. b)Utilice el resultado que obtuvo en el inciso a y los datos dados en el pro-blema 12.113, donde R � 93.0 106 mi, para determinar la distancia má-xima apropiada desde el Sol que alcanza el cometa Hyakutake.

12.122 Deduzca la tercera ley del movimiento planetario de Kepler apartir de las ecuaciones (12.39) y (12.45).

12.123 Demuestre que la cantidad de movimiento angular por unidadde masa h de un satélite que describe una órbita elíptica de semieje mayora y excentricidad alrededor de un planeta de masa M puede expresarsecomo

h � �GMa(1� � 2)�

1�r1

1�r0

1�2

1��

Figura P12.117

Figura P12.119

Figura P12.120 y P12.121

A

B

O

200 mi

R = 3960 mi

50°

A BO

r1r0

R = 3960 mi

O

A

C

B

vC

f

Figura P12.118


744

Segunda ley de Newton

Cantidad de movimiento lineal

Sistemas de unidades consistentes

Ecuaciones de movimiento de una partícula

Equilibrio dinámico

R E PA S O Y R E S U M E ND E L C A P Í T U L O 1 2

Este capítulo se dedicó la segunda ley de Newton y su aplicación alanálisi del movimiento de partículas.

Al denotar mediante m la, masa de una partícula, por �F lasuma, o resultante, de las fuerzas que actúan sobre la partícula, ypor a la aceleración de la partícula relativa a un sistema de referen-cia newtoniano [sección 12.2]. se escribe

�F � ma (12.2)Al presentar la cantidad de movimiento lineal de una partícula,

L � mv [sección 12.3], se vio que la segunda ley, de Newton tam-bién puede escribirse en la forma

�F � L (12.5)la cual, expresa, que la resultante de la fuerza que actúa sobre unapartícula es igual a ;a razón de cambio de la cantidad de movimientolineal de la partícula.

La ecuación (12.2) se cumple sólo si se usa un sistema consis-tente de unidades Con unidades del SI, las fuerzas se expresarán ennewtons las masas en kilogramos y las aceleraciones en m/s2 con uni-dades de uso común en Estados Unidos las fuerzas deben expre-sarse en libras, las masas en lb � s2/ft (conocidas también como slugs),y las aceleraciones en ft/s2 [sección 12.4].

Para resolver un problema que implica el movimiento de unapartícula, la ecuación (12.2) debe sustituirse por ecuaciones que con-tengan cantidades escalares [sección 12,5]. Al usar componentes rec-tangulares de F y a, se escribe

�Fx � max �Fy � may �Fz � maz (12.8)Mediante las componentes tangencial y normal, se tiene

�Ft � m �Fn � m (12.9�)

También se señaló [sección 12.6] que las ecuaciones del movi-miento una partícula pueden sustituirse por ecuaciones similares alos de equilibrio que se usan en estática si un vector �ma de mag-nitud ma pero de sentido opuesto al de la aceleración, se añade a lasfuerzas aplicadas a la partícula; en ese caso se dice que la partículaestá en equilibrio dinámico Sin embargo, por uniformidad, todos losproblemas resueltos se solucionaron utilizando las ecuaciones de mo-vimiento, primero con componentes rectangulares [problemas re-sueltos del 12.1 al 12,4] y después con las componentes tangencial ynormal [problemas resueltos 12.5 y 12.6].

v2

��

dv�dt


745Repaso y resumen del capítulo 12En la segunda parte del capítulo, se definió la cantidad de mo-

vimiento angular HO de una partícula alrededor de un punto O comoel momento alrededor de O de la cantidad de movimiento lineal mvde esa partícula [sección 12.7]. Se escribe

HO � r � mv (12.12)

y se tiene que HO es un vector perpendicular en el plano que con-tiene r y mv (figura 12.24) y de magnitud

HO � rmv sin � (12.13)

Al descomponer los, vectores r y mv en componentes rectan-gualres, se expresa la cantidad de movimiento angular, HO en laforma determinada

HO � � � (12.14)

En el caso de una partícula que se mueve en el plano xy, se tienez � vz � 0. La cantidad de movimiento angular es perpendicular alplano xy y está completamente definida por su magnitud. Se escribe

HO � Hz � m(xvy � yvx) (12.16)

Al calcular la tasa de cambio HO de la cantidad de movimientoangular gular HO, y al aplicar la segunda ley de Newton, se escribela ecuación

�MO � HO (12.19)

la cual establece que la suma de los momentos alrededor de O de lasfuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la razón de cambiode la cantidad del movimiento angular de la partícula en torno a O.

En muchos problemas que implican el movimiento plano de unapartícula, se encontró conveniente utilizar las componentes radial y trans-versal [sección 12.8, problema resuelto 12.7] y escribir las ecuaciones

�Fr � m(r � r�2) (12.21)�F� � m(r� � 2r�) (12.22)

Cuando la única fuerza que actúa sobre una partícula P es la fuerza Fdirigida hacia o alejándose de un punto fijo O, se dice que la partícula semueve bajo la acción de una fuerza central [sección 12.9]. Puesto que�MO � 0 en cualquier instante dado, se concluye de la ecuación (12.19)que HO � 0 para todos los valores de t y, en consecuencia, que

HO � constante (12.23)

Se concluye que la cantidad de movimiento angular de una partículaque se mueve bajo uno fuerza central es constante, tanto en magni-tud cono en dirección, y que la partícula se mueve en un plano per-pendicular al vector HO.

i j kx y z

mvx mvy mvz

Angular momentum

Razón de cambio de la cantidad del movimiento angular

Componentes radial y transversal

Movimiento bajo una fuerza central

P

HO

rO

z

x

y

mv

f

Figura 12.24



Ley de Newton de la gravitacional universal

Movimiento orbital

Figura 12.25

Figura 12.26

Figura 12.27

Al recordar la ecuación (12.13), se escribe la relación

rmv sen � � r0mv0 sen �0 (12.25)

para el movimiento de cualquier partícula bajo una fuerza central(figura 12.25). Mediante coordenadas polares y recordando la ecua-ción (12.18), se obtuvo también

r2� � h (12.27)

donde h es una constante que representa la cantidad de movimientoangular por unidad de masa, HO�m, de la partícula. Se señaló (fi-gura 12.26) que el área infinitesimal dA que barre el radio vectorOP cuando gira un ángulo d� es igual a �

12� r2 d� y, en consecuencia,

que el miembro del lado izquierdo de la ecuación (12.27) representael doble de la velocidad del área dA/dt de la partícula. Por lo tanto,la velocidad de área de una partícula que se mueve bajo una fuerzacentral es constante

Una aplicación importante del movimiento bajo una fuerza cen-tral la ofrece el movimiento orbital de cuerpos sometidos a la atrac-ción gravitacional [sección 12.10]. De acuerdo con la ley de Newtonde la gravitación universal, dos partículas a una distancia r una dela otra y de masas M y m, respectivamente, se atraen entre sí confuerzas iguales y opuestas F y �F dirigida a lo largo de la línea queune las partículas (figura 12.27). La magnitud común F de las dosfuerzas es

F � G (12.28)

donde G es la constante de gravitación. En el caso de un cuerpo demasa m sujeto a la atracción gravitacional de la Tierra, el productoGM, donde M es la masa de la Tierra, puede expresarse como

GM � gR2 (12.30)

donde g � 9.81 m/s2 � 32.2 ft/s2 y R es el radio de la Tierra.

Se mostró en la sección 12. 11 que una partícula que se muevebajo una fuerza central describe una trayectoria definida por la ecua-ción diferencial

� u � (12.37)F

�mh2u2

d2u�d�2

Mm�r2

P

r

O

Fd

r d

dA

q

q

q

O

P

r

mv

mv0

P0r0

0

f

f

rF

m

–F

M


donde F � 0 corresponde a una fuerza atractiva y u � 1�r. En el casode una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza de atrac-ción gravitacional [sección 12.12], se sustituye F por la expresión dadaen la ecuación (12.28). Midiendo � a partir del eje OA que une elfoco O con el punto A de la trayectoria más cercano a O (figura 12.28),se encuentra que la solución de la ecuación (12.37) era

� u � � C cos � (12.39)

Ésta es la ecuación de una cónica de excentricidad � � Ch2�GM.La cónica es una elipse si � � 1, una parábola si � � 1, y una hi-pérbola si � � 1. Es posible determinar la constante C y h de lascondiciones iniciales; si la partícula se proyecta desde el punto A(� � 0, r � r0) con una velocidad inicial v0 perpendicular a OA, te-nemos h � r0v0 [problema resuelto 12.9].

Se indicó también que los valores de la velocidad inicial co-rrespondientes, respectivamente, a una trayectoria parabólica y a unacircular eran

vesc � �� (12.43)

vcirc � �� (12.44)

y que el primero de estos valores, denominado la velocidad de es-cape, es el valor más pequeño de v0 para el cual la partícula no re-gresará a su punto de partida,

El periodo orbital de un planeta o satélite se definió como eltiempo requerido por el cuerpo para describir su órbita. Se mostróque

� (12.45)

donde h � r0v0 y donde a y b representan los semiejes mayor y me-nor de la órbita, Se indicó además que estos semiejes son iguales res-pectivamente a las medias aritmética y geométrica de los valores má-ximo y mínimo del vector radio r.

La última sección del capítulo [sección 12.13] presentó las le-yes de Kepler del movimiento planetario y mostró que estas leyesempíricas, obtenidas a partir de antiguas observaciones astronómi-cas, confirman las leyes de movimiento de Newton, así como su leyde gravitación.

2�ab�

h

GM�

r0

2GM�

r0

GM�h2

1�r

Figura 12.28

A

r

O

q

Velocidad de escape

Periodo orbital

Leyes de Kepler

747Repaso y resumen del capítulo 12


748

Problemas de repaso

12.124 Determine la velocidad teórica máxima que puede alcanzar unautomóvil, partiendo desde el reposo, después de recorrer 1320 ft. Supongaque el coeficiente de fricción estática es de 0.80 entre las llantas y el pavi-mento, y que el automóvil tiene a) tracción delantera y las ruedas delante-ras soportan el 65 por ciento del peso, b) transmisión trasera y las ruedas tra-seras soportan el 42 por ciento del peso.

12.125 Un tractocamión viaja a 90 km/h cuando el conductor aplicalos frenos. Si las fuerzas de frenado del tractor y el remolque son, respecti-vamente, de 16 y 60 kN, determine a) la distancia recorrida por el tractoca-mión antes de detenerse, b) la componente horizontal de la fuerza presenteen el enganche entre el tractor y el remolque mientras éstos van frenando.

12.126 El bloque B de 30 lb está sostenido mediante un bloque A de55 lb y unido a una cuerda a la cual se aplica una fuerza horizontal de 50 lb,como indica la figura. Sin tomar en cuenta la fricción, determine a) la ace-leración del bloque A, b) la aceleración del bloque B relativa a A.

12.127 Una bola B para demolición pesa 180 lb, está unida a un ca-ble de acero AB de 40 ft de largo, y oscila en el arco vertical que muestra lafigura. Determine la tensión presente en el cable a) en la parte superior Cde la oscilación, donde � � 30°, b) en la parte inferior D de la oscilación,donde la velocidad de B es igual a 18.6 ft/s.

Figura P12.125

7900 kg6800 kg

A

B

30 lb

55 lb

25°

50 lb

A

BC

D

q

Figura P12.127

Figura P12.126


749Problemas de repaso12.128 Un automóvil que viaja a una velocidad de 110 km/h se aproxima auna curva de 50 m de radio. Si el coeficiente de fricción estática entre las llan-tas y el camino es de 0.65, determine cuánto debe reducir el conductor surapidez para librar con seguridad la curva si el ángulo de peralte debido a undesagüe que pasa por debajo del camino es a) � � 10°, b) � � �5°.

12.129 Un pequeño collarín D pesa 8 oz y puede deslizarse por el tramoAB de la barra doblada en la forma que indica la figura. Si la barra gira alre-dedor del eje vertical AC a velocidad constante y � 40° y r = 24 in, deter-mine el rango de valores de la velocidad v para el cual el collarín no se desli-zará por la barra si el coeficiente de fricción estática entre la barra y el colla-rín es de 0.35.

12.130 La varilla OA gira alrededor de O en un plano horizontal. El movi-miento del collarín B de 400 g se define mediante las relaciones r � 500 �300 sen �t y � � 2�(t2 � 2t), donde r se expresa en milímetros, t en segun-dos, y � en radianes. Determine las componentes radiales y transversales dela fuerza ejercida sobre el collarín cuando a) t = 0, b) t = 0.8 s.

Figura P12.129

A

B

D

C

a

v

r

q

O

B A

r

B

O

E

DC

r

q

9 in.

12.131 El pasador B de 4 oz se desliza a lo largo de la ranura del brazo rota-torio OC y de la ranura DE, la cual se recortó en una placa horizontal fija. Sise ignora la fricción y el brazo OC gira a una razón constante �0 � 10 rad/s,determine para cualquier valor dado de � a) las componentes radial y trans-versal de la fuerza resultante F que se ejerce sobre el pasador B, b) las fuer-zas P y Q ejercidas sobre el pasador B por el brazo OC y la pared de la ranu-ra DE, respectivamente.

Figura P12.130

Figura P12.131



Figura P12.134

12.132 Determine la masa de la Tierra si el radio medio de la órbitade la Luna alrededor de nuestro planeta es de 384.5 Mm y la Luna requiere27.32 días para completar una vuelta completa alrededor de la Tierra.

12.133 Una nave espacial de 540 kg se ubica primero en una órbitacircular alrededor de la Tierra a una altura de 4500 km y después se trans-fiere a una órbita circular alrededor de la Luna. Si la masa de la Luna es de 0.01230 veces la masa de la Tierra y su radio corresponde a 1740 km, de-termine a) la fuerza gravitacional ejercida sobre la nave espacial cuando orbitaba la Tierra, b) el radio requerido de la órbita de la nave espacial al-rededor de la Luna si los periodos orbitales de las dos órbitas van a ser igua-les, c) la aceleración de la gravedad en la superficie lunar. (El periodo orbi-tal de un satélite es el tiempo que éste requiere para completar una revoluciónalrededor de un planeta).

12.134 Una bola A de 1 lb y una bola B de 2 lb se montan sobre unavarilla horizontal que gira libremente alrededor de un eje vertical. Las bolasse mantienen en las posiciones indicadas mediante pasadores. El pasador quesostiene a B se quita repentinamente y la bola se mueve a la posición C cuandogira la varilla. Si se ignora la fricción y la masa de la varilla y la velocidad ini-cial de A es vA � 8 ft/s, determine a) las componentes radial y transversal dela aceleración de la bola B inmediatamente después de quitar el pasador, b)la aceleración de la bola B relativa a la varilla en ese instante, c) la velocidadde la bola A después que la bola B ha alcanzado el reposo en C.

12.135 Un trasbordador espacial describe una órbita circular a una al-tura de 563 km sobre la superficie de la Tierra. Cuando pasa por el punto A,enciende su motor durante un breve intervalo para reducir la velocidad en152 m/s y empezar su descenso hacia la Tierra. Determine el ángulo AOBde manera que la altura del trasbordador y del punto B sea de 121 km. (Su-gerencia. El punto A es el apogeo de la órbita elíptica descendente).

A B

C

16 in. 16 in.

8 in.10 in.

vA

vB

A

B

O

563 km

R = 6370 km

Figura P12.135


751

Figura P12.C1

Problemas de computadora

12.C1 El bloque B de 18 lb de peso está inicialmente en reposo, talcomo se indica, sobre la superficie superior de una cuña A de 45 lb, la cualse sostiene mediante una superficie horizontal. Un bloque C de 4 lb se co-necta al bloque B mediante una cuerda que pasa sobre una polea de masainsignificante. Si se recurre a un programa de cómputo y denotando me-diante � al coeficiente de fricción de todas las superficies, encuentre la ace-leración inicial de la cuña y del bloque B relativa a la cuña para valores de� � 0. Utilice incrementos de 0.01 para � hasta que la cuña no se mueva, yluego use incrementos de 0.1 hasta cesar el movimiento.

A

30°

C

B

Figura P12.C2

1.5 m

v0

q

12.C2 Un pequeño bloque de 0.50 kg está en reposo en la parte su-perior de una superficie cilíndrica. Al bloque se le imprime una velocidad ini-cial v0 hacia la derecha con magnitud de 3 m/s, la cual provoca que se des-lice sobre la superficie cilíndrica. Utilizando un programa de cómputo, calculey grafique los valores de � a los cuales el bloque pierde contacto con la su-perficie para valores de �k, que es el coeficiente de fricción cinética entre elbloque y la superficie, desde 0 hasta 0.4, en incrementos de 0.05.



12.C6 En el punto A, una bolsa de 10 lb se empuja suavemente desdela parte superior de un muro y oscila en un plano vertical al final de unacuerda de longitud l = 5 ft. Calcule y grafique la velocidad de la bolsa y lamagnitud de la tensión en la cuerda como funciones del ángulo � desde 0hasta 90°.

Figura P12.C3

r0

12.C3 Un bloque de masa m está unido a un resorte de constante k.El bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte está en posición hori-zontal y no deformada. Si r0 � 4 ft, utilice un programa de cómputo y de-termine a) para k/m = 15 s-2, 20 s-2, y 25 s-2, la longitud del resorte y la mag-nitud y dirección de la velocidad del bloque cuando éste pasa directamentebajo el punto de suspensión del resorte, b) el valor de k/m para el cual la ve-locidad es horizontal.

12.C4 Un avión pesa 60,000 lb y sus motores generan un empuje cons-tante de 12,500 lb durante el despegue. El arrastre D ejercido sobre el avióntiene una magnitud D = 0.060v2, donde D se expresa en lb y v es la veloci-dad en ft/s. El avión parte del reposo en el extremo de la pista y despega auna velocidad de 250 ft/s. Determine y grafique la posición y velocidad delavión como funciones del tiempo, y la velocidad como función de la posiciónconforme el avión se mueve por la pista de despegue.

12.C5 Dos alambres AC y BC están unidos en el punto C a una pe-queña esfera que gira a velocidad constante v en el círculo horizontal indi-cado. Calcule y grafique la tensión presente en cada alambre como funciónde v. Determine el intervalo de valores de v para el cual ambos alambrespermanecen tensos.

Figura P12.C5

B

A

C

30°

45°

2 lb

5 ft

Figura P12.C6

C

B

A

q

l


12.C7 El movimiento bidimensional de la partícula B se define me-diante las relaciones r = t3 — 2t2 y � � t3 � 4t, donde r se expresa en me-tros, t en segundos y � en radianes. Si la partícula tiene masa de 0.25 kg yse mueve en un plano horizontal, calcule y grafique las componentes radialy transversal y la magnitud de la fuerza que actúa sobre la partícula comofunciones de t desde 0 hasta 1.5 s.

Figura P12.C7

q

O

B A

r

753Problemas de computadora


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