Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Civil

Dinámica de un Sistema de Partículas

Energía Cinética y Potencial

Impulso y Cantidad de movimiento

Masa variable

Choques

MSc.: Loayza Cordero Fredy Miguel

Movimiento de Traslación de un de un Sistema de Partículas momento lineal y ley de Newton

Conservación del momento lineal

Impulso y cantidad de movimiento

Colisiones

Dinámica de un Sistema de Partículas

Masa variable

Energía Cinética y Potencial de un Sistema de Partículas Impulso y cantidad de movimiento

Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa.

M

m

dt

rdm

Mdt

d

ii

CM

i

i

CM

CM

vv

1rv

totiiiCM mM ppvv

El momento total del sistema es:

Movimiento de Traslación de un de un Sistema de Partículas momento lineal y ley de Newton

iiCM rmM

r

1

De la definición de centro de masa se tiene

La aceleración del centro de masa es:

De la segunda ley de Newton:

Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

ii

i

i

CM

CM mMdt

dm

Mdt

da

1v1va

externasinternas iiiiiCM mM FFFaa

CM

tot

CMi Mdt

dM aF

paF

extext

)( ParticulasdeSistemasunparaNewtondeLeyM CM

2aF ext

Del resultado de las fuerzas exteriores que actúa sobre un sistema de partículas es nula, el momento lineal se conserva

Entonces

Conservación del momento lineal.

00

dt

PdFSi ext:

constanteP

"" LinealMomentodelónConservaciladeLey

La figura muestra una polea fija de masa despreciable y sin roce de la cual penden 2 partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas por una cuerda liviana e inextensible. Calcule la aceleración de cada partícula, la tensión de la cuerda y la aceleración del centro de masa del sistema de partículas.

Tarea 1

Tarea 2

La figura muestra un sistema formado por dos partículas cuyas masas son m1 = 10kg, m2 = 6kg. Las fuerzas netas que actúan sobre cada una de ellas respectivamente y . Inicialmente el sistema se encuentra en reposo. Calcule en función del tiempo las coordenadas del centro de masa y el momento lineal total.

NiF ˆ81

NjF ˆ62

Una granada inicialmente en reposo, estalla en 3 pedazos de masas m1, m2 y m3 cuyas velocidades son respectivamente:

Tarea 3

Determine la relación entre sus masas

Tarea 4

Se lanza un proyectil de 3 kg de masa, con un ángulo de 30° sobre la horizontal y con una velocidad de 120 m/s. En la parte superior de su trayectoria, explota en dos partes de 1 kg y otro de 2 kg. El fragmento de 2 kg cae al suelo directamente debajo del punto de explosión, 3,6 s después de que esta se ha verificado (a) Determine la velocidad del fragmento de 1 kg inmediatamente después de la explosión. (b) Determine la distancia entre el punto del disparo y el punto en el cual el fragmento de 1 kg choca contra el suelo ( c) Determinar la energía liberada por la explosión

s

mVo 120

x

y 1V

2V

30

o

La energía de un sistema de partículas es la suma de las partículas individuales.

Desarrollando se tiene

)(·

ii

vi

vm

ii

mv

i ic

EEC

.

2

12

2

1

iCMi uvv

CrelEMVE CMC 2

2

1

Energía Cinética de un Sistema de Partículas

La velocidad de la partícula i puede expresarse como la suma de la velocidad de centro de masa VCM y la velocidad de la partícula relativa al centro de masa Ui

i

CMCM

i

iii

iii

Cumumvv

mE

22

2

1

2

.

simplificando la expresión ya que: 0

iii

um i iirelC

umE2

2

1

La energía potencial gravitatoria en un campo gravitatorio uniforme es

Reemplazando se tiene la energía potencial para un sistema

ii

hi

mg

ii

ghi

mEP

i

iiCM hmMh

CMP MghE

Energía Potencial Gravitatoria de un Sistema de Partículas

Por otro lado de la definición de centro de masa

Un bloque de 3 kg se mueve hacia la derecha a 5 m/s y un segundo bloque de 3 kg se mueve hacia la izquierda a 2m/s. (a) Hallar la energía cinética total de ambos bloques en este sistema. (b) Hallar la velocidad del centro de masa del sistema formado por estos bloques (c) Hallar las velocidades de estos bloques respecto al centro de masa (d) Hallar la energía cinética del movimiento respecto al centro de masas. (e) Demostrar que la respecto del apartado (a) es mayor que el correspondiente al apartado (d) en una cantidad igual a la energía cinética del centro de masas.

Tarea 1

El impulso es un vector que tiene una magnitud igual al área bajo la curva de fuerza-tiempo.

ti tf

t

F

Impulso y cantidad de movimiento

pppp

FI12

2

1

tt

t

tdt

dt

ddt

• Es una cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza durante el intervalo de tiempo que dura su aplicación. • Matemáticamente se expresa mediante la integral de la fuerza por el tiempo. • El impulso se define como el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo:

La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama

fuerza de impulso.

El impulso se puede escribir como: I = Fm t. Donde Fm es

la fuerza promedio durante el intervalo.

ti tf

t

F

Fm

Área = Fm t

21

2

2

1

1

2

2

1

1

CMexternoCM

CMiCM

iiCM

iiiii

iii

iii

VMIVM

VMdtFVM

vmVM

como

vmdtFvm

Integrando

dvmdtF

dt

vdmF

PSunparaNewtondeecuaciónlaDe

..

Principio del Impulso lineal y cantidad de movimiento para un Sistema de Partículas

El furgón A de 15 Mg se desplaza en forma libre a 1,5m/s horizontal cuando se encuentra con un carro B cuya masa es de 12 Mg y que se desplaza a 0,75 m/s hacia el , según se observa en la figura si ambos carros se acoplan Determine : a) La rapidez de ambos carros b) La fuerza promedio de entre ambos carros si el acoplamiento ocurre en 0,8s

Tarea 1

A B

1,5 m/s 0,75 m/s

Supongamos que tenemos una masa dm moviéndose con una velocidad u hacia un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v

Sistema de Masa Variable (gana masa)

NewtondeLeydt

d 2;

pF

dm

Fext

v

u

Si el elemento dm se mueve mas rápido que el cuerpo de masa m

m

Fext

v+dv m dm

Luego como

u-v-vvvvF

uvvvFpF

dmmdmddmmdmdt

dmmddmmdtddt

ext

ext

)())((

u)-(vv

u-vv

Fdt

dm

dt

dm

dt

dm

dt

dm

dt

dmext

Simplificando y despreciando infinitésimos de segundo orden, se tiene

v)-(uv

Fdt

dm

dt

dmext

Donde (u-v) es la velocidad relativa del elemento respecto al cuerpo

Aun cuando el análisis ha sido hecho para sistemas que ganan masa, el mismo resultado se obtiene para sistemas que pierden masa, pero en este último caso u representará la velocidad de los elementos de masa justo después de abandonar el sistema.

Entonces la ecuación del sistema de masa variable es

Luego en el tiempo t+dt, la masa del cohete es m+dm, y su velocidad es v+dv. Con el cambio de masa del cohete negativo, dm<0. Por otra parte, los gases de la combustión, de masa –dm, que se arrojan con velocidad vg, medida desde un sistema fijo, el momento lineal en este tiempo es

Fext

v

vg

m

Fext

v+dv m+dm

gvvvp )())(( dmddmmdt)(t

Sistema de Masa Variable (pierde masa)

Supongamos que tenemos en un tiempo t, un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v, el momento lineal es.

t t+dt

v)( mt p

dmmdmdtt g )()( vvvvp

dt

dm

dt

dm

dt

dgex )( vv

vpF

El cambio de momento lineal en este intervalo de tiempo dt es, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton se tiene

Simplificando y despreciando el termino diferencial de segundo orden dmdv se tiene

Resultando la ecuación de movimiento

dt

dm

dt

dmgex

v)vv(F

Velocidad relativa del gas respecto al cohete

Un cohete de lanzamiento vertical, sube con una aceleración de g/7ms−2. Si la velocidad relativa de los gases respecto del cohete es constante y de valor absoluto 800ms−1, determine la masa del cohete en función del tiempo si su masa inicial, incluido el combustible es de 4000 kg.

Tarea 1

y

jmgˆ

La figura muestra un móvil de masa 1000 kg, inicialmente en reposo, que contiene además 200 kg de combustible. Su motor quema el combustible a razón constante 10 kg s−1. El móvil puede desplazarse sobre una superficie horizontal lisa. Si la velocidad relativa del móvil respecto de los gases quemados es de 20ms−1, determine la velocidad del móvil transcurridos 15 s.

Tarea 2

Una cadena de densidad de masa σ kgm−1, posee en un extremo un cuerpo de masa M, El sistema se encuentra apilado en el suelo. En el instante t = 0 se aplica una fuerza F vertical sobre el cuerpo de masa M para levantar el conjunto con velocidad constante v. Calcule la magnitud de la fuerza cuando haya transcurrido un tiempo igual a v/2g .

Tarea 3

Choques

El fenómeno de colisiones entre dos cuerpos donde existen fuerzas activas y

reactivas de magnitudes muy grandes durante un intervalo de tiempo muy cortos se

llama choque.

Las fuerzas activas y reactivas dependen de los cuerpos, sus velocidades y de las

propiedades elásticas.

Choques Directos: La dirección del movimiento de las particular y el CM están en

línea recta.

Choques Oblicuos: La dirección del movimiento de las particular y el CM hacen

un ángulo.

F F

2m1m1v

2v

choquedeLínea

F F

2m1

m1v

2v

choquedeLínea

x

y

Choques directos o frontales:

1. Fase de compresión (comprende la deformación de los cuerpos).

2. Fase de Restitución (comprende el restablecimiento del cuerpo).

F

t0 t1 t2

nrestituciódefasecompresióndefase

v '

1v

1v

t

F F

F F

2m

1m

2m1m

1v

2v

'

1v

'

2v

choquedeLínea

x

y

avvmdtFI

t

t

C

o

....)( 11

1

Fase de

compresión

Para m1 el impulso de compresión

'....)( avvmdtFI

t

to

C 22

1

Para m2 el impulso de compresión

Ivvevv ....)('' 2121

Experimentalmente los impulsos de compresión y restitución están relacionados

con la constante “e” llamada coeficiente de restitución.

bvvmdtFI

t

t

R ....)( ' 11

2

1

Fase de restitución

Para m1 el impulso de restitución Para m2 el impulso de restitución

'....)( 'bvvmdtFI

t

t

R

22

2

1

Usando las ecuaciones de los impulsos compresión y restitución se tiene que:

“La velocidad de rebote relativa es opuesta a la velocidad de incidencia relativa”

siendo sus magnitudes relacionadas por (e) el coeficiente de restitución.

CR IeI

10 e

Choques plásticos Choques elásticos

e varia entre:

IIvmvmvmvm .....''

21 212211

ΔE podemos llamar a la “perdida de energía” o es la otra conversión en otras

formas de energía.

Como no hay fuerzas externas que actúan en la colisión se cumple la ley de

conservación del momento lineal

IIIEvmvmvmvm ....'' 2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1

Al comparamos la energía cinética asociada con la velocidad inicial y final

encontramos que, la energía final, será , en general, un poco menos.

podemos expresar la energía cinética antes y después de la colisión

Perdida de energía durante el choque

Siendo I y II las ecuaciones para poder determinar las velocidades después del

choque v'1 y v'2.

1. Parte de ella se desprende de calor.

2. Parte de ella se disipa en sonido y vibraciones elásticas.

])()([)(

2

2211

2

21

2

21

21

2

22

2

112

1

2

1

2

1vmvmvvemm

mmvmvmE

Durante el choque oblicuo las velocidades en x cambian mientras permanecen

constante en la dirección y.

Es posible obtener de I, II y III el termino ΔE

)( 21

'

2

'

1 xxexx

Se puede aplicar las componentes de las velocidades a lo largo de la línea de

choque, debido a que las fuerzas de compresión y restitución actúan en el eje x.

Si las partículas son lisas, y no hay fuerzas que actúan en el eje y durante el

choque. Las ecuaciones de impulso y cantidad de movimiento en este eje llegan a

ser.

Choques oblicuos:

222220 yyyym '' )(

111110 yyyym '' )(

En el eje x:

Una bola de cae desde una altura ho=0,9 m sobre una superficie

horizontal y pulimentada. Sabiendo que la altura del primer rebote es

h1=0,8 m. Calcular (a) el coeficiente de restitución. (b) la altura h2 en el

segundo rebote.

Tarea 1

943,0e

7102 ,h

Dos bolas idénticas 1 y 2 se mueven en un plano horizontal y se produce el

choque. Determinar las velocidades después del choque. Una de las bolas se

esta moviéndose hacia la izquierda con una velocidad de 4 m/s mientras que la

otra se esta moviéndose a 10 m/s como en la figura si e=0,8:

Se pide:

(a) Cuando la línea de choque esta en la dirección de la bola de velocidad de 4

m/s.

(b) Cuando la línea de choque esta en dirección perpendicular a la bola de 4m/s.

Tarea 2

2

x

y

3

4

1

s

m4

s

m10

smv

smv

/);(

/);(

'

'

05

83

2

1

smv

smv

/),;(

/),;(

'

'

274

806

2

1

)a

)b

Una bola de acero que cae verticalmente incide en una placa rígida y rebota en ella, siguiendo una trayectoria horizontal, como muestra la figura.

(a) Llamando “e” al coeficiente de restitución calcular el ángulo θ necesario para conseguir la velocidad V' sea horizontal mostrada en la figura.

(b) El modulo de la velocidad V'.

Tarea 3

θ 'V

V

evvb

earcTga

')

)

Tres bolas idénticas A, B y C pueden rodar libremente sobre una superficie

horizontal. Las bolas B y C se encuentran en reposo y en contacto cuando

reciben una percusión por parte de la bola A, que se mueve hacia la

derecha con una velocidad VA, Calcular la velocidad final de cada bola,

suponiendo que A, si choca con B y C simultáneamente.

Suponiendo que e =1 (choque elástico) y que se conserva la energía.

Tarea 4

A C

B

AV

AA VV5

1'

AB VV5

32'

AA VV5

32'

Una bola de billar que se mueve a 5 m/s golpea una bola estacionaria de la

misma masa. Después de la colisión, la primera bola se mueve a 4,33 m/s a un

ángulo de 30° con respecto a la línea original del movimiento. Si se supone una

colisión elástica, encuentre la velocidad de la bola golpeada después de la

colisión?

Tarea 6

A B s

mvA 5

0Bv

Una bola de billar que se mueve a 5 m/s golpea frontalmente a una bola

estacionaria de la misma masa. Si se supone una colisión elástica, encuentre la

velocidad de la bola golpeada después de la colisión?

Tarea 5

A s

mvA 5

B

0Bv

ch1

ch2