Diferenciciaci on en Rn: Derivadas de orden...

Diferenciciacion en Rn: Derivadas de ordensuperior

R. Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Diferenciciacion en Rn : Derivadas de orden superior

Derivadas de orden superior

Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm, A es un abierto de Rn tiene

derivadas parciales Di f =∂f (x)

∂xien A, i = 1, . . . , n.

Supongamos

que dichas derivadas parciales Di f : A ⊂ Rn → Rm admiten a suvez derivadas parciales Dj(·) en A. Dichas derivadas parciales sedenominan derivadas parciales de segundo orden y se denotan por

Dj(Di f )(x) = Dj ,i f (x) =∂2f (x)

∂xj∂xi, i , j = 1, 2, . . . , n.

Si las funciones Dj ,i f : A ⊂ Rn → Rm admiten derivadas parcialesentonces podemos definir las derivadas parciales de orden 3

Dk(Dj(Di f ))(x) = Dk,j ,i f (x) =∂3f (x)

∂xk∂xj∂xi, i , j , k = 1, 2, . . . , n.

Y ası, sucesivamente.

∂xien A, i = 1, . . . , n. Supongamos

Dj(Di f )(x) = Dj ,i f (x) =∂2f (x)

∂xj∂xi, i , j = 1, 2, . . . , n.

∂xk∂xj∂xi, i , j , k = 1, 2, . . . , n.

∂xien A, i = 1, . . . , n. Supongamos

Dj(Di f )(x) = Dj ,i f (x) =∂2f (x)

∂xj∂xi, i , j = 1, 2, . . . , n.

∂xk∂xj∂xi, i , j , k = 1, 2, . . . , n.

Una pregunta natural es si las derivadas cruzadas son iguales, i.e.,

∂2f (x)

∂xj∂xi=∂2f (x)

∂xi∂xj.

Ejemplo 1: f : R3 7→ R definida por f (x , y , z) = exy + z cos(x).

Ejemplo 2. f : R2 7→ R definida por

f (x , y) =

{x2 arctan

x− y2 arctan

y, si xy 6= 0,

0, si xy = 0.

∂2f (x , y)

∂x∂y=∂2f (x , y)

∂y∂x=

x2 − y2

x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).

¿Que ocurre en (0, 0)?

∂2f (0, 0)

∂x∂y= 1,

∂2f (0, 0)

∂y∂x= −1.

∂2f (x)

∂xi∂xj.

f (x , y) =

{x2 arctan

x− y2 arctan

y, si xy 6= 0,

0, si xy = 0.

∂2f (x , y)

∂x∂y=∂2f (x , y)

∂y∂x=

x2 − y2

x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).

∂2f (0, 0)

∂x∂y= 1,

∂2f (0, 0)

∂y∂x= −1.

∂2f (x)

∂xi∂xj.

f (x , y) =

{x2 arctan

x− y2 arctan

y, si xy 6= 0,

0, si xy = 0.

∂2f (x , y)

∂x∂y=∂2f (x , y)

∂y∂x=

x2 − y2

x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).

∂2f (0, 0)

∂x∂y= 1,

∂2f (0, 0)

∂y∂x= −1.

∂2f (x)

∂xi∂xj.

f (x , y) =

{x2 arctan

x− y2 arctan

y, si xy 6= 0,

0, si xy = 0.

∂2f (x , y)

∂x∂y=∂2f (x , y)

∂y∂x=

x2 − y2

x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).

∂2f (0, 0)

∂x∂y= 1,

∂2f (0, 0)

∂y∂x= −1.

∂2f (x)

∂xi∂xj.

f (x , y) =

{x2 arctan

x− y2 arctan

y, si xy 6= 0,

0, si xy = 0.

∂2f (x , y)

∂x∂y=∂2f (x , y)

∂y∂x=

x2 − y2

x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).

∂2f (0, 0)

∂x∂y= 1,

∂2f (0, 0)

∂y∂x= −1.

∂2f (x)

∂xi∂xj.

f (x , y) =

{x2 arctan

x− y2 arctan

y, si xy 6= 0,

0, si xy = 0.

∂2f (x , y)

∂x∂y=∂2f (x , y)

∂y∂x=

x2 − y2

x2 + y2(x , y) 6= (0, 0).

∂2f (0, 0)

∂x∂y= 1,

∂2f (0, 0)

∂y∂x= −1.

Theorem (Schwarz)

Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea x0 ∈ A. Si en A existen

las derivadas parciales∂f (x)

∂xi,∂f (x)

∂xjy∂2f (x)

∂xj∂xiy la derivada

∂2f (x)

∂xj∂xies continua en x0, entonces en A existe la derivada

∂2f (x)

∂xi∂xj

y∂2f (x)

∂xi∂xj.

Corolario (Bonnet)

Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea a ∈ A tal que existen

las derivadas parciales∂2f (x)

∂xj∂xiy∂2f (x)

∂xi∂xjen un entorno de a ∈ A y

ambas son continuas en a. Entonces∂2f (a)

∂xj∂xi=∂2f (a)

∂xi∂xj.

Theorem (Schwarz)

Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea x0 ∈ A. Si en A existen

las derivadas parciales∂f (x)

∂xi,∂f (x)

∂xjy∂2f (x)

∂xj∂xiy la derivada

∂2f (x)

∂xj∂xies continua en x0, entonces en A existe la derivada

∂2f (x)

∂xi∂xj

y∂2f (x)

∂xi∂xj.

Corolario (Bonnet)

Sea f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, y sea a ∈ A tal que existen

las derivadas parciales∂2f (x)

∂xj∂xiy∂2f (x)

∂xi∂xjen un entorno de a ∈ A y

ambas son continuas en a. Entonces∂2f (a)

∂xi∂xj.

Theorem (Heffter-Young)

Sea f : A ⊂ Rn → Rm, A abierto y sea a ∈ A. Supongamos que

existen las derivadas parciales∂f (x)

∂xi, y

∂f (x)

∂xjen un entorno de a

y son diferenciables en a. Entonces∂2f (a)

∂xi∂xj.

Tanto el Teorema de Schwarz como el de Heffter-Young dancondiciones suficientes. Para comprobarlo escojamos la funcion

f (x , y) =

{x2y sin

x, si x 6= 0,

0, si x = 0.

Esta funcion cumple con las condiciones de ambos teoremas entodo R2 \ {(0, y),∀y ∈ R}. Veamos que ocurre (0, 0).

Theorem (Heffter-Young)

Sea f : A ⊂ Rn → Rm, A abierto y sea a ∈ A. Supongamos que

existen las derivadas parciales∂f (x)

∂xi, y

∂f (x)

∂xjen un entorno de a

y son diferenciables en a. Entonces∂2f (a)

∂xi∂xj.

Tanto el Teorema de Schwarz como el de Heffter-Young dancondiciones suficientes. Para comprobarlo escojamos la funcion

f (x , y) =

{x2y sin

x, si x 6= 0,

0, si x = 0.

Esta funcion cumple con las condiciones de ambos teoremas entodo R2 \ {(0, y),∀y ∈ R}. Veamos que ocurre (0, 0).

Definicion

Diremos que f ∈ C (k)(A) si f admite todas las derivadas parcialeshasta orden k y estas son continuas en A.

Supongamos que f : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en A.

Entonces podemos definir la derivada (diferencial) de f ∀x ∈ A.Ademas Df es lineal y acotada (¿por que?).

Sea L(Rn,Rm) el espacio de todas las aplicaciones linealesacotadas de Rn en Rm, entonces como para cada x ∈ A existeDf (x) ∈ L(Rn,Rm), podemos definir la aplicacion

Df : A ⊂ Rn → L(Rn,Rm).

Se puede probar que el espacio L(Rn,Rm) es un espacio normado(en la norma de las aplicaciones lineales que vimos antes).

Definicion

Antes de ver como definir las derivadas (diferenciales) de ordensuperior conviene generalizar el concepto de diferenciabilidad acualquier espacio normado.

Definicion

Diremos que una aplicacion g : E ⊂ X→ Y, siendo X e Y dosespacios normados, es diferenciable en a ∈ X si existe unaaplicacion lineal acotada de L(a) : X→ Y tal que

g(a + h)− g(a)− L(a)h = o(‖h‖).

Ası, si X = Rn y Y = Rm, recuperamos la definicion dediferenciabilidad con la que hemos trabajado hasta ahora.

Como ∀x ∈ A, Df (x) ∈ L(Rn,Rm) y este espacio es normado(¿por que?) entonces podemos definir la diferencial de Df .

Definicion

g(a + h)− g(a)− L(a)h = o(‖h‖).

Definicion

g(a + h)− g(a)− L(a)h = o(‖h‖).

Definicion

g(a + h)− g(a)− L(a)h = o(‖h‖).

Definicion

Diremos que f es dos veces diferenciable en un punto a ∈ A ∈ Rn

si Df es diferenciable en a y denotaremos a la derivada segunda def en a por D2f (a).

Notese que de lo anterior se sigue que D2f (a) es una aplicacionlineal de Rn en L(Rn,Rm), o sea,

D2f (a) ∈ L(Rn,L(Rn,Rm))

Extendiendo este procedimiento tenemos que la derivada terceraD3f (a) sera una aplicacion lineal de Rn en L(Rn,L(Rn,Rm)),D4f (a) sera una apl. lineal de Rn en L(Rn,L(Rn,L(Rn,Rm))), yası sucesivamente.

Definicion

Analicemos el caso de la segunda derivada. Asumiremos quef ∈ C 2(A) y a ∈ A ∈ Rn.

Como vimos D2f (a) es una aplicacion lineal de Rn en L(Rn,Rm):

Pero el espacio L(Rn,L(Rn,Rm)) es isometrico al espacio de lasaplicaciones bilineales L(Rn × Rn,Rm).

Ası, ∀x , y ∈ Rn, D2f (a)(x) ∈ L(Rn,Rm) y(D2f (a)(x)

)(y) ∈ Rm.

Es decir, D2f (a) es la aplicacion bilineal D2f (a) definida por

D2f (a) : Rn × Rn 7→ Rm

D2f(a)(x, y) =(D2f(a)(x)

Derivadas de orden superior. Caso f : A ⊂ Rn → RSi f es dos veces diferenciable en a, D2f (a) puede ser interpretadacomo una aplicacion bilineal B(x , y) de Rn × Rn en R.

Las aplicaciones bilineales B(x , y) de Rn × Rn en R se identificancon las matrices n × n mediante la expresion B(x , y) = xT · B · y .

Como D2f (a) se obtiene “derivando” Df entonces la matrizasociada a D2f (a) tiene por entradas las segundas derivadasparciales de f :

D2f (a) =

D11f (a) · · · Dn1f (a)...

. . ....

D1nf (a) · · · Dnnf (a)

∂2f (a)

∂2x1· · · ∂2f (a)

∂xn∂x1...

. . ....

∂2f (a)

∂x1∂xn· · · ∂2f (a)

∂2xn

:= Hf (a).

Es conveniente mencionar que al ser f ∈ C 2(A), todas lasderivadas cruzadas son iguales. La matriz Hf(a) anterior sedenomina matriz hessiana de f .

D2f (a) =

D11f (a) · · · Dn1f (a)...

. . ....

D1nf (a) · · · Dnnf (a)

∂2f (a)

∂2x1· · · ∂2f (a)

∂xn∂x1...

. . ....

∂2f (a)

∂x1∂xn· · · ∂2f (a)

∂2xn

:= Hf (a).

D2f (a) =

D11f (a) · · · Dn1f (a)...

. . ....

D1nf (a) · · · Dnnf (a)

∂2f (a)

∂2x1· · · ∂2f (a)

∂xn∂x1...

. . ....

∂2f (a)

∂x1∂xn· · · ∂2f (a)

∂2xn

:= Hf (a).

Por induccion es posible probar que si f es k veces diferenciable ena entonces la derivada (diferencial) k-esima de f aplicada a unvector h ∈ Rn se expresa por

Dk f (a)(h) =n∑

· · ·n∑

∂k f (a)

∂xi1 · · · ∂xikhi1 · · · hik =

∂x1+ · · ·+ hn

f (a),

donde hemos usado la notacion Dk f (a)(h) := Dk f (a)(h, h, . . . , h)(recuerdese que Dk f (a) es una aplicacion multilineal (k-linealconcretamente).

Ejemplo: Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A) y sea l : R 7→ Rn,l(t) = x + th, t ∈ R, x , h ∈ Rn.Definamos la funcion φ : R 7→ R, φ(t) = (f ◦ l)(t). Como f y l sondiferenciables con todas sus derivadas hasta orden k continuasentonces φ ∈ C k([0, 1]). Calculemos las derivadas sucesivas de φ,

φ′(t) =n∑

∂f (x + ht)

∂xihi

∂x1+ · · ·+ hn

)f (x + ht),

φ′′(t) =d

∂f (x + ht)

∂xihi

n∑j=1

∂f (x + ht)

∂xihi

i ,j=1

∂2f (x + ht)

∂xj∂xihihj =

∂x1+ · · ·+ hn

f (x + ht),

φ′(t) =n∑

∂f (x + ht)

∂xihi =

∂x1+ · · ·+ hn

)f (x + ht),

φ′′(t) =d

∂f (x + ht)

∂xihi

n∑j=1

∂f (x + ht)

∂xihi

i ,j=1

∂2f (x + ht)

∂xj∂xihihj =

∂x1+ · · ·+ hn

f (x + ht),

φ′(t) =n∑

∂f (x + ht)

∂xihi =

∂x1+ · · ·+ hn

)f (x + ht),

φ′′(t) =d

∂f (x + ht)

∂xihi

n∑j=1

∂f (x + ht)

∂xihi

i ,j=1

∂2f (x + ht)

∂xj∂xihihj

∂x1+ · · ·+ hn

f (x + ht),

φ′(t) =n∑

∂f (x + ht)

∂xihi =

∂x1+ · · ·+ hn

)f (x + ht),

φ′′(t) =d

∂f (x + ht)

∂xihi

n∑j=1

∂f (x + ht)

∂xihi

i ,j=1

∂2f (x + ht)

∂xj∂xihihj =

∂x1+ · · ·+ hn

f (x + ht),

En general

φ(k)(t) =n∑

i1,··· ,ik=1

∂k f (x + ht)

∂xi1 · · · ∂xikhi1 · · · hik =

∂x1+· · ·+hn

f (x+ht)

El calculo de la derivada k-esima arbitraria es muy engorroso, espor ello conveniente usar un paquete de calculo simbolico (porejemplo Maxima CAS).

Definicion

Dado un a ∈ A y h ∈ Rn definiremos al intervalo (cerrado)[a, a + h] como el conjunto[a1, a1 + h1]× [a2, a2 + h2]× · · · × [an, an + hn].

En general

φ(k)(t) =n∑

i1,··· ,ik=1

∂k f (x + ht)

∂xi1 · · · ∂xikhi1 · · · hik =

∂x1+· · ·+hn

f (x+ht)

Definicion

En general

φ(k)(t) =n∑

i1,··· ,ik=1

∂k f (x + ht)

∂xi1 · · · ∂xikhi1 · · · hik =

∂x1+· · ·+hn

f (x+ht)

Definicion

Theorem (de Taylor con resto de Lagrange)

Sea f : A ⊂ Rn 7→ R, f ∈ C k(A); [a, a + h] ⊂ A, h 6= 0:

f (a + h) = f (a) +k−1∑l=1

l!D l f (a)(h) + rk(a, h),

rk(a, h) =1

k!Dk f (a + ξh)(h), ξ ∈ (0, 1).

Corolario (Teorema local de Taylor)

En las mismas condiciones del Teorema anterior:

f (a + h) = f (a) +k∑

l!D l f (a)(h) + o(‖h‖k).

Ambos resultados se pueden generalizar a f : A ⊂ Rn 7→ Rm

f (a + h) = f (a) +k−1∑l=1

l!D l f (a)(h) + rk(a, h),

rk(a, h) =1

k!Dk f (a + ξh)(h), ξ ∈ (0, 1).

f (a + h) = f (a) +k∑

l!D l f (a)(h) + o(‖h‖k).

f (a + h) = f (a) +k−1∑l=1

l!D l f (a)(h) + rk(a, h),

rk(a, h) =1

k!Dk f (a + ξh)(h), ξ ∈ (0, 1).

f (a + h) = f (a) +k∑

l!D l f (a)(h) + o(‖h‖k).

El corolario anterior nos indica otra manera de entender ladiferenciabilidad en Rn. Por sencillez, lo mostraremos en el caso deuna funcion dos veces diferenciable. Si f tiene derivadas parcialesde orden dos y estas son continuas entonces

f (a + h)− f (a)−Df (a)(h)− 1

2D2f (a)(h) = o(‖h‖2), (∗)

donde D f (a)(h) es la forma bilineal

D2f (a)(h) =n∑

n∑i2=1

∂2f (a)

∂xi1∂xi2hi1hi2 = hTHf (a)h.

Ası pues f es dos veces diferenciable si existen la apliacion linealDf (a) y la bilineal D2f (a) tales que (*) sea cierta.

El razonamiento anterior es facilmente generalizable a cualquierk ≥ 3.

Ademas, lo anterior nos indica que podemos restringirnos porsimplicidad al caso cuando las funciones f ∈ C k(A).

En ese caso diremos que f : A ∈ Rn 7→ R, es k veces diferenciableen a si f es C k(A) siendo A un abierto tal que a ∈ A, de formaque, por el teorema de Taylor tenemos asegurado que f es k vecesdiferenciable en A en el sentido antes explicado para funciones dosveces diferenciables.

Veamos algunos ejemplos.

El razonamiento anterior es facilmente generalizable a cualquierk ≥ 3.

Ademas, lo anterior nos indica que podemos restringirnos porsimplicidad al caso cuando las funciones f ∈ C k(A).

En ese caso diremos que f : A ∈ Rn 7→ R, es k veces diferenciableen a si f es C k(A) siendo A un abierto tal que a ∈ A, de formaque, por el teorema de Taylor tenemos asegurado que f es k vecesdiferenciable en A en el sentido antes explicado para funciones dosveces diferenciables.

Veamos algunos ejemplos.

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