DIFERENCIACIÓN de FUNCIONES de ARIASV ARIABLESV DFVV · 2020. 10. 6. · En la mecánica...

DIFERENCIACIÓN de FUNCIONES de VARIAS

VARIABLES � DFVV

Grado en Matemáticas

Renato Álvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

https://renato.ryn-fismat.es/clases.html

Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV

Por si alguien necesita motivación . . .

El 1o estudiamos las funciones de R 7→ R.x

0 0.5 1 1.5 2

Ahora vamos a ir más lejos: Funciones de Rm 7→ Rn.

-4 -2 0 2 4 -4-2

-1.5-1

-0.5 0

cos(y)+sin(x)

¾Sirve para algo? SI: ½El mundo no es unidimensional!

0 0.5 1 1.5 2

-4 -2 0 2 4 -4-2

-1.5-1

-0.5 0

cos(y)+sin(x)

¾Sirve para algo? SI: ½El mundo no es unidimensional!

0 0.5 1 1.5 2

-4 -2 0 2 4 -4-2

-1.5-1

-0.5 0

cos(y)+sin(x)

¾Sirve para algo?

SI: ½El mundo no es unidimensional!

0 0.5 1 1.5 2

-4 -2 0 2 4 -4-2

-1.5-1

-0.5 0

cos(y)+sin(x)

¾Sirve para algo? SI: ½El mundo no es unidimensional!Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV

¾De verdad que esto sirve para algo?

Motivación: La mecánica newtoniana

En la mecánica newtoniana el estado de un sistema viene dado porel conjunto de trayectorias de las partículas que lo constituyen.

Queremos encontrar x(t). Ejemplo: el oscilador armónico.

md2x(t)

dt2= −kx

��

x(t) = A cos

mt + φ

md2x(t)

dt2= −kx

��

x(t) = A cos

mt + φ

md2x(t)

dt2= −kx

��

x(t) = A cos

mt + φ

El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales

•En la mecánica newtoniana el estado de un sis-tema viene dado por el conjunto de trayectoriasde las partículas que lo constituyen.

•Para una partícula P , el estado estará dado porla función ~rP(t) ∈ R3 que denota la posición encada instante de tiempo t.

Queremos saber la posición ~r(t), la velocidad ~v(t) = d/dt[~r(t)], laenergía cinética T = mv2(t), etc.

• La ley dinámica en es la segunda ley de Newton:

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

El problema de la cuerda vibrante

La modelización del problema viene dada por las derivadas parcialesde la función y .

La ecuación que modela este tipo de fenómenos es la conocidaecuación de ondas y tiene la forma (después veremos que son lasderivadas parciales):

∂t2= c2

∂x2, y := y(x , t).

El problema de la cuerda vibrante

La modelización del problema viene dada por las derivadas parcialesde la función y .

La ecuación que modela este tipo de fenómenos es la conocidaecuación de ondas y tiene la forma (después veremos que son lasderivadas parciales):

∂t2= c2

∂x2, y := y(x , t).

La ecuación del calor

Queremos ahora saber como evoluciona el calor en una placa que secalienta.

Problema: calcular la función T (x , y , z , t) que en en cada instantet mide la temperatura en el punto de la barra de coordenadas(x , y , z). La modelización del problema viene dada por ecuacióndel calor.

∂T∂t

(∂2T∂x2

+∂2T∂y2

+∂2T∂z2

)T := T (x , y , z , t).

La ecuación del calor

Queremos ahora saber como evoluciona el calor en una placa que secalienta.

Problema: calcular la función T (x , y , z , t) que en en cada instantet mide la temperatura en el punto de la barra de coordenadas(x , y , z). La modelización del problema viene dada por ecuacióndel calor.

∂T∂t

(∂2T∂x2

+∂2T∂y2

+∂2T∂z2

)T := T (x , y , z , t).

½Ya estamos listo para el viaje!

¾De qué va esta asignatura?

Vamos a tratar funciones reales de�nidas sobre subconjuntos de Rn

y cuya imagen está contenida en Rm

f : A ⊂ Rn 7→ B ⊂ Rm

1 Concepto de límite y continuidad.

2 Concepto de derivabilidad

3 Función implícita y función inversa.

4 Cálculo de máximos y mínimos.

f : A ⊂ Rn 7→ B ⊂ Rm

TEMARIO DETALLADO

Tema 1. Introducción a las funciones de varias variables I.Límites y continuidad en Rn.

Tema 2. Introducción a las funciones de varias variables II.Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Interpretacionesgeométricas y físicas. Aplicaciones.

Tema 3. Diferenciación en Rn. Teoremas para funcionesdiferenciables (regla de la cadena, valor medio, etc.). Derivadas deorden superior: derivadas cruzadas y fórmula de Taylor.Aplicaciones.

Tema 4. Teoremas de inversión local. Teorema de la funcióninversa. Teorema de la función implícita.

Tema 5. Extremos. Extremos relativos y absolutos. Extremoscondicionados: multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.

TEMARIO DETALLADO

Metodología

La asignatura está �dividida� en 3.2 créditos teóricos y 2.4créditos prácticos

y 4 horas de ½ordenador!

• Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principalesconceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.

• Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprensión más profundade los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clasesteóricas.

• En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa decálculo símbolico/numérico para resolver problemas.

Metodología

La asignatura está �dividida� en 3.2 créditos teóricos y 2.4créditos prácticos y 4 horas de ½ordenador!

Metodología

Bibliografía muy básica

1 Courant, R. y John, F. Introduction to Calculus and Analysis Vol. II(Springer, 1974). (hay traducción al castellano).

2 de Burgos, J. Cálculo in�nitesimal de varias variables (McGraw-Hill,2002).

3 Kudriávtsev, L.D. Curso de Análisis Matemático Vols. I y II (Mir,1988).

4 Zorich, V. A. Mathematical Analysis. Vol. I (Springer, 2004).

5 Carmona Álvarez, J., Facenda Aguirre, J. A., Freniche Ibáñez, F. J.Ejercicios de Cálculo Diferencial de varias variables. (Secretariado dePublicaciones. Universidad de Sevilla, 2008).

6 Liashkó, I.I. y otros. Matemática superior. Problemas resueltos Vol.3. (Editorial URSS, 1999).

Evaluación

Se realizarán dos pruebas escritas a lo largo del curso:Primera prueba: temas 1, 2 y 3 (�nales de noviembre).Segunda prueba: temas 4 y 5 (última semana de clases).

Estas pruebas se evaluarán sobre 10 puntos cada una. Seránecesarios un mínimo de 4 puntos para aprobar cada prueba.La nota �nal la media obtenida en ellas y si es mayor o igualque 5 se aprobará la asignatura.

Habrá un examen �nal escrito. Para aprobar la asignatura senecesita sacar al menos 5 puntos en dicho examen.

examen ¾escrito?

1a convocatoria del examen �nal: ≈ enero-febrero. Examenmuy �especial�2a convocatoria del examen �nal: septiembre.

½Si aprendemos aprobamos pero no necesariamente alrevés!

Evaluación

examen ¾escrito?

Evaluación

examen ¾escrito?

Evaluación

examen ¾escrito?

Evaluación

examen ¾escrito?

Evaluación

examen ¾escrito?

Evaluación

examen ¾escrito?

Evaluación

examen ¾escrito?

½Si aprendemos aprobamos pero no necesariamente alrevés!Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV

Horario de Clases y Tutorías el tiempos de pandemia

Horario y Lugar: Depende de en que situación estemos ...

Horario y Lugar de las Tutorías: Las tutorías este curso seránonline. El horario se publicará en la web (previa cita). Fuera delhorario o�cial también se puede según disponibilidad.

Las prácticas de informática serán, en caso de que se cumplan lasmedidas de seguridad, en el Laboratorio de Informática y seanunciarán en la web.

Cambios de clase, etc

Contingencia covid-19: Todo va a estar en la web:

Las transparencias que proyectemos en clase.Las pruebas de los

teoremas. Los problemas que resolvamos en clase.Vídeos con las

clases. ¾Debo venir a clase?

Las transparencias que proyectemos en clase.

Las pruebas de los

teoremas.

Los problemas que resolvamos en clase.Vídeos con las

teoremas. Los problemas que resolvamos en clase.

Vídeos con las

clases.

¾Debo venir a clase?

DATOS RELEVANTES

Profesor Renato Álvarez

Despacho: 1er piso, Mod 15, No. 15-07 Facultad de Matemáticas.

E-mail: [email protected] Teléfono: 954 55 79 94

Web: https://renato.ryn-fismat.es

Web del curso: https://renato.ryn-fismat.es/clases.html

¾Cómo comenzar el curso?

Con unos ejemplos representativos

f : R2 7→ R, z = f (x , y)

¾Cuál es la base de todo el Análisis?

¾Y cómo comenzar el curso? f : R2 7→ R, z = f (x , y)

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

Si elegimos y = αx , α 6= 0, con x → 0, está claro que

f (x , αx) =1− α2

1 + α2,

que depende de la dirección que tomemos, luego no existe (¾porqué?) el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

f (x , αx) =1− α2

1 + α2,

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

f (x , αx) =1− α2

1 + α2,

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

f (x , αx) =1− α2

1 + α2,

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

f (x , αx) =1− α2

1 + α2,

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 2. Sea la función

f (x , y) =

x4 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0),

Entonces lımx→0

f (x , αx) = 0 para todo α, α 6= 0, . . . pero

¾Qué ocurre si elegimos y = x2? f (x , x2) = 1/2 6= 0

Luego no existe el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

f (x , y) =

x4 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0),

Entonces lımx→0

¾Qué ocurre si elegimos y = x2?

f (x , x2) = 1/2 6= 0

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

f (x , y) =

x4 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0),

Entonces lımx→0

¾Qué ocurre si elegimos y = x2? f (x , x2) = 1/2 6= 0

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

Pero para todos x , y ∈ R se tiene que 2|xy | ≤ x2 + y2 (¾por qué)

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

Luego deberíamos tener lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) = 0. ?????

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤

12|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0.

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

½Necesitamos formalizar estos límites!

Espacios métricos, normados y euclídeos

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