Diez Garcia Rafael - Guia Didactica de Estadistica Descriptiva Para Las Cs

Rafael Dez Vicente Coll

Olga M Blasco

GGuuaa ddiiddccttiiccaa ddee

EEssttaaddssttiiccaa DDeessccrriippttiivvaa ppaarraa llaass

CCiieenncciiaass SSoocciiaalleess

Eumed.net Universidad de Mlaga 2008

Gua didctica de Estadstica Descriptiva para las Ciencias Sociales Rafael Dez Garca, Vicente Coll Serrano y Olga M Blasco Blasco Diseo de cubierta: Rafael Dez Garca

Vicente Coll Serrano Olga M Blasco Blasco

Reservados los derechos para todos los pases. De conformidad con lo dispuesto en el artculo 270 del Cdigo penal vigente, podrn ser castigados con multas y privacin de libertad quienes reprodujeren o plagiaren, en todo o en parte, una obra literaria, artstica o cientfica fijada en cualquier tipo de soporte sin la preceptiva autorizacin. Ninguna parte de esta publicacin, incluido el diseo de la cubierta, puede ser reproducida, almacenada o transmitida de ninguna forma, ni por ningn medio, sea ste electrnico, qumico, mecnico, electro-ptico, grabacin, fotocopia o cualquier otro, sin la previa autorizacin escrita por parte de los autores. ISBN: Depsito Legal: Maquetacin: Rafael Dez Garca

Vicente Coll Serrano Olga M Blasco Blasco

ndice analtico.

Rafael Dez, Vicente Coll y Olga Blasco

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TEMA 1. INTRODUCCIN.

Ficha del tema 1. 16 Objetivos de aprendizaje. 17 Bibliografa bsica para complementar el tema. 18 Programacin de la gua didctica: 1.1. Estadstica: concepto, contenido y relaciones con el rea econmi-ca y empresarial. 19 1.2. La investigacin estadstica. Anlisis descriptivo, modelizacin e in-ferencia. 28 1.3. Datos estadsticos: naturaleza, descripcin numrica y representa-cin grfica. 32 Conceptos clave. 43 Ejemplos. 44 TEMA 2. ANALISIS DE DATOS UNIDIMENSIONALES.

Ficha del tema 2. 53 Objetivos de aprendizaje. 54

Gua didctica de Estadstica Descriptiva para las Ciencias Sociales.


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Bibliografa bsica para complementar el tema. 55 Programacin de la gua didctica: 2.1. Principales medidas de posicin, dispersin y de forma o perfil. 56 2.2. Transformaciones lineales y tipificacin de variables. 76

2.2.1. Transformaciones lineales. 76 2.2.2. Tipificacin de variables. 83 2.2.3. Regla de Tchebysheff. 86

2.3. Otras medidas de posicin: moda y cuantiles (mediana). 88 Conceptos clave. 95 Ejemplos. 96 TEMA 3. MEDIDAS DE CONCENTRACIN.

Ficha del tema 3. 116 Objetivos de aprendizaje. 117 Bibliografa bsica para complementar el tema. 118 Programacin de la gua didctica: 3.1. Introduccin: concepto, instrumentos, concentracin mnima y mxima. 119

3.2. Curva de Lorenz. 122

ndice analtico.


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3.3. ndice de Gini. 123 Conceptos clave. 124 Ejemplos. 125 TEMA 4. ANLISIS DE DATOS BIDIMENSINALES.

Ficha del tema 4. 128 Objetivos de aprendizaje. 129 Bibliografa bsica para complementar el tema. 130 Programacin de la gua didctica: 4.1. Representacin de datos multidimensionales: matriz de datos, ta-blas de correlacin y contingencia, grfico de dispersin. 131 4.2. Distribuciones conjuntas, marginales y condicionadas. Indepen-dencia estadstica. 134 4.3. Momentos. Vector de valores medios y matriz de varianzas-covarianzas. 146 4.4. El coeficiente de correlacin lineal simple. Matriz de correlacin. 155 4.5. Asociacin. 158 Conceptos clave. 163 Ejemplos. 164



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TEMA 5. ANLISIS DE REGRESIN.

Ficha del tema 5. 176 Objetivos de aprendizaje. 177 Bibliografa bsica para complementar el tema. 178 Programacin de la gua didctica: 5.1. Introduccin. 179 5.2. Regresin mnimo-cuadrtica: caso lineal. 187 5.3. Anlisis de la bondad de un ajuste: capacidad explicativa de una ecuacin de regresin. Coeficiente de determinacin. Caso lineal. 199 5.4. Regresin no lineal: potencial y exponencial. 211 Conceptos clave. 216 Ejemplos. 217 TEMA 6. TASAS DE VARIACIN Y NMEROS NDICE.

Ficha del tema 6. 224 Objetivos de aprendizaje. 225 Bibliografa bsica para complementar el tema. 226

ndice analtico.


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Programacin de la gua didctica: 6.1. Introduccin. 227 6.2. Tasas de variacin. 229 6.3. Nmeros ndices: clasificacin y propiedades. 230

6.3.1. Definicin y clasificacin. 230 6.3.2. ndices simples. 231 6.3.3. ndices complejos. 233 6.3.4. Propiedades. 236

6.4. ndices de precios y cantidades ms importantes. 237 6.4.1. ndice de precios complejo ponderado. 239 6.4.2. ndice de cantidad complejo ponderado. 240 6.4.3. ndice complejo de valor. 241

6.5. Cambio de base, renovacin y enlace. 242 6.6. Deflactacin de series estadsticas. 244 Conceptos clave. 248 Ejemplos. 249 TEMA 7. ANLISIS CLSICO DE SERIES TEMPORALES.

Ficha del tema 7. 256



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Objetivos de aprendizaje. 257 Bibliografa bsica para complementar el tema. 258 Programacin de la gua didctica: 7.1. Introduccin. 259 7.2. Componentes de una serie. Descomposicin. 260 7.3. Anlisis de la tendencia. 262

7.3.1. Tendencia anual. 265 7.3.2. Tendencia k-esimal. 267

7.4. Anlisis de la variacin estacional. Desestacionalizacin. 270 7.4.1. Obtencin de los IVE. 272 7.4.2. Desestacionalizacin. 275

7.5. Prediccin. Correccin por estacionalidad. 276 7.5.1. Prediccin de la tendencia. 276 7.5.2. Correccin por estacionalidad. 277

Conceptos clave. 278 Ejemplos. 279


12

PRLOGO

El texto de Estadstica que se presenta con el nombre de Gua Didctica de Estadstica Descripti-

va para las Ciencias Sociales, tiene una estructura que lo sita entre un conjunto de fichas resu-

men de los contenidos de una materia y un libro de texto. Es mucho ms amplio que un mero re-

sumen de conceptos y frmulas, pero no supone un desarrollo exhaustivo de los epgrafes de una

programacin; tampoco contiene demostraciones salvo alguna conveniente excepcin. No por ello

deja de ser un texto riguroso y sistemtico, ajustado a una programacin. Hemos diseado esta

Gua didctica de forma que su contenido sirva de refuerzo a la clase presencial de un curso de in-

troduccin de Estadstica.

La Gua Didctica pretende ser un texto que acompae y encamine a los estudiantes en el estu-

dio de la materia, aportndoles informacin concreta y precisa sobre los conceptos clave y tcni-

cas de la Estadstica Descriptiva. Cada uno de estos conceptos viene acompaado por ejemplos

ilustrativos que ayudarn al estudiante a asimilarlos.



13

Se encuentra tambin disponible, como material complementario de esta Gua Didctica, las Fi-

chas Tcnicas de Estadstica Descriptiva para las Ciencias Sociales.

Cmo utilizar la Gua Didctica de Estadstica Descriptiva para las Ciencias Sociales.

La Gua Didctica se compone de un total de 7 temas. En cada tema se facilita una ficha que

presenta su estructura-organizacin:

Objetivos de aprendizaje.

Bibliografa bsica para complementar el tema.

Programacin del tema.

Conceptos clave.

Ejemplos.

Los apartados de la ficha estn hipervinculados. Tambin estn vinculados los ejemplos pro-

puestos que aparecen en el desarrollo de los epgrafes de cada tema. Observar que el puntero de

ratn cambia de forma. Al hacer clic sobre el texto vinculado se acceder a la parte del documento

donde se desarrolla el contenido.


14

A pie de pgina aparecen dos o tres iconos.

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Texto

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Esperamos que los contenidos tratados en la Gua Didctica de Estadstica Descriptiva para las

Ciencias Sociales resulten de utilidad al lector.

Contacto con los autores:

Rafael Dez Garca: [email protected]

Vicente Coll Serrano: [email protected]

Olga Blasco Blasco: [email protected]

TEMA 1 INTRODUCCIN

Introduccin.

ndice Ficha


16

Ficha del tema 1. Objetivos de aprendizaje.


Programacin de la gua didctica:

1.1. Estadstica: concepto, contenido y relaciones con el rea econmica y

empresarial.

1.2. La investigacin estadstica. Anlisis descriptivo, modelizacin e infe-

rencia.

1.3. Datos estadsticos: naturaleza, descripcin numrica y representacin

grfica.

Conceptos clave.

Ejemplos.



ndice Ficha

17

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE. Conocer y distinguir las dos ramas bsicas de la estadstica, la estadstica descriptiva y la inferencia estadstica, intuyendo como interacciona entre ambas la teora matemtica de la probabilidad creando modelos. Distinguir entre datos de tipo cualitativo y cuantitativo, discreto y continuo, aprendiendo a ordenarlos en distribuciones de frecuencias agrupadas y sin agrupar. Construir histogramas y polgonos acumulativos partir de una distribucin de frecuencias agrupada en intervalos.

Introduccin.

ndice Ficha


18

BIBLIOGRAFA BSICA (teora y problemas)

ESTEBAN, J.; y otros.: Estadstica Descriptiva y nociones de Probabili-

dad, Ed. Thomson, 2005.

Tema 1. (Con ejercicios, cuestiones de autoevaluacin y problemas

resueltos y propuestos).

MONTIEL, A.M.; RIUS, F.; BARN F.J.: Elementos bsicos de Estadstica

Econmica y Empresarial, Ed. Prentice Hall, Madrid 1997.

Captulos 1 y 2.



ndice Ficha

19

1.1. ESTADSTICA: CONCEPTO, CONTENIDO Y RELACIONES CON EL REA ECONMICA Y EMPRESARIAL.

Ejemplo introductorio. Se ha contabilizado el nmero de das de baja, du-rante un trimestre, de los trabajadores de dos empresas obtenindose los siguientes resultados:

Compara el nmero de das de ba-ja en las dos empresas:

Distribucin frecuencias. Media aritmtica Varianza

DATOS empresa A 0 2 1 1 3 2 0 1 5 2 2 3 3 2 1 4 2 2 1 3

DATOS empresa B 0 1 1 2 9 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 9 9 9 0 0 1 0 0 1 1 9 0

Introduccin.

ndice Ficha


20

La ESTADSTICA, como ciencia, compara series de datos y ayuda a tomar

decisiones ante lo incierto, es decir, a resolver casos de incertidumbre. La

informacin estadstica se utiliza muy a menudo para validar o avalar que

las decisiones que pretendemos tomar son las ms verosmiles o probables.



ndice Ficha

21

N das baja empresa A N trabajadores

Valores Frecuencia Porcentaje Porcentaje acumulado

0 2 10 10 1 5 25 35 2 7 35 70 3 4 20 90 4 1 5 95 5 1 5 100

Total 20 100

2

5

7

4

1 1

012345678

0 1 2 3 4 5

n das de baja A

n

t

r

a

b

a

j

a

d

o

r

e

s

A

Introduccin.

ndice Ficha


22

N das baja empresa B N trabajadores


0 11 36,67 36,67 1 13 43,33 80,00 2 1 3,33 83,33 9 5 16,67 100,00

Total 30 100,00

11

1

5

13

02

468

10

1214

0 1 2 9

n das de baja B

n

t

r

a

b

a

j

a

d

o

r

e

s



ndice Ficha

23

Clculo de la Media y la Varianza.

N das baja A N trabajadores


Clculo de Media

Clculo de Varianza

0 2 10 10 0 8 1 5 25 35 5 5 2 7 35 70 14 0 3 4 20 90 12 4 4 1 5 95 4 4 5 1 5 100 5 9

Total 20 100 40 30

N das baja B N trabajadores


Clculo de Media

Clculo de Varianza

0 11 36,67 36,67 0 44 1 13 43,33 80,00 13 13 2 1 3,33 83,33 2 0 9 5 16,67 100,00 45 245

Total 30 100 60 302

Introduccin.

ndice Ficha


24

DATOS EMPRESA A

Media 2,00 Varianza 1,5 Desviacin tpica 1,22

DATOS EMPRESA B

Media 2,00 Varianza 10,0667 Desviacin tpica 3,17



ndice Ficha

25

La Estadstica tiene aplicaciones importantes en el mbito de la economa y la empresa:

ECONOMA: el anlisis de datos generados por variables como la pro-ductividad econmica, inflacin, tipos de inters, empleo desempleo.... James Hechman y Daniel McFadden compartieron el premio Nobel de Economa en el ao 2000 por desarrollar mtodos de anlisis de datos es-tadsticos, utilizados actualmente para estudiar comportamientos indivi-duales en economa. Se utilizan mtodos estadsticos para construir ndices como el IPC, para medir y predecir la inflacin. Asimismo, la es-tadstica es una herramienta indispensable para la econometra y el anlisis de series temporales (estudio de variaciones estacionales y c-clicas de magnitudes econmicas). El premio Nobel de Economa de 2003 lo ganaron Robert Engle, por desarrollar mtodos de anlisis de series temporales con volatilidad variante en el tiempo (ARCH) Y Clive Granger por sus trabajos en el anlisis de series temporales con tendencias co-munes (cointegracin).

Introduccin.

ndice Ficha


26

DIRECCIN DE EMPRESAS: se utilizan mtodos de control de calidad estadsticos para dirigir y perfeccionar constantemente el proceso de produccin y por consiguiente el rendimiento de la compaa. En 1986 W. Edwards Deming y otros abogaron por una filosofa total de la calidad con un perfeccionamiento continuo de la misma.

CONTABILIDAD, AUDITORA: toma de decisiones en cuanto al estado de las cuentas, liquidez de las empresas, inventario... etc., basndose en el anlisis estadstico, donde los datos a analizar son las tasas de va-riacin de las finanzas (cuentas de la empresa). Los anlisis estadsticos pueden demostrar si las tasas de variacin de las finanzas en algunas empresas difieren significativamente de las que son tpicas o usuales en el grupo industrial de empresas determinado. Los directivos de las empresas, los inversionistas y los empleados deben estar interesados en conocer este tipo de resultados ya que las compaas con unos ndices de variacin en sus finanzas atpicos suelen ir a la quiebra.



ndice Ficha

27

GESTIN Y RECURSOS HUMANOS: evaluar y comparar la capacidad de colectivos de trabajadores para realizar tareas (reparto de tareas), utilizar resultados de un test de aptitud para complementar la informa-cin subjetiva de los candidatos a un empleo.

MARKETING: los fabricantes de productos de consumo dirigen la inves-tigacin en marketing a recoger y analizar datos relacionados con las tcnicas de venta y distribucin de bienes y servicios. La investigacin en marketing a menudo incluye el mercado potencial y estudios de la cuo-ta de mercado, investigacin acerca del producto, de la promocin y dis-tribucin. Utiliza cuestionarios y encuestas por correo, telfono o en-trevista personal para obtener informacin que ayude a las empresas a decidir si deberan y cmo deberan poner un producto en el mercado.

Introduccin.

ndice Ficha


28

1.2. LA INVESTIGACIN ESTADSTICA. ANLISIS DESCRIPTIVO, MODELIZACIN E INFERENCIA.

Podemos distinguir tres fases implicadas cuando se aplica el mtodo estads-

tico:

1. MUESTREO: LA RECOPILACIN DE LOS DATOS SIN ELABORAR.

MUESTRA ALEATORIA Y DE

TAMAO ADECUADO.

muestreoTcnicas

POBLACINMUESTRA

muestreoTcnicas

POBLACINMUESTRA



ndice Ficha

29

2. ESTADSTICA DESCRIPTIVA: presentacin en informe.

El objetivo de la Estadstica Descriptiva es describir un conjunto de da-tos:

ORDENAR LOS DATOS

RECOPILARLOS EN TABLAS ESTADSTICAS: DISTRIBUCIONES DE

FRECUENCIAS.

GRFICOS DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS.

CLCULO DE ESTADSTICOS: RESUMEN DE DATOS.

INTERPRETAR RESULTADOS: PRESENTACIN INFORME.

El organizar los datos de forma tal que se puedan ver las tendencias y normas, se pueda dibujar grficos, calcular estadsticos y redactar infor-mes se llama ESTADSTICA DESCRIPTIVA.

Introduccin.

ndice Ficha


30

Estadstico: una medida que se pueda calcular a partir de los datos re-

ales generados por una variable y que resuma y d una propiedad de

ese conjunto de datos.



ndice Ficha

31

3. INFERENCIA ESTADSTICA: exposicin de predicciones y toma de deci-

siones.

El objetivo de la Inferencia Estadstica es hacer afirmaciones sobre la POBLACIN basadas en la informacin disponible en la MUESTRA.

PREDICCIN. PROBABILIDAD.

ESTIMACIN DE PARMETROS. Parmetro: propiedad de la poblacin.

TOMA DE DECISIONES.

Al no haber absoluta certeza de la veracidad de tales afirmaciones sobre la poblacin, se ha de utilizar el trmino PROBABILIDAD como una medi-da de la incertidumbre de esas conclusiones: el propsito de la estadsti-ca es ayudar al que toma la decisin a tener razn ms veces que lo con-trario. Darle una idea sobre el peligro que hay de que no tenga razn cuando toma una decisin particular.

Introduccin.

ndice Ficha


32

1.3. Datos estadsticos: naturaleza, descripcin numrica y repre-sentacin grfica.

CARCTER: el aspecto, fenmeno, propiedad que se desea estudiar de la

poblacin.

MODALIDAD: diferentes formas de manifestarse el carcter.

VARIABLE ESTADSTICA X: el carcter medido sobre los elementos.

DATOS xi



ndice Ficha

33

1.3.1. Clasificacin de los DATOS (VARIABLES) por su NATURALEZA.

CUALITATIVOS: MODALEDADES no numricas, CATEGORAS

VARIABLES CUALITATIVAS: ORDINALES

NOMINALES o ATRIBUTOS

CUANTITATIVOS: MODALIDADES numricas, VALORES

VARIABLES CUANTITATIVAS: DISCRETAS

CONTINUAS

Ejemplo 1.1. Ejemplo 1.2. Ejemplo 1.3.

Introduccin.

ndice Ficha


34

1.3.2. DESCRIPCIN NUMRICA de los datos (variables cuantitativas)

VARIABLE X

N DATOS sin elaborar ( )

N21

N1ii

x,,x,xxL

=

k DATOS diferentes ordenados

de menor a mayor ( )k21

k1ii

xxxx



ndice Ficha

35

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Organizacin de la serie de DATOS

SIN AGRUPAR: POCOS DATOS DIFERENTES

(k pequeo comparado con N).

Ejemplo 1.4.

AGRUPADA en intervalos: MUCHOS DATOS DIFERENTES (k grande).

Ejemplo 1.5.

Introduccin.

ndice Ficha


36

FRECUENCIA: conteo. TIPOS DE FRECUENCIA.

FRECUENCIAS ABSOLUTAS:

in (frecuencia absoluta) frecuencia

iN = =i

1jji nN (frec. absoluta acumulada) frecuencia acumulada (i

= 1, 2,, k)

FRECUENCIAS RELATIVAS:

if Nnf ii = (frecuencia relativa) 100fi porcentaje

iF NNF;fF ii

i

1jji == = 100Fi porcentaje acumulado

(i = 1, 2,, k) (frec. relativa acumulada)



ndice Ficha

37

Distribucin de frecuencias SIN AGRUPAR .

( ) k21k 1iii xxxn,x:XVARIABLE

Introduccin.

ndice Ficha


38

Distribucin de frecuencias AGRUPADA EN INTERVALOS.

Cmo agrupar en intervalos muchos datos diferentes:

Observar valor mnimo xm y valor mximo xM.

Recorrido de la variable (amplitud total): mM xxRe =

Nmero de intervalos (k):

grande)muy no (NNk

12lnNlnk Sturges

=+=

Amplitud intervalos (a): k

Rea =



ndice Ficha

39

NOTACIN INTERVALOS

Intervalo isimo: [ [i1i L,L (i = 1, 2,, k).

Marca de clase (m.d.c.): 2

LLxc.d.m i1ii

+== (punto medio del in-tervalo).

Amplitud del intervalo isimo: 1iii LLa = . Ejemplo 1.5.

Introduccin.

ndice Ficha


40

1.3.3. Representacin grfica (variables cuantitativas). DATOS SIN AGRUPAR: grfico de barras.

Diagrama en escalera (acumulativo).

DATOS AGRUPADOS: HISTOGRAMA.

Polgono acumulativo.



ndice Ficha

41

HISTOGRAMA (grfico de REA)

Rectngulos yuxtapuestos.

Un rectngulo para cada intervalo.

rea de rectngulo representa la frecuencia del intervalo.

Altura de rectngulo i - simo:

i

ii

i

ii a

fdo

an

d frecuencia de densidad ==

Si la amplitud de todos lo intervalos es la misma (a constante), la al-

tura de cada rectngulo puede ser la frecuencia del intervalo.

Ejemplo 1.6. Ejemplo 1.7.

Introduccin.

ndice Ficha


42

HISTOGRAMA

Intervalos

d

e

n

s

i

d

a

d

f

r

e

c

u

e

n

c

i

a

ia

inrea

iL1iL

i

ii a

nd =



ndice Ficha

43

Conceptos clave.

Datos de naturaleza continua. Datos de naturaleza discreta. Densidad de frecuencia. Distribucin de frecuencias agrupada. Distribucin de frecuencias sin agrupar. Estadstica Descriptiva. Frecuencia absoluta acumulada. Frecuencia absoluta. Frecuencia relativa (porcentaje). Frecuencia relativa acumulada. Histograma. Inferencia Estadstica. Intervalo. Marca de clase. Polgono acumulativo. Variables cualitativas. Variables cuantitativas.

Introduccin.

ndice Ficha Texto


44

EJEMPLOS. Ejemplo 1.1. Clasifica las siguientes variables en cualitativas o cuantitati-

vas, identificando posibles valores de esas variables y elementos de la po-

blacin o muestra sobre la que observaramos o mediramos la variable:

a) Edad

b) Forma de pago al realizar una compra

c) Estado civil

d) Nmero de habitaciones por casa

e) Salario mensual percibido por los supervisores de ventas de una consul-

tora.

f) Medio de transporte utilizado para ir a clase por los estudiantes del cam-

pus de Tarongers



ndice Ficha Texto

45

g) Grado de riesgo de los fondos de inversin de una entidad financiera (1 =

riesgo menor, 5 = riesgo mayor)

h) Dimetro de las tuercas que produce una mquina. (Las tuercas deberan

tener todas 6 mm de dimetro)

i) Nmero de defectos encontrados en n ordenadores porttiles fabricados

durante un mes.

Introduccin.

ndice Ficha Texto


46

Ejemplo 1.2. Indicar de las variables siguientes cuales generaran datos

discretos y cuales datos continuos:

a) Nmero de acciones vendidas cada da en un mercado de valores.

b) Temperaturas registradas cada media hora en un observatorio.

c) Censos anuales del colegio de profesores.

d) Longitud de 1.000 cerrojos producidos en una fbrica.

e) 30 analistas financieros dan una prediccin de las ganancias por accin

(en euros) de cierta empresa para el ao prximo.



ndice Ficha Texto

47

Ejemplo 1.3. Preguntadas 300 personas acerca de su estado civil, 145 con-

testaron estar solteras, 100 casadas, 30 divorciadas y 25 viudas.

a) Identifica la variable estadstica (V.E.) y clasifcala, modalidades del ca-

rcter.

b) Clasifica la V.E. en una tabla estadstica o distribucin de frecuencias: ob-

tener frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

Solucin: a) X: Estado Civil. Variable cualitativa con cuatro modali-

dades: Soltera, Casada, Divorciada, Viuda.

Introduccin.

ndice Ficha Texto


48

Ejemplo 1.4. El departamento de prevencin de riesgos laborales de una gran empresa de la construccin ha recogido informacin sobre el nmero de accidentes laborales diarios con baja laboral que se han producido du-rante los 44 das siguientes a la aplicacin de nuevas normas de seguridad, obteniendo los siguientes resultados:

Obtener:

a) La tabla estadstica o distribucin de frecuencias.

b) Diagramas de barras (con frecuencias absolutas y relativas).

c) Diagrama en escalera o acumulativo.

Nmero de accidentes diarios 44 das) 2 1 0 3 3 4 4 3 7 4 4 1 0 4 2 4 0 2 2 4 3 2 0 3 0 3 5 1 5 0 0 3 0 7 5 4 5 3 9 3 10 3 0 9



ndice Ficha Texto

49

Ejemplo 1.5. El departamento de personal de una empresa aplica un test

de habilidad mental a sus empleados con el objetivo de seleccionar a un

nmero determinado de ellos para la realizacin de ciertas tareas. Las pun-

tuaciones obtenidas han sido las siguientes:

43 40 41 50 62 35 38 50 32 35 36 45 58 30 33 45

49 46 47 51 64 36 39 51 51 48 49 53 66 38 41 43

71 45 46 55 68 40 53 55 52 49 50 59 62 45 48 60

32 30 40 39 42 30 35 40 38 36 46 45 68 50 69 69

a) Forma una distribucin de frecuencias con 7 intervalos.

b) Histograma.

Introduccin.

ndice Ficha Texto


50

Ejemplo 1.6. Dada una distribucin con 128 valores:

a) Determnese, mediante la frmula de Sturges, el nmero de intervalos en

que puede agruparse.

b) Si el recorrido de la distribucin es de 48 unidades, cul ser la amplitud

de cada intervalo?.

Solucin: a) K= 8 ; b) 6



ndice Ficha Texto

51

Ejemplo 1.7. Al representar mediante un histograma la siguiente distribu-

cin de frecuencias:

Intervalos ni

0-10

10-50

100

200

El intervalo de 0 a 10 se representa por un rectngulo de 18 cm. de altura

Cul debe ser la altura del intervalo de 10 a 50?

vas.

TEMA 2 ANLISIS DE DATOS UNIDIMENSIONALES



ndice Ficha

53




2.1. Principales medidas de posicin, dispersin y de forma o perfil.

2.2. Transformaciones lineales y tipificacin de variables.

2.3. Otras medidas de posicin: moda y cuantiles (mediana).

Conceptos clave.

Ejemplos.

Anlisis de datos unidimensionales.

ndice Ficha


54

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE. Aprender a calcular e interpretar los estadsticos descriptivos ms importan-tes. Conceptos de dispersin absoluta y dispersin relativa. Comparar dispersin y datos tipificados entre dos o ms variables. Informacin que aportan la media y la varianza en cuanto a la distribucin de los datos de una variable alrededor de la media (Regla de Tchebysheff). Estudiar cmo se ven afectados los estadsticos y coeficientes al transformar linealmente los datos de una variable.



ndice Ficha

55




Tema 2. (Con ejercicios, cuestiones de autoevaluacin y problemas

resueltos y propuestos).



Captulos 3 y 4.


ndice Ficha


56

2.1. Principales medidas de posicin, dispersin y de forma o perfil.

2.1.1. Principales medidas de posicin y dispersin.

POSICIN: LA MEDIA ARITMTICA. x

Variable estadstica con N datos en total ( )N 1iix:X = ==N

1iixN

1x

Distribucin de frecuencias ( )k 1iii n,x:X = ==k

1iii nxN

1x

Tambin: =

= k1i

ii fxx

Se utilizar preferentemente la primera expresin.

En una distribucin agrupada en INTERVALOS: .c.d.mxi



ndice Ficha

57

PROPIEDADES DE LA MEDIA

1. La media es el CENTRO DE GRAVEDAD de la distribucin (c.d.g):

0)xx(N

1ii == (medida de posicin central).

2. Poblacin con N datos, subdividida en p subpoblaciones disjuntas de

tamaos p21 ,N,, NN L con = =p

1jj NN y medias p21 x,,x,x L , la me-

dia total se puede determinar: =

= p1j

jjT NxN1x

Ver ejemplo en: ESTEBAN, J.; y otros.: Estadstica Descriptiva y nociones de Probabilidad, Ed. Thomson, 2006. Tema 2, pgina 29 (ejemplo 2.4)


ndice Ficha


58

CONSIDERACIONES SOBRE LA MEDIA.

1. La media es un resumen de los N datos de la variable (PROMEDIO).

Datos homogneos (cercanos a la media), media representativa.

Datos heterogneos (alejados de la media, extremos), media no represen-

tativa.

2. La media es un ESTADSTICO de tipo ABSOLUTO que tiene la misma uni-

dad de medida que la variable. Adems su valor estar dentro del recorri-

do de la variable: Mm xax:Re



ndice Ficha

59

DISPERSIN: LA VARIANZA.

En una V.E. con N datos ( )N 1iix:X = , las medidas de DISPERSIN miden la amplitud, diseminacin o VARIABILIDAD de los DATOS, en su conjunto.

Miden la posicin que ocupan los datos respecto a un punto de inters que

tomamos como referencia. La referencia ms apropiada, ptima para la va-

rianza, es la media aritmtica, por ser el centro de gravedad de la distribu-

cin.


ndice Ficha


60

VARIANZA 2s :

media de los cuadrados de las desviaciones de los datos a su media.

Variable estadstica con N datos en total: ( )N 1iix:X = ( )

== N

1i

2i

2 xxN1s

Distribucin de frecuencias: ( )k 1iii n,x:X = ( )

== k

1ii

2i

2 nxxN1s

Tambin: ( )=

= k1i

i2

i2 fxxs

Se utilizar preferentemente la primera expresin.



ndice Ficha

61

En una distribucin agrupada en INTERVALOS: .c.d.mxi DESVIACIN TPICA s:

varianzas tpica Desviacin += PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y LA D.T.

1. 0s ; 0s2 . Son cero cuando todos los datos son iguales.

2. Se demuestra que: 2N

1i

2i

2 xxN1s =

= o bien

2k

1ii

2i

2 xnxN1s =

=. Esta

expresin resulta til para el clculo de la varianza sobre una distribucin

de frecuencias.

Ejemplo 2.1.


ndice Ficha


62

CONSIDERACIONES SOBRE LA VARIANZA Y LA DESVIACIN TPICA.

1. La varianza 2s es una medida de DISPERSIN ABSOLUTA. Tiene la uni-dad de medida de la variable al cuadrado.

La desviacin tpica s , sin embargo, tiene la misma unidad de medida que la variable y es directamente comparable con la media.

2. La desviacin tpica s , como medida de DISPERSIN aporta informacin estadstica sobre la VARIABILIDAD de los DATOS en relacin a su media.

Nos dar informacin acerca de la homogeneidad o heterogeneidad de los

datos en relacin al valor medio de los mismos.

s pequea en relacin al valor de la media: media representativa, datos homogneos.



ndice Ficha

63

s grande en relacin al valor de la media: media no representativa, datos

heterogneos.

3. COMPARAR DISPERSIN entre dos o ms variables: las desviaciones tpi-

cas de dos o ms variables son comparables directamente si las variables

tienen la misma unidad de medida y el mismo valor para la media.


ndice Ficha


64

DISPERSIN RELATIVA. EL COEFICIENTE DE VARIACIN

Para comparar la dispersin entre diferentes series de datos (variables) independien-

temente de sus unidades de medida y del valor de sus medias se utilizar una medida

de DISPERSIN RELATIVA.

Dada una variable ( )N 1iix:X = , su media 0x y su desviacin tpica s , se define el coeficiente de variacin de Pearson:

|x|sg0 =

Habr mayor dispersin relativa donde g0 sea mayor.

Ejemplo 2.2. Ejemplo 2.3. Ejemplo 2.4.



ndice Ficha

65

2.1.2. Momentos.

Dada una variable estadstica ( )N 1iix:X = , ( )k 1iii n,x:X = con su media x , se definen:

MOMENTOS ORDINARIOS DE ORDEN p

=

= N1i

pip xN

1a o =

= k1i

ip

ip nxN1a con p entero 0p

MOMENTOS ORDINARIOS que se van a utilizar:

=

=

==

===N

1i

2i2

N

1ii1

xN1a2p

xxN1a1p (media)


ndice Ficha


66

MOMENTOS CENTRALES DE ORDEN p

( )=

= N1i

pip xxN

1m o ( )=

= k1i

ip

ip nxxN1m con p entero 0p

MOMENTOS CENTRALES que se van a utilizar:

( )( )( )( )

=

=

=

=

==

==

===

===

N

1i

4i4

N

1i

3i3

2N

1i

2i2

N

1ii1

xxN1m4p

xxN1m3p

sxxN1m2p

0xxN1m1p

(varianza)



ndice Ficha

67

LA VARIANZA EN FUNCIN DE LOS MOMENTOS.

En funcin de la segunda propiedad dada para la varianza y de las definicio-

nes de los momentos ordinarios y centrales se tiene que:

( ) 2122N1i

2i

N

1i

2i2

2 aaxxN1xx

N1ms ====

==


ndice Ficha


68

2.1.3. Medidas de forma o perfil.

ASIMETRA: perfil horizontal de la distribucin.

La media es el c.d.g. de la distribucin (de la variable, de la serie de datos

ordenada) y se desplazar hacia donde haya mayor densidad de datos. Se

estudia la simetraasimetra de la distribucin tomando como referencia el

c.d.g.

Si hay mayor densidad de datos al principio de la distribucin (datos menores), la

media se desplaza hacia la izquierda, dejando una cola de datos a su derecha:

ASIMETRA A LA DERECHA DE LA MEDIA.

Si hay mayor densidad de datos al final de la distribucin (datos mayores), la

media se desplaza hacia la derecha, dejando una cola de datos a su izquierda:

ASIMETRA A LA IZQUIERDA DE LA MEDIA.

Si la distribucin de datos es igual a izquierda y derecha de la media: SIMETRA



ndice Ficha

69

ASIMETRA A LA DERECHA

media

ASIMETRA A LA IZQUIERDA

media

SIMETRA

media


ndice Ficha


70

COEFICIENTE DE ASIMETRA DE FISHER.

A partir del momento central de orden impar ( )=

= N1i

3i3 xxN

1m se define

el coeficiente de asimetra de FISHER:

33

1 smg =

IZQUIERDA LA A ASIMETRA0g0m Si

grfico) (observar 0g0mSIMETRA

DERECHA LA A ASIMETRA0g0m Si

13

13

13

>



ndice Ficha

71

APUNTAMIENTO O CURTOSIS: perfil vertical de la distribucin.

Las medidas de apuntamiento proporcionan informacin estadstica de la

distribucin, relativa a la densidad de datos que hay en las proximidades de

la media (c.d.g.).

Si la densidad de datos alrededor de la media es muy dominante: distri-

bucin MUY APUNTADA, rectngulos del histograma centrales con mucha

altura.

Si la densidad de datos alrededor de la media no es dominante: distribu-

cin POCO APUNTADA, rectngulos del histograma centrales con poca al-

tura.


ndice Ficha


72

COEFICIENTE DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS DE FISHER.

A partir del momento central de orden cuatro ( )=

= N1i

4i4 xxN

1m se defi-

ne el coeficiente de apuntamiento de FISHER:

44

2 smg =

Para medir con este coeficiente el grado de apuntamiento de una distribu-

cin se utilizarn dos MODELOS de distribucin de REFERENCIA:

MODELO NORMAL: distribucin campaniforme con un apuntamiento de

3g2 = . MODELO UNIFORME: distribucin horizontal con un apuntamiento de

8,1g2 = .



ndice Ficha

73

Apuntamiento = 3MODELO NORMAL

Apuntamiento = 1,8MODELO UNIFORME


ndice Ficha


74

De esta forma se seguirn los siguientes criterios para medir el apuntamiento de una

distribucin:

ica)(platicrt NORMAL modelo el que apuntada menos3g Sica)(mesocrti NORMAL modelo el que toapuntamien mismo3g Si

ica)(leptocrtNORMAL modeloelqueapuntada ms3g Si

2

2

2

Apuntamiento >3

Apuntamiento1,8



ndice Ficha

75

. extremos) los en datos de densidad (msU"" de forma Si

l).(horizonta UNIFORME modelo que toapuntamien mismo Si

, covariacin positiva: si la variable X crece, entonces la tenden-cia de la variable Y es a crecer tambin.

0sXY < , covariacin negativa: si la variable X crece, entonces la ten-dencia de la variable Y es a decrecer (o viceversa).

Anlisis de datos bidimensionales.

ndice Ficha


150

grfico dispersin

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

covarianza positiva 2,71

grfico dispersin

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

covarianza negativa -2,71



ndice Ficha

151

0sXY = , covariacin nula: no hay una variabilidad conjunta lineal domi-nante (positiva o negativa) entre X e Y.

PROPIEDAD: si las variables X e Y son independientes estadsticamente, la

covarianza es cero. El recproco no es necesariamente cierto.

0sXY =ntesindependie Y e X

grfico dispersin

4; 2

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

covarianza cero pero dependientes

grfico dispersin

4; 2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8x

y mediasc.d.g.

covarianza cero e independencia


ndice Ficha


152

PROPIEDADES DE LA COVARIANZA.

1. Clculo de la covarianza: se demuestra fcilmente que la covarianza se puede determinar como:

yxyxN1s

N

1iiiXY = =

o en forma de momentos: 01101111XY aaams == 2. Transformacin lineal:

XY21'Y'X22

11 skkscYkYcXkX =

+=+=

siendo reales nmeros 2121 c,c,k,k

Por tanto la covarianza es sensible al cambio de escala y su valor de-

pende de las unidades de medida de las variables X e Y. Es un estadstico de

tipo absoluto.

3. Obviamente YXXY ss = .



ndice Ficha

153

VECTOR DE VALORES MEDIOS

=yx

mr

MATRIZ DE VARIANZAS COVARIANZAS

=

2YXY

XY2X

ssss

S

La matriz de varianzas covarianzas es simtrica y semidefinida posi-tiva ( )0)Sdet( . Medias y varianzas marginales y covarianza en funcin de los momentos:

Ejemplo 4.4. Ejemplo 4.6. 01101111XY

2010202

2Y

2102020

2X

0110

aaamsaamsaams

ayax

======

==


ndice Ficha


154

PROPIEDADES DE COMBINACIN LINEAL DE VARIABLES.

Sea (X, Y) una V.E.B. y sean

=yx

mr y

=

2YXY

XY2X

ssss

S su vector de me-

dias y matriz de var cov respectivamente.

Sea cYkXkZ 21 ++= una COMBINACIN LINEAL de X e Y con k1, k2 y c nmeros reales. La MEDIA y la VARIANZA de Z se pueden determinar como sigue:

XY212Y

22

2X

21

2Z

21

skk2skskscykxkz++=

++=

Solo si la covarianza es cero 2Y

22

2X

21

2Z sksks += .

As, si 0sXY =ntesindependie Y e X y entonces: 2Y222X212Z sksks += . Ejemplo 4.8.



ndice Ficha

155

4.4. EL COEFICIENTE DE CORRELACIN LINEAL. MATRIZ DE CORRE-LACIN.

EL COEFICIENTE DE CORRELACIN LINEAL SIMPLE.

Dada (X, Y) una V.E.B. y

=

2YXY

XY2X

ssss

S su matriz de var cov, se define

el coeficiente de correlacin lineal de Pearson como: YX

XYXY ss

sr = El coeficiente r tiene el mismo signo que la covarianza.

r es un estadstico de tipo relativo, es decir, independiente de las unida-des de medida de las variables X e Y.


ndice Ficha


156

Mide la intensidad de la variabilidad conjunta lineal entre X e Y es decir

la correlacin lineal.

PROPIEDADES DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN.

1. El coeficiente de correlacin lineal est acotado: 1r1 .

correlacin perfecta positiva

x

y r = 1

correlacin perfecta negativa

x

y

r = -1



ndice Ficha

157

2. Transformacin lineal: XY'Y'X22

11 rrcYkYcXkX =

+=+=

. Donde k1 , k2 y c

son nmeros reales, con k1 y k2 del mismo signo. Es decir, que el coeficiente

es invariante por transformacin lineal (salvo en el signo).

MATRIZ DE CORRELACIN.

Dada (X, Y) una V.E.B. y el coeficiente de correlacin lineal YX

XYXY ss

sr = , se define:

=

=1r

r1rrrr

RXY

XY

YYYX

XYXX

MATRIZ DE CORRELACIN

Es una matriz simtrica y semidefinida positiva 0r1)Rdet( 2XY = Ejemplo 4.9.


ndice Ficha


158

4.5. ASOCIACIN.

Sean dos atributos

(A, B): (ai, bj); nij con k y m

categoras respectivamente, or-

ganizados en una tabla de con-

tingencia (distribucin conjun-

ta). Se estudiar la asociacin

entre A y B utilizando el criterio

de independencia estadstica.

B

A b1 b2 bj bm ni

a1 n11 n12 n1j n1m n1

a2 n21 n22 n2j n2m n2

ai ni1 ni2 nij nim ni

ak nk1 nk2 nkj nkm nk

nj n1 n2 nj nm N

TABLA DE CONTINGENCIA



ndice Ficha

159

A y B independientes si

j,iN

nnn jiij

= . ESTADSTICO

2

A\B b1 b2 bj bm ni

a1 n11 n12 n1j n1m n1

a2 n21 n22 n2j n2m n2

ai ni1 ni2 nij nim ni

ak nk1 nk2 nkj nkm nk

nj n1 n2 nj nm N


ndice Ficha


160

Se denominar:

ijn a la frecuencia real u observada y

N

nnE jiij

= a la frecuencia esperada o terica: frecuencia que se tendra en caso de independencia.

El estadstico 2 compara las frecuencias reales con las tericas:

= =

= k1I

m

1j ij

2ijij2

E)nE(

0 2



ndice Ficha

161

EL COEFICIENTE DE CONTINGENCIA DE PEARSON

Se define a partir del estadstico 2:

2

2

P NC +=

El coeficiente de contingencia de Pearson mide la intensidad de la aso-

ciacin entre dos atributos.

Est acotado: 1C0 P


ndice Ficha


162

Se demuestra que en tablas de contingencia cuadradas )kk( su valor mximo es

k1kCMAX

= .

Ejemplo 4.11.



ndice Ficha

163

Conceptos clave.

Coeficiente de contingencia de Pearson. Coeficiente de correlacin lineal. Combinacin lineal de variables. Covarianza. Distribucin conjunta. Distribuciones condicionadas. Distribuciones marginales.

Estadstico 2 .

Independencia estadstica. Matriz de correlacin. Matriz de varianzas-covarianzas. Tabla de contingencia. Tabla de correlacin. Transformacin lineal.


ndice Ficha Texto


164

EJEMPLOS Ejemplo 4.1. Ordenar la siguiente serie de datos bidimensionales en una distribucin conjunta o distribucin de frecuencias bidimensional (tabla de correlacin):

X 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 Y 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1

Solucin:

Y X

1

2

1 2 1 2 3 1 3 1 2



ndice Ficha Texto

165

Ejemplo 4.2. a) Obtener las distribuciones de frecuencias marginales de X e Y a partir de

la distribucin conjunta del ejemplo 4.1. b) Obtener las siguientes distribuciones condicionadas a partir de la conjunta

del ejemplo 4.1.: 2x/Ye1y/X ==


ndice Ficha Texto


166

Ejemplo 4.3. Hemos observado la retribucin mensual de los 40 trabajado-res de una empresa segn su antigedad en la misma obteniendo la siguien-te tabla de correlacin o distribucin de frecuencias bidimensional: Y: retribucin mensual (en euros.) X: antigedad en la empresa (en aos)

a) Qu porcentaje de em-pleados tiene una antige-dad entre 2 y 4 aos y una retribucin entre 600 y 780 euros? (conjunta)

b) Cuntos empleados tienen

una antigedad entre 4 y 6 aos? (marginal)

c) Observa la retribucin de los empleados con una antigedad entre 0 y 2 aos y comprala con la re-tribucin de los que tienen una antigedad entre 4 y 6 aos (condiciona-da).

YX

420-600 mdc 510

600-780 690

780-960 870

960-1200 1080

0 2 mdc 1 7 3 1 0

2 4 3 1 9 6 2

4 6 5 0 2 3 6



ndice Ficha Texto

167

Ejemplo 4.4. Determina el vector de medias y la matriz de varianzas co-varianzas de la siguiente distribucin conjunta obtenida en el ejemplo 4.1.

YX 1 2

1 2 1 2 3 1 3 1 2

Solucin:

==24,01,01,06,0

S4,1

2mr


ndice Ficha Texto


168

Ejemplo 4.5. Son independientes las variables del Ejemplo 4.3? Calcula la media de las retribuciones de los empleados con menor antigedad y com-prala con la media marginal de las retribuciones de todos los trabajadores. Cmo habran sido las medias anteriores en caso de independencia?



ndice Ficha Texto

169

Ejemplo 4.6. Es posible que la siguiente matriz:

25242416

sea de varian-

zas-covarianzas? Razona la respuesta.

Solucin: No.


ndice Ficha Texto


170

Ejemplo 4.7. Dada la siguiente distribucin de frecuencias bidimensional:

Y X 2 4

-5 1 0 0 0 1 5 1 0

a) Estn X e Y incorreladas? b) Son estadsticamente independientes X e Y?

Solucin: 1) s, 2) no



ndice Ficha Texto

171

Ejemplo 4.8. De dos variables X e Y se conocen los siguientes datos:

vector de valores medios

=1510

mr ; matriz de varianzas-covarianzas

=252

216S . Hallar la media y la varianza de la variable: 8Y3X2Z ++= Solucin: 265S73z 2Z ==


ndice Ficha Texto


172

Ejemplo 4.9. Calcula el coeficiente de correlacin lineal en el ejemplo 4.4. e interpreta el resultado. Obtener la matriz de correlaciones.

Solucin: 0,265



ndice Ficha Texto

173

Ejemplo 4.10. A partir de la siguiente matriz de datos para las variables X1, X2, X3, obtener:

a) Las distribuciones marginales b) Algunas de las distribuciones

condicionadas c) El vector de medias y la matriz

de varianzas-covarianzas d) La matriz de correlaciones

Solucin: c)

=

3,028,0

mr

=

61,0034,0060,010,034,010,056,0

S d)

=

1058,00117,058,017,01

Observacin X1 X2 X3 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

1 0 0 2 1 0 0 1 1 2

2 2 2 3 3 2 1 3 1 1

-1 -1 -1 0 1 0 -1 -1 0 1


ndice Ficha Texto


174

Ejemplo 4.11. Un fabricante de herramientas compra una serie de piezas a tres proveedores diferentes. Cada pieza es analizada para detectar si pre-senta alguno de los tres tipos de defectos ms usuales, antes de ser intro-ducida en la cadena de produccin. Durante un mes se han recogido datos relativos al tipo de defecto encontrado en las piezas compradas a cada uno de los tres proveedores obtenindose la siguiente tabla de contingencia:

Proveedor Tipo de Defecto A B C

I 19 30 20 II 25 45 33 III 12 15 20

Analizar si existe alguna relacin entre el tipo de defecto y el proveedor. Si la asociacin fuese mxima qu aspecto tendra la tabla de contingencia? Solucin: Cp = 0,117 para un mximo de 0,8165

TEMA 5 ANLISIS DE REGRESIN

Anlisis de Regresin.

ndice Ficha


176




5.1. Introduccin.

5.2. Regresin mnimo-cuadrtica: caso lineal.

5.3. Anlisis de la bondad de un ajuste: capacidad explicativa de una ecua-

cin de regresin. Coeficiente de determinacin. Caso lineal.

5.4. Regresin no lineal: potencial y exponencial.

Conceptos clave.

Ejemplos.



ndice Ficha

177

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE.

Estudio exhaustivo de la regresin lineal simple (dos variables X, Y): clculo de los parmetros a, b, a, b de las rectas de regresin Y* = a + bX y

X* = a + bY a partir del principio de mnimos cuadrados.

Expresin de esos parmetros en funcin de los estadsticos de la variable bidimensional (X, Y).

Interpretacin de los coeficientes de regresin b y b.

Obtencin de una medida de la bondad del ajuste efectuado a partir de la relacin existente entre la varianza total y las varianzas residual y de la re-gresin: coeficiente de determinacin R2 (capacidad explicativa de una ecua-cin de regresin).

Relacin entre el coeficiente de determinacin y los coeficientes de regresin b y b.

Introduccin a la regresin no lineal: casos potencial y exponencial.


ndice Ficha


178




Tema 4 para tema 5. (Con ejercicios, cuestiones de autoevaluacin y

problemas resueltos y propuestos).



Captulo 6.

MARTN PLIEGO, F.J.: Introduccin a la Estadstica Econmica y Empre-

sarial, Ed. Thomson. Madrid 2004 (3 edicin).

Captulo 10 para punto 4 (pgina 273).



ndice Ficha

179

5.1. INTRODUCCIN.

El estudio conjunto de dos variables (X, Y) tiene como objetivo fundamental de-

terminar si estn relacionadas esas variables y, si hay alguna relacin, cuantifi-

car esa relacin. Cmo primer paso se puede observar el grfico de dispersin:

la nube de puntos nos puede ayudar a buscar un modelo de relacin adecuado.

x

y

correlacin lineal

grfico de dispersin

x

y

datos no correlacionados


ndice Ficha


180

relacin no lineal

x

y

relacin potencial relacin exponencial

relacin no lineal

x

y

relacin parablica



ndice Ficha

181

Para CUANTIFICAR la relacin entre X e Y se utilizarn dos teoras funda-

mentales:

Teora de la CORRELACIN: clculo de estadsticos conjuntos y coefi-

cientes que midan la intensidad o el grado de relacin entre X e Y

(como el coeficiente de correlacin lineal definido en el tema 4).

Teora de la REGRESIN: una vez elegido el modelo de relacin que

se desea estudiar y cuantificar entre X e Y (lineal, exponencial), con

la teora de la REGRESIN se obtendr la ecuacin de la funcin, del

tipo elegido, que mejor relacione a las variables X e Y. Este tipo de

ecuaciones se denominan ECUACIONES DE REGRESIN. Estas ecua-

ciones cuantifican la RELACIN ESTADSTICA entre X e Y.


ndice Ficha


182

RELACIN ESTADSTICA RELACIN FUNCIONAL.

Antes de estudiar cmo se obtienen las ecuaciones de regresin, conviene

distinguir entre una relacin estadstica y una, ms conocida, relacin fun-

cional entre dos variables:

Una relacin funcional entre X e Y )x(fy = es una corresponden-cia exacta, tal que cada valor de X est asociado con un nico valor

de Y.

Una relacin estadstica entre dos variables X e Y es una corres-

pondencia no necesariamente exacta, tal que cada valor de X x tiene asociado la prediccin de un valor de Y que se identificar como

y . Este valor se obtendr a partir de la ecuacin de regresin

)x(fy =



ndice Ficha

183

Relacin funcional

y = 2x + 7

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

x

y


ndice Ficha


184

Dada una serie de datos bivariantes

(X, Y) la ecuacin de regresin

)x(fy* = cuantifica la relacin es-tadstica entre X e Y.

En este contexto:

X es la variable independiente

(variable control)

Y es la variable dependiente

(variable respuesta).

Cada valor de X tendr asociado:

estimado) (terico, prediccin de valor

variable la de real valor

i

iiii y

)y,x(YyxX RESIDUO

= iii yye

Relacin estadstica

x

yy* = f(x)

(x,y)

x

y

y*

e=y - y*



ndice Ficha

185

AJUSTE.

Para obtener las ecuaciones de regresin )x(fy* = se utilizan mtodos matemticos de ajuste: hallar la ecuacin de un tipo de funcin que mejor

ajuste a la nube de puntos del grfico de dispersin.

MTODO DE AJUSTE: PRINCIPIO DE MNIMOS CUADRADOS (P.M.C.)

Dada una serie de datos bidimensionales N

1iii )y,x(:)Y,X( = y elegido el ti-po de funcin que queremos ajustar )x(fy* = , la ecuacin que mejor ajusta a la nube de puntos es la que minimiza la suma de los cuadrados de

los residuos.


ndice Ficha


186

MNIMA

= =

=N1i

N

1i

2ii

2i )yy(e

A )x(fy = la llamare-mos:

Ecuacin de regresin

mnimo cuadrtica

de Y sobre X.

x

y

y* = f(x)RESDUOSe=y - y*

y

y*



ndice Ficha

187

5.2. REGRESIN MNIMO CUADRTICA: CASO LINEAL.

Dada una serie de datos bivariantes N

1iii )y,x(:)Y,X( = , si el tipo de funcin elegida )x(fy* = para relacionar las variables X e Y es una RECTA, su ecuacin en forma explcita es:

reales nmeros b,abxay += . Aplicando el P.M.C. como mtodo de ajuste: la ecuacin de la recta

bxay += que mejor ajustar a la nube de puntos N1iii )y,x( = del grfico de dispersin ser la que minimice la suma de los cuadrados de los residuos.

( ) == =

+== N1i

MNIMA 2iiN

1i

N

1i

2ii

2i )bxa(y)yy(e


ndice Ficha


188

( ) == =

+== N1i

MNIMA 2iiN

1i

N

1i

2ii

2i )bxa(y)yy(e

Regresin lineal

x

y y* = a + bx

y i

y i *



ndice Ficha

189

OBTENCIN DE LA RECTA DE REGRESIN DE Y SOBRE X.

Sea la funcin: ( )=

+= N1i

2ii )bxa(y)b,a(H a y b parmetros.

Los posibles valores de a y b que minimicen H(a, b) sern los que anulen las derivadas parciales:

SISTEMA DE ECUACIONES NORMALES

( )( )

+=+=

=+=

=+=

===

==

=

=N

1i

2i

N

1ii

N

1iii

N

1ii

N

1ii

N

1iiii

N

1iii

xbxayx

xbaNy

0x)bxa(y2bH

0)bxa(y2aH


ndice Ficha


190

La resolucin del sistema de ecuaciones anterior da los siguientes valores

para los parmetros a y b:

xbyassb

2X

XY == Se demuestra adems que son un mnimo: (Cf.: ESTEBAN, J.; y otros.: Estadstica Descriptiva y nociones de Probabilidad, Ed. Thomson, 2005, 2006 segunda impresin, pginas 156-157). Por tanto la recta de regresin de Y sobre X que mejor ajusta a la nube de puntos

N1iii )y,x( = es:

==+=

xbyassb

bxay 2XXY

Expresin que se utilizar para dar la recta de regresin.



ndice Ficha

191

INTERPRETACIN DE LOS PARMETROS a y b: bxay +=

xbya = representa el valor de la ordenada Y en el origen.

COEFICIENTE DE REGRESIN: representa la variacin experimentada por

la variable Y para un incremento unitario de X. Por cada incremen-

to unitario de la variable X, la variable Y cambia su valor b unida-

des (de promedio).

(Tambin es la pendiente de la recta).

Ejemplo 5.1.

(a partir de los datos del problema 4.1.)

2X

XY

ssb =


ndice Ficha


192

OTRAS EXPRESIONES PARA LA RECTA DE REGRESIN de Y sobre X:

Sustituyendo los valores obtenidos de a y b en bxay += queda:

)xx(ssryy

sssr

)xx(ssybxxbybxay

X

YXY

YX

XYXY

2X

XY

+==

+=+=+=

PREDICCIN.

Con la recta de regresin de Y sobre X, bxay += , se pueden obtener va-lores de prediccin de Y, y sustituyendo en la ecuacin el valor x de X.



ndice Ficha

193

EJEMPLO DE RECTA DE REGRESIN DE Y SOBRE X. PRCTICA.

Obtngase la recta de regresin mnimo cuadrtica ajustada a los tres da-

tos bivariantes que aparecen en el siguiente grfico:

Regresin de Y sobre X

4; 2

7; 5

1; 2

y* = 1+0,5xR2 = 0,75

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X

Y


ndice Ficha


194

REGRESIN DE X SOBRE Y.

Si quisiramos obtener valores de prediccin de X, x a partir de valores de

la variable Y y se necesitara la recta de regresin de X sobre Y:

ybax += . Para obtener esta recta se permutaran los papeles de las variables X e Y.

Ahora Y sera la variable independiente (control) y X la variable dependiente

(respuesta).

En este caso la suma de los cuadrados de los residuos sera:

( ) == =

+== N1i

MNIMA 2iiN

1i

N

1i

2ii

2i )yba(x)xx(e



ndice Ficha

195

Al minimizar la expresin anterior se obtendran los parmetros a y b:

==+=

ybxassb

ybax 2Y

XY

COEFICIENTE DE REGRESIN de X sobre Y: representa la va-

riacin experimentada por la variable X para un incremento unita-

rio de Y.

2Y

XY

ssb =


ndice Ficha


196

OTRAS EXPRESIONES PARA LA RECTA DE REGRESIN de X sobre Y:

Sustituyendo los valores obtenidos de a y b en ybax += queda:

)yy(ssrxx

sssr

)yy(ssxybybxybax

Y

XXY

YX

XYXY

2Y

XY

+==

+=+=+=



ndice Ficha

197

RELACIN ENTRE LA REGRESIN Y LA CORRELACIN LINEALES.

bbr

ssb

ssb

XY

2Y

XY

2X

XY

=

=

=

Teniendo en cuenta que el signo de XYr sera el mismo que el de b y b. PROPIEDADES DE LAS RECTAS.

)xx(ssryy

X

YXY += y )yy(s

srxxY

XXY +=

Se cruzan en el punto )y,x( (si se representan en unos mismos ejes coordenados (X, Y)).

Son perpendiculares si 0rXY = , xxyy == Son iguales si 1rXY = .


ndice Ficha


198

EJEMPLO DE LAS DOS RECTAS DE REGRESIN. PRCTICA.

Determnese la recta de regresin mnimo cuadrtica de X/Y ajustada a los tres datos bivariantes del siguiente grfico. (Es el mismo que el de Y/X de la pag. 180).

Dos rectas de regresin

4; 2

7; 5

1; 2

medias; (4; 3) y* = 1+0,5x

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X

Y

x* = -0,5+1,5y



ndice Ficha

199

5.3. ANLISIS DE LA BONDAD DE UN AJUSTE: CASO LINEAL.

Coeficiente de determinacin.

Sea N

1iii )y,x(:)Y,X( = una serie de datos bivariantes.

Supongamos que se ha obtenido una ecuacin de regresin de Y sobre X

)x(fy = . Con esta ecuacin se obtienen valores de prediccin de Y, iy . El anlisis de la bondad de un ajuste consiste en obtener una medida de la

similitud de los valores reales de la variable ( )iy:Y con los estimados de la variable ( ) iy:Y , variable de la regresin. En la comparacin de estos va-


ndice Ficha


200

lores jugar un papel esencial la variable que conforman los residuos

( )= iii yye:E , variable residual.

Se partir de la siguiente relacin: los valores de la variable dependiente

( )iy:Y se pueden descomponer en iii eyy += y la medida de la bon-dad del ajuste se obtendr de la comparacin de la variabilidad de esas tres

variables: ( )iy:Y ( ) iy:Y ( )= iii yye:E .

Para ello se estudiar el aspecto de sus medias y varianzas, que dependern

del tipo de ecuacin de regresin que ajustemos.



ndice Ficha

201

VARIABLE Y Valores iy Media y Varianza

=

= N1i

2i

2Y )yy(N

1s

VARIABLE REGRESIN Y* Valores )x(fyi = Media y Varianza de la regresin

=

= N1i

2i

2*Y )yy(N

1s

VARIABLE RESIDUAL E = Y-Y* Valores

= iii yye Media e Varianza residual

=

= N1i

2i

2E )ee(N

1s


ndice Ficha


202

CASO LINEAL: BONDAD DEL AJUSTE.

En el caso lineal, la recta de regresin de Y sobre X es:

xbyassbbxay

2X

XY ==+= siendo La media e y la varianza 2Es de la variable residual

= YYE tienen el si-guiente aspecto:

La variable residual abXY)bXa(YYYE =+== , es decir, es combinacin lineal de X e Y, por tanto:

2X

2XY2

YXY2X

XY2X22

X

2XY2

YXY2X

22Y

2E s

sssss2s

)s(ssbs2sbss

0)xby(xbyaxbye

=+=+====



ndice Ficha

203

Es decir:

2X

2XY2

Y2E s

sss

0e

==

Por otra parte, la media y y la varianza 2*Ys de la variable de la regresin

Y toman el siguiente aspecto en la regresin lineal: La variable de la regresin bXaY += , es una transformacin lineal de X por tanto:

2X

2XY2

X22X

2XY2

X22

*Y sss

)s(ssbs

yxbxbyxbay

====+=+=

es decir: 2X

2XY2

*Y sss

yy

==


ndice Ficha


204

Por tanto en la regresin lineal de Y sobre X, las medias y varianzas de las

variables implicadas en el estudio quedan:

total varianza

media

VARIABLE

=

= N1i

2i

2Y )yy(N

1s

yY

regresin la de varianza

regresin la de VARIABLE

2X

2XY2

*Y

N

1i

2i

2*Y

sss

)yy(N1s

yyY

=

==

=

residual varianza

residual VARIABLE

2X

2XY2

Y2E

N

1i

2ii

2E

ssss

)yy(N1s

0eE

=

==

=

Es decir, que se obtiene la siguiente relacin entre las varianzas:

2E

2Y

2Y

2*Y

2Y

2E ssssss +==



ndice Ficha

205

Esta relacin nos permite descomponer la variabilidad total de los valores

reales de ( )iy:Y en la variabilidad de los valores de ( ) iy:Y (obtenidos a partir de X con la recta de regresin ii bxay += ) y la variabilidad de los residuos ( )= iii yye:E .

Obviamente cuanto menor sea la varianza residual 2Es mejor ser el

ajuste.

Si 0s 2E = el ajuste ser ptimo y si 2Y2E ss = (su valor mximo) el ajuste ser psimo.

El peso de estas varianzas en la relacin anterior se medir mejor con un

indicador de tipo relativo.


ndice Ficha


206

EL COEFICIENTE DE DETERMINACIN R2.

Expresamos en trminos relativos la relacin entre las tres varianzas:

2Y

2E

2Y

2Y

2Y

2E

2Y

2Y

2Y

2Y2

E2Y

2Y s

sss1

ss

ss

sssss +=+=+=

El primer cociente 2Y

2Y

ss

representa la parte de la variabilidad de

( )iy:Y explicada por la regresin. El segundo conciente 2

Y

2E

ss

, complementario del anterior, representa la

parte de la variabilidad de ( )iy:Y que queda por explicar.



ndice Ficha

207

El coeficiente de determinacin se define precisamente a partir de esas rela-

ciones: 2Y

2E

2Y

2Y2

ss1

ssR ==

PROPIEDADES DE COEFICIENTE.

En general, en los tipos de regresiones donde se cumpla la relacin

entre varianzas 2E

2Y

2Y sss += , se define el coeficiente de determinacin

de esta forma: 2Y

2E2

ss1R = .

1R0 2 : se deduce fcilmente de la definicin, teniendo en cuenta que

2Y

2E ss0 y que es cociente de varianzas (siempre positivas).

2R proporciona una medida de la bondad del ajuste.


ndice Ficha


208

Interpretacin del coeficiente:

=====

ptimo ajuste

psimo ajustemximo) (residuo 0s1Rss0R

ss1R 2

E2

2Y

2E

2

2Y

2E2

100R2 mide el porcentaje de la variabilidad de la variable depen-diente ( )iy:Y que explica la regresin ( )ii bxay:Y += . Dicho de otra forma: en qu medida la informacin de la variable X (variable

independiente) determina los valores de Y (variable dependiente) a

travs de la ecuacin de regresin )x(fy = . ( ) Y)x(fyX =

En este sentido se interpreta tambin 2R como una medida de la ca-pacidad explicativa de la ecuacin de regresin.



ndice Ficha

209

EL COEFICIENTE DE DETERMINACIN EN LA REGRESIN LINEAL.

Teniendo en cuenta que en la regresin lineal:

2X

2XY2

Y2E s

sss = 2X

2XY2

*Y sss = y el coeficiente de correlacin

YX

XYXY ss

sr =

2XY2

Y2X

2XY

2Y

2Y2 r

sss

ssR ===

Es decir, en la regresin lineal el coeficiente de determinacin coincide con

el de correlacin lineal al cuadrado.

Adems las varianzas de la regresin y residual se pueden determinar tam-

bin en funcin de 2

XYr : 2Y

2XY

2E

2Y

2XY

2*Y s)r1(ssrs ==


ndice Ficha


210

Por tanto la BONDAD DEL AJUSTE en la regresin lineal se medir a partir

de 2

XY2 rR = , coeficiente de determinacin:

100r2XY mide el porcentaje de la variabilidad de la variable depen-diente ( )iy:Y que explica la regresin ( )ii bxay:Y += .

100)r1( 2XY representa el porcentaje de la variabilidad de ( )iy:Y que queda por explicar (residuo).

Ejemplo 5.2.

Cotas del coeficiente de correlacin: el coeficiente de correlacin lineal

XYr est acotado entre -1 y 1 ya que:

1r11r01R0 XY2

XY2 .



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211

5.4. Regresin no lineal: potencial y exponencial.

Dada una serie de datos bivariantes N

1iii )y,x(:)Y,X( = , si el tipo de funcin elegida )x(fy* = para relacionar las variables X e Y es una funcin poten-cial o exponencial, su ecuacin en forma explcita tendr el aspecto:

bxay = potencial Ajuste a y b parmetros.

xbay = lexponencia Ajuste a y b parmetros.


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212

AJUSTE POR UNA FUNCIN POTENCIAL.

bxay = Para determinar los parmetros a y b, se procede como sigue.

La expresin bxay = se reduce a forma lineal tomando logaritmos: xlnbalnyln * += .

Sobre la expresin anterior se opera un ajuste lineal:

llamando ubAv

alnAylnv

ylnvxlnu

+=

====

, es decir, se obtiene la

recta de regresin de V sobre U.



ndice Ficha

213

Se obtienen A y b ajustando una recta por mnimos cuadrados a la va-riable )Yln,X(ln)V,U( :

ubvAssb

2U

UV == . Finalmente se determina el parmetro a:

AeaAlnantiaalnA === .

Ejemplo 5.4.


ndice Ficha


214

AJUSTE POR UNA FUNCIN EXPONENCIAL.

xbay = Para determinar los parmetros a y b, se procede como sigue.

La expresin xbay = se reduce a forma lineal tomando logaritmos: blnxalnyln * += .

Sobre la expresin anterior se opera un ajuste lineal:

llamando BxAv

blnBalnAylnv

ylnv

+=

====

, es decir, se obtiene la

recta de regresin de V sobre X.



ndice Ficha

215

Se obtienen A y B ajustando una recta por mnimos cuadrados a la variable )Yln,X()V,X( :

xBvAssB

2X

XV == . Finalmente se determinan los parmetros a y b:

B

A

ebBlnantibblnBeaAlnantiaalnA

======

.

Ejemplo 5.5.


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216

Conceptos clave.

Ajuste Bondad de ajuste coeficiente de determinacin. Coeficiente de regresin. Correlacin Error cuadrtico medio (ECM). Principio mnimos cuadrados. Recta de regresin mnimo-cuadrtica Regresin Regresin no lineal Residuo Varianza de la regresin Varianza residual



ndice Ficha Texto

217

EJEMPLOS

Ejemplo 5.1. Se ha estudiado las calificaciones de 100 alumnos en dos

asignaturas: Estadstica (variable X) y Matemticas Financieras (variable Y),

obtenindose los siguientes datos: 110 2,5 10 0,5X Yx y S S= = = = Adems se sabe que el coeficiente de correlacin entre ambas es 0,85XYr = . Obtener la recta de regresin de Y/X.


ndice Ficha Texto


218

Ejemplo 5.2. Analizar la bondad de los ajustes efectuados en el ejemplo

anterior calculando la varianza residual, la varianza de la regresin y el co-

eficiente de determinacin. (Capacidad explicativa de la recta de regresin).



ndice Ficha Texto

219

Ejemplo 5.3. En la estimacin de los parmetros de un modelo de regresin

lineal se han obtenido los siguientes valores:

9,0r20s15s8y5x 22YXY ===== A partir de los datos anteriores determnese:

1. La varianza de X

2. La recta de regresin X/Y

3. La recta de regresin Y/X.

Solucin: 1) 12,5 2) a=-1, b=0,75 3) a =2, b =1,2


ndice Ficha Texto


220

Ejemplo 5.4. Dada la siguiente distribucin bidimensional:

X 1 2 6 6

Y 4 33 260 840

Realizar un ajuste potencial del tipo bix ay

*i =

Solucin: x 3i4y*i =



ndice Ficha Texto

221

Ejemplo 5.5. Dada la siguiente distribucin bidimensional

X 1 2 3 4

Y 2 4 8 16

Se pide:

a) Realizar un ajuste exponencial del tipo x* bay =

b) El error cuadrtico medio e interpretar el resultado obtenido.

Solucin: 0ECM)b2y)a x* ==


ndice Ficha Texto


222

Ejemplo 5.6. A partir de los siguientes datos de las variables X1, X2 y X3,

obtener:

X1 X2 X3

1 3 1

2 0 2

3 1 -1

4 -1 -1

a) El plano de regresin de X1/X2,X3 y la bondad del ajuste efectuado.

b) La matriz de correlacin.

c) El coeficiente de correlacin parcial entre X1 y X2.

Solucin: a) X1* = 3 - 0,5 X2 0,5 X3 2X

1

R = 1 c) r12.3= -1

TEMA 6 TASAS DE VARIACIN Y

NMEROS NDICES

Tasas de Variacin y Nmeros ndice.

ndice Ficha


224




6.1. Introduccin.

6.2. Tasas de variacin.

6.3. Nmeros ndices: clasificacin y propiedades.

6.4. ndices de precios y cantidades ms importantes.

6.5. Cambio de base, renovacin y enlace.

6.6. Deflactacin de series estadsticas.

Conceptos clave.

Ejemplos.



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225

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE.

Definir el concepto de nmero ndice y tasa de variacin. Estudiar los tipos de nmeros ndices complejos ms relevantes tipo Laspey-

res y Paasche, haciendo especial hincapi en los ndices de precios.

Acercar el perodo de referencia o la base de una serie de ndices al perodo

actual, operando cambios de base.

Enlace de series de ndices utilizando el cambio de base. Deflactacin de magnitudes econmicas expresadas en u.m. corrientes, utili-

zando ndices de precios.


ndice Ficha


226




Tema 5 para tema 6. (Con ejercicios, cuestiones de autoevaluacin y

problemas resueltos y propuestos).



Captulo 7.



ndice Ficha

227

6.1. INTRODUCCIN.

Los instrumentos que se van a definir, servirn para medir la evolucin del

valor de una variable en el tiempo o en el espacio.

Normalmente se tratar de variables de tipo socioeconmico. Una variable

de esta naturaleza se denominar magnitud.

Se comparar el valor de una magnitud en dos situaciones (habitualmente

temporales):

Situacin inicial: perodo de referencia o BASE, se denotar por 0

Situacin final: perodo actual que se pretende comparar con el base,

se denotar por t


ndice Ficha


228

TIPOS DE MAGNITUDES:

MAGNITUD SIMPLE: variable unidimensional

T,,...2,1,0t:y,...,y,,...y,y:Y Tt10=

perodos

valores

MAGNITUD COMPLEJA: variable n dimensional

( )

)y...,,y...,,y,y(t

)y...,,y...,,y,y(0Y...,,Y...,,Y,Y

ntitt2t1

0n0i2010

ni21

perodo

perodo:valores



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229

6.2. TASA DE VARIACIN.

Sea Y magnitud simple y sean los valores t1t0 yy,y e .

Tasa de variacin de 1yy

yyyYTVt)1t(

1t

t

1t

1ttt

t1t ===

Tasa de variacin de 1yy

yyyTVt0

0

t

0

0tt0 ==

TASAS DE VARIACIN EN TANTO POR UNO

(X 100) EN PORCENTAJE


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230

6.3. NMEROS NDICES. CLASIFICACIN Y PROPIEDADES.

6.3.1 Definicin y clasificacin.

NMERO NDICE: medida estadstica de tipo relativo (en tanto por uno o

porcentaje) que sirve para comparar el valor de una magnitud (variable) en

dos situaciones, una de las cuales se considera de referencia (base).

Los nmeros ndices se escriben en PORCENTAJE, tomando como referencia

el 100.

)iones(ponderaciPONDERADOS

PONDERARSINCOMPLEJOS

SIMPLES

NDICESNMEROS



ndice Ficha

231

6.3.2.

Diez Garcia Rafael - Guia Didactica de Estadistica Descriptiva Para Las Cs

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