Historias de MatemticasEuler y la Conjetura de Fermatsobre Nmeros Triangulares

Jos Manuel Snchez MuozRevista de Investigacin

G.I.E

PensamientMatemtic

ISSN 2174-0410

11 de abril de 2011

Resumen

Este artculo describe la historia de como Euler demostr la existenciade infinitos nmeros triangulares bicuadrticos, desde su correspondenciacon su amigo Christian Goldbach hasta la publicacin de sus resultados enla Academia de San Petesburgo.

1. La Conjetura

Podemos considerar sin lugar a equvocos que el gran genio matemticofrancs Pierre de Fermat fue quizs junto a su amigo y coterrneo Ren Des-cartes una de las principales figuras de las matemticas de la primera mitaddel siglo XVII.

Fermat acostumbraba a estudiar problemas sobre propiedades de nmeros.En sus lecturas de la Arithmetica de Diofanto, a menudo realizaba anotaciones,desafortunadamente muchas de ellas sin demostracin, que en multitud deocasiones se convertiran en conjeturas unas veces, y en teoremas otras.

En una de estas anotaciones se presenta el problema que ms adelante, yaen el segundo cuarto del siglo XVIII, el prolfico matemtico suizo LeonhardEuler, animado por su gran amigo y confidente Christian Goldbach, refutara.Fermat conjetur que

Ningn nmero triangular entero es un bicuadrado

es decirx(x+ 1)

26= n4

1

Historias de Matemticas - Euler y la Conjetura de Fermat sobre Nmeros Triangulares Jos Manuel Snchez Muoz

2. Euler y su correpondencia con Goldbach

A lo largo de la historia de las matemticas hay personajes que escribieroncon letras de oro la evolucin y los nuevos descubrimientos y avances de lamisma, a los que admiramos por el ingenio de sus demostraciones o la efecti-vidad que nos revelan sus aplicaciones. Desafortunadamente Christian Gold-bach no se encuentra dentro de este grupo de elegidos, pero no por ello deja detener importancia y significado dentro de la historia de las matemticas.

Euler y Goldbach se conocieron en 1727, tras la llegada del segundo a SanPetesburgo, poco antes de su nombramiento como tutor del zar Pedro II, siendoEuler un joven de tan slo 20 aos, y Goldbach, 17 aos mayor que l, Secreta-rio de la Academia de Ciencias. Comenzaron entonces una relacin de amistady confidencialidad que durara hasta la muerte de Goldbach, y que di comofruto multitud de los resultados que Euler present a lo largo de toda su vi-da. Goldbach comprenda mejor que nadie las implicaciones de los aportes deFermat a la teora de nmeros, y sera injusto no reconocer el mrito que tu-vo sobre la figura de Euler estimulndole en multitud de investigaciones queeste llev a cabo, apuntando certeramente hacia donde deban centrarse susesfuerzos.

Para ser justo, debemos decir que las conjeturas que Goldbach presentaba aEuler en su correspondencia no siempre eran vlidas. Precisamente el proble-ma que tratamos en este artculo es uno de estos casos. En una de lasmultitudescartas de su correspondencia mutua, Euler expone que poda probar que exis-ten infinitos nmeros raciones x para los cuales x(x+1)2 = n

4, en particular leexpuso a Goldbach el caso x = 3249 , para el que:

x(x+ 1)2

= n4 =

(67

)4

Goldbach respondi enseguida que haba enviado a Daniel Bernoulli desdeMosc una carta con una demostracin del mencionado teorema de Fermat, yde su demostracin se poda afirmar que los nmeros triangulares enteros dife-rentes del 1 y del 36 no podan ser cuadrados. A Euler este hecho le resultmuychocante y se puso a trabajar en una demostracin que lo refutara. Tras pocosdas Euler haba dado con la demostracin que buscaba. Lleg a ella medianteel estudio profundo de las soluciones enteras de las ecuaciones diofnticas deltipo x2 + x+ = y2 y el importantsimo caso estudiado por Fermat y Wallisx2 dy2 = 1 donde d no es un cuadrado (*).

3. Los nmeros triangulares bicuadrados

Aparentemente la existencia de infinitos nmeros triangulares que son cua-drados perfectos no resulta tan evidente como Euler nos puede haber hechocreer. Se trata de probar que existen infinitos pares de enteros (m, n) que solu-cionan la ecuacin:

m2 =n(n+ 1)

2

Revista Pensamiento Matemtico- Nmero 0 - Abr11ISSN 2174-0410

2

Historias de Matemticas - Euler y la Conjetura de Fermat sobre Nmeros Triangulares Jos Manuel Snchez Muoz

transformemos la ecuacin, de tal forma que lleguemos a una ecuacin queinjustificadamente Euler llam Tipo Pell, y decimos injustificamente puesto queel matemtico ingls John Pell1 a quien Euler alude, no trat este asunto jams.

m2 = n(n+1)2 2m2 = n2 + n 8m2 = 4n2 + 4n 8m2 + 1 = 4n2 + 4n+ 1 8m2 + 1 = (2n+ 1)2 (2n+ 1)2 8m2 = 1

Podemos observar que esta ltima es la ecuacin de Pell con x = 2n+ 1,y = m, y d = 8. Se puede comprobar que una solucin se obtiene para n =m = 1, es decir (x0, y0) = (1, 3).

Con respecto a esta ltima ecuacin, ya anteriormente Brahmagupta en elsiglo VII la haba estudiado, y al parecer haba aparecido por primera vez enla historia con el problema de los bueyes de Arqumedes. Esta ecuacin fueresuelta en algunos casos particulares por el matemtico Bashkara, hind comoBrahmagupta, en el siglo XII.

Respecto a la ecuacin de Pell, se conoce un resultado, no fcilmente de-mostrable, que expresa lo siguiente:

Sea d un nmero entero que no es cuadrado perfecto. Si el par deenteros (x0, y0) es una solucin de la ecuacin de Pell x2 dy2 = 1,entonces existen infinitas soluciones (xn, yn) de la ecuacin, dadaspor la frmula:

xn +dyn = (x0 +

dy0)

n

Si aplicamos este resultado a nuestro caso, y consideramos como solucininicial (x0, y0) = (3, 1):

xn + 22yn = (3+ 2

2)n =

n

k=0

(n

k

)3nk(2

2)k =

= 02kn

(n

k

)3nk(2

2)k +

02k+1n

(n

k

)3nk(2

2)k =

= 02kn

(n

k

)3n2k(2

2)2k +

02k+1n

(n

k

)3n2k1(2

2)2k+1 =

02kn

(n

k

)3n2k 82k +

02k+1n

(n

k

)3n2k1 82k

1John Pell fue un matemtico ingls que vivi durante el siglo XVII. El caso es que no est muyclaro por qu este tipo de ecuaciones llevan su nombre. Al parecer el error lo cometi Euler alasociar un mtodo de resolucin de este tipo de ecuaciones a Pell en vez de a William Brouncker,el verdadero propietario de dicho mtodo de resolucin, que fuera presidente de la Royal Society.En su poca Euler era un escritor muy ledo, por lo que la inclusin de este fallo en alguna de suspopularsimas obras, provoc que esta asociacin errnea se propagara con gran rapidez.

Revista Pensamiento Matemtico- Nmero 0 - Abr11ISSN 2174-0410

3

Historias de Matemticas - Euler y la Conjetura de Fermat sobre Nmeros Triangulares Jos Manuel Snchez Muoz

entonces se obtienen las infinitas soluciones (xn, yn) tales que:

xn = 02kn

(n

k

)3n2k 82k

yn = 02k+1n

(n

k

)3n2k1 82k

4. La publicacin de Euler y sus resultados

La demostracin dada por Euler de la conjetura de Fermat sobre los nme-ros triangulares bicuadrticos fue presentada parcialmente en varias asambleasde la Academia de Ciencias de San Petesburgo. El artculo de Euler Regla sim-ple para resolver fcilmente ecuaciones diofnticas en enteros fue presentado a laAcademia el 15 de mayo de 1778. Euler dedic muchos esfuerzos al anlisisparticular de la ecuacin diofntica (*) y ms tarde convenci a Lagrange paraque continuara sus estudios, que condujeron a la teora general de las ecuacio-nes binarias cuadrticas con coeficientes enteros:

ax2 + bxy+ cy2 + dx+ ey+ f = 0

Euler y Lagrange comprendieron que la solucin de este problema generalestaba ligada a la representacin de enteros en formas cuadrticas:

n = ax2 + bxy+ cy2

lo que di mayor atractivo al problema, tan ingenuamente tratado por Gold-bach. La existencia siempre de solucin en enteros de la ecuacin (*) fue de-mostrada por Lagrange en 1770.

Referencias

[1] BOYER, Carl Benjamin. Historia de la Matemtica, pp. 241, 286, 485, AlianzaEditorial, Madrid, 2010.

[2] ESCANDN MARTNEZ, Covadonga. Historia de la ecuacin de Pell,http://astroseti.org/articulo/3594/historia-de-la-ecuacion-de-pell

[3] SNCHEZ FERNNDEZ, Carlos, y ROLDN INGUAZO, Rita. Goldbach. Unaconjetura indomable, Coleccin: La matemtica y sus personajes, pp. 6266,1a ed. Nvola, Madrid, 2009.

Esta obra est registrada

INFORMACIN SOBRE

DERECHOS

1102018390582

Revista Pensamiento Matemtico- Nmero 0 - Abr11ISSN 2174-0410

4

La ConjeturaEuler y su correpondencia con GoldbachLos nmeros triangulares bicuadradosLa publicacin de Euler y sus resultados