Diagramas de Bode Paso a Paso
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1
Diagramas de Bode
Respuesta En Frecuencia
Ing. William Marín MorenoIng. William MarIng. William Maríín Morenon Moreno
Generalidades
Es un diagrama asintótico: se puede aproximar fácilmente trazando líneas rectas (asíntotas).Presenta la respuesta de 1Magnitud y 2Fase con la variación de la Frecuencia de una función de transferencia.Tanto las escalas abscisas como la magnitud misma se representa en unidades logarítmicas.
2
Decibeles (dB)
P1
P2
+
V1
-
+
V2
-
Amplificador
Unidad logarítmica utilizada para escalas de magnitud.
Ideado por los Ingenieros de Sistemas telefónicos por la necesidad de medir si se requieren amplificadores en una línea telefónica.
Si la línea es muy largaRL >> Rr se
requiere de un amplificador para que el mensaje se escuche con claridad
Decibeles (dB)El oído humano es un mecanismo logarítmico:La intensidad de un sonido, es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda sonora. La intensidad del sonido es una cantidad objetiva, que se puede medir por medio de diversos instrumentos, como por ejemplo un osciloscopio. Por otro lado, la sonoridad es una sensación fisiológica que difiere de una persona a otra. La sonoridad es subjetiva, pero estárelacionada con la intensidad del sonido.
Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Fletcher-Munson_curve
http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson-Dadson_curves
ISO 226 :2003
3
Debido a que la sensación fisiológica de fuerza sonora no varía directamente con la intensidad, sino que su dependencia es más bien de tipo logarítmico, se utiliza una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora.
Decibeles (dB)
El máximo recomendado 85dB durante 8 horas
1
2logPPB =
Potencia de salida amplificada
Potencia de salida SIN amplificar
Decibeles (dB)Por esa razón los controles de volumen de los equipos de sonido son logarítmicos !!!!!!Siendo que el oído humano es logarítmico, si P2 es el doble que P1, el sonido del mensaje no se escuchará dos veces más alto, sino que seráligeramente mayor.Sabiendo esto, los ingenieros telefónicos midieron la efectividad de los amplificadores en unidades logarítmicas, y definieron el BELIO:
4
1
2
2
1
2
1
2 log2loglogVV
VV
PPB =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
RRVP
22
2 =RR
VP2
11 =
1
2log210 V
VB=
1
2log20VVdB =
Puesto que
Pero el BELIO es una unidad muy grande, por lo que se utilizan las décimas de Belio, el decibelio (dB)
Decibeles (dB)
Decibeles (dB)
5
Construcción del Diagrama de Bode
Escala Vertical: ganancia(dB)=20 log|Vout/Vin|Escala Horizontal: x = log f
Para construir la gráfica de Bode, primero se debe normalizar la ecuación de la función de transferencia, esto es, escribirla de forma tal que contenga:
•Constantes.•Ceros en el origen.•Polos en el origen.•Ceros finitos•Polos Finitos
Cada uno de los términos anteriores, debe expresarse tal que cada término polo o cero contengan una ganancia DC=0Así, la función de transferencia debe quedar escrita de la forma normalizada, por ejemplo:
Construcción del Diagrama de Bode
)1(
)1('*
)1(
)1(*
)()()(
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+=
+
+=
++
=
Pjj
Zj
KP
jj
Zj
PKZ
PjjZjKH ωω
ω
ωω
ω
ωωωω
Los polos y ceros cuadráticos conjugados requieren una notación diferente
6
Construcción del Diagrama de Bode
En una forma más general, una ecuación de bode queda como:
[ ][ ]...)(21)1(
...)(21)1()()( 21
21
1
nn
kk
jjpjjjzjjKHωωωωζω
ωωωωζωωω+++
+++=
±
Polo o cero en el origen
cero simple (finito)cero cuadrático
Con esto, graficar)(log20 ωH
Constantes
K<0
7
n
b
1
s⎛ ⎞⎜ ⎟ω⎝ ⎠ ωb
0 dbpendiente=-20n db/dec
Magnitud Fase
-90n°
n
b
s⎛ ⎞⎜ ⎟ω⎝ ⎠
ωb
0 dbpendiente=+20n db/dec
MagnitudFase
+90n°
Polos y ceros en el origen
n
b
1
s 1⎛ ⎞+⎜ ⎟ω⎝ ⎠
Fase0°
-90n°
0.1ωb
10ωb
ωb
0 dbpendiente=-20n db/dec
Magnitud
n
b
s 1⎛ ⎞+⎜ ⎟ω⎝ ⎠ pendiente=
+20n db/dec
ωb
0 db
Magnitud Fase
0°
+90n°
0.1ωb
10ωb
Polos y ceros simples
8
n2
b b
1
s 1 s 1Q
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Fase0°
-180n°
0.1ωb
10ωb
ωb
0 db pendiente=-40n db/dec
Magnitud
pendiente=+40n db/dec
ωb
0 db
Magnitud Fase
0°
+180n°
0.1ωb
10ωb
n2
b b
s 1 s 1Q
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Polos y ceros cuadráticos conjugados
Ceros FinitosAsíntota con Pendiente de 20 dB por década
w altaw baja
9
dBdB 8010log20 4 ==
dBdBdBdB
86806)4301.0(20)10log2(log2010*2log20 44
=+≈+=+==
6 dB más alta!!6 dB más alta!!
Octavas
En música, una octava (ocho notas) representa el doble de la frecuencia. La nota “la” media es de 440Hz y la siguiente “la” por encima (una octava más alta) es de 880Hz.Si para alta frecuencia se utiliza la aproximación dB = 20 log(w) y con una frecuencia w=104
Si duplicamos w (subimos una octava) tenemos
Asíntota con Pendiente de +6 dB por octava
Asíntota con Pendiente de+ 20 dB por década
Ceros Finitos
10
Ejemplo
( ) ( )( ) ( )2
1000 s 20 s 200G s
2 s 2 s 50 7500⋅ ⋅ ⋅ +
=⎡ ⎤⋅ + ⋅ + +⎣ ⎦
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
s200000 s 11000 s 20 s 200 10G s2 s 2 s 100 s 100002 s 2 s 50 7500
s s100000 s 1 10 s 110 10
s s s1 s 100 s 10000 11 1 100
⎛ ⎞⋅ ⋅ +⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ + ⎝ ⎠= =⎡ ⎤ ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅ + ⋅ + +⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟ + ⋅⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
2 1 S 11 100
⎡ ⎤⎞ + ⋅ +⎢ ⎥⎟⎠⎣ ⎦
ejemplo (Cont.)
( ) ( )2
4) Create the preliminary Magnitude plot of:
1s 1
G s1
1s 1 s 1
s
100 1 100
s 1100
11
1
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ + ⋅ +⎜ ⎟
⎠
+
⎝+
11
ejemplo (Cont.)
( ) ( )2
5) Create the final Magnitude plot by shifting vertically by the gain term:
G s 10
The final Magnitude plot
s 1s 1 110s1 1 s 1 s1 11 100 1 100
p
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟ + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
=
lot is:
ejemplo (Cont.)
( ) ( )21
s 111
s 1 s 1100 1 100
6)
1
0
Create the Phase plot o
s1
s 110
f:
G s1
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎞ + ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋅ +⎠
+
⎜ ⎟⎝
+
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Comparando con la curva REAL
2log201log201log20 =+=+=
jajw
aw
dB32log10 ==
Curvas reales
Las curvas reales no siguen las asíntotas con la brusca variación en la frecuencia de corte ω = a.
Se debe entonces realizar una correción de la curva en la frecuencia de corte ω = a. de +3dB
13
Curva Real
118.1log205.01log201log202
=+=+=
jajw
aw dB1+=
236.2log2021log201log202
=+=+=
jajw
aw
dB7+=
Curvas realesIgualmente para una octava por debajo del vértice ω = a/2.
Para una octava por encima del vértice ω = 2a.
Pero la curva asintótica ya alcanzó el valor de +6dB en este punto(20dB/dec = 6dB/octava), por lo que solo se hace un corrección de +-1dB en estas frecuencias.
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