Análisis de Sistemas Lineales “Diagramas de Bode” IV Ing. Rafael A. Díaz Chacón ASL/RAD/2001.
Diagramas de BODE
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Javier Quintero Orea 2
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
-
Javier Quintero Orea 3
Es un diagrama logartmico. Si H (w) es la funcin de transferencia entonces
w vs.
w vs.
H (w)
(w)
diagrama de magnitud.
ngulo de fase en frecuencia.
-
Javier Quintero Orea 4
10
Magnitud
Una funcin de transferencia se puede representar con dos
diagramas separados uno de la
magnitud en funcin de la
frecuencia (decibeles) y el otro
del ngulo de fase (grados).
La Magnitud logartmica de G( jw) es 20log G( jw) Decibel (db)
La unidad utilizada en esta representacin es el decibel,
abreviado usualmente como db.
-
Javier Quintero Orea 5
Disponemos de las asntotas de la curva
Adems multiplicacin de Magnitudes es una suma.
log( AB) log A log B
original para bosquejar la
curva.
Se pueden representar
las caractersticas de alta
y baja frecuencia en el
mismo diagrama.
-
Javier Quintero Orea 6
Angulo
de f
ase
ngulo de fase
Punto de Inflexin
0
-45
-90
Frecuencia w
-
Javier Quintero Orea 7
n n
Factores Bsicos
1. Ganancia k.
2. Factores integrales y derivativos ( jw) 1
3. Factores de primer orden
(1 jwT ) 1
4. Factores cuadrticos 1 2 ( jw / w
) ( jw / w ) 2 1
-
Javier Quintero Orea 8
Una vez familiarizado con el uso de estos diagramas logartmicos de cada factor, se pueden usar para haceruno compuesto para cualquier G( jw)H ( jw) trazandocurvas de cada factor y sumando grficamente las curvas individuales, ya que sumar logaritmos de magnitudes equivale a multiplicarlos entre s. El proceso de obtener el diagrama logartmico se puede simplificar ms aun si se usan aproximaciones asintticas a las c u r v a s d e c a d a f a c t o r .
G jw 10 jw 3
jw jw 2
jw 2 jw 2
-
Javier Quintero Orea 9
Ganancia K
La curva para 20log k 20log k es una lnea rectahorizontal para la ganancia k en la magnitud de
20 log k db. El ngulo de fase es cero.
Si se vara la ganancia k en la funcin de transferencia se eleva o desciende la curva del
logaritmo para no afectar el ngulo de fase.
Si aumentamos el valor numrico en factor de 10, el valor en decibeles aumenta un factor de
20.
-
Javier Quintero Orea 10
Ganancia K
Si expresamos el recproco de un nmero en decibeles 20 log k 20 log 1 k
-
Javier Quintero Orea 11
Para tener en cuenta
c a bi
Eje imaginario
c a bi a 2 b 2 b
c = a+bi
tan b
a
tan 1 b
a
a Eje real
-
Factor integral y derivativo jw 1
Javier Quintero Orea 11
-
Javier Quintero Orea 12
Termino jw 1
l a m a g n i t u d l o g a r t m i c a e n d e c i b e l e s e s
20 log 1 jw
20 log w db
El ngulo de fase de -90.
1
jw
es una constante igual a
-
Javier Quintero Orea 13
Mas conceptos
Octava: banda de frecuencias w1 a 2w1
Dcada: banda de frecuencias w1 a 10 w1
La distancia
w1 3 a
w1 30
es igual
w1 1 a
w1 10
-
Javier Quintero Orea 14
Pendien
Grfico jw 1
El grfico 20 log w db
es una recta.
Pendiente 20db / dcada
20 te
0
-20
-40
o 6db / octava
0.1 1
10 100
-
Javier Quintero Orea 15
Termino jw
l a m a g n i t u d l o g a r t m i c a e n d e c i b e l e s e s
20 log jw 20 log w db
El ngulo de fase de jw es una constante igual a 90.
-
Javier Quintero Orea 16
Grfico jw
El grfico 20 log w db
es una recta.
40 20
Pendiente 0
(0.1,20) (1,0) (10,20) (100,40)
Pendiente 20db / dcada -20
o 6db / octava
0.1
1 10 100
-
Angulo de fase jw 1
Javier Quintero Orea 17
-
Factor jw n
Para jw n
1Magnitud logartmica 20 log jwn
20 n log w db
Angulo de fase 90n
Para jw n
Magnitud logartmica 20 log jwn
20 n log w db
Angulo de fase 90n
Pendientes -20n db/dcada y 20n db/dcada
respectivamente y pasan por el punto (0 db en w =1).
Javier Quintero Orea 18
-
Factores de primer orden 1 jwT 1
Javier Quintero Orea 19
-
Javier Quintero Orea 20
Termino 1 jwT 1
l a m a g n i t u d l o g a r t m i c a e n d e c i b e l e s e s
20 log 1
20 log
1 w2T 2 db1 jwT
Si w 1 T
20 log
1 w2T 2
20 log
1 0 db
recta 0 db.
Si w 1 T
20 log
1 w2T 2
20 logwT db
lnea rectacon una pendiente -20 db/dcada (o -6 db/octava).
1 Si w 20 log
T 1 1 20 log 2 db 3,01 db
-
Javier Quintero Orea 21
Curva de logaritmo de la magnitud
1 jwT 1
-
Javier Quintero Orea 22
Angulo de fase
El ngulo de fase de esta dado por
1 jwT
1 jwT 1
1
Punto de Inflexin
tan 1 wT 0
w 1 T
-45
(w) tan1 (0) 0
T
-90
1/ T w
(w) tan1 tan1 (1) 45
(w) 45
T w
(w) tan 1 ()
tan( (w)) 90
-
Javier Quintero Orea 23
El error
20 log
1 0 db
20 log
1 w2T 2 db
20 logwT db
0
-1
-2
-3
1/10T 1/ 2T
1/ T 2 / T 10 / T
Note correccin mxima 3db en w = 1/T
-
Javier Quintero Orea 24
Termino 1 jwT
l a m a g n i t u d l o g a r t m i c a e n d e c i b e l e s e s
20 log 1
jwT
20 log
1 w2T 2 db 20 log 1
Si
w 1 T
20 log
1 w2T 2
20 log
1
1 0 db
jwT
recta 0 db.
Si w 1 T
20 log
1 w2T 2
20 logwT db
lnea rectacon una pendiente 20 db/dcada (o 6 db/octava).
1 Si w 20 log
T 1 1 20 log 2 db 3,01 db
-
Javier Quintero Orea 25
Curva de logaritmo de la magnitud
1 jwT
-
Javier Quintero Orea 26
Angulo de fase 1 jwT
El ngulo de fase de esta dado por
90
w 1 T
tan1 wT
45
0.01/ T
1/ T
10 / T
(w) tan1 (0) 0
(w) tan1 T T
1 tan (1) 45
w (w) tan1 ()tan( (w)) 90
-
Javier Quintero Orea 27
Factor 1 jw n
w 1 T
frecuencia de corte
w 1 T
recta horizontal 0 db
w 1 T
frecuencias altas, pendiente 20ndb/dcada o 20n db/dcada
(1 jwT )1 El error es n veces el correspondiente a .(1 jwT
)1
El ngulo de fase es n veces el de en cada punto de frecuencia.
-
Javier Quintero Orea 28
n
Factores cuadrticos
1 2 (
jw/
wn ) (
jw / w )2 1
-
Javier Quintero Orea 29
n
Generalizacin
1 2 ( jw / w
) ( jw / wn )2 1
a) Si 1 se puede escribir como dos de primerorden con polos reales.
b) Si
0 1 producto de dos factores complejosconjugados.
Las aproximaciones asintticas no son exactas paravalores bajos de
porque la magnitud y la fase delfactor cuadrtico dependen de la frecuencia de cruce y
del factor de amortiguamiento .
-
Javier Quintero Orea 30
n
w
2
2
Factor 1 2 ( jw / w
) ( jw / wn )2 1
la magnitud logartmica en decibeles es
2 2
1 w2 w
20 log
1
2 w
2
w
20 log
1 2 n
2
wn
j j wn
wn
2
2
w w
20 log 1 w
2
w 20 log1 0 Si n w
n
wn
db recta 0 db.
2
2 2 2
w w 20 log
w 22 2
w 20 log
w 40 log
w
Si n w 2
w 2 w
2 w db
n n n n
lnea recta con una pendiente -40 db/dcada.
-
Javier Quintero Orea 31
Si la asntota de alta frecuencia corta a la de
baja en
w wn
40 log wn db 40 log 1 db 0db wn
-
Javier Quintero Orea 32
Las asntotas determinadas en la diapositivaanterior son independientes de . Encercana de w wn se produce un pico deresonancia y el factor determina lamagnitud de ese pico. Hay error en la
aproximacin de asntotas y el valor del error
depende de y es grande para pequeos.
-
Javier Quintero Orea 33
n
w
Magnitud para 1 2 ( jw / w
) ( jw / wn )2 1
db
0.1
0
0.1
w
wn
-
n
2
2
2 0
w n
Angulo de fase
El ngulo de fase de esta dado por
1 2 ( jw / w
) ( jw / wn )2 1
2 w
1 w tan 1 n
w w w
1 2 j j 1 wn wn wn
-90
Si w 0 tan1
(0) 0
-180
Si w wn tan 1
2 tan
1 90
Si w
w
0 w
1 wn
w
lim wn
0 0 tan
1 0 180w w
1 0 1
2 33
Javier Quintero Orea
-
Javier Quintero Orea 34
-
Javier Quintero Orea 35
Ejemplo
Trace el diagrama de bode para las siguiente funcin de transferencia:
G jw 10 jw 3
jw jw 2
jw 2 jw 2
-
Javier Quintero Orea 36
7.
Paso 1 Se pone G(jw) en forma normalizada, donde los factores
de primer orden y el factor de segundo orden estn en
lnea con 0db
10
jw 1
G( jw) 10( jw 3) 3 3
( jw)( jw 2)( jw)2 jw 2
jw
( jw) 2
jw 2( jw)1 2
2 2 1
2
jw 5 1
3
jw ( jw)2 jw
( jw)1
2 2
12
-
Javier Quintero Orea 37
7.
2
Paso 2
Identificar los factores que componen la funcin
jw 5 1
G( jw) 3
jw ( jw)2
jw ( jw)1
2 2 1
2
Compuesta por:
( jw)1 ; 1 j w
; 1
1 1
( ) 2 ;
7.5; j
w
jw
jw 1
3 2 2
-
Javier Quintero Orea 38
c
Paso 3
Hallar las Frecuencias de corte segn el factor
w 1 1 1
1 j 1 jw wc 3 1
1 jwT wc
T
3 3 13
1 jwT 1 j
w
2
1 jw 1
w 1
2 2 1
2
-
Javier Quintero Orea 39
jw
jw
1 2
2
2 wc
Cuando
w wn wn wn
jw 2 jw 2
jw jw( ) 1
2 1 w 22 2 2 2 2
c
jw 2 jw
jw 2 jw
1 2 1 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 4
0,3536
-
Javier Quintero Orea 40
Paso 4
Se hayan los valores aproximados de cada uno de los
factores de la funcin
-
Javier Quintero Orea 41
Paso 5
Se grafica cada una de las funciones independientemente.
40
30
20 1
17.5
14 3
2.41
0
-3.52
-6.02
-10
4
-20
5 2
0.4 0.6 1 1.53 2 3 4
-
Javier Quintero Orea 42
Paso 6
La funcin de transferencia G(jw) resulta de la suma de las funciones
40
30
20
17.5
14
2.41
0
-3.52
-6.02
-10
-20
G(jw)
Curva exacta
0.4 0.6 1 1.53 2 3