1. Métodos de Respuesta en Frecuencia (RF) Diagramas de Bode 2 2.
57
Autor: Mario A. Jordán Fundamentos de Control Realimentado NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2014. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007 Clase 22-24 Versión 1 - 2014 1
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Autor: Mario A. Jordán
Fundamentos de Control Realimentado
NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2014. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la
Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones.
Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007
Clase 22-24 Versión 1 - 2014
1
Contenido:
Métodos de Respuesta en Frecuencia (RF)
Respuesta Frecuencial en elDiseño de Sistemas de Control
Diagramas de Bode
Propiedades de Estado Estacionario
Estabilidad Marginal
Relación de polos y ceros con Magnitud y Fase de la RF
2
2
Contenido
La Respuesta Frecuencial de un Sistema de Control puede estudiarse mediante varios métodos:
Diagramas de Bode (Magnitud y Fase vs. frecuencia)
La Respuesta Frecuencial de un Sistema Dinámico alude asu comportamiento en estado estacionario para entradas senoidales de distintas frecuencias puras.
Diagrama de Nyquist
Carta de Nichols
Ploteo de la curva inversa de Nyquist
3
Respuesta de un Sistema Dinámico a una senoide
y(t’)=|0| sen( t’ +)
Existe desfasaje entre u e y
Cambio de amplitud entre u e y
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tiempo-2
2
3
4
0
1
-1
Transitorio
Estado permanenteu(t)=sen(t)
Las frecuencias de la salida y entrada son las mismas
4
y(t) = a1 e-2 t + a2 e
-2 t +
+ |0| sen( t + (0))
Realizamos el siguiente experimento:
a) Se excita una planta dinámica LTI con una señal senoidal de amplitud 1 y frecuencia b) Se observa su salida un periodo largo de tiempo
Fundamento de los Métodos de RF
Sea el sistema dinámico estable con entrada/salida:
Y(s) = G(s) U(s)
Contémplese una entrada:
u(t) = A sen (w0t) 1(t)
donde:
U(s)=Aw0
s2+w02
Si Y(s) se decompone en fracciones parciales:
y
Y(s)=a1
s-p1
+a2
s-p2
+ …+an
s-pn
+a0
s+jw0
+ a0*
s-jw0
y(t) = [a1 e p1t + a2 e p2t + …+ an e
pnt + 2 |a0| sen (w0 t+f)] 1(t)
y se anti-transforma en Laplace, se encuentra la respuesta temporal:
G(s)=sn+ b1sn-1+ …+bm
sm+ a1sm-1+ …+an
5
Fundamento de los Métodos de RF
De manera general se tiene que la relación de amplitudes 2|a0|/A y la fase f o desfasaje de la salida respecto a la entrada en estado permanente, para toda frecuencia 0 desde cero a infinito, responden a:
M = G(jw0) = |G(s)|s=jw0
= (Re(G(jw0)))2 + (Im(G(jw0)))
2
f = tan-1Im(G(jw0))
Re(G(jw0))= G(jw0)
En forma polar:
G(jw0) = M e jf
donde G(jw) es la Función de Transferencia Frecuencial en estado permanente y es la base para la construcción de todos los métodos enel dominio frecuencial para sistemas lineales invariantes en el tiempo.
6
Ventajas de los Métodos de RF
diseños de SC con compensación dinámica de manera muy sencilla y transparente,
compensaciones por realimentación para mitigar el efecto de incertidumbres,
la identificación de un sistema dinámico en forma sencilla a través de respuestas a entradas sinusoidales de distinta frecuencia. Para cada frecuencia del experimento se mide la relación de amplitudes entre la salida y la entrada, y el desfasaje entre la entrada y la salida. Con esta información se construye G(j) identificando sus polos y ceros fácilmente,
El análisis y diseño de sistemas dinámicos con retardos puros es más eficiente a diferencia de los métodos vistos anteriormente.
El diseño de un SC basado en RF permite realizar:
7
Diagrama de Bode
El Diagrama de Bode es la representación de la ganancia M(jw) y de
la fase f (jw) en función de la frecuencia w.
La frecuencia w se representa en la abscisa en escala logarítmica.
La ganancia M(jw) se representa en ordenadas generalmente en una escala en decibeles (dB) o decibelios definidos como:
M = G(jw) 10 MdB/20=
donde el valor MdB en ordenadas se corresponde con M en escala lineal a través de la relación inversa:
MdB = 20 log10 (M)
Ejemplo: 40dB = 20 log10 (102), es decir: M=100
Otro ejemplo: -20dB= 20log10 (10-1), es decir: M=0.1
Ganancia
FCR Mario Jordán8
Por qué?
?
K (jw-z1) (jw-z2) … (jw-zm)
(jw-p1) (jw-p2) (jw-p3) … (jw-pn)log10 |G(jw)| = log10
= log10 |K| + log10 |jw -zi| - log10 |jw -pi|
Por un lado la simplicidad de tratar con términos en lugar de factores:
Por otro lado en Electrónica se define una ganancia entre potencias en un circuito en un misma impedancia Z0, en donde si P1/P2=10=10 dB
MdB = 10 log10 (P2/P1) = 10 log10 (V22 / Z0 V1
2 / Z0)
= 10 log10 (V2/ V1)
2 = 20 log10 (V2 / V1)
Diagrama de BodeGanancia
Sea una FT G(jw), la cual se puede factorear en factores simples:
Luego, en escala lineal:
G(jw) =K (jw-z1) (jw-z2) … (jw-zm)
(jw-p1) (jw-p2) (jw-p3) … (jw-pn)
9
K (jw-z1) (jw-z2) … (jw-zm)
(jw-p1) (jw-p2) (jw-p3) … (jw-pn)M(j) (dB) =20 log10
y en escala logarítmica en dB:
M(jw) = =K w2+z1
2 w2+z22 … w2+zm
2
w2+p12 w2+p2
2 … w2+pn2
|K| |jw-z1| |jw-z2| … |jw –zm|
|jw-p1| |jw-p2| |jw-p3) … |jw –pn|
=20 log10 |K| + 20 log10 |jw –zi | - 20 log10 |jw –pi |
m
i=1
n
i=1
Diagrama de Bode
Sabemos que la fase f (jw) es:
Fase
f = tan-1Im(G(jw))
Re(G(jw))= G(jw)
Sea la misma FT G(jw) del caso anterior:
G(jw) =K (jw-z1) (jw-z2) … (jw-zm)
(jw-p1) (jw-p2) (jw-p3) … (jw-pn)
Luego:
f (jw) = i=1 - i=1 m n
(j w - zi ) (j w - pi )
o también:
f (jw) = i=1 - i=1 m n
tan-1( w /-zi )
tan-1 ( w /-pi )
FCR Mario Jordán10
Diagrama de BodeReglas para calcular la Fase
Ejemplo 1) Si consideramos el factor (jw –zi ) y zi =-2, entonces vale:
(jw +2)= tan-1 ( /w 2)
s
jw
f2
ww 0+ f 0o
w + f 90o
Re 2 Im 0+
Re 2 Im +Ejemplo 2) Si consideramos el factor 1/(jw -pi) y pi=-3, entonces vale:
sjwf
3
ww 0+ f 0o
w + f -90o
Re 3 Im 0 -
Re 3 Im -
Ejemplo 3) Si consideramos el factor (jw -zi) y zi=4, entonces vale:
(j w - 4) = tan-1 ( w /-4)jw
sf-4
ww 0+ f +180o
w + f +90o
Re -4 Im 0+
Re -4 Im +
(jw +3)= -tan-1 ( /w 3) -
FCR Mario Jordán
Si w varía de 0 a :
Si w varía de 0 a :
Si w varía de 0 a :
11
Cero estable
Polo estable
Cero inestable
Diagrama de Bode
Reglas para calcular la Fase (continuación de ejemplos)
Ejemplo 5) Si contemplamos el factor (jw), entonces vale:
(jw) = tan-1 ( /0w )
w 0+ f 90o
w + f 90o
Re 0 Im 0Re 0 Im +
Ejemplo 6) Si contemplamos el factor 1/(jw), entonces vale:
w 0+ f -90o
w + f -90o
Re 0 Im 0Re 0 Im -
Ejemplo 4) Si contemplamos el factor 1/(jw-pi) y pi=2, entonces vale:jw
s
f
-2
ww 0+ f -180o
w + f -90o
Re -2 Im 0+
Re -2 Im +
s
jw
w
s
jw
w
(jw) = -tan-1 ( /0w )-
(j w -2)= -tan-1 ( w /-2)
FCR Mario Jordán
Si w varía de 0 a :
Si w varía de 0 a :
Si w varía de 0 a :
12
Polo inestable
Derivador
Integrador
Diagrama de Bode
Reglas para calcular la Fase (continuación de ejemplos)
Ejemplo 7) Analicemos una constante real positiva c, entonces vale:
w 0+ f 0o
w + f 0o
Re c Im 0Re c Im 0
c = tan-1 (0 / c)
FCR Mario Jordán
Si w varía de 0 a :
13
Ganancia positiva
Ejemplo 8) Analicemos una constante real negativa -c, entonces vale:
w 0+ f 180o
w + f 180o
Re -c Im 0Re -c Im 0
-c = tan -1 (0 /-c) Si w varía de 0 a : Ganancia negativa
s
jw
fc
w
jw
s
f
-c
w
Módulo y Fase: 2 polos complejos conjugados
Analicemos una planta sub-amortiguada de segundo orden:
Módulo:
Fase:
f-
wn2
jw
s
2wn2
14
-80
-60
-40
-20
0
20
10-2 10-1 100 101 102-180o
-135o
-90o
-45o
0o
Ga
nan
cia
(d
B)
Fa
se (
Gra
dos)
Lecturas sobre el Diagrama de Bode
G (s)=1
s2+s+1Sea la planta:
u(t)=2sen(10t), cuál es la salida?
y su diagrama de Bode. Sea una entrada:
G(j10) =0.01
-174o
G(jw)=10 dB/20
para w=10 rad/s
w
=wn
=wn
15
y(t)=10 -40dB/20 2 sen(10 t - 1740/1800 )
=0.02 sen(10t -3.03)
G0(s)=6s+3
(s+1) (s+3)G1(s)=
6s-3
(s+1) (s+3)
G2(s)=-(6s+3)
(s+1) (s+3)G3(s)=
-(6s-3)
(s+1) (s+3)
Diagramas de Bode
Igual magnitud, distinta faseCaso Particular:
Sean las funciones de transferencia: G0, G1, G2 y G3
G0(jw)=3+6jw
(1+jw) (3+jw)
G1(jw)=-3+6jw
(1+jw) (3+jw)
G2(jw)=-(3+6jw)
(1+jw) (3+jw) G3(jw)=
-(-3+6jw)
(1+jw) (3+jw)
FCR Mario Jordán
y sus Funciones de Transferencia Frecuencial son:
16
FM FNM
FNM + K<0FM + K<0
Diagramas de Bode
Igual magnitud, distinta faseCaso Particular:
Las ganancias M de: G0, G1, G2 y G3 son:
M0(w)= 32+62w2
(1+w2) (32+w2)
M1(w)= 32+62w2
(1+w2) (32+w2)
M2(w)= 32+62w2
(1+w2) (32+w2)
M3(w)= 32+62w2
(1+w2) (32+w2)
FM
FNM
FNM + K<0
FM + K<0
G0(jw)=3+6jw
(1+jw) (3+jw)
G1(jw)=-3+6jw
(1+jw) (3+jw)
FCR Mario Jordán
G2(jw)=-(3+6jw)
(1+jw) (3+jw)
G3(jw)= -(-3+6jw)
(1+jw) (3+jw)
17
Diagramas de Bode
Igual magnitud, distinta faseCaso Particular:
Y sus fases son:
G0(jw)=3+6jw
(1+jw) (3+jw) f0 (w) = tan-1 6w
3- tan-1 w
1- tan-1 w
3
f1 (w) = tan-1 6w-3
- tan-1 w1
- tan-1 w3
G1(jw)=-3+6jw
(1+jw) (3+jw)
f2 (w) =180 + tan-1 6w3
- tan-1 w1
- tan-1 w3
f3 (w) =180 + tan-1 6w-3
- tan-1 w1
- tan-1 w3
FCR Mario Jordán
G2(jw)=-(3+6jw)
(1+jw) (3+jw)
G3(jw)= -(-3+6jw)
(1+jw) (3+jw)
18
FM
FNM
FNM + K<0
FM + K<0
10-2 10-1 100 101 102-90o
0o
90o
180o
270o
360o
-25
-20
-15
-10
5
0
5
Ga
nan
cia
(d
B)
Fa
se (
Gra
dos)
G0(s)=6s+3
(s+1) (s+3)G1(s)=
6s-3
(s+1) (s+3)
Diagramas de Bode
Igual magnitud, distinta fase
Caso Particular:
w
G2(s)=-(6s+3)
(s+1) (s+3)G3(s)=
-(6s-3)
(s+1) (s+3)
19
FM FNM FM + K<0 FNM + K<0
FM
FNM
FNM + K<0FM + K<0
Am
plit
ud
(dB
)
z = 0.01
-80
-60
-40
-20
20
40
0
10-2 10 100
101
102 -1
Especificaciones en la Frecuencia
Sea un sistema dinámico se llama ancho de banda hasta la frecuencia
wb para la cual la atenuación de la salida representa 0.707 (o sea -3 dB)
/w wn
Ancho de banda wb
wb
-3 dB
Pico de resonancia Mr
Mr y wb son especificaciones en la frecuencia, análogas a tr , Mp y ts .
12zmax Mr =
-20 log10(2z) (dB)
Mr= /G(wn)/-/G(0) /=(1-2z)/2z
20
Reglas para construir un Diagrama de Bode
Sea el sistema dinámico general expresado en forma factoreada:
FCR Mario Jordán
G(jw)=(jw) (jwtj+1)… [ (s/w2)2+2z2(s/w2)+1]
K (jwti+1)… [(s/w1)2+2z1(s/w1)+1]= M(w) q(w)
G(jw)=K r1 ejy1 r2 ejy2 … rm ejym
q1 ejf1 q2 ejf2 … qn ejfn=
K r1 r2 … rm
q1 q2 … qn
e j(y1+…+ym - f1…-fn)
log10 G(w) = log10 r1 + log10 r2 + …+ log10 rm -
- log10 q1 - log10 q2 - … - log10 qn
o en decibeles dB:
La ganancia en escala logarítmica es:
20 log10 G(w) = 20 log10 r1 + 20 log10 r2 + …+ 20 log10 rm -
- 20 log10 q1 - 20 log10 q2 - … - 20 log10 qn
q(w)
21
Características de la escala logarítmica
log10 w
10-1 100 101 102103
1 década
2x101 4x101 8x101
1 oc
tava
1 oc
tava
1 oc
tava
Nunca se marca el cero!
Abscisas de frecuencia
Ordenadas de magnitud
| M(w)|
10-1 100 101 102103
1 década
2x101 4x101 8x101
1 oc
tava
1 oc
tava
1 oc
tava
Nunca se marca el cero!
Ordenadas de ganancia en dB
La escala es logarítmica.Una octava es equivalente a una duplicación de laganancia.
La escala es lineal
Una octava representa una duplicación de la frecuencia
22
| M(w)| en dB
-20 dB 0 dB 20 dB 40 dB 60 dB
Nunca se marca el cero!
Construcción de un Diagrama de Bode
FCR Mario Jordán
En cualquier Función de Transferencia Frecuencial en estado permanente se pueden distinguir 3 clases de factores ri:
[(jw/wn)2+2z(jw/wn)+1]1
(jwtj+1)1
Derivador o integrador puro
Cero o polo real
Cero o polo complejo conjugado
(jw) 1
Cada uno de estos factores contribuye “sumando” ganancia (en escala logarítmica o dB) a lo largo de la frecuencia w, es decir:
20 log10 G(w) =
= 20 log10 | j |w + 20 log10 | jwti+1| + …+ 20 log10 |(jw/wn)2+2zi(w/wni )+1| -
- 20 log10 | j |w - 20 log10 | jwtj+1| - …- 20 log10 | (jw/wnj)2+2zj(s/wnj )+1|
23
10-1
100
101
102
103
100
10
1
0.1
0.01
40 dB
20 dB
0 dB
-20 dB
-40 dBlog10 w
Ganancia en Constante, Integrador y Derivador
FCR Mario Jordán
-20 dB/dec20 dB/dec
-40 dB/dec-60 dB
/dec-80 dB
/dec 40 d
B/dec
60 d
B/d
ec
80 d
B/d
ecn=-1
n=-2
n=-3n=-4
n=1
n=2
n=3n=4
20 log10 |( jw) n|= 20 log10 w n = 20 | n| log10 w
0 dB/dec n=0
con n=0, n<0 y n>0
24
INTEGADORESDERIVADORES
GANANCIA CONSTANTE
10-2
10-1
100
101
102
100
10
1
0.1
0.01
40 dB
20 dB
0 dB
-20 dB
-40 dBlog10 w
wc= 1/t
Ganancia en caso de ceros y polos múltiplesFCR Mario Jordán
con n<0 y n>020 log10 | ( jwt+1) n|= 20 | n| log10 1+w
2t 2
n=1
n=2
n=3
n=4
20 dB/dec
40 d
B/dec
60 d
B/d
ec
80 d
B/d
ec-20 dB/dec
-40 dB/dec
-60 dB/dec
-80 dB/dec
n=-1
n=-2
n=-3
n=-4
Punto de Quiebre
25
10-1
100
101
102 103
20 dB
0 dB
-20 dB
-40 dB
-60 dBlog10 w
Las distancias entre las curvas y sus asíntotas es máxima en el Punto de Quiebre.
Estos errores son 3 dB en n=-1 (n=1), 6 dB en n=-2 (n=-2), 9 dB en n=-3 (n=3) y 12 dB en n=-4 (n=4).
Máximo error entre la Ganancia y su asíntota
-20 dB/dec
-40 dB/dec
-60 dB/dec
-80 dB/dec
3
dB
6 9 12
Punto de Quiebre
wc= 1/t
26
-3 dB M(1/) cambia de 1 a 0.707
-6 dB M(1/) cambia de 1 a 0.5
-9 dB M(1/) cambia de 1 a 0.35
-12 dB M(1/) cambia de 1 a 0.25
-50
0
50
100
150
-100
Am
plit
ud
(dB
)
10-2
10-1
100
101
102
Frecuencia en rad/s
s j
x
x
xxx
x
x
x
DB para un sistema sub-amortiguado
Sea el sistema :
z = 1(polos reales múltiples)
z = 0 (polos imaginarios conjugados)
Pico de resonancia
27
/ n
G(s) = 20 log10 | [(jw/wn)2+2z(jw/wn)+1]
-40 dB/dec
x
x
con z variable
10-1
100
101
102 10
3
320 dB
160 dB
0 dB
-160 dB
-320 dB
108
104
106
104
-80 dB
-240 dB
80 dB
240 dB
log10 w
10-4
10-6
10-4
10-8
100
FCR Mario Jordán
Ganancia en polos complejos conjugados múltiples
con n=0, n<0 y n>0El Punto de Quiebre se encuentra en w=wn, es decir en el pico de resonancia.
La distancia de la curva a su asíntota depende de la relación de amortiguación z.G(s) = 20 log10 | [(jw/wn)2+2z(jw/wn)+1]n|
n=-8
-160 dB/dec
n=-6 -120 dB/decn=-4
-80 dB/dec
n=-2
-40 dB/dec
Punto de Quiebre
wc= wn
28
100
-360
-180
0
180
360
101
2x100
5x100 log10 w
Fa
se e
n (
o)
Fase de Constante, Integradores y Derivadores
FCR Mario Jordán
q = n 90o
n=-1
n=-2
n=-3
n=-4
n=4
n=3
n=1
n=2
con n=0, n<0 y n>0
n=0
29
FCR Mario Jordán
Fase de Ceros y polos simples y múltiples
q = n tan-1 (wt)
FCR Mario Jordán
con n<0 y n>0
Fa
se e
n (
o)
10-2
10-1
100
101
102log10 wt
-360
-270
-180
-90
0
90
180
-270
360
n=1
n=2
n=3
n=4
n=-1
n=-3
n=-4
n=-2
Punto de inflexión
Para w =t
30
Fa
se e
n (
o)
10-2
10-1
100
101
102log10 w wn
-720
-540
-360
-180
0
180
360
540
720
Fase de Ceros y polos complejos simples y múltiples
n=1
n=2
n=3
n=4
n=-1
n=-2
n=-3
n=-4
con n<0 y n>0
Punto de inflexión
s=ctewd=cte
Para w =wn
31
f = - n tan-1
wn2-w
2
2z w wn
32
Puede hallarse la pendiente exacta en el punto de inflexión de la curva de fase
Aproximación de fase en un punto de inflexión (polo real)
La expresión de la fase para un sistema de polo real es:
f = - tan-1( w)
d f /d = -
1+22d f / d =
w0 =1/
- /2
bode = - 45º - m log10 (w) d bode /d = - m / [ w ln(10)]
- /2 = - m / [w0 ln(10)]= - m / ln(10)
w0 = 1/
m= ln(10) /2
bode = - 45º - (ln(10) /2) [log10 (w)+log10 ()]
bode= 0º w1= 10 -(/2)/ln(10) - log10
()
bode= -90º w2= 10 (/2)/ln(10) - log10
()Para
Sin embargo, un método que compense errores de la aproximación respectoa la curva de fase es más simple y más preciso que el de la pendiente. Por ej.:
Una década a la izquierda de w0
Una década a la derecha de w0
1 = 0.1w0
2 = 10 w0
33Pendiente de fase en el punto de inflexión (polo real)
100
101
102
-90o
-45o
0o
10-1
10-2
G(j) = 1| ( jwt+1) f = - tan-1 (wt)
1/ t = 0.4
1/ t = 0.41/ t = 0.1
Planta:
Método de la línea tangente
Método de las décadas
f = - n tan-1
1-x 2
2z x
Pendiente de fase en un punto de inflexión (polos CC)
con x= /w wn y n=1,2,3,4…
34
La expresión de la fase para un sistema de polos complejos conjugados es:
1-x
2
2z x1+2d /f dx = - n
(1-x
2)2
2z(1+ x2)
d /f d =x= /w wn =1
- n / n que está en escala lineal .
d /f d =
= d /f dx dx/d = d /f dx 1/n
Para trasladar el resultado a escala logarítmica y haciendo n=1, se define una recta:
bode = - 90º + m log10 ( /w wn) df bode /d = m / [ w ln(10)]
- 1 /n = m / [wn ln(10)] m = - ln(10) /
Finalmente la recta tangente es: bode = - 90º - (1/ ) ln(10) log10 ( /w wn)
la cual corta por arriba a 0o la recta tangente en: 1 = wn (1/5)
y corta bajo a -180o en: 2= wn (5)
35
0o
-160o
-80o
-60o
-40o
-20o
-140o
-120o
-100o
-180o
10-1 100 101
Frecuencias de cruce de la recta tangente: 1 = wn (1/5) y 2= wn (5)
1
2
Pendiente de fase en el punto de inflexión (polos CC)
36
1
2
Otro método compensa los errores de área: 1 = wn log10 ( 2/ ) y
2 = wn / log10 ( 2/ )
0o
-160o
-80o
-60o
-40o
-20o
-140o
-120o
-100o
-180o
10-1 100 101
Pendiente de fase en el punto de inflexión (polos CC)
0
10-2
10-1
100
101
102
103
-40
-20
20
40
60
-0
-360
-270
-180
-90
Mag
nitu
d (d
B)
Fas
e(gr
ados
)
Frecuencia (rad/s)
Diagramas de Bode en Sistema de Retardo Puro
KG=Ke-jTd
Ganancia: /G(jw)/= 1 = 0 db Fase: q = -wTd
K
-wTd (escala lineal)
37
TdTd
La curva de ganancia se aleja de las asíntotas alrededor de la fre-cuencia de quiebre y se acerca a éstas en ambos extremos.
Si el sistema tiene al menos un polo en el origen, la curva de ganancia comienza en w=0 desde dB y decrece con una velocidad igual a-20 dB/dec para w creciente (para el caso de un integrador simple).
Conclusiones sobre la Ganancia en un dB
El grado relativo (n-m) determina la asíntota para frecuencias altas.
Ejemplo 1) Para n=3 y m=1, la curva de ganancia del dB cae conuna velocidad igual a -40 dB/dec asintóticamente para w.
Ejemplo 2) Un PID tiene n-m=-1 lo que significa que la curva de ganancia crece con una velocidad igual a 20 dB/dec asintóticamente para w.
Si el sistema tiene al menos un cero en el origen, la curva de ganancia
comienza en w=0 desde - dB y crece con una velocidad igual a20 dB/dec para w creciente (para el caso de un derivador simple).
38
Conclusiones sobre la Fase en un DB
La contribución de fase de un derivador en la frecuencia es constante eIgual a +90º
La contribución de fase en la frecuencia de un polo estable va desde 0o a -90º
La contribución de fase de un integrador en la frecuencia es constante eIgual a -90º
La contribución de fase en la frecuencia de un cero estable va desde 0o a +90º
La contribución de fase en la frecuencia de un polo inestable va desde -180 a -90º
La contribución de fase en la frecuencia de un cero inestable va desde +180 a +90º
Si KDG se factoriza en polos y ceros, las fases de cada factor se sumanempleando adecuadamente una combinación de los anteriores casos.
La contribución de fase de una ganancia constante positiva es de 0º
La contribución de fase de una ganancia constante negativa es de 180º
39
Construcción de un DB para un FT
G1(jw) G2(jw) G3(jw)y(t)=A M sen( w t+)u(t)=A sen(wt)
M(w) = M1(w) M2(w) M3(w)
M(w) (dB) = M1(w) (dB) + M2(w) (dB) + M3(w) (dB)
M(w) (log10) = M1(w) (log10) + M2(w) (log10) + M3(w) (log10)
q(w) (o) = q1(w) (o) + q2(w) (o) + q3(w) (o)
Si elegimos las escalas logarítmicas o dB, es muy fácil construir el DB sumando asíntotas en lugar de sumar curvas.
40
2(jw/0.5+1)
jw(jw/10+1)(jw/50+1)G(jw)=
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-100
-60
0
-80
40
20
-20
-40
dB
Ejemplo de Diagramas de Bode
Sea: G(s)= 2000(s+0.5)
s(s+10)(s+50) s(s/10+1)(s/50+1)=
2(s/0.5+1)
0.5 10 50
Para w muy pequeñas G(jw)=2/j w y por lo tanto para w=1 se tiene | G|=2=6 dB.
-40 dB/dec
-20 dB/dec
0 dB/dec-20 dB/dec
6
pendiente 0
pendiente -1pendiente -1
pendiente -2
41
-180
-135
-90
-45
0
Integrador:comienza en -90°
10-2
10-1
100
101
102
103
104
Fa
se e
n g
rad
os
Sigue ejemplo de Diagrama de BodeFCR Mario Jordán
2(jw/0.5+1)
jw(jw/10+1)(jw/50+1)G(jw)=
0.5 10 50
Cero dominante:Lleva de -90 a 0°
Primer polo:Lleva de 0° a -90°
Segundo polo:Lleva de -90° a -180°
42
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
10-1 10 0 10 1 10 2-270
-225
-180
-135
-90
Fas
e en
gra
dos
Gan
anci
a en
dB
1=wn(1/5) =2 (1/5)0.1=1.70
2=wn(5)
=2 (5)0.1=2.34
1=wn log10 ( 2/ ) = 1.30
2=wn / log10 ( 2/ ) = 3.07
Otro ejemplo de Diagramas de Bode
Sea: KG(s)= 10/4
s(s2/4+2(0.1)s/2+1)
10/4
j w ((j )w 2/4+2(0.1)(jw)/2+1)G(jw)=
-20 dB/decpendiente= -1
-60 dB/decpendiente= -3
IntegradorComienza en -90°
Polo complejoLleva de -90° a -270°
wn=2
Para w muy pequeñas G(jw)=2.5/j w y por lo tanto para w=1 se tiene | G|=2.5=8dB
1 2
43
Método de la pendienteMétodo de compensación de errores
-80
-60
-40
-20
0
20
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Fas
e en
gra
dos
Gan
anci
a en
dB
Ejemplo: Satélite flexible
Sea: KG(s)= 0.01(s2+0.01s+1)
s2(s2/4+0.02s/2+1)
0.01 ((jw)2+0.01(jw) +1)
(jw)2 ((jw)2/4+0.02(jw)/2+1)G(jw)=
-40 dB/decn=-2
-40 dB/decn=-2
0 dB/decn=0
Comienza en -180°
El cero dominantede 2do orden adelanta la fase hacia 0°
El polo de 2do orden atrasa la fase hacia -180°
21
Para w muy pequeñas G(jw)=0.01/(jw)2 y por lo tanto para w=1 se tiene | G|=0.01
44
Como es muy chico (=0.01), no se calculan 1 y 2, pero sí Mr =1/2 = 50
Mr = 20 log10 (1/2)=33 dB
0
4
8
12
16
20
10-2
10-1
100
101
102
103
0
45
90
135
180
Fas
e en
gra
dos
Gan
anci
a en
dB
Ejemplo de Sistemas de Fase Mínima y No-MínimaFCR Mario Jordán
G1(s)= 100 (s+1)
s+10
10 (j w -1)
jw /10 +1y G2(jw)=y G2(s)=
100 (s-1)
s+10
10 (jw +1)
jw /10 +1G1(jw)=
1 10
0 dB/decn=0
+20 dB/decn=1
Comienza en 0 dB=1con 0 dB/dec
n=0
Comienza fase en 0°
El cero dominanteadelanta la fase hacia 90°
El polo simple atrasala fase hacia 0°
El cero inestable arranca la fase desde 180° yla dirige a 90º
El polo simple termina de dirigir la fase desde 90º hacia 0°
45
Propiedades de Estado Estacionario
Para una entrada escalón, un sistema dinámico es de tipo cero si:
s1
1+D(s)G(s)
1s =
1
1+D(0)G(0)
1
1+Kp
= 0 y < (>- ) e () = limess=s 0
e () = lim ss 0
1
1+D(s)G(s)
1
s2=
1Kv
0 y < (>- )ess=
Para una entrada rampa, un sistema dinámico es de tipo uno si:
ss 0
1
1+D(s)G(s)
1
s3 = 1
Ka
0 y < (>- ) e () = limess=
Para una entrada rampa, un sistema dinámico es de tipo dos si:
Kp = lim DG(s), tipo 0 con Kp : cte de error de posicións 0
Kv = lim s DG(s), tipo 1 con Kv : cte de error de velocidads 0
Ka = lim s2 DG(s), tipo 2 con Ka : cte de error de aceleracións 0
46
-100
-80
-60
-40
-20
0
10-2
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
10
Fas
e en
gra
dos
Gan
anci
a en
dB
Cómputo de Kp en Sistemas de Tipo 0
DG(s)= 10
(s+1)(s+10) (jw+1) (jw/10 +1)
1DG(jw)=
FCR Mario Jordán
-40 dB/decn=-2
-20 dB/decn=-1Comienza en 0 dB=1
con 0 dB/decn=0
Comienza fase en 0°
El polo dominanteatrasa fase hacia -90°
El polo rápido atrasala fase hacia -180°
Kp = lim DG(jw) = 0 dB = 1 w 0
ess = lim 1/(1+DG(jw))=1/(1+Kp)=0.5 w 0
47
Fas
e en
gra
dos
Gan
anci
a en
dB
-40
-20
0
20
40
60
80
10-2 10-1 100 101 102-180
-150
-120
-90
Cómputo de Kv en Sistemas de Tipo 1
G(s)= 10
s(s+1)
FCR Mario Jordán
G(jw)= 10
j w(jw+1)
Comienza en y bajacon -20 dB/dec
n=-1
Comienza fase en -90°
El integrador atrasa la fasede forma constante en -90°
El polo simple atrasala fase desde -90 hacia -180°
-40 dB/decn=-2
1
Kv = lim w | G(jw)| 0.01 | G(0.01)| dB = 60 dB =1000 w 0
48
Es decir, se acepta w = 0.01 0 para computar el límite
Estabilidad marginal (o neutra)
FCR Mario Jordán
La estabilidad en Lugar de las Raíces se refleja de la siguiente manera:
la condición de estabilidad en Lugar de las Raíces está dada por:
Si para un K=K *, s satisface s = jw*, entonces resulta que:
K * L(jw* )= -1 y se cumple: L(jw*) = 180°
Ahora, si K<K* esto implica que | K L(jw*)| <1, es decir: el SC es estable (esto es cierto en la mayoría de los sistemas de control)
Por el contrario si K>K* esto implica que | K L(jw*)| >1, es decir: el SC es inestable.
Claramente para K=K* esto implica que el SC es marginalmente estable.
49
Ejemplificación de Estabilidad marginal
FCR Mario Jordán
Sea el sistema de Control:
DG(s) = K G(s)= K
(s)(s+1)2
Para K=K *=2 dos de las tres ramas del LR de L(s)=G cruzan el eje imaginario para w* =1 rad/s.
Veamos esto en detalle.
50
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
Ejemplificación de Estabilidad marginal
FCR Mario Jordán
xxx
s3
s2
s1
s0
1 1 0
2 K 0
(2-K)/2 0 0K 0 0
0<K<2
x K*=2
K*=2x
s3+2s2+s+K=0 K* ?
?
s3+2s2+s+2=0 * ?
?
j(*- *
3 )+(2 - 2*
2) = 0
0
* = 1 rad/s
*=1
51
Estabilidad marginal (o neutra)FCR Mario Jordán
-120
-80
-40
0
40
80
10-2 10-1 100 101 102-270
-225
-180
-135
-90
Fas
e en
gra
doG
anan
cia
en d
B
K2=1K=K*=2K1=4
inestableestable ME
DG(s) = K G(s)= K
s(s+1)2
52
Justificación teórica del criterio en DB
Observamos gráficamente que si la curva de ganancia corta a la recta de 0 dB con un desfasaje menor a -180º , el sistema es inestable.
= -1 K
s(s+1)2De: K DG(s) =
Además, si la corta en 0 dB justo cuando la curva de fase es -180º, entonces es marginalmente estable.
Finalmente si la curva de ganancia corta a 0 dB cuando el desfasaje es mayor que -180º, entonces el sistema es estable.
Esto se justifica así:
Curva de Ganancia para *: |K*| dB + |DG(*)| dB= 0 dB
Curva de Fase para *: DG(*) = -180º
Si K=K1>K*
Además |K1| + |DG(1)| = 0 dB 1>* DG(1) < -180º
El sistema de control proporcional es INESTABLE
53
Justificación teórica del criterio en DB
K=K2<K*
Además |K2| + |DG(2)| = 0 dB 2<* DG(2) > -180º
El sistema de control proporcional es ESTABLE
Por el contrario, si:
Nota importante: Si la fase no cruza los -180º , aún así el sistema puede ser inestable, es decir aún cuando la fase en toda está por arriba de -180º (Vea contraejemplo más adelante)
Puede darse el caso de que la curva de ganancia corte varias veces el eje de 0 dB. En este caso si al menos una vez de dichoscortes se corresponde con una fase más chica que -180º (es decir, un desfasaje menor a -180º), entonces el sistema es inestable.
En caso de que la curva de ganancia corte al eje de 0 dB y el desfa-saje sea mayor que -180º, esto es un síntoma de estabilidad.
Cuando se diseña un controlador D(s) se tratará de que KDG() cumpla este criterio de estabilidad en el dominio frecuencial.
54
-150
Ejemplo 1Sea la planta G= 1 / [s(s+1) (s+2)] realimentada proporcionalmente con K
55
Rango de frecuencias inestable
Rango de frecuencias estable
dB
º
0 dB
-180 º
-100
-50
0
50
100
10-2
10-1
100
101
102-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
xx x
Lugar de la raízDiagrama de Bode de Ganancia en dB y Fase en º
Existe una sola ganancia crítica en K*=6.
Para K>K*, el SCLC es inestable
Para K<K*, el SCLC es estable
-4
-2
0
2
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
Análogamente, la curva de gananciasube y baja entre los límites de K Críticos, generando inestabilidad
Ejemplo 2Sea la planta G=(s2+0.1s+1.5) / [s(s+1) (s2+0.5s+1)] realimentada con K
56
x
xx x
-100
-80
-60
-40
-20
20
40
60
80
100
0
10-2
10-1 100 101 102-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Movimiento de los polos del SCLC
La fase siempre esta por debajo de -180º en
ese intervalo de K
Según este patrón que se presenta en la Ganancia y laFase en los cruces en 0dB y en -180º, respectivamente, el SCLC es inestable para ese intervalo de ganancias críticas.
Lugar de la raíz
Diagrama de Bode de Ganancia en dB y Fase en º
Para K=1
Según el Lugar de la raíz, el sistema tiene 2 ganancias críticas K1
* =0.71y K2
* =12.5. En ese intervalo de ganancias, el sistema es inestable. En particular, K=1 genera un SCLC inestable.
Contra-ejemploSea la planta G= 3 (s+0.5) / [(s+1) (s-1)] realimentada proporcionalm. con K
57
-3 -2 -1 0 1 2-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Lugar de la raíz
D. Bode - Ganancia en dB
-12
-8
-4
0
4
10 -2 10 -1 10 0 10 1-180
-150
-120
-90
El SCLC es inestable para K=1. El Lugar de la Raíz lo registra correctamente,pero el DB no, pues concluye que, para cualquier K, el SCLC siempre es estable,lo cual es incorrecto.
KG/(1+KG) esinestable paraK=1
D. Bode - Fase en grados
