DIAGRAMA DE BODE

Un sistema que contengan capacitores e inductores, su respuesta (amplitud y la fase) es funcin de la frecuencia de entrada.

El anlisis se puede efectuar utilizando el mtodo de la impedancia o anlisis sinusoidal en estado estacionario.

Para la siguiente funcin de transferencia

Se tiene un cero cuando cualquier valor numrico de S, hace que el polinomio del numerador tome el valor de cero. H(S) 0

Un polo cuando cualquier valor de S, hace que el polinomio del denominador tome el valor de cero. H(S)

La respuesta sinusoidal se obtiene haciendo s = j

Para graficar la respuesta en frecuencia se inicia con los valores de frecuencia lmites (superior e inferior).

011

1

011

1

......)(

aSaSaSabSbSbSbSH n

nn

n

mm

mm

++++++++

=

Conforme la frecuencia

se aproxima a infinito, se puede ignorar todas la potencias de S excepto las mas altas del numerador y del denominador.

La curva de amplitud es proporcional a m-n

y la de fase se aproxima a (m-n) veces 90.

Si la frecuencia se aproxima a cero la respuesta se aproxima a:

Con a0

y b0

diferentes de cero.

Si una o ambas constantes son cero, es necesario incluir la potencia ms baja de

que se encuentre presente.

nmnm

n

mn

n

mm jw

ab

jwajwbSH == )(

)()()(

0

0)(abSH =

TRMINOS DE LA FUNCIN H(s)

Como los polinomios de S se pueden factorizar, la funcin H(S) puede verse como productos de trminos simples.

Estos factores individuales son de la siguiente forma:

a) Factores invariables con la frecuencia (constante), K.b) Trminos que corresponden a ceros o polos simples (orden 1) en el origen, s y

1/s.c) Trminos lineales que corresponden a ceros simples (no en el origen), s1+.d) Trminos lineales que corresponden a polos simples (no en el origen), (s1-(1+.e) Trminos cuadrticos que corresponden a ceros o polos,

12

12

++

nn

SS

12

2

++

nn

SS

EJEMPLO

Trazar el diagrama de bode en magnitud y fase de las siguiente funcin:

La funcin contiene un cero de primer orden con frecuencia de corte en el

origen y un polo de primer orden con frecuencia de corte de 10 rad/s.

La funcin se puede expresar como:

Reemplazando

S = j

La magnitud de la funcin se puede desarrollar analticamente utilizando logaritmos:

H(j) = 20 log10

(0.1) + 20 log10

20 log10

| j/10 + 1|

Dando distintos valores a , se obtienen los correspondientes de H(j) y con estos, se hace la grafica.

O graficando los factores del polinomio individualmente.

10)(

+=

SSSH

110

1.0)(+

= SSSH

11.0)(

10 += jw

jwjwH

MTODO GRFICO (MAGNITUD)

La correccin se calcula con H(S) = 20log10

(2/100 + 1)

GRAFICO DE LA FASE

Analticamente la fase se obtiene con la siguiente expresin:

() = 90

-

tan-1(/10); dando valores a , se obtienen los correspondientes valores de fase. Luego estos valores se grafican en el plano de

contra .

Tambin se puede obtener la grfica resultante de la fase si se procede a dibujar cada una de las componentes de la funcin y luego sumar punto a punto cada una de estas grficas parciales.

Para la anterior funcin, solo dos componentes de ella inciden en la fase:-

Una es el cero en el origen que genera un ngulo de 90

independiente de la frecuencia.

-

La otra componente de la fase la genera el polo.

METODO GRFICO (FASE)

EJEMPLO

Trazar el diagrama de Bode de la siguiente funcin:

La funcin esta conformada por un cero de primer orden con frecuencia de corte en el origen, un cero de primer orden con frecuencia de corte en 10 rad/seg. y un polo de segundo orden con frecuencia de corte en 100 rad/seg.

La funcin se puede expresar de la siguiente forma:

La expresin analtica de la magnitud es:

H() = 20log10

(0.001) + 20log10

+ 20log10

| j/10 + 1 | -

40log10

| j/100 +1 |

H() = -60 dB

+ 20log10

+ 20log10

| j/10 + 1 | -

40log10

| j/100 + 1 |

2)100()10()(

++

=S

SSSH

222 1

100

110001.0

1100

100

110

10)(

+

+

=

+

+

=S

SS

S

SSSH

METODO GRFICO

GRFICO DE LA FASE

Se tiene tres grficas parciales:

La primera corresponde al cero en el origen que genera una fase constante de + 90.

La segunda corresponde al cero con frecuencia de corte en 10 rad/seg, que presenta una fase variable desde 0

hasta +90, con ngulo de +45

en 10 rad/seg.

La tercera corresponde al polo con frecuencia de corte de 100 rad/seg, genera tambin una fase variable desde 0

hasta -180, con ngulo de -90

exactamente en 100 rad/seg. (polo de segundo orden).

GRFICO DE FASE

EJEMPLO

Determinar el diagrama de Bode de la funcin:

Contiene: un cero en el origen, un cero con frecuencia de corte en 10000 rad./seg., un polo con frecuencia de corte de 100 rad./seg. y otro polo con frecuencia de corte en

1000 rad./seg.; todos los ceros y polos son de primer orden.

Adecuando la funcin se reduce a:

)1000)(100()10000()(

+++

=SS

SSSH

+

+

+

=1

10001

100

110000

1.0)(

SS

SSSH

EXPRESIN ANALTICA

La expresin analtica para la magnitud es:

H() = -20 dB

+ 20log10

+ 20log10

|j/10000 + 1| -

20log10

|j/100 + 1| -

20log10

|j/1000 + 1|

La expresin analtica para la fase es:

() = 90

+ tan-1(/1000)

tan-1(/100)

tan-1(/1000)

Desde el punto de vista grfico, la funcin tiene cinco grficas parciales como se ver

en los siguientes grficos.

MTODO GRFICO (MAGNITUD)

Correccin de 3dB en todos los puntos de quiebre

GRFICO (FASE)

FACTORES DE SEGUNDO

ORDEN

Estos factores tienen la forma general de:

H(s) = 1 + 2S + (S)2

= 1/ O

es

la constante de tiempo, y O

es la frecuencia de corte

es el factor de amortiguamiento

Normalmente este factor se encuentra en el denominador

Para el anlisis de este tipo de funcin se distinguen dos casos segn el valor de

a) Si

> 1, el factor de segundo orden tiene races reales

La respuesta en frecuencia se obtiene sumando los trazados de los dos factores de primer orden como se estudio anteriormente.

b) Si 0 <

< 1, el factor de segundo orden tiene

dos races conjugadas y no se deja descomponer en factores de primer orden.

La amplitud de define como:

M () = -20 lg

[ (1

()2 )2

+ (2)2 ]

dB

La fase se define:

GRFICOS

Para determinar las asntotas de la magnitud.

Si

> 1

M() = -

40 log

Para determinar la fase

Si

> 1 () = -

180

FACTORES DE SEGUNDO ORDEN

MAGNITUD

En el trazado de la magnitud se encuentra dos asntotas que son:

El eje de 0 dB

para

>

1 rad

Y en

= 1 rad/s se hace la correccin con la expresin de -

20 log

2

Para

< 0.5, el trazado de amplitud presenta un levantamiento (resonancia)

En

= 0.5 el trazado de la amplitud pasa por el eje de 0 dB

en

= 1

Cuando no existe amortiguamiento (

= 0), la amplitud alcanza el infinito

La pendiente del trazado de la amplitud al cruzar el eje

= 1 siempre es de -20 dB/dec, independiente de

Luego se tiene tres pendientes

0 dB/dec

en

< 1 rad/dec

-

20 dB/dec

en

= 1 rad/dec

-

40 dB/dec

en

> 1 rad/dec

TRAZADO DE LA FASE

() = 0

cuando

< 1 rad/s

() = 180

cuando

> 1 rad/s

En

= 1 rad/s la pendiente de la fase es de -

90/dec

Esta pendiente crece rpidamente a medida que

disminuye

Es infinita en

= 0

La grfica representa la caracterstica de un polo de segundo orden, cuya pendiente es de

90/dec

Considerando distintos valores del factor de amortiguamiento

se obtiene que para

= 1, se hace una correccin de 11.4

en los puntos de quiebre de 0.1 rad/s y de 10 rad/s

FASE

PROBLEMA

Trazar el diagrama de Bode en magnitud y fase de la siguientes funciones

1000701)( 2 ++

=SS

SH

101)( 2 ++

=SS

SH

11)( 2 +

=S

SH

SOLUCIN

Se lleva a la forma

Donde

( ) 11)(

22 ++=

oo

SSsH

1000701)( 2 ++

=SS

SH

1=o

Es la frecuencia de resonancia, oscilacin,

Inestabilidad o de cresta

CONTINUACIN

07.02 =o

1)(

100070

1000

10001

2 ++=

SSsH

( ) 107.0001.0)( 2

1000++

=S

sH

o 07.02 =

( ) 107.12623.3107.0

207.0 === o

Como

> 1, la funcin original es factorizable en dos races reales y el desarrollo grfico del diagrama de Bode se reduce al anlisis de dos polos de primer orden

Descomponindolo en factores

( ) ( )( )50201

++=

SSSH

PROBLEMA

Hallar el diagrama de Bode de la siguiente funcin de transferencia 10

1)( 2 ++=

SSSH

FASE

DIAGRAMA DE BODENmero de diapositiva 2TRMINOS DE LA FUNCIN H(s)EJEMPLOMTODO GRFICO (MAGNITUD)GRAFICO DE LA FASEMETODO GRFICO (FASE)EJEMPLOMETODO GRFICOGRFICO DE LA FASEGRFICO DE FASEEJEMPLOEXPRESIN ANALTICAMTODO GRFICO (MAGNITUD)GRFICO (FASE)FACTORES DE SEGUNDO ORDENNmero de diapositiva 17GRFICOS FACTORES DE SEGUNDO ORDENMAGNITUDNmero de diapositiva 20TRAZADO DE LA FASEFASEPROBLEMASOLUCINCONTINUACINNmero de diapositiva 26PROBLEMAFASE