Determinantes teoria y ejercicios

CATEDRA: ALGEBRA TEMA: DETERMINANTES 1

ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CONTENIDOS PAG.

• 1 - DETERMINANTES. DEFINICION PROPIEDADES 02

Ejercicios Propuestos 04

• 2 – DESARROLLO POR COFACTORES O LAPLACE 05


• 3 - REGLA DE CHIO 08


• 4 - DETERMINANTE Y MATRICES INVERTIBLES 12


• RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS 14


1 - DETERMINANTES. DEFINICION. PROPIEDADES El determinante es una función f: Rnxn ---- R, que le asigna a una matriz

cuadrada un número.

Así por ejemplo en el caso de una matriz de 2 x 2, el determinante se define de

la siguiente manera:

122122112221

1211 aaaaaaaa

−=

Para el caso de una matriz de 3 x 3, el determinante se puede calcular de la

siguiente manera:

211233113223312213231231133221332211

333231

212221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−−++=

EJEMPLO Nº 1.1: Calcular el determinante de la matriz A

−

−=

243220351

A

El determinante de A, calculado por Regla de Sarrus es:

1681830040.5.2)1.(4.23.2.32.5.33.4.02.2).1(243220351

=+−++−=−−−−++−=−

220351−

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Sea A una matriz de n x n, y c un escalar distinto de cero. Entonces:

1) Si una matriz B se obtiene de una matriz A multiplicando los elementos de

una fila (columna) por c, entonces det (B) = c. det (A)

2) Si una matriz B se obtiene de intercambiar dos filas (columnas) de A,

entonces det (B) = -det (A)


3) Si una matriz se obtiene de una matriz A sumando un múltiplo de una fila

(Columna) a otra fila (columna), entonces det (B) = det (A)

4) Si dos filas (columnas) de una matriz A son iguales, entonces det (A) = 0

5) Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A son iguales a

cero, entonces det (A) = 0

6) Si una fila (columna) de una matriz es combinación lineal de las otras,

entonces det (A) = 0

7) El determinante de la matriz identidad es igual a 1.

8) El determinante de una matriz triangular inferior o triangular superior es

igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

9) El determinante de una matriz A es igual al determinante de la traspuesta

de A. (At)

10) El determinante del producto de matrices, es igual al producto de los

determinantes. Det (A.B) = det (A).det (B)

Nota: observar que las tres primeras propiedades están referidas a las

operaciones elementales de filas que se pueden realizar sobre una matriz, y

como las mismas modifican o no el determinante. Por otro lado, las

propiedades 3 a 6 indican que si las filas (o columnas) de una matriz son

Linealmente Dependientes, entonces su determinante es igual a cero.

EJEMPLO Nº 1.2: Calcular el determinante de las siguientes matrices

aplicando propiedades de los determinantes:

0300200

102=− (Por ser nulos los elementos de la columna 2º

244.3.2.1

4000330023201141

==

−−

(Por ser una matriz triangular superior se

multiplican los elementos de la diagonal principal)


0412

412211

=−−

(Por ser la tercera columna proporcional a la primera.

EJERCICIOS PROPUESTOS – PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1) Calcular el determinante de las siguientes matrices aplicando

propiedades:

−

−=

300010005

A C

−−−

=422211201

B

−−−−

=

134313521312

0000

−=

100220115

D


2 - DESARROLLO POR COFACTORES (LAPLACE) Sea A una matriz n x n, se denomina menor correspondiente a la fila i y

columna j, Mij, al determinante que se obtiene al eliminar de la matriz A la fila i y

la columna j.

Se denomina cofactor correspondiente a la fila i y columna j, al menor

multiplicado por (-1)i+j

EJEMPLO Nº 2.1: Calcular el menor y cofactor correspondiente a fila 1,

columna 2 de la matriz siguiente:

−−=

243311321

A

El menor M12 se obtiene de eliminar de la matriz A la fila 1 y la columna 2, por

lo tanto:

7923.3)2)(1(23

3112 −=−=−−−=

−−

=M

A su vez, el cofactor C12 se obtiene de multiplicar M12 por (-1)1+2:

C12 = (-1)1+2M12 = (-1).(-7) = 7

TEOREMA Nº 2.1: Sea A una matriz n x n. Entonces para cada 1 ≤ i ≤ n

Det (A) = ai1.Ci1 + ai2.Ci2 + …… + ain.Cin (Desarrollo por filas)

Y para cada 1 ≤ j ≤ n

Det (A) = a1j.C1j + a2j.C2j + …… + anj.Cnj (Desarrollo por filas)

EJEMPLO Nº 2.2: Calcular el determinante de la matriz A desarrollándolo por

una de sus filas y por una de sus columnas.


−=

210121531

A

Desarrollando el determinante por la tercera fila se obtiene:

2131

)1(21151

)1(11253

)1.(0210121531

332313

−−+

−−+−=− +++

Observar que el primer término del desarrollo es nulo, por lo tanto el

determinante es igual a:

4106)32.(2)51)(1(0210121531

=+−=+++−+=−

Desarrollando por la primera columna se obtiene el siguiente desarrollo:

1253

)1.(02153

)1)(1(2112

)1.(1210121531

131211 +++ −+−−+−=−

Se obtiene:

4130)56()14(210121531

=+=+−+−=−

Es conveniente elegir para el desarrollo la fila o columna que tenga la mayor

cantidad de ceros, ya que dichos términos del desarrollo son nulos. La

desventaja de este método es que para matrices mayores que 3 x 3 el

desarrollo es extenso y se deben calcular muchos determinantes. Por ejemplo

si la matriz fuera de 4 x 4, se deberían calcular 4 determinantes de matrices de

3 x 3, lo que resulta poco práctico. En estos casos es conveniente aplicar otros

métodos.


EJERCICIOS PROPUESTOS – DESARROLLO POR COFACTORES O DE LAPLACE 1 - Calcular menor y cofactor correspondiente a la fila 2, columna 2 de la

siguiente matriz:

−=

263152101

A

2 – Calcular los determinantes de las siguientes matrices aplicando el

desarrollo por Cofactores o de Laplace y verificar por método de Sarrus:

232225531

−−

=A

4441100221 −

=B

022455311

−−−−

=C

211392

534−

−−=D

3 – Aplicar una vez el desarrollo de Laplace y para cada matriz de 3 x 3

resultante calcular su determinante por regla de Sarrus

−−−

−

=

31246552

22127301

E


3 - REGLA DE CHIO Como se ha visto, el cálculo de determinantes aplicando el desarrollo por

cofactores (o Laplace), es poco práctico cuando se trata de matrices mayores a

las de 3 x 3, debido a la gran cantidad de determinantes que se deberían

calcular. Así por ejemplo, para el cálculo de un determinante de una matriz de 4

x 4 sin elementos nulos, aplicando el desarrollo por cofactores significaría

calcular cuatro determinantes de matrices de 3 x 3, lo que resulta trabajoso y

poco práctico.

La Regla de Chio, permite aplicando operaciones elementales por filas

transformar el determinante de una matriz n x n en un determinante de (n-1) x

(n-1). En efecto, si a una columna de una matriz se la transforma en una

columna canónica, es decir, que un elemento sea igual a uno mientras que los

restantes sean nulos y aplicando el desarrollo por cofactores de la mencionada

columna, resultaría que en el citado desarrollo todos los términos del desarrollo

serían nulos excepto uno. A través de un ejemplo se explicará este método.

EJEMPLO Nº 3.1: Calcular el determinante de la matriz A utilizando la regla de

Chio.

−

−−−

=

3123651510112642

A (*)

Para el cálculo del determinante a través de la regla de Chio se aplicarán

operaciones elementales de filas por el método de Gauss – Jordan. Para ello

se elige primeramente un pívot. En nuestro caso se elige el elemento de la

primera fila y primera columna que es un 2 y se divide la fila por el pívot

obteniéndose la siguiente matriz:

3123651510111321

.2

−

−−−

(**)


Observar que como se ha dividido una fila por el pívot (2), el determinante se

debe multiplicar por el pívot de acuerdo a la propiedad 1.

Seguidamente se hacen nulos los restantes elementos de la columna del pívot,

es decir que se está realizando la operación elemental de sumar a una fila un

múltiplo escalar de otra fila, los restantes elementos se calculan por la regla del

rectángulo. Esta operación no modifica el determinante de acuerdo a la

propiedad 3.

0880111011003101321

.2

−−

−−−

(***)

Los elementos que no pertenecen a la columna ni a la fila del pívot, se calculan

por medio de la regla del rectángulo, por ejemplo el elemento correspondiente

a la fila 2, columna 2 se calcula realizando la siguiente operación sobre la

matriz (*):

122

2)4)(1(2.1

22 −=−

=−−−

=b

326

26).1(2.0

23 ==−−

=b

02

)2)(1(2.124 =

−−−=b

222

2)4)(5(2.1

32 =−−

=b

10220

26.52.5

33 −=−

=−

=b

11222

2)2.(52.6

34 ==−−

=b

82

162

)4.(32.242 ==

−−=b

8216

26.32.1

43 −=−

=−

=b


020

2)2.(32)..3(

44 ==−−−

=b

Observar que para el elemento bij de la matriz (***) se ha realizado el producto

de la diagonal del pívot menos la otra diagonal, todo dividido por el pívot. El

rectángulo utilizado esta formado por los siguientes elementos de la matriz (*):

iji

j

aa

aa

..:.

..

1

111

O sea que:

11

1.111 ..a

aaaabij jiij −

=

Una vez calculados los elementos de la matriz (2) se realiza el desarrollo por

cofactores utilizando la columna del pívot, donde todos los elementos son nulos

excepto el pívot que es igual a 1:

088111011031

)1(1.2

0880111011003101321

.2 11

−−

−−=

−−

−−−

+

En este desarrollo no se han consignado los términos nulos. Se puede

observar que desarrollando el determinante de 3 x 3 por la tercera columna,

que tiene dos elementos nulos, y realizando las operaciones se obtiene:

352)16).(22()248.(2288

31)1.(11.2

088111011031

.2 32 =−−=−−=−

−−=

−−

−+


EJERCICIOS PROPUESTOS – REGLA DE CHIO 1 – Dada la matriz A, calcular el determinante desarrollando por cofactores.

Verificar el resultado aplicando la regla de Sarrus.

−−

−=

324310

1263A

2 – Dividir la primera fila de la matriz del apartado anterior y calcular el

determinante. ¿Qué observa? ¿Son iguales los determinantes?

3 – Intercambiar dos filas o dos columnas en la matriz del apartado 1 y calcular

el determinante. ¿Qué observa?

4 – A la matriz obtenida en el punto 2, sumarle a la tercera fila la primera

multiplicada por 4. Calcular el determinante y compararlo con el resultado del

punto 2. ¿Qué observa?

5 – Calcular el determinante de la matriz B por el método que crea conveniente.

−=

150110132

B

6 – Calcular los determinantes de las siguientes matrices aplicando la regla de

Chio.

−−

−

=

855553042421

0732

D

−−

−

=

855553042422

0732

E

−−

−

=

8555510042521

0422

F


4 - DETERMINANTES Y MATRICES INVERTIBLES Las propiedades 4, 5 y 6 de los determinantes, indican que si las filas o

columnas de una matriz son Linealmente Dependientes, el determinante de

dicha matriz es nulo. En efecto la propiedad 4 se refiere a un conjunto de

vectores, donde dos de ellos son iguales; la propiedad 5 cuando un conjunto de

vectores incluye al vector nulo, mientras que la propiedad 6 se refiere a un

conjunto de vectores donde uno de ellos se puede expresar como combinación

lineal de los otros. En todos los casos se trata de conjunto de vectores

Linealmente Dependientes de acuerdo a los teoremas 4.1; 4.2 (Págs. 26 y 27

del capítulo de Espacios Vectoriales). Como las filas o columnas de una matriz

A de n x n se pueden tratar como vectores del Espacio Vectorial Rn, podemos

concluir que si las filas o columnas de una matriz son Linealmente

Dependientes, entonces el determinante de la matriz es nulo.

PROPOSICIONES EQUIVALENTES (Ver Espacios Vectoriales, Pág. 38) Sea A una matriz de n x n. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

1 – A es invertible.

2 – La forma reducida por filas de A es In.

3 – A es un producto de matrices elementales.

4 – El espacio generado por las filas de A es Rn

5 – A tiene rango n

6 – Las filas de A son Linealmente Independientes.

7 – Las filas de A constituyen una base de Rn

8 – El determinante de A es nulo. │A │= 0

EJERCICIOS PROPUESTOS – DETERMINANTES Y MATRICES INVERTIBLES 1 – Calcular el determinante de las siguientes matrices:

−−

−=

150212641

A

−=

8611043152

B


2 – En función del valor del determinante indicar si las filas o columnas de la

matriz son L. I. o L. D; indicar si las matrices son invertibles.


RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Det (A) = 15; det (B) = 0; det (C) = 0; det (D) = 10

DESARROLLO POR COFACTORES O DESARROLLO DE LAPLACE.

1) M22 = -5; C22= -5

2) Det (A) = 87; det (B) = 124; det (C) = 0; det (D) = -98

3) Det (E) = -223

REGLA DE CHIO 1) det (A) = 147

2) det (A) = 49 (Es igual al determinante de la matriz del apartado 1 dividido

por 3)

3) det (A) = -147 (El determinante es opuesto al determinante de la matriz del

apartado 1)

4) det (A) = 49 (No se modifica el determinante)

5) det (B) = -12

6) det (D) = -460; det (E) = -632; det (F) = -786

DETERMINANTES Y MATRICES INVERTIBLES 1 – Det (A) = 63; Det (B) = 0

2 – A es invertible y sus filas o columnas son Linealmente Independientes. B no

es invertible por que det (B) = 0, por lo que sus filas o columnas son

Linealmente Dependientes.

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