Determinación del Modelo Matemático para el Tiempo de Descarga o Vaciado de un Tanque y Comparación con Datos Experimentales

Fabrizzio Valer Gómez Escuela Profesional de Ingeniería Química, Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa

Laboratorio de Fenómenos de Transferencia

En la industria es de vital importancia conocer con gran exactitud un modelo que determine el tiempo que transcurre para que un tanque o un recipiente descargue su contenido, también es útil conocer las perdidas de energía del fluido a medida que transcurre por las tuberías de descarga. Muchas veces estas perdidas de energía son irrecuperables y esto puede deberse a un exceso de accesorios como uniones (en general), codos, llaves, válvulas, etc., esto también puede significar consumo de energía elevado si es necesario por ejemplo elevar el fluido con una bomba.

Esta práctica tiene como objetivo determinar un modelo matemático del tiempo transcurrido a medida que el tanque cónico descarga su contenido; teniendo en cuenta la fricción de la tubería y los accesorios, y de esta manera poder determinar la velocidad de salida del tanque, para luego compararlos con datos experimentales que verifique el modelo utilizado.

El tiempo de vaciado depende de la geometría del tanque, de la altura que tiene el mismo, de la tubería (que incluye a los accesorios), de la viscosidad del fluido y de otras variables que complican mucho más los cálculos para encontrar el modelo que relaciona todas variables. Para este caso el modelo se basa en un sistema isotérmico y a presión atmosférica.

Se presenta en esta experiencia un modelo de tanque singular el cual tiene la siguiente forma:

El problema en esta parte se trata de calcular una ecuación que relacione la altura y el radio con el volumen. Esto se lograra de la siguiente manera.

Volumen de Sólidos de Revolución

Método del Disco Circular. Utilizaremos este método para calcular el volumen.

[ ]0

2( )

h

hV f h dhπ= ∫ …………. Ec. 1

A continuación se muestra un esquema de los parámetros involucrados en el diseño del tanque: Según la ecuación de la recta obtenemos:

2 11 1

2 1

( )( ) ( )

( )

r rr f h r h h

h h

−= = + −−

Reemplazamos f(h) en la ecuación 1:

0

2

2 11 1

2 1

( )( )

( )

h

h

r rV r h h dh

h hπ

−= + − − ∫

Sabemos que 2 1 2 1h h r r= = = = constantes por lo

tanto h varia a medida que el radio del tanque disminuye si se esta descargando. Integramos usando la siguiente expresión:

1

1

nn u

u dun

+

=+∫

Tenemos que : 2 11 1

2 1

( )( )

( )

r ru r h h

h h

−= + −−

,

entonces la derivada es la siguiente:

2 1

2 1

( )

( )

r rdu dh

h h

−=−

Ahora utilizaremos el siguiente artificio:

0

2

2 1 2 1 2 11 1

2 1 2 1 2 1

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

h

h

h h r r r rV r h h dh

r r h h h hπ − − −= + − − − −

∫

Integramos y obtenemos la siguiente expresión:

h

r r2r1

h2

h1

0

3

2 11 1

2 12 1

2 1

( )( )

( )( )

( ) 3

h

h

r rr h h

h hh hV

r rπ

− + − −− = × −

Reemplazamos los límites y tenemos la ecuación que relaciona el volumen a medida que la altura h del fluido en el tanque disminuye.

Esta expresión nos servirá más adelante. Esta ecuación se comprobó mediante los programas MS EXCEL y MATLAB demostrando su consistencia, también se dimensiono para comprobar las unidades.

Ecuación General de Balance de Energía Mecánica.

Para un flujo de un fluido en estado no estacionario:

2 2

12

P

fP

v dpz H W

g gρ∆∆ + + + = −∫ … Ec. 2

Por ser un fluido compresible se asume que el ∆P es

cero. No existe una variación en la presión por que tanto en la entrada como la salida solo existe Presión Atmosférica. En este sistema no se realiza trabajo por lo tanto también el W es cero. La ecuación queda así:

02

2

=+∆+∆ fHg

zν

… Ec. 3

En donde zzz R −=∆

Rz : es la altura del punto de referencia, pero

consideramos a este punto como cero.

Analizando 21

22

2 ννν −=∆ , sabemos el tanque

tiene una gran área y por lo tanto la velocidad 1ν disminuirá muy lentamente y podríamos considerar esta como cero. Entonces la ecuación quedaría así:

02

2

=++− fS Hg

zν

. .. Ec. 4

Hf son las perdidas por fricción y se expresa de la siguiente forma:

gD

LfH S

f 2

2ν××= .. . Ec. 5

Reemplazando la ecuación 5 en la ecuación 4 y

despejando Sν obtenemos lo siguiente:

D

Lf

gZS

×+=

1

2ν ... Ec. 6

Ecuación para evaluar el tiempo de descarga

Ahora relacionaremos las ecuaciones anteriores para obtener una ecuación que relacione estas variables y que evalúe el tiempo que demora un tanque con geometría determinada para vaciarse.

En la figura1 se muestra el esqueleto del equipo.

Donde R0 : Radio Base Superior R1 : Radio Base Inferior r2 : Radio Inicial del Fluido r1 : Radio del fluido en cualquier tiempo Z2T : Altura del Tanque Z0 : Altura Inicial del Fluido Z : Altura cualquiera del Fluido Zf : Altura Final del Fluido Z1 : Altura del Vértice del Tanque cónico. Por semejanza de triángulos encontramos las

siguientes relaciones:

1

1

12

0

ZZ

r

ZZ

R

T −=

− … Ec. 7

1

1

12

0

ZZ

R

ZZ

R

fT −=

− … Ec. 8

Calculamos Z1 desde la ecuación 8.

10

2101 RR

ZRZRZ Tf

−−

= … Ec. 9

3 3

2 1 2 11 1 1 0 1

2 1 2 12 1

2 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) 3

r r r rr h h r h h

h h h hh hV

r rπ

− − + − − + − − −− = × −

TZ2

0Z

Z

fZ

1Z

PLANO DE REFERENCIA A2

r2

r1

R1

R0

Figura 1. Equipo de Descarga de Fluidos.

Despejamos r1 desde la ecuación 7.

12

101

)(

ZZ

ZZRr

T −−

= … Ec. 10

Esta ecuación denota el radio r1 en cualquier altura.

Balance de Materia Haciendo un balance de materia: Entrada – Salida + Generación = Acumulación Sabemos que en el sistema no interesa la entrada, tan

solo evaluaremos la salida y como no hay reacción química no hay generación. Reacomodando queda así:

- salida = Acumulación

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

dt

dmmS =− & …. Ec. 11

Sabemos que m = ρV y la densidad es constante:

dt

dVmS

ρ=− &

Sabemos que el volumen es V= A1Z

dt

dAZmS

ρ=− &

Derivando obtenemos:

+=−dt

dAZ

dt

dZAmS 1ρ&

Debido a que dt

dA

dt

dZ > , dt

dA puede despreciarse,

entonces la ecuación quedaría así:

dt

dZAmS

ρ1=− &

Acomodando términos:

dt

dZAV 1=− &

Se sabe que SSAV ν=& donde Sν es la

velocidad de salida.

dt

dZAA SS

1=− ν ….. Ec. 12

Esta relación última es muy importante, ahora reemplazaremos la ecuación 6 en la ecuación 12.

dt

dZA

D

Lf

gZAS

1

1

2 =×+

− … Ec. 13

Donde A1 es la superficie libre del fluido y AS es la sección transversal de la tubería.

El área esta en función de la altura )(1 ZA ϕ= .

211 rA ×= π …. Ec. 14

Reemplazamos la ecuación 10 en la ecuación 14 y obtenemos

2

12

101

)(

−−

×=ZZ

ZZRA

T

π …. Ec. 15

Reemplazamos la ecuación 15 el ecuación 12

dt

dZ

ZZ

ZZRA

TSS

2

12

10 )(

−−

×=− πν .. .. Ec. 16

Ordenando para integrar

dt

dZ

Z

ZZ

D

Lf

g

R

ZZA TS2

12

0

212 )(

1

2)( −=

×+

−−

π

Consideramos f , factor de fricción promedio,

sabemos que el factor de fricción cambia con el con diferentes variables. Pero como no se quiere complicar la ecuación tomaremos el promedio:

2finalinicial ff

f+

=

Así podríamos considerar constante al factor de fricción.

Tomaremos una constante para expresar una parte de la ecuación para no complicar y caer en errores:

απ

=×+

−

D

Lf

g

R

ZZA TS

1

2)(2

0

212 … Ec 17

Reemplazando obtenemos:

dt

dZ

Z

ZZ 21)( −=−α . … Ec. 18

Integramos y obtenemos:

∫∫−

=−Z

Z

tdZ

Z

ZZdt

0

21

0

)(α

Z

Z

tZZZZZdt

0

2/121

2/31

2/5

02

3

4

5

2 +−=−α

Evaluando los limites obtenemos:

[ ] [ ] [ ]2/12/10

21

2/32/301

2/52/50 2

3

4

5

2ZZZZZZZZt −+−−−=− α

Obtenemos la ecuación que relaciona la altura y el

tiempo.

[ ] [ ] [ ]

)/(1

2)(

23

4

5

2

20

212

2/12/10

21

2/32/301

2/52/50

DLf

g

R

ZZA

ZZZZZZZZt

TS

+−−

−+−−−=

π

Materiales y Métodos

Para realizar esta experiencia se requerirá de un equipo como se muestra en la figura 2, este equipo posee accesorios que nos permitirán controlar el caudal o el flujo volumétrico que sale del tanque tronco cónico.

Para tomar datos en cada tiempo se hace uso de un cronometro, también de recipientes.

Se tomaran muestras de agua durante 3 segundos a intervalos de 15 segundos. De esta forma obtendremos datos que después nos servirá para analizar el comportamiento y la tendencia de la descarga de un tanque de esta geometría.

VISTA SUPERIOR DEL TANQUE

Se aprecia los radios del tanque el radio superior es de 0.40 m y el inferior es de 0.20 m.

El material es de acero. El agujero que presenta es la tubería de descarga del tanque.

A continuación se muestra la figura 2 donde se detalla los accesorios y las medidas del tanque.

Figura 2. Medidas Tanque Tronco Conico

Procedimiento Experimental

Como se menciono anteriormente se toman muestras del fluido en este caso agua intervalos de 15 segundos durante 3 seg y se mide el volumen y se anota. El flujo se controla con la llave de compuerta que hay en la parte inferior. De esta manera el flujo es constante.

La temperatura a la que se trabaja es de 20 ºC, el agua es potable pero la viscosidad no se ve muy afectada así que se considera 1.002 cP. Para tener más precisión se hacen dos mediciones.

A los últimos 4 minutos se observa el vortice.

Resultados

Se muestran en la Tabla 1. Estos datos se analizan estadísticamente a fin de terminar un modelo que se aproxime a los datos.

Haremos una comparación de los datos teóricos y los datos experimentales a fin de comparar la aproximación de los datos teóricos a los datos experimentales.

0.147 m

0.251 m

0.085 m

0.978 m

1.95 m

1.595 m

Z

0.31 m

0.400 m

0.200 m

Tabla. 1 Datos 1º Experiencia

Tiempo / s Altura /m Volumen(Muestra) /mL

15 0.219 275 30 0.207 250 45 0.193 275 60 0.178 270 75 0.163 250 90 0.145 250 105 0.13 300 120 0.113 250 135 0.092 250 150 0.07 230 165 0.048 275 170 0.02 25

Tabla 2. Datos 2º Experiencia

Tiempo / s Altura /m Volumen(Muestra) /mL 15 0.219 240 30 0.209 230 45 0.199 275 60 0.187 225 75 0.175 300 90 0.162 200

105 0.15 300 120 0.138 200 135 0.124 250 150 0.11 300 165 0.093 240 180 0.075 250 195 0.055 230 210 0.04 200 215 0.015 250

Ahora graficamos los datos. Tiempo en función de la Altura.

Se observa un comportamiento polinomico es una curva que decrece a medida que el tiempo transcurre. Debe tenerse en cuenta que esta es la altura del tanque no de todo el sistema.

Graficaremos ahora el tiempo en función del flujo volumétrico.

Fujo Volumetrico en función del Tiempo

0

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150 200 250

Tiempo (s)

Flu

jo V

olum

etric

o (

mL/

s)

1º Experiencia 2º Experiencia

Aquí se muestran las regresiones polinómicas de grado 3 para las 2 experiencias.

Altura del tanque en función del tiempo

(1º) h = -3E-08t3 + 5E-06t2 - 0.0012t + 0.2383 R2 = 0.996

(2º) h = -1E-08t3 + 2E-06t2 - 0.0009t + 0.2335 R2 = 0.9973

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 50 100 150 200 250

Tiempo (s)

Altu

ra (

m)

1º Experiencia 2º ExperienciaPolinómica (1º Experiencia) Polinómica (2º Experiencia)

La grafica del comportamiento teórico es la siguiente:

Comportamiento Teorico

z = -4E-08t3 + 1E-06t2 - 0.0012t + 0.2157 R2 = 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 20 40 60 80 100 120 140

Tiempo (s)

Altu

ra (m

)

Podemos apreciar que la curva corta en 129 s para la altura cero ósea que demora 129 s para descargar todo el tanque. En las experiencias demora 170 y 215 respectivamente.

Altura del tanque en función del tiempo

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 50 100 150 200 250

Tiempo (s)

Altu

ra (

m)

1º Experiencia 2º Experiencia

A continuación se muestran los cálculos usados para llegar a este modelo matemático:

Zf 1.595 m

Z1 (Calculado con la Formula) 1.286594838 m

R0 0.200355 m

R1 0.1 m Constante Pi 3.141592654

AS 0.000196067 m

Z2T 1.9045 m g 9.80665 m/s^2

L Total 48.5926 m

L Tuberia 1.461 m

L Union 0.0316 m

L T Paso Directo 0.5 m

L Valvula Compuerta 1/2 open 31.6 m

L Capa Oxido 15 m Di 0.0158 m

f

ε 0.152 mm 0.000152 m

ε/D 0.009620253

µ Temp. 20 ºC 1.002 cP 0.001002 N-s/m^2

ρ 1000 kg/m^3 Re 8041.916168

Tanteo f inicial Vs 0.51 m/s

ffffo 0.044

Vs tanteo 0.510308708 m/s

Zo 1.81 Tanteo f final

Vs 0.47 m/s

f f f f f 0.0444 Vs tanteo 0.476895517 m/s Re 7411.177645 factor promedio f 0.0442

Tiempo en vaciarse= -0.028996778

129.069424 -0.000224660

Conclusiones

El comportamiento de la descarga de un tanque se puede evaluar mediante ecuaciones que simulen el teóricamente el vaciado de un tanque. Existe una gran aproximación en cuanto a los datos experimentales el error esta básicamente en los datos mal tomados, es por esto que no se puede evaluar el comportamiento del flujo volumétrico. Bibliografía

[1] R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1992.

[2] Christie J. Geankoplis, Procesos de Transporte y Operaciones Unitarias, Editorial Continental, México 1998.

[3] R. H. Perry, D. W. Green, Chemical Engineer’s Handbook, Mc Graw Hill, USA, 1999

10

2101 RR

ZRZRZ Tf

−−

=

[ ] [ ] [ ]t

DLf

g

R

ZZA

ZZZZZZZZ

TS

fff

=

+−−

−+−−−

)/(12)(

234

52

20

212

2/12/10

21

2/32/301

2/52/50

π