Determinacin de la aceleracin de la gravedad a travs del pndulo fsico

Objetivos

Esta prctica tuvo como objetivo principal calcular el valor de la aceleracin de la gravedad por medio de un experimento de movimiento pendular, ajustando por el mtodo de los cuadrados mnimos una lnea recta considerando un cambio de variable para despus calcular la pendiente de dicha recta y asi obtener el valor de la aceleracin de la velocidad.

Antecedentes tericos

Relaciones directamente proporcionales. Dos relaciones son directamente proporcionales cuando:1. A cada cantidad de una de ellas le corresponde una cantidad de la otra.2. Al multiplicar una de estas cantidades por un nmero, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada por ese mismo nmero. Pndulo simple Un pndulo simple se define como una partcula de masam suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitudly de masa despreciable.Si la partcula se desplaza a una posicinq0(ngulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el pndulo comienza a oscilar.El pndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radiol. Estudiaremos su movimiento en la direccin tangencial y en la direccin normal.Las fuerzas que actan sobre la partcula de masa mson dos el pesomg La tensinTdel hilo

Descomponemos el peso en la accin simultnea de dos componentes,mgsenq en la direccin tangencial ymgcosqen la direccin radial. Ecuacin del movimiento en la direccin radialLaaceleracin de la partculaesan=v2/ldirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.La segunda ley de Newton se escribeman=T-mgcosqConocido el valor de la velocidadven la posicin angularq podemos determinar la tensinTdel hilo.La tensinTdel hilo es mxima, cuando el pndulo pasa por la posicin de equilibrio,T=mg+mv2/lEs mnima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero,T=mgcosq0 Principio de conservacin de la energaEn la posicin=0el pndulo solamente tiene energa potencial, que se transforma en energa cintica cuando el pndulo pasa por la posicin de equilibrio.Comparemos dos posiciones del pndulo:En la posicin extrema=0, la energa es solamente potencial.E=mg(l-lcos0)En la posicin, la energa del pndulo es parte cintica y la otra parte potencial

La energa se conservav2=2gl(cos-cos0)La tensin de la cuerda esT=mg(3cos-2cos0)La tensin de la cuerda no es constante, sino que vara con la posicin angular.Su valor mximo se alcanza cuando=0,el pndulo pasa por la posicin de equilibrio (la velocidad es mxima). Su valor mnimo, cuando=0(la velocidad es nula). Ecuacin del movimiento en la direccin tangencialLa aceleracin de la partcula esat=dv/dt.La segunda ley de Newton se escribemat=-mgsenqLarelacinentre la aceleracin tangencialaty la aceleracin angularaesat=al. La ecuacin del movimiento se escribe en forma deecuacin diferencialMovimiento armnico simple. Es un movimiento peridico y vibratorio en ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posicin y queda descrito en funcin del tiempo por una funcin senoidal (seno o coseno)Mtodo de los cuadrados mnimos. Es la tcnica ms ampliamente usada para ajustar una recta (o una curva) a un conjunto de puntos. Este procedimiento supone que los errores de los valores de y son mucho mayores que los de los valores de x2. Esta condicin normalmente es cierta en una curva de calibrado en la cual la respuesta experimental medida (valores de y) es menos cierta que la cantidad del analito (valores de x). Un segundo supuesto es que las incertidumbres (las desviaciones estndar) de todos los valores de y son similares.

Importancia de la prctica en la qumica

Procedimiento Experimental Material y Equipo Masa Fotocompuerta Flexmetro Hilo y tijeras Transportador Pinza de tres dedos con nuez Soporte universal Dos prensas para mesa Elevador Procedimiento

Montar el soporte universal y sujetarlo con las prensas para mesa. Colocar la pinza de tres dedos con nuez en la varilla del soporte universal y atar un extremo del hilo en la pinza de tres dedos. En el otro extremo del hilo atar la masa de forma que se obtenga un pndulo simple.

Soportar y afianzar el transportador en la varilla de la pinza de tres dedos colocando la horizontal del transportador hacia arriba y el semicrculo hacia abajo, tratando de que el centro del transportador coincida con el nudo donde se sujeta el hilo a la pinza de tres dedos. Colocar la fotocompuerta de tal forma que su plano est en posicin vertical y seleccionar la funcin PEND. Asegurar que cuando el pndulo est esttico, la pesa se encuentre justo en la zona del lser que activa la fotocompuerta.

Medir la longitud pendular desde el punto donde se at el nudo hasta al centro de la masa (se siguiere comenzar con una longitud de 90 cm) y colocar el pndulo en un ngulo inicial de oscilacin menor o igual a 5 grados. El ngulo seleccionado debe de ser una constante en el desarrollo experimental.

Medir el tiempo de oscilacin (periodo de oscilacin, T) y repetir este procedimiento hasta obtener cinco datos confiables.Realizar el procedimiento para obtener tiempos de oscilacin, T, con al menos diez longitudes pendulares diferentes.

Resultados

Tabla 1. Datos experimentales de longitud pendular obtenidos a travs de un pndulo simple.LP 1 (cm)LP 2 (cm)LP 3 (cm)LP 4 (cm)LP 5 (cm)LP 6 (cm)LP 7 (cm)

Medida 169.674.580.389.695.0100.5104.8

Medida 269.574.580.389.795.1100.5105.0

Medida 369.574.480.289.695.0100.4105.0

Medida 469.574.480.289.795.0100.5104.9

Medida 569.474.580.089.794.8100.6105.0

Para la longitud pendular 1:Promedio: xi/5 = (69.6 cm + 69.5 cm + 69.5 cm + 69.5 cm + 69.4 cm)/5= 69.5 cmIncertidumbre tpica poblacional: s(x) = = 0.071 cmIncertidumbre tipo A: UA (x) = s(x)/ = 0.071 cm/ = 0.032 cmIncertidumbre tipo B (resolucin del instrumento): UB (x) = 0.1 cmIncertidumbre combinada: UC (x)= |UA2(x)+UB2(x)|1/2 = |(0.032 cm)2+(0.1 cm)2|1/2 = 0.10 cmPara la longitud pendular 2:Promedio: xi/5 = (74.5 cm + 74.5 cm + 74.4 cm + 74.4 cm + 74.5 cm)/5= 74.46 cmIncertidumbre tpica poblacional: s(x) = = 0.055 cmIncertidumbre tipo A: UA (x) = s(x)/ = 0.055 cm/ = 0.025 cmIncertidumbre tipo B (resolucin del instrumento): UB (x) = 0.1 cmIncertidumbre combinada: UC (x)= |UA2(x)+UB2(x)|1/2 = |(0.025 cm)2+(0.1 cm)2|1/2 = 0.10 cmPara la longitud pendular 3:Promedio: xi/5 = (80.3 cm + 80.3 cm + 80.2 cm + 80.2 cm + 80.0 cm)/5= 80.2 cmIncertidumbre tpica poblacional: s(x) = = 0.122 cmIncertidumbre tipo A: UA (x) = s(x)/ = 0.122 cm/ = 0.055 cmIncertidumbre tipo B (resolucin del instrumento): UB (x) = 0.1 cmIncertidumbre combinada: UC (x)= |UA2(x)+UB2(x)|1/2 = |(0.055 cm)2+(0.1 cm)2|1/2 = 0.11 cmPara la longitud pendular 4:Promedio: xi/5 = (89.6 cm + 89.7 cm + 89.6 cm + 89.7 cm + 89.7 cm)/5= 89.66 cmIncertidumbre tpica poblacional: s(x) = = 0.055 cmIncertidumbre tipo A: UA (x) = s(x)/ = 0.055 cm/ = 0.025 cmIncertidumbre tipo B (resolucin del instrumento): UB (x) = 0.1 cmIncertidumbre combinada: UC (x)= |UA2(x)+UB2(x)|1/2 = |(0.025 cm)2+(0.1 cm)2|1/2 = 0.10 cmPara la longitud pendular 5:Promedio: xi/5 = (95.0 cm + 95.1 cm + 95.0 cm + 95.0 cm + 94.8 cm)/5= 94.98 cmIncertidumbre tpica poblacional: s(x) = = 0.110 cmIncertidumbre tipo A: UA (x) = s(x)/ = 0.110 cm/ = 0.050 cmIncertidumbre tipo B (resolucin del instrumento): UB (x) = 0.1 cmIncertidumbre combinada: UC (x)= |UA2(x)+UB2(x)|1/2 = |(0.050 cm)2+(0.1 cm)2|1/2 = 0.11 cmPara la longitud pendular 6:Promedio: xi/5 = (100.5 cm + 100.5 cm + 100.4 cm + 100.5 cm + 100.6 cm)/5= 100.5 cmIncertidumbre tpica poblacional: s(x) = = 0.071 cmIncertidumbre tipo A: UA (x) = s(x)/ = 0.071 cm/ = 0.032 cmIncertidumbre tipo B (resolucin del instrumento): UB (x) = 0.1 cmIncertidumbre combinada: UC (x)= |UA2(x)+UB2(x)|1/2 = |(0.032 cm)2+(0.1 cm)2|1/2 = 0.10 cmPara la longitud pendular 7:Promedio: xi/5= (104.8 cm + 105.0 cm + 105.0 cm + 104.9 cm + 105.0 cm)/5= 104.94 cmIncertidumbre tpica poblacional: s(x) = = 0.106 cmIncertidumbre tipo A: UA (x) = s(x)/ = 0.106 cm/ = 0.047 cmIncertidumbre tipo B (resolucin del instrumento): UB (x) = 0.1 cmIncertidumbre combinada: UC (x)= |UA2(x)+UB2(x)|1/2 = |(0.047 cm)2+(0.1 cm)2|1/2 = 0.11 cmTabla 2. Datos experimentales de periodo de oscilacin obtenidos a travs de un pndulo simple.T1 (s)T2 (s)T3 (s)T4 (s)T5 (s)T6 (s)T(7)

Medida 11.68381.73951.80091.89401.94672.01242.0537

Medida 21.68211.73951.80241.90161.95192.01272.0537

Medida 31.68211.73911.80221.89591.95062.01022.0767

Medida 41.68211.73991.80301.89791.91202.00972.0530

Medida 51.68161.73961.80141.89781.95212.00482.0531

Medida 61.68231.73981.80141.89531.95062.00792.0530

Medida 71.68151.74001.80271.89631.95202.00542.0533

Medida 81.68211.73961.80101.89251.95072.00852.0526

Medida 91.68141.73881.80191.89601.94992.00992.0537

Medida 101.68231.73961.80281.89401.95022.00722.0529

Medida 111.68141.73911.80261.89601.95122.01242.0521

Medida 121.68081.74001.80231.89611.95152.01002.0525

Medida 131.68021.73961.80201.89641.95072.00502.0522

Medida 141.68021.73951.80251.89671.95162.00962.0531

Medida 151.68111.73661.80281.89581.95172.00802.0532

ConclusinEn conclusin es posible obtener un dato desconocido a partir de mediciones indirectas a este, sin embargo para poder hacer esto correctamente se necesita un banco de datos lo suficientemente grande para minimizar el margen de error lo ms posible, al igual que usar varios mtodos para determinar la incertidumbre con lo cual podemos confirmar o en su defecto corregir las incertidumbres obtenidas. Tambin es necesario usar varias graficas obtenidas tanto directamente como por cambio de variable para observar la tendencia de cambio en los datos con respecto a las condiciones experimentales.

Cuestionario1 Qu implica fsicamente que la grfica de longitud pendular contra tiempo no sea una lnea recta?R: que al no presentar una tendencia linear, el movimiento descrito en su componente de tiempo, es dependiente de la longitud angular al igual que el ngulo inicial de manera no directa, lo que implica un cambio en la velocidad dependiente de la longitud angular.2 Qu significado tiene la grfica que se obtiene por cambio de variable? R: En este caso la grfica por cambio de variable demostr un cambio exponencial lo que prueba la existencia de fuerzas que aceleran y desaceleran el pndulo, en este caso la gravedad.3 La incertidumbre encontrada por la ley de propagacin de incertidumbre se aproxima al valor de la incertidumbre ajustada al valor de los cuadrados mnimos?R: Si 4 Qu factores influyes en la determinacin del valor de la gravedad?R: La masa del pndulo, el largo del hilo, al igual que cualquier otra variable extraa que pudiera afectar los datos de las mediciones. 5 Dada la experiencia en el laboratorio Qu modificaciones realizara en su experimento para obtener un valor de la aceleracin de la gravedad ms cercana al valor terico?R: Aumentar el nmero de mediciones, adems de hacer varias mas a diferentes ngulos y longitudes del hilo, lo cual nos dara una mayor base de datos diferentes que al ser comparados podran acercarnos an ms al resultado esperado.6 Cmo demostr Focuault que la tierra gira bajo su propio eje?R:Uso un pndulo compuesto por una bala de can de 26kgsuspendida por un cable de 67mde largo, y que tardaba diecisis segundos para ir y volver cada vez. En la parte inferior de la bala haba un estilete que marcaba la arena debajo del pndulo, despus de varias oscilaciones se pudo observar una pequea variacin entre cada oscilacin marcada, todas las marcas tenan la misma variacin entre ellas, con esto demostr el movimiento rotacional de la tierra.