Unidades  de  Combustible  Fósil,  Sin  Restricciones  de  Desigualdad,  Sin  Pérdidas  de  Transmisión    

El   costo   de   combustible   es   el   mayor   costo  variable   de   operación.   Los   costos   fijos   no   se  incluyen.  Sólo  aquellos  costos  que  son  función  de  la   potencia   de   salida   de   la   unidad   entran   a   la  formulación  del  despacho  económico.  

 El   costo   de   operación   de   la   unidad  𝑖  (𝐶!)   se  

construye   de   funciones   continuas   por   parte  válidas   para   rangos   de   𝑃! ,   en   base   a   datos  empíricos.   Es   conveniente   expresar   𝐶!  en  términos   de   BTU/ℎ ,   que   es   relativamente  constante  a  lo  largo  de  la  vida  útil  de  la  unidad.  𝐶!  puede   ser   convertida   a   $/ℎ  multiplicando   la  entrada  de  combustible  en  𝐵𝑇𝑈/ℎ  por  el  costo  de  combustible  en  $/𝐵𝑇𝑈.  

 La   Figura   12.14   muestra   el   costo  

incremental   de   operación  𝑑𝐶!/𝑑𝑃!  versus  𝑃! ,  que  es  la  pendiente  o  derivada  de  la  curva  de  𝐶!  versus   𝑃! .   Cuando   𝐶!  consiste   solo   en  costos  de   combustible,  𝑑𝐶!/𝑑𝑃!  es   la   tasa  del  aumento   energía   combustible   de   entrada   en  𝐵𝑇𝑈  respecto   al   aumento   de   energía   de  salida   en  𝑘𝑊ℎ,   llamada   aumento   de   tasa   de  calentamiento.   El   inverso   de   la   tasa   de  calentamiento,   que   es   la   razón   entre   la  energía   de   salida   y   la   de   entrada,   da   una  medida  de  la  eficiencia  del  combustible  de  la  unidad.   En   la   Figura   12.13,   la   máxima  eficiencia   ocurre   a  𝑃! = 600 𝑀𝑊 ,   donde   la  tasa   de   calentamiento   es  𝑪/𝑷 = 5,4 ⋅ 10! /(600 ⋅ 10!) = 9000[𝐵𝑇𝑈/𝑘𝑊ℎ].   La   eficiencia  a  esta  salida  es:  

 

𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒  𝑑𝑒  𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =1

9000𝑘𝑊ℎ𝐵𝑇𝑈

3413𝐵𝑇𝑈𝑘𝑊ℎ

⋅ 100 = 37,92%  

 La  curva  𝑑𝐶!/𝑑𝑃!  en  la  Figura  12.14  es  representada  también  por  funciones  continuas  por  parte,  

válidas  para   rangos  de  𝑃! .  Usualmente   son  aproximadas  por   rectas.  𝑑𝐶!/𝑑𝑃!  puede   ser   convertido   a  $/𝑘𝑊ℎ  multiplicando   por   el   aumento   de   tasa   de   calentamiento   en  𝐵𝑇𝑈/𝑘𝑊ℎ  y   por   el   costo   del  combustible  en  $/𝐵𝑇𝑈.  

 Para   un   sistema   de   potencia   interconectado   consistente   en  𝑁  unidades   que   operan   en   el  

despacho  económico,  el  costo  variable  total  𝐶!  de  operar  esas  unidades  es:    

𝐶! = 𝐶!

!

!!!

= 𝐶! 𝑃! + 𝐶! 𝑃! +⋯+ 𝐶! 𝑃!$ℎ   (12.4.1)  

 ,   con  𝐶!  [$/ℎ]  incluyendo   el   costo   de   combustible   y   otros   costos   variables   de   la   unidad  𝑖.   Sea  𝑃!  la  demanda  total  del  área.  Despreciando  pérdidas  por  transmisión,    

𝑃! + 𝑃! +⋯+ 𝑃! = 𝑃!   (12.4.2)    

El  problema  del  despacho  económico  es:  encontrar   los  valores  de   la  potencia  de   las  unidades  𝑃!,𝑃!,… ,𝑃!  tal  que  minimicen  𝐶!  dado  por  (12.4.1),  sujeto  a  la  restricción  de  igualdad  de  (12.4.2).  

 Un   criterio   de   solución   es:   todas   las   unidades   del   despacho   económico   deben   operar   a   igual  

costo  incremental  de  operación.  Es  decir,      

𝑑𝐶!𝑑𝑃!

=𝑑𝐶!𝑑𝑃!

= ⋯ =𝑑𝐶!𝑑𝑃!

  (12.4.3)  

 Explicación  intuitiva:  reducir  la  salida  de  la  unidad  con  el  costo  incremental  más  alto  resulta  en  

un  mayor  decrecimiento  de  costo  que  el  aumento  de  costo  por  añadir  la  misma  reducción  de  potencia  a  las  unidades  con  costos  incrementales  bajos.  

 Solución  matemática:   el  mínimo  valor   de  𝐶!  ocurre   cuando   el   diferencial   total  𝑑𝐶!  es   cero.   Es  

decir:    

𝑑𝐶! =𝜕𝐶!𝜕𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! +𝜕𝐶!𝜕𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! +⋯+𝜕𝐶!𝜕𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! = 0   (12.4.4)  

 Usando  (12.4.1),  (12.4.4)  se  vuelve:    

𝑑𝐶! =𝑑𝐶!𝑑𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! +𝑑𝐶!𝑑𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! +⋯+𝑑𝐶!𝑑𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! = 0   (12.4.5)  

 Asumiendo  𝑃!  constante,  el  diferencial  de  (12.4.2)  es:    

𝑑𝑃! + 𝑑𝑃! +⋯+ 𝑑𝑃! = 0   (12.4.6)    Multiplicando  (12.4.6)  por  𝜆  y  restando  esta  ecuación  resultante  a  (12.4.5),      

𝑑𝐶!𝑑𝑃!

− 𝜆 𝑑𝑃! +𝑑𝐶!𝑑𝑃!

− 𝜆 𝑑𝑃! +⋯+𝑑𝐶!𝑑𝑃!

− 𝜆 𝑑𝑃! = 0   (12.4.7)  

 (12.4.7)  se  satisface  cuando  cada  término  entre  paréntesis  es  cero.  Es  decir,    

𝑑𝐶!𝑑𝑃!

=𝑑𝐶!𝑑𝑃!

= ⋯ =𝑑𝐶!𝑑𝑃!

= 𝜆   (12.4.8)  

 

Por   tanto,   todas   las   unidades   deben   tener   el  mismo   costo   incremental   de   operación   (𝜆)   para  minimizar  el  costo  total  de  operación  𝐶! .  

   

Efecto  de  las  Restricciones  de  Desigualdad    

Cada  unidad  generadora  no  debe  operar  sobre  su  calificación  o  bajo  un  valor  mínimo.  Es  decir,    

𝑃!,  !"# < 𝑃! < 𝑃!,  !á! ,        𝑖 = 1,2,… ,𝑁   (12.4.9)    Cuando   se   incluyen   las   restricciones   de   desigualdad,   se   modifica   la   solución   del   despacho  

económico   de   la   siguiente   forma.   Si   más   de   una   unidad   alcanza   su   valor   límite,   entonces   esas  unidades  se  mantienen  en  sus   límites  y   las  unidades  restantes  operan  a   igual  costo   incremental  de  operación  𝜆.  El  costo  incremental  de  operación  del  área  iguala  al  𝜆  común  para  las  unidades  que  no  están  en  sus  límites.  

 Efecto  de  las  Pérdidas  de  Transmisión  

 Cuando   las   pérdidas   de   transmisión   son   incluidas   en   el   problema   de   despacho   económico,  

(12.4.2)  se  vuelve:    

𝑃! + 𝑃! +⋯+ 𝑃! − 𝑃! = 𝑃!   (12.4.10)    

,   donde  𝑃!  es   la   carga   total   demandada   y  𝑃!  es   la   pérdida   de   transmisión   total   en   el   área.  𝑃!  no   es  constante,  pero  depende  de   las  salidas  de   las  unidades  𝑃!,𝑃!,… ,𝑃! .  El  diferencial   total  de  (12.4.10)  es:    

𝑑𝑃! + 𝑑𝑃! +⋯+ 𝑑𝑃! −𝜕𝑃!𝜕𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! +𝜕𝑃!𝜕𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! +⋯+𝜕𝑃!𝜕𝑃!

⋅ 𝑑𝑃! = 0   (12.4.11)  

   Multiplicando  (12.4.11)  por  𝜆  y  restando  esta  ecuación  resultante  a  (12.4.5),    𝑑𝐶!𝑑𝑃!

+ 𝜆𝜕𝑃!𝜕𝑃!

− 𝜆 𝑑𝑃! +𝑑𝐶!𝑑𝑃!

+ 𝜆𝜕𝑃!𝜕𝑃!

− 𝜆 𝑑𝑃! +⋯+𝑑𝐶!𝑑𝑃!

+ 𝜆𝜕𝑃!𝜕𝑃!

− 𝜆 𝑑𝑃! = 0   (12.4.12)  

 (12.4.12)  es  satisfecha  cuando  cada  término  entre  paréntesis  es  cero.  Es  decir,    

𝑑𝐶!𝑑𝑃!

+ 𝜆𝜕𝑃!𝜕𝑃!

− 𝜆 = 0          ⟺          𝜆 =𝑑𝐶!𝑑𝑃!

𝐿! =𝑑𝐶!𝑑𝑃!

⋅1

1− 𝜕𝑃!𝜕𝑃!

,          𝑖 = 1,2,… ,𝑁  

 

(12.4.13)  

(12.4.13)   da   el   criterio   de   despacho   económico,   incluyendo   pérdidas   por   transmisión.   Cada  unidad   que   no   está   en   su   valor   límite   opera   de   tal   forma   que   el   costo   de   operación   incremental  𝑑𝐶!/𝑑𝑃!  multiplicado   por   el   factor   de   penalización  𝐿!  sea   el   mismo.   Cuando   las   pérdidas   por  transmisión  son  despreciables,  𝜕𝑃!/𝜕𝑃! = 0,  𝐿! = 1  y  (12.4.13)  se  reduce  a  (12.4.8).  

 Para  un  área  de  N  unidades,  la  fórmula  general  para  las  pérdidas  de  transmisión  en  función  de  

los  coeficientes  de  pérdida  (𝐵!")  o  coeficientes  B  es:    

𝑃! = 𝑃!𝐵!"𝑃!

!

!!!

!

!!!

 

 

(12.4.14)  

Los   coeficientes   B   se   asumen   constantes   en   la   práctica   y  𝜕𝑃!/𝜕𝑃!  es   simplificado.   Usando  (12.4.14),  

 𝜕𝑃!𝜕𝑃!

= 2 𝐵!"𝑃!

!

!!!

 

 

(12.4.15)  

Esta  ecuación  se  puede  usar  para  calcular  los  factores  de  penalización  𝐿!  en  (12.4.13).    Cuando   las   curvas   de   costo   incremental   de   la   unidad   son   lineales,   es   posible   una   solución  

analítica  del  problema  de  despacho  económico.  En  la  práctica,  las  curvas  de  costo  incremental  son  no  lineales  y  contienen  discontinuidades.  En  ese  caso  se  puede  obtener  una  solución  iterativa.  Dadas  la  carga   demandada  𝑃! ,   las   curvas   de   costo   incremental   de   la   unidad,   los   límites   del   generador   y   los  coeficientes  B,  se  puede  obtener  una  solución  iterativa  siguiendo  estos  9  pasos:    PASO  1   Setear  índice  de  iteración  𝑚 = 1  PASO  2     Estimar  el  m-­‐ésimo  valor  de  𝜆  PASO  3   Saltar   este   paso   para   todo  𝑚 > 1 .   Determinar   las   salidas   iniciales   de   la   unidad  𝑃! 𝑖 = 1,2,… ,𝑁 .   Usar  𝑑𝐶!/𝑑𝑃! = 𝜆  y   lea  𝑃!  desde   cada   tabla  de   costo   incremental.   Las  pérdidas  por  transmisión  son  despreciadas  aquí.  PASO  4   Calcular  𝜕𝑃!/𝜕𝑃!  de  (12.4.15)   𝑖 = 1,2,… ,𝑁  PASO  5   Calcular  𝜕𝐶!/𝜕𝑃!  de  (12.4.13)   𝑖 = 1,2,… ,𝑁  PASO  6   Determinar  los  valores  actualizados  de  la  salida  de  la  unidad    𝑃!  (𝑖 = 1,2,… ,𝑁).  Leer  𝑃!  de   la   tabla   de   cada   costo   incremental   de   operación.   Si  𝑃!  excede   un   valor   límite,   setear  𝑃!  en   los  límites.  PASO  7   Comparar  𝑃!  determinado  en  el  Paso  6  con  el  valor  previo  (𝑖 = 1,2,… ,𝑁).  Si  el  cambio  en  la  salida  de  cada  unidad  es  menor  que  una  toleracia  𝜀!,  ir  al  Paso  8.  En  otro  caso,  volver  al  Paso  4.  PASO  8   Calcular    𝑃!  de  (12.4.14)  PASO  9   S 𝑃!!

!!! − 𝑃! − 𝑃!  es  menor  que  una   tolerancia  específica  𝜀!,   parar.  De  otra   forma,  hacer  𝑚 = 𝑚 + 1  y  volver  al  Paso  2.  

   

 

Capítulo  12,  Control  de  Sistemas  de  Potencia  -­‐  12.4  Despacho  Económico  Libro  Glover  et  al,  “Power  Systems  Analysis  and  Design”,  5th  ed,  2010  

Andrés  Yenes  Sepúlveda  

occurs at Pi ! 600 MW, where the heat rate is C=P ! 5:4" 109=600"103 ! 9000 BTU/kWhr. The e‰ciency at this output is

percentage e‰ciency ! 1

9000

kWhr

BTU

! "3413

BTU

kWhr

! "" 100 ! 37:92%

The dCi=d Pi curve in Figure 12.14 is also represented by piecewisecontinuous functions valid for ranges of output Pi. For analytical work, theactual curves are often approximated by straight lines. The ratio dCi=d Pi canalso be converted to $/kWhr by multiplying the incremental heat rate inBTU/kWhr by the cost of fuel in $/BTU.

FIGURE 12.13

Unit operating costversus real power

output—fossil-fuelgenerating unit

FIGURE 12.14

Unit incrementaloperating cost versusreal power output—fossil-fuel generating

unit

668 CHAPTER 12 POWER SYSTEM CONTROLS

(AutoPDF V7 10/12 11:29) Thomson-U (7.375x9.25") Tmath&GillSans J-1711 Glover AC1:(CKN)11/4/2007 pp. 639–689 25795_12_ch12_p639-689 (p. 668)

Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

Figura  12.13  Costo  de  Operación  de  la  Unidad  versus  Potencia  Real  de  Salida  –  Unidad  Generadora  a  Combustible  Fósil  

Figura  12.14  Costo  Incremental  de  la  Unidad  versus  Potencia  Real  de  Salida  –  Unidad  

Generadora  a  Combustible  Fósil  

occurs at Pi ! 600 MW, where the heat rate is C=P ! 5:4" 109=600"103 ! 9000 BTU/kWhr. The e‰ciency at this output is

percentage e‰ciency ! 1

9000

kWhr

BTU

! "3413

BTU

kWhr

! "" 100 ! 37:92%

The dCi=d Pi curve in Figure 12.14 is also represented by piecewisecontinuous functions valid for ranges of output Pi. For analytical work, theactual curves are often approximated by straight lines. The ratio dCi=d Pi canalso be converted to $/kWhr by multiplying the incremental heat rate inBTU/kWhr by the cost of fuel in $/BTU.

FIGURE 12.13

Unit operating costversus real power

output—fossil-fuelgenerating unit

FIGURE 12.14

Unit incrementaloperating cost versusreal power output—fossil-fuel generating

unit

668 CHAPTER 12 POWER SYSTEM CONTROLS

(AutoPDF V7 10/12 11:29) Thomson-U (7.375x9.25") Tmath&GillSans J-1711 Glover AC1:(CKN)11/4/2007 pp. 639–689 25795_12_ch12_p639-689 (p. 668)

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