DERIVADAS Y SU INTERPRETACION

Cuando el gráfico de una función f tienen una recta tangente L en el punto (a ,ƒ(a)), se puede encontrar la pendiente de L de la siguiente manera.Se halla la pendiente , de la ecuación de la recta secante de ƒ en a, para una

diferencia variable h.Se calcula el límite de m1 cuando h 0.

Ejemplos:

1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la parábola y= en el punto (1,1).

Solución: Calculamos la pendiente

=

Encontremos los valores de la pendiente toma valores pequeños:

h = 2 + h

0,1 2,1

-0,1 1,9

0,01 2,01

-0,01 1,99

0,001 2,001

-0,001 1,999

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Las consideraciones precedentes nos llevan, de manera natural, a generalizar la ida de pendiente de la recta tangente independientemente de su interpretación geométrica.

Para denotar la derivada se emplean diversas simbologías:

o (Leibniz)

o (Lagrange)

Destrezas con criterio de desempeño Al finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:Calcular la derivada de una función utilizando la definición del límite

Definición de (derivadas): La derivada de una función ƒ con respecto a x es la función ƒ´ definida por la regla.

ƒ´ = =

El proceso de calcular la derivada se denomina DERIVACION y a la función que tiene derivada en un puntop se denomina DERIVABLE (diferenciable) en ese punto.

EJEMPLOS:

1.- Calcular la derivada de

Solución: Se tiene:

Por lo que

Entonces

=

Así

= =

Demostración: Si resulta que

Por tanto,

DERIVADA DE FUNCIÓNES ELEMENTALES

DESTREZAS CON CRITERIO DE DESEMPEÑOAl finalizar el estudio de eta sección, el lector estará en capacidad de:Calcular la derivada de las principales funciones elementales, con el empleo de la definición de derivada.

Derivada de la función constante. Si c es un número real; entonces:

Ejemplo Si y = 79 entonces y´=

Demostración: Aplicando el desarrollo del binomio (x-h) se tiene

〕

Por tanto,

La derivada de una constante es 0

Derivada de la función potencia positiva: Si n es un entero positivo y si ƒ(x) = Entonces

ƒ

Ejemplos:1. Si

2. Si ; entonces

En conclusión, si n es cualquier número real y c es una constante se tiene que:

Ejemplos1. Si ; entonces,

) =

La derivada de una potencia de la variable independiente es igual al exponente multiplicado por la misma potencia con el exponente disminuido en una unidad

Teorema (derivada de la función potencia – versión general) Si n es un número real cualquiera; entonces

Ejemplos

1. Si ƒ ; entonces ƒ´

2. Si y = (); entonces

Derivada de la función exponencial. Si x es un número real y a es un número positivo; entonces

en particular,

Ejemplos

Si ƒ

ƒ´=

Derivada de la función logarítmica Si x > 0 y a es un número positivo; entonces,

ALGEBRA DE DERIVADAS

En este momentos estamos en condiciones de demostrar las principales reglas de derivación, por medio de las cuales se obtiene la derivada de cualquier función, sin necesidad de evaluar los limites.

Demostración: Como

= c

De manera que

Destrezas con criterios de desempeñoAl finalizar el estudio de esta sección el lector estará en capacidad deCalcular la derivada de una función utilizando el algebra de derivadas.

Derivada del Producto de una constante por una función Si ƒ es una función derivable c es una constante y g es la función definida por g(x) = c ƒ(x) entonces

g´(x) = c ƒ´(x)

Si se combinan los teoremas anteriores se obtiene el resultado siguiente:

Ejemplos

1. Si ƒ

Solución: En este caso,

El factor constante se puede sacar fuera del signo de la derivada

Si ƒ´ = ƒ´

Demostración

Por tanto

Derivada de la suma y la diferencia de funciones Si u y v son funciones derivables y ƒ es la función definida por ƒ

ƒ´

El resultado anterior se puede extender a cualquier número finito de funciones y proporciona una regla para derivar cualquier función polinomial.

Ejemplo si

Solución

Demostración

Luego como

Resulta que

Por tanto

Derivada del producto de las funciones Si u y v son funciones derivables y f es la función definida por

Ejemplo

1. Verificar la regla para la derivación del producto de las función:

y

Solución:

La derivada de h es

Si se aplica la regla de la derivada de la multiplicación si tiene:

La derivada de un producto de dos funciones derivables es igual a la primera función por la derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada de laprimera

El resultado anterior se pone más brevemente de la siguiente manera.

(

Derivada del cociente de dos funciones si u y v son funciones derivables y si ƒ es la función definida por

La derivada del cociente de dos funciones es la fracción que tiene como denominador por la derivada del numerador menos el producto del numerador

por la derivada del denominador, si estas derivadas existen.

Ejemplo

1. Si

Solución

DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS

Ante de estudiar la regla de la derivación de funciones compuestas, repasemos la composición de funciones que es un tema que se analizó en Segundo Año de Bachillerato.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Consideremos las funciones f y g definidas por

Así al aplicar f al número -3 y g al resultado se obtiene el número -125; es decir,

Repitiendo el proceso para cada número real x en el dominio de f se obtiene una función que se llama función compuesta de g y f, que se denota por g o f.

Destrezas con criterios de desempeñoAl finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:Calcular la función compuesta de dos funciones elementales Calcular la derivada de una función compuesta mediante la aplicación de la regla de la cadena

Definición (de la composición de dos funciones) La composición de la función g con la función h es aquella definida por la regla de correspondencia}

Ejemplo

1. Hallar la derivada de la función

Solución: Se escribe ; entonces

La derivada de la función compuesta es:

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las reglas de la derivación obtenidas hasta el momento son suficientes para derivas funciones racionales; es decir las funciones formadas por polinomios mediante operaciones aritméticas (adición, multiplicación, división) y mediante composiciones de funciones; también, sirven para derivar la funciones inversas (si existen) de tales funciones.

Aunque la clase de las funciones racionales es muy extensa, no incluye algunas muy útiles, tales como las funciones trigonométricas. A continuación de demuestra fórmulas para la derivación de estas funciones.

DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑOAl finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:Calcular la derivada de una función en la que participan funciones trigonométricas

Demostración

1. Para :

Derivadas de las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas directas son derivables en todo punto de su dominio y sus derivadas son:

Ejemplo:

1. Si se quiere calcular la derivada de , primero vemos que se compone de dos funciones.

Al aplicar la regla de la cadena, tenemos , por lo que

Así

DERIVACION CON EMPLEO DE GEOGEBRA

El programa geogebra permite calcular y graficar las derivadas de funciones.

Cuando se ingresa una función de manera automática el programa le asigna un nombre su expresión aparece en la vista algebraica y su gráfico se despliega en la Vista Gráfica.

Para obtener la derivada de la función debemos escribir en la barra de entrada el comendo Derivada (función) o Derivada (nombre de la función), donde el nombre de la función es el que el programa le asigno previamente. También se puede poner f´(x) en lugar de la Derivada (f)

Por ejemplo si hemos ingresado la función su derivada se halla escribiendo

Derivada 〔 f(x) 〕 o Derivada 〔 x^4-3x^2 〕

Destrezas con criterio de desempeño Al finalizar el estudio de esta sección el lector estará en capacidad de:Emplear TICS para calcular la derivada de una función

Adicionalmente se obtiene otras instrucciones que facilitan la derivación de funciones así.• Derivada(Función, número n): Da por resultado la derivada de orden n de la función• Derivada (Función , Variable): Da por resultado la derivada de la función respecto a la variable que se indica.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Aprenderás a:

Utilizar el cálculo diferencial para analizar el comportamiento de funciones

Emplear las derivadas de funciones para resolver problemas de la matemática y de otras ciencias.

OBJETIVO GENERALAplicar el cálculo diferencial en la resolución de problemas

aplicados a la vida diaria

ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN

Mediante las constataciones del cumplimiento de las propiedades de la derivada se puede estudiar el compor tamiento de las funciones. En particular, con e! empleo de derivadas, analizaremos la monotonía, la concavidad y la presencia de extremos del gráfico de las funciones.MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN

Recordemos las definiciones de función creciente y función decreciente, que las aprendimos en Segundo Año de Bachillerato.

DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑOAl finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:Determinar la monotonía la concavidad y los extremos de una función mediante el ejemplo de las propiedades de las derivadas y de las funciones derivables

Definición (de función decreciente) Una función f es decreciente en un intervalo I de su dominio sil para cada par de elementos de I con .

Definición (de función creciente) Una función f es creciente en un intervalo I de su dominio si para cada par de elementos de I con .

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

La derivada es el instrumento fundamental para obtener un resultado óptimo de un conjunto de posibilidades. Por ejemplo, si se hace rebotar una pelota ele caucho, se observa que en el primer rebote alcanza su altura máxima; esta disminuye en el segundo rebote, y así sucesivamente hasta detenerse.

Los puntos en los que existe un extremo relativo tienen la siguiente, característica:

VA

• Los distintos máximos obtenidos se llaman máximos relativos. Si en el conjunto de máximos relativos existe uno que es mayor que todos los demás, se denomina máximo absoluto. Una situación análoga ocurre para los mínimos

.• En términos del gráfico en coordenadas cartesianas, el

máximo absoluto es la proyección del punto más alto del gráfico sobre el eje de las y. Algo análogo ocurre para los mínimos.

tienen un extremo relativo en a; entonces su derivada es igual a cero:

En ciertos casos no es suficiente que se cumpla que f'(a) = 0 para asegurar que hay un extremo relativo de y = f(x) en x = a.Por ejemplo, la función f{x) = x3 tiene derivada f'(x) = 3x2 y '(O) = 0. Es ta función no tiene extremo relativo en x = 0, aunque su derivada es cero .

Criterio de la primera derivada. Para determinar los extremos relativos de una función / hacemos lo siguiente: Se halla la derivada Se determinan todos los valores críticos de /, para los cuales f. Entonces, si nos movemos a través de un valor crítico c, de izquierda a

derecha, y si ,' cambia de negativa a positiva en c, tiene un mínimo relativo en c (Figura (a)).si ' cambia de positiva a negativa en c, tiene un máximo relativo en c (Figura (b)).si no cambia de signo, / no tiene un extremo relativo en c (Figura (c)).

CONCAVIDAD DEL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN  En esta sección, estudiaremos la concavidad del gráfico de una función. Antes de ello,

es necesario que introduzcamos la noción se segunda derivada.

La segunda derivada Si es una función derivable, entonces su derivada f'{x) también es una función. Por

tanto, podemos derivar nuevamente a ) y conseguimos una nueva función, que la llamaremos segunda derivada (o derivada de segundo orden) de que se designa por el símbolo y" o f"(x).

Otras notaciones son:

Como las reglas y fórmulas para hallar derivadas ya las conocemos, se pueden calcular derivadas de cualquier orden al derivar sucesivamente el número de veces requerido.

Observación. Como es obvio pensar, las principales propiedades de las primeras derivadas, se conserva n para las derivadas de segundo orden.

Ejemplos

 

 

Análisis de la concavidad En la Figura se muestran ios gráficos de varias funciones, cada una de las cuales es creciente sobre el

intervalo [a, b], pero se ve bien la diferencia en su comportamiento: en el caso (a) el gráfico de la función se abre hacia arriba; en el caso (b), el gráfico se abre hacia abajo.

Para interpretar este comportamiento, examinemos las pendientes de las rectas tangentes en varios puntos, en cada gráfico:

f

Definición (de punto de inflexión) El punto (a, /(o)) se denomina punto de inflexión del gráfico de la| función /, si en ese punto cambia el sentido de la concavidad de la curva

CONSTRUCCIÓN DE LOS GRÁFICOS DE FUNCIONES

Una vez que sabemos encontrar los extremos de una función, sus intervalos de monotonía y el sentido de concavidad, es conveniente que integremos todos los conocimientos para graficar las curvas que representan distintas funciones.

Si combinamos las técnicas que nos permiten determinar el dominio, la simetría y las asíntotas del gráfico de una función, junto con los criterios para hallar los puntos extremos y la concavidad de una curva, es posible tener una idea cabal de! comportamiento de las funciones y se facilita su representación gráfica.

Si se tiene la ecuación de una curva y se quiere trazar su gráfico, se puede utilizar el esquema siguiente:

A continuación se presentan ejercicios desarrollados que muestran el proceso de construcción de una curva.

1.

Dominio.

Como f(x) es un polinomio, su dominio es todos los números reales

Intersecciones. Con el eje de las x, las raíces de x3 — 13.x - 12 son x = —3, x –e Con el eje de las y, se hace x = 0. La intersección se da en

1. Determinar el dominio de definición de la función, si éste no ha sido indicado de antemano.2. Encontrar los puntos de intersección con los ejes.3. Investigar la simetría (paridad e imparidad) y periodicidad de la curva.4. Determinar los intervalos de constancia de los signos de la función.5. Hallar las asíntotas del gráfico de la función. Esto es, se hallan las asíntotas horizontales y verticales (para las

funciones racionales).6. Fijar la posición de la curva en relación con las asíntotas.7. Hallar los extremos de la función y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.8. Hallar los intervalos de concavidad.9. Encontrar las coordenadas de algunos puntos.

Simetría.

Con respecto al eje de las y, se sustituye

Entonces, el gráfico de / no es simétrico con respecto al eje de las y.

Con respecto al origen, se sustituye

Entonces, no hay simetría respecto al origen Asíntotas.

Asíntotas verticales y horizontales: No tiene ya" que no es una función polinomio. Crecimiento y decrecimiento.

Las raíces

El comportamiento de los signos

Máximos y mínimos Por el estudio de los signos, del cuadro anterior, hallamos que:

APLICACIONES A LA OPTIMIZACION

Entre las aplicaciones más frecuentes del cálculo diferencial se encuentra la determinación de los valores máximos o mínimos; por ejemplo, maximizar la producción de café, minimizar el costo de producción de un cierto artículo, obtener el área máxima que se puede determinar con una cerca de longitud dada, hallar el camino más corto entre dos sitios de una ciudad, etc. Los problemas de esta clase se denominan problemas de optimización.

Para la resolución de problemas de optimización se sugiere seguir los siguientes pasos: 

1. Siempre que sea posible, dibujar una figura que represente el problema, denotando aquellas partes que sean importantes para el problema.

2. Determinar la función cuyo máximo o mínimo se desea obtener, en términos de las variables que se presentan en el problema. También, especificar las restricciones que pueden tener las variables.

3. Calcular la primera derivada de la función y encontrar aquellos valores de la variable en los cuales la derivada se anula.

4. Probar si en los valores hallados se encuentran el extremo requerido. Para ello es necesario realizar pruebas mediante la segunda derivada.

Destrezas con criterios de desempeño |Al finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:Resolver problemas sencillos de optimización mediante la utilización de la derivada

Ejemplos

1. ¿Cuál de los rectángulos de perímetro 24 tiene la mayor área?

Solución: Hay un conjunto infinito de rectángulos de perímetro 24. Nuestra tarea consiste en separar de este conjunto un rectángulo cuya área sea la máxima.

Si designamos por x la longitud de uno de los lados del rectángulo, entonces la longitud del otro lado es igual a 12-x y el área S del rectángulo es.

x

12x

Determinamos los puntos críticos de la función es el punto crítico de esta función.