Archivo: Clase30

Autor: M.Sc. Jorge Hernández

Fecha: 05/05/06

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Clase # 31.

Continuación Unidad III:

Derivada.

Objetivo # 2:

- Introducción.

- Interpretación geométrica de la derivada.

- Técnicas de diferenciación.

- Ejemplos.

Contenido.

1. Introducción.

En esta clase intentamos mostrar la interpretación geométrica de la derivada,

haremos una comparación de ésta cantidad con la pendiente de una recta que tendrá

una característica particular con respecto a la curva de la cual obtenemos la

derivada.

Por otra parte, daremos unas cuantas reglas básicas para calcular derivadas sin

necesidad de calcular el límite que aparece en la definición de derivada.

2. Interpretación geométrica de la derivada.

Consideremos una función f diferenciable punto .ax = Hemos dicho que la tasa o

razón de cambio promedio de la función la conseguimos por medio de la expresión

.)()(

ax

afxf

−

−

Recordemos la ecuación de la pendiente entre dos puntos de una recta. Sean

( )11 , yx y ( )22 , yx puntos de una recta, entonces la pendiente entre ellos está

definida por medio de

.12

12

xx

yym

−

−=

Ahora, si los puntos que consideramos en el plano son ( ))(, xfx y ( ))(, afa

entonces por ellos pasa una recta que tiene como pendiente a

.)()(

ax

afxf

−

−

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Observemos el gráfico.

Cuando tomamos el límite de esta razón de cambio cunado x se aproxima al valor a

entonces obtenemos una recta que es tangente a la curva de la función en el punto

( ).)(, afa Observe la figura.

Ahora, daremos una ecuación de la recta que pasa por un punto de la curva y es

tangente a ella.

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Definición: Sea f una curva diferenciable en el punto .ax = Entonces, la

ecuación de la recta que es tangente a la curva de f en el punto ( ))(, afa está

dada por la expresión

))((')( axafafy −=−

Ejemplo: Sea xxf /1)( = . Consideremos el punto .1=x Daremos la ecuación de la

recta tangente al gráfico de la función en el punto indicado.

Nótese que

11

1)1(1 ==⇒= fx

Por lo tanto el punto indicado es ( )1,1 .

Busquemos la derivada de f en x=1.

La razón de cambio de esta función en 1=x es

)1(

)1(

1

1

1

1)/1(

1

)1()(

−

−−=

−

−

=−

−=

−

−

xx

x

x

x

x

x

x

x

fxf

Al tomar límite cuando x se aproxima a 1, tenemos que

11

)1(

)1(

1

)1()()1('

111−=

−=

−

−−=

−

−=

→→→ xLim

xx

xLim

x

fxfLimf

xxx

Entonces sustituyendo este valor en la ecuación mostrada en la definición queda que

)1(1 −−=− xy

Esta es la ecuación buscada. Véase el gráfico.

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3. Técnicas de diferenciación o derivación.

A continuación damos una serie de derivadas de funciones básicas o conocidas y

algunas propiedades que se deducen de las propiedades de los límites.

3.1 Derivada de la función constante:

Sea kxf =)( entonces 0)(' =xf para toda x.

3.2 Derivada de la función identidad:

Sea xxf =)( entonces 1)(' =xf para toda x.

3.3 Derivada del producto de la función identidad por una función constante:

Sea kxxf =)( entonces kxf =)(' para toda x.

3.4 Derivada de una función potencial:

Sea nxxf =)( ( n es un entero positivo ), entonces, .)(' 1−=

nnxxf

3.5 Derivada de una función radical:

Sea n mxxf =)( , entonces, como f se puede escribir como una función

potencial entonces, nmxxf /)( = y así su derivada es 1)/()/()(' −=

mnxmnxf .

3.6 La derivada de una suma de funciones:

Sean f y g funciones diferenciables. Entonces,

( ) )(')(')(' xgxfxgf ±=±

3.7 La derivada de un producto de funciones:

Sean f y g funciones diferenciables. Entonces,

( ) ).()(')()(')('. xfxgxgxfxgf +=

3.8 La derivada de un cociente o división de funciones:

Sean f y g funciones diferenciables. Entonces,

( ) .))((

)()(')()(')('/

2xg

xfxgxgxfxgf

−=