Derivada de una función · ras los límites viene una de las operaciones con funciones más...

UNIDAD

202

ras los límites viene una de las operaciones con funciones más importantes de todala Matemática y una de las más potentes herramientas de análisis y de cálculo paralas funciones: la derivada. Aquí la hacemos surgir de la tasa de variación media,

como una generalización necesaria para el estudio del crecimiento de una función. De paso,mencionamos el origen geométrico de la derivada (trazado de la recta tangente) y despuésrecordamos el origen físico de la derivada hablando de la velocidad.

Una vez visto el origen de la derivada, aprendemos cómo calcularla. Hallamos la deriva-da de algunas funciones sencillas con ayuda de los límites. No deducimos todas las reglasde derivación porque aumentaría la cantidad de cálculos, pero no añadiría gran cosa a estenivel. Aparte de las derivadas, aprenderemos el álgebra de derivadas: cómo es la derivadade la suma, del producto, del cociente y de la composición de funciones, importantísima ope-ración que nos va a permitir derivar cualquier función, por muy complicada que sea.

Terminamos explicando las derivadas sucesivas, centrándonos en la derivada segundaque se usará en la Unidad siguiente para representar gráficamente una función.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar con el estudio de esta Unidad son los siguientes:

1. Cálculo de la tasa de variación media.

2. Interpretación y definición de la derivada de una función en un punto.

3. Definición de la función derivada y su cálculo siguiendo ésta.

4. Cálculo de derivadas mediante las reglas adecuadas.

5. Cálculo de las derivadas sucesivas.

Derivada de una función8

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043. FUNCIÓN DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094. CÁLCULO DE DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.1. Derivada de la suma de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.2. Derivada del producto de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.3. Derivada del cociente de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174.4. Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

5. DERIVADAS SUCESIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

T

203

1. Tasa de variación media

Cuando vimos la función lineal destacamos que la pendiente nos proporcionaba

la Tasa de Variación Media (T.V.M.) de la función y escribíamos ,

donde el símbolo ∆ se llama incremento y nos mide la variación (que puede ser cre-cimiento, si hay un aumento, o decrecimiento, si hay una disminución) de lo queviene a su derecha: ∆y es el incremento de y (la función) y ∆x el de la x (la variableindependiente).

En el caso de la función lineal, cuya representación gráfica es una recta, m o laTVM nos proporciona toda la información sobre el crecimiento de la función, de modoque si m > 0 la función es creciente, si m < 0 es decreciente y es constante cuandom = 0.

Podemos extender el concepto de TVM a las demás funciones sin más que defi-nirla como:

Sin embargo, la TVM para funciones que no son lineales no proporciona lamisma información que en el caso lineal, pudiendo incluso inducir a error como sededuce fácilmente del siguiente gráfico

Está claro que la TVM va a ser negativa en el intervalo [a, b ], pues f (b) < f (a), loque nos llevaría a concluir que la función decrece en [a,b ], lo cual no es del todo cierto.Observa que crece alcanzando un máximo y después decrece hasta un mínimo, vol-viendo a crecer tras éste. También notamos que la TVM vale cero en el intervalo[c, d ] , porque f (c) = f (d), por lo que concluiríamos que la función es constante en elintervalo [c, d ], lo que está muy lejos de ser verdad, tal y como puedes ver en la grá-fica. Toda la información anterior no la recoge la TVM debido a que abarca un inter-valo muy amplio en el que la función puede sufrir muchas variaciones, indetectablespor la TVM.

a b

)a(f

)b(f

f

c d

)d(f)c(f =

TVM ó TVM ó TVM= −−

=−−

=f b f ab a

f x f xx x

fx

( ) ( ) ( ) ( )2 1

2 1

∆∆

m y yx x

yx

=−−

=2 1

2 1

∆∆

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

8UNIDAD

204

¿Podemos arreglar las insuficiencias de la TVM? Sí; lo que hemos de hacer esreducir el intervalo, haciendo que su anchura sea cada vez menor. Para ello recurri-mos al límite del cociente cuando la anchura del intervalo tiende a cero, por lo que

podemos escribir , siendo TVI la tasa de variación instantánea, más

conocida como derivada de una función en un punto. En el siguiente apartado segui-remos hablando de la derivada.

TVI lim=→∆

∆∆x

yx0

1. Halla la TVM de en [2, 5].

Solución.

Usamos la definición, teniendo en cuenta que a = 2 y b = 5 y nos queda .

Calculamos las imágenes de 5 y de 2: ,

.

2. Halla la TVM de f(x) = x2 + 2x – 3 en [– 1, 3].

Solución.

Ahora . Obtenemos f (3) = 32 + 2 · 3 – 3 = 12,

3. Halla la TVM de en [0, 12].

Solución.

Ahora . Las imágenes son

4. Halla la TVM de en [0, 1] .

Solución.

Ahora . Se tiene

f ( ) .03 0

4 0 10

1 01 0

1= ⋅⋅ −

= ⇒ = −−

=TVM

f ( ) ,13 1

4 1 133

1= ⋅⋅ −

= =a b f f= = ⇒ = −−

0 11 01 0

,( ) ( )

TVM

f x xx

( ) =−

34 1

f ( ) .0 0 4 24 212

212

16

= + = ⇒ = − = =TVM

f ( ) ,12 12 4 4= + =a b f f= = ⇒ = −−

0 1212 012 0

,( ) ( )

TVM

y x= + 4

f TVM( )( )

.− = −( ) + −( ) − = − − = − ⇒ = − − = =1 1 2 1 3 1 2 3 412 4

4164

42

a b f f= − = ⇒ = − −− −

1 33 13 1

,( ) ( )

( )TVM

f ( )55 15 1

64

32

= +−

= =

f ( )22 12 1

3

32

3

3

32

312

= +−

= ⇒ =−

=−

= −TVM

TVM = −−

f f( ) ( )5 25 2

f x xx

( ) = +−

11

E j e m p l o sE j e m p l o s

205

2. Derivada de una función en un puntoHemos acabado el apartado anterior mencionando la tasa de variación instantá-

nea, que nos permite estudiar el crecimiento de la función punto por punto, al hacerque la anchura del intervalo de la TVM tienda a cero. Habitualmente esta tasa reci-be un nombre especial: se llama derivada de una función en un punto y se definecomo:

Te darás cuenta de unas pequeñas diferencias con respecto a la TVM:

� En la TVM hablábamos del intervalo [a, b] y en la derivada lo hacemos delintervalo [a, a + h], es decir, hemos cambiado b por a+h, por lo que la anchu-ra del intervalo será ahora a + h –a = h, que es lo que aparece en el denomi-nador.

� En la primera definición de la derivada, en el apartado anterior cuando la lla-

mamos TVI, dijimos que , que parece muy diferente a nuestra

segunda definición de derivada. Pues no, coinciden: recuerda que

, y que . La ventajaque tiene esta forma de escribir la derivada de una función en un punto es labrevedad. El inconveniente: hay que saber lo que significa cada término parapoder calcular la derivada correctamente. La derivada se escribe con esta

notación (que se debe a Leibnitz) como y se lee derivada de

y respecto de x o diferencial de y (dy) partido por diferencial de x (dx). Estaúltima lectura procede de considerarlo como el cociente de los límites de los

dydx

yxx

=→

lim∆

∆∆0

∆x b a a h a h= − = + − =∆y f b f a f a h f a= − = + −( ) ( ) ( ) ( )

TVI yxx

=→

lim∆

∆∆0

f a f a h f ahh

'( )( ) ( )= + −

→lim

0

1. Halla la TVM de f (x) = x3 – x en [–1, 1].

2. Calcula la TVM de en [–1, 2].

3. Averigua el valor de la TVM de en [–1, 7].

4. ¿Cuánto vale la TVM de f (x) = 4x + 5 en [–5, 10]?¿Y en [0, 1]?

f x x( ) = +3 4

y xx

= +−

2 32 3

A c t i v i d a d e s


8UNIDAD

206

incrementos, lo que permite escribir y despejar . Esta

notación no es muy usada actualmente a estos niveles, aunque presentaventajas cuando se trata la integral (que veremos en 2º de Bachillerato).Nosotros usaremos la notación de f |.

Podemos hacernos una idea gráfica de la derivada mirando la siguiente secuen-cia para una misma función f. Por claridad hemos omitido escribir a + h, que irá cam-biando conforme h tienda a 0, y también hemos omitido el valor de f para cada unode los puntos que aparece.

Observa la recta r: en principio corta a la función f en dos puntos distintos (es unarecta secante), puntos que conforme h tiende a cero se aproximan cada vez más,verificándose que en el límite cuando h tiende a 0 corta a la función en un únicopunto, por lo que la recta r se convierte en la recta tangente y la derivada en el puntoserá la pendiente de dicha recta tangente. Teniendo en cuenta este resultado pode-mos escribir la fórmula para calcular la ecuación de la recta tangente a una función f

en un punto (x0, y0) cualquiera: en la que hemos sustituido la

pendiente m por su valor, que es la derivada en el punto.

El encontrar un método que permitiera calcular la ecuación de la recta tangentea cualquier curva fue uno de los orígenes de la derivada. El otro origen fue el encon-trar un método que permitiera encontrar la velocidad instantánea que lleva un móvil.Recuerda que la velocidad media es el espacio recorrido partido por el tiempo y lavelocidad (instantánea) es el límite del espacio recorrido partido por el tiempo cuan-

do el tiempo tiende a cero: . Este último camino es el que lleva al concep-

to de tasa de variación instantánea.

Una vez vista la definición y las interpretaciones de la derivada queda ver cómo secalcula. Vamos a usar un procedimiento conocido como la Regla de los cuatro pasos,que consiste en desglosar paso a paso la definición. Veámoslo con un ejemplo:

ddyx

y= ' d dy y x= ⋅'

v stt

=→

lim∆

∆∆0

y y f x x x− = ( ) ⋅ −( )0 0 0'

a a a

f

rf

r

f

r

0h → 0h →

207

Una observación: si en el paso 3º no hubiéramos simplificado y eliminado h denumerador y denominador, al tomar el límite hubiéramos obtenido la indeterminación

. Este es un resultado necesario para que exista la derivada en el punto porque el

denominador, que es h, siempre valdrá cero, y el único resultado que no nos daráinfinito es que el numerador también sea cero. Para que el numerador sea cero ha

de verificarse que lo que significa que

si hay derivada de la función es porque la función es continua. De ahí la impor-tancia de la continuidad, pues es una condición necesaria para que la función tengaderivada (aunque no suficiente).

lim limh h

f a h f a f a f a h→ →

+ −( ) = ⇒ = + ⇒0 0

0( ) ( ) ( ) ( )

00

Calcula la derivada de f (x) = x2 + 3x – 1 en x = 2.

Solución.

Por definición

1er paso: cálculo de las imágenes

2º paso: cálculo de la diferencia

3er paso: cálculo del cociente

4º paso: cálculo del límite del cociente

= + + + + − = + + = + +4 4 6 3 1 4 4 7 92 2h h h h h h h

lim limh h

f h fh

h f→ →

+ − = +( ) = ⇒ =0 0

2 27 7 2 7

( ) ( )'( ) .

f h fh

h hh

h( ) ( )2 2 77

+ − =+( )

= +

f h f h h h h h h( ) ( )2 2 7 9 9 7 72 2+ − = + + − = + = +( )

f f h h h( ) ; ( )2 2 3 2 1 9 2 2 3 2 12 2= + ⋅ − = + = +( ) + +( ) − =

′ = + −→

f f h fhh

( ) lim( ) ( )

.22 2

0


1. Usando la definición calcula la derivada de f(x) = 5x – 2 en x = 1.

Solución.

Definición



3er paso: cálculo del cociente f h f

hhh

( ) ( )1 1 55

+ − = =

f h f h( ) ( )1 1 5+ − =

f f h h h( ) , ( )1 5 1 2 3 1 5 1 2 5 3= ⋅ − = + = +( ) − = +

f f h fhh

'( )( ) ( )

11 1

0= + −

→lim



8UNIDAD

208


No había necesidad de hacer operaciones porque en la función lineal, y f (x) = 5x –2lo es, la derivada coincide con la tasa de variación media y ésta con la pendiente de larecta m = 5.

2. Calcula la derivada de f (x) = x2 + 1 en x = – 3 usando la Regla de los cuatro pasos.

Solución.

Definición





3. Usando la definición halla f | (5), con

Solución.

Definición




4º paso: cálculo del límite del cociente lim limh h

f h fh h

f→ →

+ − = −+

= − ⇒ = −0 0

5 5 71

7 5 7( ) ( )

'( )

f h fh

hh

h h( ) ( )5 5

71 7

1+ − =

−+ = −

+

f h f hh

h hh

hh

( ) ( )5 581

88 8 1

17

1+ − = +

+− =

+ − +( )+

= −+

f f h hh

hh

( ) , ( )55 35 4

8 55 35 4

81

= +−

= + = + ++ −

= ++

f f h fhh

'( )( ) ( )

55 5

0= + −

→lim

f x xx

( ) .= +−

34

lim limh h

f h fh

h f→ →

− + − − = −( ) = − ⇒ − = −0 0

3 36 6 3 6

( ) ( )'( )

f h fh

h hh

h( ) ( )− + − − =−( )

= −3 3 66

f h f h h h h h h( ) ( )− + − − = − + − = − = −( )3 3 6 10 10 6 62 2

f f h h h h h h( ) , ( )− = −( ) + = − + = − +( ) + = − + + = − +3 3 1 10 3 3 1 9 6 1 6 102 2 2 2

f f h fhh

'( )( ) ( )− = − + − −

→3

3 30

lim

lim limh h

f h fh

f→ →

+ − = = ⇒ =0 0

1 15 5 1 5

( ) ( )'( )

209

3. Función derivada

En el apartado anterior hemos calculado la derivada de una función en un puntox = a. Sin embargo, dado lo tedioso que es seguir el procedimiento usado para cal-cularla, es lógico que nos planteemos si podemos encontrar una fórmula o una fun-ción que nos proporcione la derivada de una función en cualquier punto x, y quepueda ser particularizado para un cierto punto a. Surge entonces el concepto de fun-ción derivada, derivada primera o, simplemente, de derivada, definiéndose la deriva-da de una función en un punto cualquiera x como:

4. Dada calcula f |(1) usando la definición.

Solución.

Definición




4º paso: cálculo del límite del cociente indetermi-

nación 3 Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador y obtenemos

lim lim lim

h h h

h

h hh

h hh

→ → →

+( ) −

+ +( ) = + −+ +( ) =

0

22

0 0

2 1 1

2 1 1

2 1 1

2 1 1

2

hh h hh2 1 1

2

2 1 1

21 1

10+ +( ) =

+ +=

+= ⇒

→lim

lim limh h

f h fh

hh→ →

+ − = + − =0 0

1 1 2 1 1 00

( ) ( )

f h fh

hh

( ) ( )1 1 2 1 1+ − = + −

f h f h( ) ( )1 1 2 1 1+ − = + −

f f h h h( ) , ( )1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1= ⋅ − = + = +( ) − = +

f f h fhh

'( )( ) ( )

11 1

0= + −

→lim

f x x( ) = −2 1

5. Usando la definición calcula la derivada de f (x) = x2 – x + 3 en x = – 2 .

6. Calcula la derivada de en x = 1, usando la definición.

7. Halla la derivada de en x = 0, usando la definición.

8. Usa la definición para calcular f |(– 3), siendo .f xx

( ) =+1

4

f x x( ) = +5 1

f x xx

( ) = +−

3 23 1



8UNIDAD

210

La forma de proceder es análoga a la anterior (regla de los cuatro pasos), peroal tratarse de un valor genérico x podemos dar fórmulas que nos servirán para lasfunciones que ya conocemos.

′ = + −→

f x f x h f xhx

( ) lim( ) ( )

0

1. Dada la función f (x) = k, k 0 R, averigua su derivada.

Solución.

Definición




4º paso: cálculo del límite del cociente .

La derivada de una (función) constante es cero. Si piensas un poco, no hubiera sidonecesario aplicar ninguna definición, pues una función constante nunca cambia, porlo que su tasa de variación, ya sea media, ya sea instantánea, será cero.

2. Dada f (x) = x2 , halla su derivada.

Solución.





′ = ( )′ =f x x x( ) .2 2

lim( ) ( )

limh h

f x h f xh

x h x→ →

+ − = +( ) = ⇒0 0

2 2

f x h f xh

h x hh

x h( ) ( ) ( )+ − = + = +22

f x h f x x xh h x xh h h x h( ) ( ) ( )+ − = + + − = + = +2 2 2 22 2 2

f x h x h x xh h( ) ( )+ = + = + +2 2 22

f x f x h f xh

f x kh h

'( )( ) ( )

'( ) ( ) '= + − = = ⇒ = =→ →

lim lim0 0

0 0 0

f x h f xh h

( ) ( )+ − = =00

f x h f x k k( ) ( )+ − = − = 0

f x h k( )+ =

′ = + −→

f x f x h f xhx

( ) lim( ) ( )

0


211

3. Halla la derivada de

Solución.





4. Averigua la derivada de la función .

Solución.





Multiplicamos y dividimos por el conjugado del

numerador y se obtiene

= − = ⇒x x0

00

indeterminación

=+

= ⇒ = ( )′ =1 1

2

1

2x x xf x x

x'( )

lim lim limh h h

x h xh x h x

hh x h x x h x→ → →

+ −+ +( ) =

+ +( ) =+ +

=0 0 0

1

lim( ) ( )

limh h

f x h f xh

x h xh→ →

+ − = + − =0 0

f x h f xh

x h xh

( ) ( )+ − = + −

f x h f x x h x( ) ( )+ − = + −

f x h x h( )+ = +

f x x( ) =

f xx x

'( ) .= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= −1 12

lim( ) ( )

lim( )h h

f x h f xh x x h x→ →

+ − = −+

= − ⇒0 0 2

1 1

f x h f xh

hx x h

h x x h( ) ( ) ( )

( )+ − =

−+ = −

+1

f x h f xx h x

x x hx x h

hx x h

( ) ( )( )

( ) ( )+ − =

+− = − +

+= −

+1 1

f x hx h

( )+ =+1

f xx

( ) .= 1

212

¿Dónde está la ventaja con respecto a lo que hicimos en el apartado 2? Pues laventaja es que si quiero calcular la derivada de f(x) = x2 en x = 3, aprendo que

, o que si quiero hallar el valor de la derivada de

enx=9, tendréque . Es decir, cono-

ciendo la derivada de una función no tengo más que sustituir cuando me interese.

Todas las derivadas que aparecen en la tabla que viene a continuación puedenobtenerse como las tres anteriores. Sin embargo, lo que nos interesa es que apren-das a derivar, es decir, que aprendas las derivadas de las funciones más importan-tes y que entiendas que tienen su origen en la definición que hemos manejado en lostres ejemplos anteriores.

Una observación al 2º caso: nos sirve para x elevado a cualquier exponente, yasea entero o fraccionario. Por ejemplo:

Entero: : escribimos el exponente como

negativo y le aplicamos la fórmula. De igual modo, aunque ya la conocemos, pode-

15 5

55

5 5 1 66x

x x xx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= ( )′ = − ⋅ = − ⋅ = −− − − −

f x xx

f'( ) '( )= ( )′ = ⇒ = =1

29

1

2 9

16

f x x( ) =

f x x x f'( ) '( )= ( )′ = ⇒ = ⋅ =2 2 3 2 3 6


8UNIDAD

Tabla de derivadas de las funciones usualesFunción Derivada

k (constante) 0

x n Rn, ∈ n xn⋅ −1

1x

−12x

x 1

2 xex ex

ln x 1x

sen x cos xcos x - sen x

tg x 112

2+ =tg

cosx

x

arcsen x1

1 2− x

arccos x−−1

1 2x

arctg x1

1 2+ x

213

mos calcular la derivada de : .

Fraccionario: . Como suele

aparecer con cierta frecuencia, la hemos separado del caso general, aunque pode-mos averiguar su derivada mediante la fórmula general:

.

Ahora, lo más importante es aprender la tabla anterior.

Es también importante recordar bien el manejo de exponentes negativos y frac-cionarios para pasar de un modo de escritura a otro.

x x x xx x

( )′ = ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟′

= ⋅ = ⋅ =⋅

=− −1

212

112

12

12

12

1

2

1

2

xx x x xx x

717

17

167

67

67

17

17

1

7

1

7( )′ = ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟′

= ⋅ = ⋅ =⋅

=− −

1 1 11 1 1 2

xx x x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟′

= ( )′ = − ⋅ = − ⋅ =− − − −1x

1. Apréndete bien este sencillo resultado, que a veces se atraganta

inexplicablemente. Recuerda que si no ponemos exponente se sobreentiende que es 1.

2.

3.

4. 1 12

12

1

2

1

2

12

12

132

32

3xx x x

x x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟′

= − ⋅ = − ⋅ = −⋅

= −− − − −

x x x xx x

313

13

123

23

23

13

13

1

3

1

3( )′ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟′

= ⋅ = ⋅ =⋅

=− −

1 4 4 44

4 4 1 5

5xx x x

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= ( )′ = − ⋅ = − ⋅ = −− − − −

x x x( )′ = ⋅ = ⋅ =−1 1 11 1 0


9. Halla .

10. Usando la fórmula , demuestra que .

11. Demuestra que .xn x

n

nn( )′ =−

11

11x

nxn n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= − + x n x n Rn n( )′ = ⋅ ∈−1,

1 16 6x x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′ ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟′

,


214

4. Cálculo de derivadasVamos a ver a continuación el álgebra de derivadas o conjunto de reglas para

derivar. Todas ellas proceden de combinar la definición de derivada con el álgebra delímites que vimos en la Unidad 7.

4.1. Derivada de la suma de funciones

La derivada de una suma (o resta) es la suma

(o resta) de las derivadas.

f g f x g x±( ) = ± ⇔′′ ′′ ′′( ) ( )


8UNIDAD

1.

2.

3.

Dada la sencillez de la fórmula suele escribirse directamente el resultado:

4.

5.

6.

y, claro está, podemos poner todos los sumandos que queramos y lo que deberemoshacer es ir derivando sumando a sumando.

7.

(Recuerda que por lo que ).−( )′ =cos x xsencos x x( )′ = −sen

xx

x e x x xx x

x ex

xx x+ + + − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= − + + − + +1 1

2

1 1 12

sen tg tg2ln cos cos ++ senx.

x x x x x5 2 47 5 2 1− + −( )′ = − +

x x x4 34 1+( )′ = +

x x3 25 3+( ) =′′

1 1 1 12

2

xx

xx

xx+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ( ) = − + +tg tg tg′′ ′′ ′′

x x x xx

x−( ) = ( ) − ( ) = −sen sen′′ ′′ ′′ 1

2cos

x x x x x x2 2 2+( ) = ( ) + ( ) = −cos cos′′ ′′ ′′ sen


215

4.2. Derivada del producto de funciones

La derivada de un producto es

igual a la derivada del primer factor por el segundo sin derivar más el primerfactor por la derivada del segundo.

f g x f x g x f x g x⋅⋅(( ))′′ == ′′ ⋅⋅ ++ ⋅⋅ ′′ ⇔⇔( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1.

2.

3.

4.

Un caso especial de esta fórmula es cuando una de las funciones es constante, puescomo la derivada de una constante es cero, sólo nos quedará uno de los términos de laderecha:

(la constante multiplicativa no se deriva):

5.

6.

7.

Dejamos la constante y derivamos la función, multiplicando por el valor de la constante.

Podemos mezclar sumas, restas y productos, derivando cada una de estas operacionescomo les corresponde:

8.

9. 4 4 4 7 17 7 6 7cos ln cos ln lnx x x x x x x x x xx

−( )′ = ( )′ − ( )′ = − − + ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

sen == − − −4 7 6 6senx x x xln

x x e x x e x x e x e x xe x ex x x x x x4 2 4 2 3 2 2 3 24 4 2+( )′ = ( )′ + ( )′ = + ( )′ + ( )′ = + +

7 7 7 5 355 5 4 4x x x x( )′ = ( )′ = ⋅ ⋅ =

3 3 3sen senx x x( )′ = ⋅ ( )′ = cos

5 5 5 3 153 3 2 2x x x x( )′ = ⋅ ( )′ = ⋅ ⋅ =

1 1 1 1 1 11

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

x⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟′

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

+ ( )′ = − + +( ) =+

tg tg tg tg tgttg tg2

2

x x

x( ) −

x x x x x xx

x x x⋅( )′ = ( )′ ⋅ + ⋅ ( )′ = ⋅ + ⋅sen sen sen sen1

2cos

x x x x x x x x xx

x x x x5 5 5 4 5 4 4 45 1 5 5⋅( )′ = ( )′ ⋅ + ⋅ ( )′ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =ln ln ln ln ln lln x +( )1

x x x x x x x x x x2 2 2 22⋅( )′ = ( )′ ⋅ + ⋅ ( )′ = ⋅ − ⋅cos cos cos cos sen

k f x k f x k⋅( )′ = ⋅ ′( ) ( ), constante


216

4.3. Derivada del cociente de funciones

La derivada de un cociente

es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos elnumerador por la derivada del denominador, partido todo por el denominadoral cuadrado.

Fíjate que para que podamos calcular la derivada del cociente, el denominadorha de ser distinto de cero, pues no podemos dividir por cero.

fg x f x g x f x g x

g xg x⎛⎛

⎝⎝⎜⎜

⎞⎞⎠⎠⎟⎟′′

==′′ ⋅⋅ −− ⋅⋅ ′′

[[ ]]≠≠ ⇔⇔( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

20,


8UNIDAD

1.

2.

3.

Los denominadores no se suelen desarrollar, sino que se dejan indicados.

4. , que es un resultado que ya obtuvimos

al escribir la fracción anterior como un producto (ejemplo 4 del producto).

Como puedes comprobar, hay que simplificar al máximo para obtener la derivada; nosirve con dejarla indicada. Como hemos dicho la derivada se usa para estudiar las fun-ciones y por ello hay que saber lo que vale, algo que no podemos conocer si sólo la deja-mos indicada.

5.xx

x x x x

x

x x

x+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=+( )′ −( ) − +( ) −( )′

−( )=

− − +( )−(

34

3 4 3 4

4

4 3

42 ))

= −−( ) 2 2

7

4x

tg tg tg tg tgxx

x x x xx

x x x

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=( )′ ⋅ − ⋅ ( )′

=+( ) ⋅ −

2

2

2

1

xx

x x x x

x

x x2

2

2 2 2 2

2 2

211

1 1 1 1

1

2+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=+( ) −( ) − +( ) −( )′

−( )=

−

11 2 1

1

4

1

2

2 2 2 2

( ) − +( )−( )

= −

−( )x x

xx

x

= + =+ = +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

cos sencos

cos

coscos

sencos

tg

2 2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

x xx

xxx

xx

x⎪⎪

tg sen sen sen

x xx

x x x x

x( )′ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟′

=( )′ ⋅ − ⋅ ( )′

( )=

cos

cos cos

cos

c2

oos cos ( )x x x xx

⋅ − ⋅ − =sen sen

cos2

xx

x x x x

x

x x xxcos

cos cos

cos

cos⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=( )′ − ( )′

( )=

− −( )=

sen

cos2 2

ccos x x xx

+ sencos2


217

Dentro de la derivada de un cociente, podemos considerar el caso particular

con k constante. Observa que el

resultado se obtiene porque la derivada del numerador es cero, al ser constante (el1 es una constante), por lo que en el numerador sólo queda la parte del numeradorpor la derivada del denominador.

12f

x f xf x

kf

x k f xf x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= −′

[ ]⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= − ⋅ ′

[ ]( )( )

( ) ó ( )

( )

( ) 22

6.

7.

8.

9.

xe x x

x=

+( ) −( )( )

1 12

ln

ln

2 2 22

x xx

x x x x x xx

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=+( )′ ⋅ − +( ) ⋅ ( )′

=sen sen sen

coscos

cos cos 22 22

+( ) ⋅ + +( )=

cos cosx x x x xxsen sen

cos

ln ln ln ln lnxx

x x x xx

xx x

xx

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=( )′ ⋅ − ⋅ ( )′

=⋅ −

= −2 2 2

11

ee

e e e e

e

e ex

x

x x x x

x

x x−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=−( )′ +( ) − −( ) +( )′

+( )=

+11

1 1 1 1

1

12

(( ) − −( )+( )

=+( )

e e

ee

e

x x

x

x

x

1

1

2

12 2

xex

xe x xe x

x

e xe x xex x x x x

ln

ln ln

ln

ln⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=( )′ ⋅ − ⋅ ( )′

( )=

+( ) −

2

xx x xx

x

e x x e

x

⋅

( )=

+( ) −

( )=

11

2 2ln

ln

ln

= + + + = + +2 2 2 2 12 2

2 2

cos cos ,x x x x xx

x x xx

cos sen sencos

sencos

pues cos sen2 2 1x x+ = .

1.

2.

3. . Ésta se podría hacer escribiendo la función como un exponente

negativo . 5 5 7 357 7 1

8x x

x− − −( )′ = ⋅ −( ) = −

3 32sen senx

xx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= − cos

5 5 7 357

6

14 8xx

x x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= − ⋅ = −

7 7 1 2

2tg

tg

tgxx

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= −+( )


218

4.4. Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena

Definimos la derivada de la composición de funciones como:

Es decir, la derivada de una composición de funciones es igual al productode la derivada de la primera función, particularizada en la segunda función, porla derivada de la segunda función, particularizada en x.

La dificultad estriba en averiguar cuál es la primera y cuál es la segunda función.Para ello, hay que recordar lo visto al hablar de la composición de funciones, y recor-dar que g era la primera que actuaba y f la segunda. Comparando con la fórmula(también conocida como regla de la cadena, porque vamos derivando eslabón aeslabón), vemos que primero derivamos f (la última que actúa) y después g (la pri-mera que actúa).

f g x f g x f g x g xo(( ))′′ == (( ))′′ == ′′ ⋅⋅ ′′( ) ( ( )) ( ( )) ( )


8UNIDAD

12. Halla la derivada de: a) ; b) ; c)

13. Halla la derivada de: a) ; b) ; c)

14. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) ; b) ; c) .

15. Deriva y simplifica las siguientes funciones:

a) ; b) ; c)

16. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, -5).

17. Averigua la ecuación de la recta tangente a la función en el punto (-1, 1).

f xx

( ) =−8

4 2

y x x= − +4 2 1

y x x= − +2 7 1

f x x xx

( ) = −−

39

2

2y x

x=

+ 1

y xx

=−

2

2 4f x x

x( ) =

+6

12f x x x

x( ) = + −

+2 3 1

2 1

2

2

yx

=+

52 3

y x x= ⋅5 lny x x ex= −8 5tg

y t t t t= − + + −6 2 4 3 27 5 2y t t= − +3 12y x x x= + − +3 2 1


1. Calcula la derivada de a) ; b) .

Solución.

a) Tenemos dos funciones seno y 2x. Primero calcularíamos 2x y después el seno, porlo que derivamos primero el seno (y lo evaluamos en 2x) y después derivamos 2x:

sen cos cderivada del seno

derivada de

2 2 2 2

2

x xx

( )′ = ⋅ =�� oos2x

y x= sen2 y x= sen2


219

b) Tenemos las funciones seno y x2 (elevar al cuadrado). Primero calcularíamos el senoy después elevaríamos al cuadrado, por lo que primero derivamos el cuadrado y

después el seno: .

2. Halla la derivada de a) ; b) .

Solución.

a) Tenemos las funciones 7x + 1 y x3 (elevar al cubo). Primero operaríamos 7x + 1 y des-pués elevaríamos al cubo, por lo que derivamos primero el cubo y después 7x + 1:

b) Tenemos la función coseno y x2 (elevar al cuadrado). Primero calcularíamos el cua-drado y después el coseno, por lo que primero derivamos el coseno y después x2:

3. Averigua las derivadas de a) ; b) .

Solución.

a) Tenemos las funciones exponencial y -x. Primero cambiaríamos el signo (-x) y des-pués la exponencial. Así, derivamos primero la exponencial y después -x:

b) Tenemos las funciones exponencial y -x2. Primero calcularíamos -x2 y después laexponencial, por lo que primero hay que derivar la exponencial y después -x2:

4. Deriva las siguientes funciones: a) ; b) .

Solución.

a) Tenemos las funciones x2 - 5x + 1 (primera que se calcularía) y ln (segunda que secalcularía). Se deriva primero el ln y después el polinomio:

b) Tenemos las funciones tgx (la primera que se calcula) y ln (la última que se calcula).Así, se deriva primero ln y después la tangente:

derivada de la exponencial

der

e e xx x− −( )′ = ⋅ −( )2 22��

iivada de −

−= −

x

xxe2

22� ��

ln tgtg

tg

derivada del lnderivada de la

xx

x( )( )′ = ⋅ +( )1 1 2

� tangente

tgtg� ��

= +1 2xx

ln

derivada del ln deriva

x xx x

x2

25 1 1

5 12 5− +( )( )′ =

− +⋅ −( )

� �� dda de x x

xx x

2 5 1

2

2 55 1

− +

= −− +� ��

y x x= − +( )ln 2 5 1 y x= ( )ln tg

derivada de la exponencial

derivada

e ex x− −( )′ = ⋅ −( )� 1

de −

−= −x

xe��

y e x= − f x e x( ) = − 2

cos x x x2 2 2( )′ = − ⋅sen derivada del coseno derivada de

��

senx

x x2

2 2� = −

derivada del cuboderivada

7 1 3 7 1 73 2x x+( )( )′ = +( ) ⋅� �� dde

7 1

221 7 1

xx

+

= +( )�

f x x( ) = +( )7 13 y x= cos 2

sen senderivada del cuadrado derivada del

2 2x x x( )′ = ⋅�� cos seno

sen� = 2 x xcos

220

En algunos textos se detalla más la regla de la cadena, ampliando la tabla dederivadas que hay que aprender. Aunque la regla de la cadena sólo exige pararse apensar el orden de ejecución de las funciones, también puede ser de utilidad lasiguiente tabla:

Observa que en la tabla sólo tenemos dos funciones y que sus resultados seobtienen de la regla de la cadena, que deberemos usar cuando aparezcan más dedos funciones.


8UNIDAD

Función Derivada

f x n( )(( )) n f x f x n Rn⋅⋅ (( )) ⋅⋅ ′′ ∈∈−−

( ) ( ),1

ef x( ) ′′ ⋅⋅f x ef x( ) ( )

ln ( )f x(( )) ′′f xf x

( )( )

sen f x( )(( )) ′′ ⋅⋅ (( ))f x f x( ) ( )cos

cos f x( )(( )) −− ′′ ⋅⋅ (( ))f x f x( ) ( )sen

tg f x( )(( ))′′(( ))

== ′′ ++ (( ))(( ))f xf x

f x f x( )

cos ( )( ) tg ( )

221

1. Averigua la derivada de a) ; b) .

Solución.

a) pues

b) pues .

2. Calcula la derivada de a) ; b) .

Solución.

a) , pues

b)

3. Deriva las siguientes funciones: a) ; b) .

Solución.

a) x x x x x x x2 2 2 2 24 2 4 2 4 4 4 2−( )( )′ = −( ) ⋅ = −( ) −( )′ =

pues , .

9 523 x −( )

y x x= −( )sen 2 3f x x( ) = −( )2 24

9 5 9 5 23

9 5 9 6

9 5

2323

13

3x x x

x−( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟′

= −( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= −( ) ⋅ =−

− , pues 9 5 9x -( )′ = .

3 5 7 15 105 2 4x x x x− +( )′ = − .3 5 7 8 3 5 7 15 105 2 8 5 2 7 4x x x x x x− +( )( )′ = − +( ) −( )

3 5 75 2 8x x− +( )

x x x2 1 2 1+ −( )′ = +ln x x xx x

2

21 2 1

1+ −( )( )′ = +

+ −,

5 3 5x +( )′ = .e ex x5 3 5 35+ +( )′ = ,

y x x= + −( )ln 2 1y e x= +5 3


221

5. Derivadas sucesivas¿Nos puede servir para algo hallar la tasa de variación instantánea de la deriva-

da? Fíjate que la derivada es una función, por lo que podemos calcular su TVI, queserá la derivada de la derivada. La derivada de la derivada de una función recibe elnombre de derivada segunda y en la unidad siguiente la usarás para estudiar la cur-vatura (concavidad y convexidad) de una función. Se define como:

′′′′ ==′′ ++ −− ′′

→→f x f x h f x

hh( )

( ) ( )lim

0

b)

4. Calcula la derivada de a) ; b)

Solución.

a) Tenemos 3 funciones: el cubo (última en calcularse, primera en derivarse), el seno(segunda en calcularse, segunda en derivarse) y el polinomio (primero en calcular-se, último en derivarse):

b)

sen sen cos

derivada del cubo

3 2 2 24 5 3 4 5 4x x x−( )( )′ = ⋅ −( ) ⋅� ��

22

5

5 8 242

−( ) ⋅ = ⋅−derivada del seno derivada de 4

sen� �� x x

x

22 2 24 5 4 5x x−( ) −( )cos .

ln

34

34

34

12

4

34

44

2

xx

xx

xx

xx

xx x+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

+

=+( )

+

=+( ) , pues

34

3 4 3

4

12

42 2

xx

x x

x x+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′

=+( ) −

+( )=

+( ).

y xx

=+

ln 34

y x= −( )sen3 24 5

sen cos cos pues x x x x x x x x x2 2 23 3 2 3 2 3 3−( )( )′ = −( ) ⋅ −( ) = −( ) ⋅ −( ), 22 3 2 3−( )′ = −x x

18. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) ; b) .

19. Deriva las siguientes funciones:

a) ; b) .

20. Halla la derivada de:

a) ; b) .

21. Deriva las siguientes funciones:

a) ; b) .

y x= −2 3

y xx

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln 32

f x ex x( ) = +52 3

f x x( ) = −( )ln 2 1y x= +( )3 27

y x= +( )2 35f x x( ) = +( )6 3 52cos

y t t= − +( )sen 5 3 22


222

Este proceso lo podemos prolongar indefinidamente y así tendremos la derivadatercera f III (que es derivar la derivada segunda), la derivada cuarta f IV (que es deri-var la derivada tercera), la derivada quinta f V (derivar la derivada cuarta),…, la deri-va n-sima o enésima f (n . Observa la notación: se usan números romanos para lasprimeras y un paréntesis con el grado para las de orden superior con el fin de noconfundirlas con las potencias. Estas derivadas sucesivas o de órdenes superio-res se calculan con las mismas reglas que vimos para la derivada, que ahora sellama derivada primera (y simplemente derivada cuando no hay confusión posible).


8UNIDAD

1. Halla la derivada segunda, tercera y cuarta de las siguientes funciones:

a) ; b) ; c) .

Solución.

a) .

b) .

c) .

2. Halla la derivada segunda, tercera y cuarta de las siguientes funciones:

a) ; b) ; c) .

Solución.

a)

b)

c)

3. Calcula la derivada segunda, tercera y cuarta de:

a) ; b) ; c) .

Solución.

a) y I = --sen3x · 3 = --3sen3x; y II = --3 · 3cos3x = --9cos3x

y III = --9 · (--3)sen3x = 27sen3x; y IV = 27 · 3cos3x = 81cos3x.

y x= cosf x x( ) = sen

y x= cos3 f xx

( ) =+1

2 f t t t( ) = − +3 2 1

′ = ′′ = ⋅ = ′′′ = ⋅ = = ⋅ =y e y e e y e e y e ex x x x x x x2 2 2 4 4 2 8 8 2 162 2 2 2 2 2 2; ; ; I V ..

f x x xx

f x xx

I V V( ) ( ) ; ( ) .= − = − = − = − − = =− − − −2 3 6 6 6 4 24 244 4

4

5 5

5

′ = ′′ = − = − ′′′ = − − = =− − −f xx

f xx

x f x x xx

( ) ; ( ) ; ( ) ( ) ;1 1 2 2 22

2 3 3

3

′′′ = ⋅ = = ⋅ =y x x y x x252 5 1260 1260 4 50404 4 3 3; .I V

′ = ⋅ − ⋅ = − ′′ = ⋅ − = −y x x x x y x x6 7 5 2 42 10 42 6 10 252 106 6 5 5; ;

y e x= 2f x x( ) ln=y x x= − +6 5 47 2

′ = − ′′ = − ′′′ = =y x y x y x y xsen sen I V; cos ; ; cos

′ = ′′ = − ′′′ = − =f x x f x x f x x f x x( ) cos ; ( ) ; ( ) cos ; ( )sen senIV

′ = ′′ = ⋅ = ′′′ =y x y x x y y3 3 2 6 62; ; ; IV

y x= 3


223

b)

c) .

4. Calcula la derivada segunda de a) ; b) .

Solución.

a) .

b)

En (1) hemos sacado factor común en el numerador. Fíjate que coincide con eldenominador, por lo que podremos simplificar. De este modo el denominador noqueda elevado a 4 sino a 3 y también disminuye el grado del numerador, quedandouna fracción algebraica más sencilla. Este procedimiento lo podemos realizar siem-pre que derivemos fracciones algebraicas, y es la razón de no desarrollar el cuadra-do que aparece en el denominador.

′′′ = − + = − + = −+( )

( ) = − −( ) +− −f x x xx

f x x( ) ( )( ) ( ) ;2 3 2 6 2 6

26 44 4

4

I V 22 24 2 24

2

5 5

5( ) = +( ) =+( )

− −xx

.

=−( ) − −( ) − − −( )⎡⎣ ⎤⎦

−( )= − + + +

−( )x x x x x

xx x x x

x

2 2 2

2 4

3 3

2

1 2 1 4 1

1

2 2 4 4

133

3

2 3

2

2 3

2 6

1

2 3

1= +

−( )=

+( )−( )

x xx

x x

x.

′ = − − ⋅

−( )= − −

−( )′′ =

− −( ) − −f x x x x

xx

xf x

x x x( ) ; ( )

(2

2 2

2

2 2

2 2 21 2

1

1

1

2 1 −− ⋅ −( ) ⋅

−( )=

1 2 1 2

1

2

2 4

1) ( )x x

x

′ = − ⋅ + = − + ′′ = −y x x x x y x3 92

2 6 3 9 6 6 92 2 ;

f x xx

( ) =−2 1

y x x x= − +3 292

6

′ = − ′′ = ′′′ = =f t t f t t f t f t( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )3 2 6 6 02 I V

f x x f x xx

f x x( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )( )= + ⇒ ′ = − + = −+( )

′′ = − − + =− − −2 2 1

22 21 2

2

3

22 2 2

2

3

3x

x+( ) =

+( )−

;

22. Halla la derivada primera, segunda, tercera y cuarta de:

a) ; b) ; c) .

23. Calcula derivada segunda de a) , b) .

24. Halla la derivada segunda de a) , b) .

25. Calcula la derivada segunda de .y xx

=−

3

2 4

y x x x= − + −4 3

4 72 1f x x

x( ) = +2 4

y xx

=+2 4

yx

=−7

9 2

y x= sen2

yx

=−2

5y e x= 5


Derivada de una función · ras los límites viene una de las operaciones con funciones más...

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