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Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 1. Septiembre de 20071.1. Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2(c) φ = (z cos ϕ)/ρ (d) φ = cotg θ − tg θ

1.2. Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas:

(a) A = r (b) B = − y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

(c) C = 2ρzuρ − (ρ2 − z2)uz (d) D = r tg θ uθ

1.3. Dados los vectoresA = uρ − uz B = 5ur − 12uθ

evaluados en el punto de coordenadas cartesianas x = 3, y = 4, z = 12, calcule

(a) A + B

(b) A ·B(c) A× B

1.4. Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

(a) φ = A · r (b) φ = r2 (c) φ = A · r + r2 d) φ = r2/(A · r)donde A es un vector constante y r es el vector de posicion.

1.5. Describa graficamente las superficies equiescalares de los campos

(a) φ = x2 + y2 (b) φ = arctg

(√x2 + y2

z

)(c) φ =

x√x2 + y2

1.6. Para los campos escalares

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

1.7. Si φ = φ(u), con u = u(x, y, z), demuestre que

∇φ =dφ

du∇u

Encuentre ∇φ si (a) φ = ln |r|, (b) φ = rn, (c) φ = 1/|r − r0|.1.8. Halle el valor de la integral ∮

AdS con A = cotg θur − uθ

y la superficie de integracion una esfera de radio R centrada en el origen.

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Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 1.2

1.9. Para los campos vectoriales

(a) A = r (b) B = −yux + xuy

(c) C = −xux − yuy + 2zuz (d) D = ρ2 cos ϕuρ + ρ2 sen ϕuϕ

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilındricasy esfericas. ¿Cuales son irrotacionales y cuales solenoidales?

1.10. Para el campo vectorialA = (x − y)ux + (x + y)uy + zuz

calcule su flujo a traves de las siguientes superficies cerradas:

(a) Un cubo de arista a, con un vertice en el origen y aristas aux, auy y auz.

(b) Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z como eje y sus bases situadas en z = 0y z = h.

(c) Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.

Halle el flujo por integracion directa y por aplicacion del teorema de Gauss.

1.11. Para el campo vectorialA = (x − y)ux + (x + y)uy + zuz

calcule su circulacion a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

(a) Un cuadrado de lado 2a, con vertices ±aux ± auy.

(b) Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y con centro el origen de coordenadas.

(c) Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y y con centro el origen de coordenadas.

Halle la circulacion por integracion directa y por aplicacion del teorema de Stokes.

1.12. Demuestre que si r es el vector de posicion y B un campo vectorial arbitrario

(B · ∇)r = B (B ×∇) · r = 0 (B ×∇) × r = −2B

Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demuestre que

∇(B · r) = B ∇ · (B × r) = 0 ∇× (B × r) = 2B

1.13. Se define la funcion delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribucion que verifica

δ(r) = 0 (r �= 0)∫

δ(r) dτ = 1

con la ultima integral extendida a todo el espacio. Pruebe que:

a) ∇ ·(

rr3

)= 4πδ(r) b) ∇2

(1

|r − r0|)

= −4πδ(r − r0)

1.14. Calcule el laplaciano de los campos escalares

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2(c) φ = ρ3 cos ϕ (d) φ = r3 sen θ

empleando coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

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1.15. Halle el laplaciano del campo vectorialA = rnr

1.16. El campo de velocidades de un remolino puede aproximarse por la expresion, en cilındricas, v =(C/ρ)uϕ.

(a) Demuestre que este campo es irrotacional en todos los puntos en los que esta definido.

(b) Halle un potencial escalar del que derive este campo.

(c) ¿Cuanto vale la circulacion del campo de velocidades a lo largo de una circunferencia en tornoal eje z? ¿Que consecuencias tiene esto para el potencial escalar?

1.17. De las siguientes expresiones

(a) ∇(∇ · φ) (b) ∇× (∇φ) (c) ∇ · (∇ · φ) (d) ∇× (∇× φ)(e) ∇ · (∇×A) (f) ∇× (∇ ·A) (g) ∇× (∇×A) (h) ∇ · (∇ ·A)(i) ∇ · (∇φ) (j) ∇(∇ ·A) (k) (∇ · ∇)A (l) (A · ∇)φ

(m) (φ∇) ·A (n) (A · ∇) × A (o) (A · ∇)A (p) (A ×∇) × A

(donde φ es un cierto campo escalar y A uno vectorial) indique cuales son absurdas. De las quetienen sentido, senale las que son identicamente nulas. De las que no son nulas, calcule su valorpara los campos

φ = xyz A = x2ux + xzuy − xyuz

1.18. De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuales son irrotacionales y cuales armonicos

(a) A = yzux + xzuy + xyuz (b) B = ρuϕ

(c) C = rur − ρuρ (d) D = 2r2 − 3ρ2

(e) E = z/ cos θ (f) F = r sen θuϕ + yux − ρ cos ϕuy

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Campos Electromagneticos. Boletın 2. Octubre de 20072.1. Supongamos un proton y un electron situados a una distancia de un radio de Bohr

(a) Calcule la fuerza electrica entre las dos partıculas.

(b) Halle la fuerza gravitatoria entre ellas.

(c) Calcule el cociente entre las fuerza electrica y la gravitatoria.

(d) Suponga que en lugar a una distancia de un radio de Bohr el proton se encuentra en el centrode la Tierra y el electron en el centro de la Luna (a 384000 km), ¿como cambian las fuerzaselectrica y gravitatoria? ¿Y el cociente entre ellas? De acuerdo con este resultado, ¿como seexplica que la fuerza dominante en el sistema Tierra-Luna sea la gravedad?

2.2. Un electroscopio mide la carga por la desviacion angular de dos esferas identicas conductoras,suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masam y esta sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entresı. Halle la ecuacion que liga el semiangulo θ con el valor de la carga total Q depositada en lasesferas.

Suponga que la masa de cada esfera es m = 10−4 kg y la longitud del cable del que penden es20 cm. Admita asimismo que los angulos de desviacion pueden medirse como mucho con unaprecision de 1◦. ¿Cual es la carga mınima que puede medirse con este aparato? ¿Y la cargamaxima?

2.3. Tres cargas q1, q2 y q3, se encuentran en los vertices de un triangulo equilatero de lado a =1 cm.Determine la fuerza sobre cada carga cuando:

(a) q1 = q2 = q3 = 1μC.

(b) q1 = q2 = q3 = −1μC.

(c) q1 = q2 = 1μC, q3 = −1μC.

(d) q1 = q2 = 1μC, q3 = −2μC.

2.4. Una carga puntual q1 = 108nC se encuentra situada en el origen de coordenadas. En x = 25mm,y = z = 0 se halla una segunda carga q2. En x = 16mm, y = 12mm se encuentra una terceracarga q3.

Calcule el valor que deben tener q2 y q3 si, ocupando las posiciones indicadas, se desea que seanula la fuerza sobre una carga q4 = 10nC situada en x = 9mm, y = −12mm, z = 0.

Q/2 Q/2

mg

l�

�Q

�q

�q

�

�

�

Problema 2.2 Problemas 2.5

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2.5. Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en unanillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determine la ecuacion para losangulos del triangulo que forman las tres cargas. ¿Cual es la solucion para los casos Q � q, Q = qy Q � q?

2.6. Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo electrico similar al producido por doslıneas infinitas con densidad de carga λ y −λ, situadas a una distancia D una de la otra.

Se trata de hallar la fuerza por unidad de longitud con que se atraen los dos hilos. Para ello, calcule:

(a) El campo electrico en cualquier punto del espacio, creado por un segmento rectilıneo de lon-gitud L, sobre el cual existe una densidad de carga uniforme λ.

(b) A partir del resultado anterior, halle el campo en cualquier punto debido a una lınea de cargauniforme infinitamente larga.

(c) Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud L del otro hilo.

2.7. Dos varillas rectilıneas de longitud L estan situadas paralelamente a una distancia D. Las varillasposeen cargas ±Q distribuidas uniformemente.

(a) Halle aproximadamente el campo electrico en un punto P equidistante de ambas varillas, parael caso D � L.

(b) Calcule, tambien de forma aproximada, el valor del campo en el mismo punto P , para el casoD � L.

(c) Calcule el valor exacto del campo electrico en dicho punto P , para un valor arbitrario de D.

(d) Compare los valores exactos y aproximados para el caso Q = 1mC, L = 2cm, y

• D = 2mm• D = 40 cm

2.8. Calcule la fuerza entre dos varillas colineales, de longitudes L1 y L2, que almacenan respectiva-mente cargas Q1 y Q2, cuando sus extremos mas proximos distan una cantidad a.

2.9. Halle el campo electrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay unadensidad de carga uniforme λ.

A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2

(R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0, en los puntos de su eje.

¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Considere en particular el comportamiento en lasproximidades de z = 0.

2.10. Un condensador de placas planas puede aproximarse por dos dos planos paralelos, separados unadistancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2 posee una distribucion de carga uniforme σ0,mientras que la del otro es −σ0. Halle el campo electrico en todos los puntos del espacio.

•P

D

L

+Q -Q

L1

L2

a

Q2

Q1 R

1

R2

Problema 2.7 Problema 2.8 Problema 2.9

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2.11. Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.

(a) Calcule el campo electrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio.(b) Halle la fuerza que experimenta un dipolo p situado en el interior de esta nube de carga.

2.12. Halle el flujo del campo electrico debido a una carga puntual q a traves de un disco cuyo eje pasapor el punto donde se encuentra la carga.

El disco tiene radio R y la distancia de la carga al plano del disco es h.

(a) Utilizando coordenadas cilındricas(b) Usando coordenadas esfericas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra superficie que

subtienda el mismo angulo solido).

2.13. En un volumen en forma de esfera (de radio 3R) en la que se han hecho dos huecos (tambienesfericos, uno de radio 2R y otro de radio R) se distribuye uniformemente una carga Q.

(a) Calcule el campo electrico en el punto P , de tangencia de los dos huecos.(b) Halle el potencial electrico en el mismo punto P .(c) Calcule los dos primeros momentos multipolares del sistema, tomando como origen de coor-

denadas el centro de la esfera grande.

2.14. En el plano xy se encuentra una distribucion de carga lineal, formando un anillo, de radio R y conuna distribucion de carga no uniforme dada, en coordenadas cilındricas, por

λ = λ0 cos ϕ′ ϕ′ ∈ (−π, π]

(a) Halle el potencial electrico producido por el anillo en los puntos del eje Z.(b) Calcule el campo electrico producido por el anillo en el mismo eje.(c) Demuestre que, para puntos alejados, su campo se comporta como el de un dipolo, ¿cual

serıa el valor y la orientacion de dicho dipolo?

2.15. Se tienen dos cargas puntuales de valor q situadas en los puntos ±(a/2)uy. Halle el flujo del campoelectrico a traves de un triangulo con vertices en los puntos aux, auy y auz.

2.16. Halle el potencial creado por dos cargas q1, −q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demues-tre que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.

2.17. Se tienen dos discos plasticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyende manera uniforme cargas de +1nC y −1 nC respectivamente. Estos discos se disponen paralela-mente en z = ±a/2. Determine

(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a =1mm

(b) El valor aproximado del voltaje si a = 1m.

Q

Z•P

x

y

z

�

q�

q�

q

Problema 2.13 Problema 2.15

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(c) Determine exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de a.Compare el resultado con los dos anteriores. ¿Cuanto es aproximadamente el error cometidoen el primer apartado? ¿Y en el segundo?

2.18. Calcule el potencial electrico en el centro de una esfera cargada uniformemente en volumen conuna carga total Q0.

2.19. Determine el potencial electrico creado en todos los puntos del espacio por una lınea recta infinita,cargada con una densidad uniforme λ0, estando el origen de potencial situado a una distancia a dela lınea. ¿Por que no puede tomarse el infinito como origen de potencial?

A partir de este resultado, calcule el potencial creado por dos lıneas infinitas de carga, con densi-dades uniformes +λ0 y −λ0, situadas paralelamente a una distancia 2a, tomando como origen depotencial un punto equidistante de ambas lıneas.

2.20. Calcule la energıa electrostatica almacenada en cada una de las cuatro configuraciones del proble-ma 2.3.

2.21. Para la configuracion del problema 2.4, calcule el trabajo necesario para llevar la carga q4 desde elinfinito hasta su posicion final.

2.22. Cuatro cargas puntuales se situan en los vertices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadasen vertices adyacentes, son de valor +q, mientras que las otras dos valen −q.

Calcule el trabajo para reunir esta distribucion de cargas.

Suponga que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vertice opues-to, ¿que trabajo hay que realizar para esta operacion?

Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vertice vecino, ¿cual sera en este caso,el trabajo realizado?

2.23. En el espacio vacıo se ha detectado un campo electrostatico con simetrıa esferica respecto de unpunto fijo O, cuya funcion de campo viene dada por la expresion E(r) = E(r)ur, con

E(r) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

E0r

a0 ≤ r < a

E0 a < r < b

E0

(a

r

)2

b < r

siendo r la distancia desde O al punto donde se evalua el campo y E0, a y b son constantesconocidas.

(a) Determine como es la distribucion de carga electrica que da lugar al campo descrito.

(b) Calcule la carga total de dicha distribucion.

(c) Obtenga el valor del potencial electrico en O (r = 0).

(d) ¿Cuanto vale la energıa electrostatica del sistema?

2.24. El potencial electrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuacion

φ = V0e−k|y| cos(kx)

con k y V0 constantes.

(a) Halle el campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Calcule la densidad de carga que crea este campo electrico.

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2.25. Calcule la energıa libre electrostatica de:

(a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R

(c) ¿Cual de las dos configuraciones posee una menor energıa almacenada? ¿Como se interpretaeste resultado si se usa la integral de la densidad de energıa ε0E

2/2?

(d) El llamado radio clasico del electron se obtiene describiendo esta partıcula como una pequenaesfera de radio a, cargada uniformemente en su superficie. Suponiendo que la energıa elec-trostatica almacenada en el sistema equivale a la masa del electron de acuerdo con la leyE = mc2, halle el valor numerico del radio que debe tener el electron.Repita ahora el calculo para el caso de un proton. ¿Es logico el resultado que se obtiene?

2.26. Un anillo circular de radio a, almacena una carga Q distribuida uniformemente. En el centro delanillo se encuentra un dipolo puntual p, alineado segun el eje de la espira.

(a) Determine la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira.

(b) Halle la energıa que tiene el dipolo por encontrarse en el campo de la espira.

(c) Calcule la fuerza que la espira produce sobre el dipolo. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

(d) Calcule el par que la espira ejerce sobre el dipolo.

2.27. Se tiene un dipolo puntual p1 = puz sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se colocaun segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientacion, en el punto auz.

(a) Halle la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este esta orientadocomo p2 = puz.

(b) Calcule el valor numerico de esta fuerza si los dos dipolos son moleculas de agua (p = 6.14 ×10−30C·m) situadas a una distancia de 1 nm.

(c) Repita el calculo si p2 = pux.

2.28. Halle los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Describael campo y el potencial electrico a gran distancia de ellas:

(a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz

(b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux, auy, auz y tres negativas −q en −aux, −auy,−auz.

(c) Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ0.

(d) La misma varilla con una distribucion de carga λ = kz.

(e) Una superficie esferica sobre la cual hay una distribucion de carga σs = σ0 cos θ.

(f) La misma superficie con distribuciones σs = σ0 cos2 θ, σs = σ0 sen θ y σs = σ0 sen θ cos φ

(g) Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ.

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Campos Electromagneticos. Boletın 3. Diciembre de 20073.1. Una esfera metalica de radio a se encuentra a potencial V0 respecto al infinito. No hay mas con-

ductores en el sistema. Determine el potencial y el campo electrico en todos los puntos del espacio,ası como la carga almacenada en la esfera conductora.

3.2. Se tiene un sistema de dos conductores. Uno de ellos es una esfera metalica maciza de radio a.El otro es una fina corteza esferica metalica, de radio b, concentrica con la anterior. Calcule elpotencial en todos los puntos del espacio en los casos siguientes.

(a) La esfera interior se encuentra a potencial V1 y la exterior a potencial V2.

(b) La esfera interior almacena una carga Q1 y la exterior una carga Q2.

(c) La esfera interior almacenada una carga Q1 y la exterior se encuentra a un potencial V2.

Calcule asimismo la energıa almacenada en el sistema de dos esferas, para las tres situacionesindicadas.

3.3. Un cilindro macizo de gran longitud L y radio a se encuentra rodeado de una corteza cilındricaconcentrica, la misma longitud L, radio interior b y exterior c, tambien metalica.

La corteza exterior se encuentra permanentemente a tierra.

Determine la distribucion de potencial y de campo electrico entre los dos cilindros cuando el cilindrointerior se encuentra a potencial V1. Calcule la carga almacenada en el cilindro interior.

Desprecie los efectos de borde.

3.4. Dos placas conductoras cuadradas de lado L se situan paralelamente a una distancia a la una dela otra (a � L). Los potenciales de ambas placas son V1 y V2, respectivamente. Calcule el valoraproximado de

(a) El potencial en los puntos entre ambas placas.

(b) El campo electrico en el espacio intermedio.

(c) La carga almacenada en la caras de las placas enfrentadas a la otra placa.


ba

V1

V2

abc

V0

V1

V2

L

a


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3.5. Dos placas metalicas, planas y paralelas, de seccion S, se encuentran situadas a una distancia a launa de la otra. La placa inferior se pone a una tension V1, mientras que la superior se encuentra atension V2. El espacio entre las placas esta ocupado por una capa de un material cargado con unadensidad uniforme ρ0.

(a) Determine el potencial y el campo electrico en todos los puntos entre las placas.(b) Calcule la energıa electrica almacenada en el sistema.(c) Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

3.6. En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, de radio R/2.Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radio R/4. No haymas conductores en el sistema. Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,mientras que las interiores se encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. ¿Cual es la carga encada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energıa almacenada en el sistema.

3.7. Se tiene un sistema de cuatro conductores tal como se indica en la figura. Uno de ellos (conductor“4”) es un prisma cuadrado hueco de lado 43 mm y longitud 50 mm. Este conductor se encuentrasiempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores. El conductor “1” es un paralelepıpedo de lados41 mm, 20 mm y 50 mm. Los conductores “2” y “3” son sendos prismas cuadrados de lado 20 mmy altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

(a) Teniendo en cuenta la pequenez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamen-te, las cargas que almacenan los conductores 1, 2 y 3, cuando sus tensiones son V1 = 10V,V2 = 20V y V3 = −10V.

(b) Para la configuracion anterior, calcule la energıa electrostatica almacenada en el sistema.(c) Si el conductor 1 se encuentra a tension V0 = 100 V, el 2 aislado y descargado y el 3 a tierra,

¿cuales son las cargas y los potenciales de los tres conductores? ¿Y la energıa electrostaticaalmacenada en el sistema?

3.8. Considere el sistema de cuatro conductores de la figura. Esta formado por dos cables coaxiales (delongitud indefinida) situados paralelamente. De esta forma, los conductores 1 y el 2 son simetricoscon el 4 y el 3, respectivamente.

En este sistema, ¿que coeficientes de capacidad e induccion son nulos? ¿Cuales positivos? ¿Cualesnegativos? ¿Cuales iguales entre sı?

V0

20mm1mm

20mm

41m

m

43mm

Pro

fundid

ad:

50m

m

1

4

2

3

1

2 3

4


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3.9. Se tiene un sistema formado por cuatro placas conductoras, todas ellas cuadradas y de lado L,situadas paralelamente. Las distancias entre placas consecutivas son, respectivamente, a, 3a y 2a(a � L).

Las placas exteriores se encuentran a tierra en todo instante.

(a) Inicialmente la segunda placa almacena una carga Q, mientras que la tercera esta aislada ydescargada. determine el potencial al que se encuentra cada placa, ası como la carga quealmacena cada una.

(b) Para el caso anterior, determine el campo electrico en todos los puntos entre las placas.(c) Si ahora se conectan las dos placas intermedias, ¿como cambian las cargas y los potenciales

de las distintas placas? ¿Y los campos electricos entre las placas?(d) Determine la variacion de energıa entre el estado anterior y el posterior a la conexion.

3.10. Dos discos conductores de radio R = 15 cm, paralelos y separados una distancia a = 1mm estanconectados a sendas esferas conductoras, tambien de radio R, mediante unos hilos conductoresmuy largos. Una de las esferas esta completamente rodeada por una carcasa conductora esferica,conectada a tierra, de radio 2R = 30 cm, espesor despreciable, y concentrica con la esfera. Elsistema de conductores se encuentra en el vacıo.

(a) Determine la matriz de coeficientes de capacidad del sistema en funcion de sus parametrosgeometricos. Justifique las aproximaciones que haga.

(b) Estando el sistema inicialmente descargado, se conecta la esfera sin carcasa a una fuente depotencial fijo V0 = 100 V. Determine la carga electrica en cada una de las superficies con-ductoras (esferas, discos y carcasa esferica) cuando el sistema ha alcanzado el equilibrio elec-trostatico.

(c) Para la situacion anterior, determine la energıa almacenada en el sistema.

3.11. Una esfera de radio R posee una carga Q1 distribuida en su volumen de modo que la densidad vo-lumetrica es ρ(r) = Ar. A su alrededor se disponen dos superficies esfericas metalicas concentricas,de radios 2R y 4R, respectivamente. Estas esferas estan aisladas y descargadas.

(a) Calcule la constante A en funcion de la carga de la esfera y de su radio.(b) Calcule el campo electrico en todo el espacio y el potencial al que se encuentran las esferas

conductoras.(c) Se conectan las dos esferas conductoras entre sı. ¿Cual es el nuevo potencial y la nueva carga

de cada esfera?

a 2a3a

Q

1 2 3 4

R

R

R

2R

a

V0


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3.12. Suponga el sistema de la figura, formada por una corteza esferica (conductor “1”) de radio interiorb y exterior c. En su interior hay dos conductores practicamente semiesfericos (“2” y “3”), de radioa y separados una pequena distancia w. Despreciando los efectos de borde,

Halle los coeficientes de capacidad e induccion del sistema.

3.13. Dos cargas, +q y −q, se situan en los puntos r1 = 2aux y r2 = −2aux + 3auz, respectivamente.

(a) Calcule la fuerza que experimenta cada carga y el trabajo necesario para traerlas desde elinfinito hasta su posicion final.

Suponga que se introduce un plano conductor, puesto a tierra, en x = 0.

(b) Halle la nueva fuerza que experimenta cada carga, ası como la que sufre el plano conductor.

(c) Calcule el trabajo necesario para introducir el plano.

3.14. Una nube de tormenta puede modelarse como un conjunto de dos cargas puntuales, ±q, estandola carga positiva en su parte superior y la negativa en la inferior. La altura media de la nube es h0

y el espesor de la nube Δh. Puede suponerse que Δh � h0.

Para medir el momento dipolar de la nube, se coloca una carga q1 sujeta a un dinamometro en unpunto sobre el plano de tierra (la carga puede suponerse en z = 0+), situado a una distancia x dela vertical de la nube.

(a) Halle la fuerza que se mide, para una distancia x dada.

(b) La nube, en su movimiento, modifica la distancia del observador a la vertical de la nube.Describa como varıa la fuerza con x y halle para que valor de x es maxima la fuerza, ası comoeste valor maximo.

(c) Si h0 = 1km, Δh = 50m, q1 = 10μC y la fuerza maxima medida es de 0.2mN, calcule lacarga almacenada en cada extremo de la nube.

3.15. Sea una superficie esferica, de radio R, de material conductor, puesta a potencial V0, conocido,frente a la cual se encuentra una carga puntual q, situada en el punto r0 (siendo r = 0 el centro dela esfera).

(a) Determine el potencial en todos los puntos del espacio, interiores y exteriores a la esfera.

(b) Halle la fuerza que sufre la carga puntual.

a

b

c

w

1

2 3�

�

h0

x

�h

�q

1

�q

V0

Rr 0


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3.16. ¿Como cambian los resultados del problema anterior si en lugar del potencial de la esfera, se sabeque esta esta aislada y almacena una carga Q?

¿Cuanto vale la fuerza sobre la carga q si la esfera esta descargada?

¿Como varıa con la distancia la fuerza que la esfera ejerce sobre la carga si Q es del mismo signoque q?

3.17. ¿Como cambian los resultados de los dos problemas anteriores, si la carga puntual se encuentra enel interior de un hueco esferico?

3.18. Dos placas conductoras planas y paralelas cuadradas, de lado L, se encuentran separadas unadistancia 2b (2b � L). Entre ellas, y equidistante de ambas se encuentra un prisma conductor deanchura 2a, tambien de seccion cuadrada de lado L.

El bloque posee una carga total Q0. Entre las placas se establece una diferencia de potencial V0

(a) Calcule la carga en cada uno de los condensadores que forma el bloque con las placas.

(b) Halle la energıa almacenada en el sistema.

(c) Calcule el valor del campo en cada uno de los espacios intermedios entre bloque y placas.

(d) Halle la presion electrostatica sobre las caras del bloque, ası como la fuerza total sobre este.

(e) Calcule los valores numericos de los resultados anteriores para L = 2cm, a = 2mm, b =3mm, V0 = 100V, Q0 = 10nC.

�qR

r 0

V0

2b

L

Q0

V0

2a


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3.19. Se trata de hallar el campo electrico necesario para elevar en el aire una partıcula metalica quereposa sobre un plano a tierra. La partıcula conductora la podemos modelar como un hemisferio deradio a. Existe un campo electrico impuesto que, en puntos alejados de la semiesfera, es uniformey normal al plano conductor, E∞ = E0uz.

(a) El potencial en todos los puntos por encima del plano y la partıcula es de la forma

φ = −E0z +A cos θ

r2(z > 0, r > a)

siendo r la distancia al centro de la semiesfera. Determine el valor de A que hace que sesatisfagan todas las ecuaciones y condiciones de contorno.

(b) Halle la densidad de carga en la superficie de la semiesfera.

(c) Calcule la presion electrostatica en la superficie de la partıcula. A partir de esta presion, hallela fuerza electrica sobre la partıcula, empleando la relacion dF = p dS.

(d) Si la partıcula es de aluminio y su radio vale a = 1mm, ¿que campo es preciso para levantaresta partıcula?

Eg

Problema 3.19

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Campos Electromagneticos. Boletın 4. Febrero de 20084.1. El estudio de las propiedades dielectricas de los gases puede servir para medir el tamano de los

atomos.

Para ello, suponga que se modela un atomo de numero atomico Z como compuesto de una cargapuntual Ze (el nucleo) y una nube esferica uniforme, con volumen τ (los electrones). Si a un atomode este tipo se le aplica un campo externo uniforme E0, ¿cuanto vale el momento dipolar inducidoen el atomo por la separacion de los centros de carga?

Para un gas monoatomico (un gas noble) con una densidad de N atomos por unidad de volumen,¿cuanto valdra la susceptibilidad y la permitividad?

Experimentalmente se comprueba que el helio en condiciones normales tiene una permitividadrelativa εr = 1.000065, mientras que para el neon εr = 1.000123, y para el argon εr = 1.0051659.Segun esto, ¿cual es el tamano de un atomo de cada uno de estos gases nobles?

4.2. Se tiene una esfera dielectrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte.

(a) Halle, por integracion directa el potencial electrico en todos los puntos del espacio.

(b) ¿Cuales son los valores de E, D y P dentro y fuera de la esfera?

(c) ¿Cuanto valen las densidades de carga equivalentes a la polarizacion?

4.3. Entre dos placas metalicas planas y paralelas, de seccion S y separadas una distancia a, se encuen-tra un dielectrico que presenta polarizacion remanente, de forma que en el

P = P0

siendo P0 un vector uniforme, en la direccion perpendicular a las placas. El dielectrico es perfecta-mente aislante.

(a) Inicialmente las placas estan descargadas. Si se conectan mediante un voltımetro, ¿cuantomedira este?

(b) Suponga que las dos placas se conectan mediante un hilo conductor, ¿cuanta carga se alma-cena en cada placa metalica?

4.4. Calcule como cambian los resultados del problema 4.3 si la polarizacion del dielectrico no es cons-tante, sino que depende del campo como

P = P0 + ε0χeE

4.5. Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polariza-cion radial

P = P0ur

(a) Calcule la distribucion de cargas equivalente a esta polarizacion.

(b) Determine los campos D y E en todo el espacio.

4.6. Entre dos placas metalicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dosdielectricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura.Halle la capacidad de este condensador y construya el circuito equivalente.

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4.7. Repita el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los dielectricos es perpendiculara las placas.

¿Se podrıa resolver un problema similar pero con cuatro dielectricos, tal como muestra la figura?¿Cual serıa el circuito equivalente?

4.8. El campo electrico en el exterior de un dielectrico tiene por modulo 100 V/m y forma un anguloπ/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un angulo π/3 con lanormal. Halle:

(a) La permitividad relativa del medio.

(b) El modulo del campo en el interior del material.

(c) La densidad de carga de polarizacion en la frontera.

(d) El salto en la componente tangencial de D.

4.9. La ruptura dielectrica se produce cuando el campo electrico entre dos conductores supera un valorcrıtico, saltando una chispa en el vacıo, o quemando el dielectrico que pueda haber en medio.

Una situacion en la que puede producirse la ruptura es la siguiente. Suponga dos placas metalicasplanas de seccion S situadas paralelamente a una distancia a una de la otra. La placa inferior seencuentra a tierra y la superior a un potencial V0.

(a) Sobre la placa inferior se encuentra depositada una chapa (que podemos suponer plana y deespesor despreciable) de seccion S0. Halle la carga que se deposita en la chapa.

(b) Suponga que esta chapa se separa de la placa inferior, quedandose aislada, y se acerca a lasuperior (manteniendose siempre paralela a ambas). Cuando se halla a una distancia x de laplaca inferior, ¿cual es su tension? ¿Cuanto vale el campo electrico entre la chapa y la placasuperior?

(c) Si el campo para que se produzca la chispa es E0, ¿cual es la posicion x en la cual se producela chispa?

(d) Cuando se produce la chispa, la tension de la chapa pasa a ser V0, ¿cuanto varıa en eseproceso la carga almacenada en la chapa? ¿Y la carga almacenada en la placa superior?


a

V0

��

��

b

a

V0

��

�

a

V0

��

��

��

��

b


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4.10. Una corteza esferica de radio interior a y exterior b esta hecha de dielectrico polarizado segun la ley

P =k

rur

No hay mas cargas en el sistema

(a) Calcule las densidades de carga de polarizacion en el sistema. ¿Cuanto vale la carga total depolarizacion?

(b) Halle los campos D y E en todo el espacio.

(c) Determine el valor del potencial electrico en todo el espacio.

4.11. Sobre una placa metalica plana, de seccion S (que supondremos en z = 0), se coloca una capade dielectrico de permitividad ε1 con espesor a. Sobre esta capa se situa una lamina metalica, deseccion S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segundacapa de dielectrico de permitividad ε2 y espesor b. Por ultimo, el sistema se cierra con una segundalamina metalica de seccion S.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2 y V3,¿Cuanto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos deborde (suponiendo E = Euz) y los posibles campos exteriores al sistema.

4.12. Un medio estratificado es aquel cuyas propiedades dependen de la altura z. Un material de estetipo se coloca entre dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia a. Lapermitividad del material varıa de ε1 a ε2 en la forma

ε(z) =ε1ε2a

ε1z + ε2(a − z)

Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas,

(a) ¿Cuanto valen los campos D, E y P en todos los puntos del material?

(b) ¿Cual es la densidad de carga de polarizacion (tanto superficial como de volumen)?

(c) Halle la energıa almacenada en el sistema


��

��

E=100 V/m

�

�

a

b

S0

S

��

��

a

V0

�( )z


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4.13. El espacio entre dos placas metalicas circulares de 26 cm de diametro, situadas paralelamente a unadistancia 2 mm esta vacıo.

Entre las placas se establece una diferencia de potencial de 20 V

(a) ¿Cuanto vale la energıa almacenada en el sistema?

(b) Suponga que, una vez cargado el condensador se desconecta la fuente y se introduce entre lasplacas una lamina de metacrilato (εr = 3.3) de 2 mm de espesor. ¿Cuanto cambia la energıaalmacenada en el sistema? ¿Como se explica la diferencia?

(c) Suponiendo que el proceso anterior se hubiera efectuado sin desconectar la fuente, ¿cual serıaen ese caso la variacion en la energıa? ¿Cuanto trabajo realizarıa la fuente de tension?

4.14. Se construye un recipiente cilındrico, con bases perfectamente conductoras de seccion S, separadasuna distancia a, y paredes perfectamente dielectricas, de espesor despreciable. El interior se llenahasta la mitad con un lıquido dielectrico y permitividad ε. El resto se deja vacıo.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posicion,se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuitoy, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90◦ alrededor de un eje horizontal. ¿Cual es lanueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Como varıa la energıa almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

4.15. Se tiene un condensador esferico, formado por dos superficies metalicas de radios a y b. Paramantenerla en su posicion, la esfera central esta sujeta por dos cunas dielectricas solidas, de permi-tividad ε1. Las cunas tienen forma de sectores esfericos, valiendo el semiangulo θ0 = π/3 para lasdos cunas. El resto del espacio entre las esferas queda vacıo.

Halle la capacidad de este condensador.

4.16. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material dielectrico (de permitividad ε) alrededorde la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo electrico uniformeE0. Halle el potencial electrico y los campos electricos en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo electrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplique el resulta-do del problema 4.2.

�0

�V�

�0

�1

�0

� �0= /3

ab


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4.17. Una esfera metalica de radio R se encuentra aislada y almacena una carga Q. La esfera se encuen-tra en el vacıo.

(a) Indique la energıa almacenada en el sistema

(b) Suponga que, sin descargar la esfera, esta se recubre con una capa de espesor a de undielectrico de permitividad ε. Determine la nueva energıa almacenada en el sistema. ¿Comose explica el cambio en la energıa?

(c) Si en lugar de una esfera aislada y descargada tenemos una esfera conectada a un generadorque fija su potencial en un valor V0, ¿cual es la energıa antes y despues del recubrimiento?¿Como se interpreta el cambio en este caso?

4.18. En un sistema formado por dos esferas metalicas concentricas de radios a y c, entre las cuales seencuentran dos medios dielectricos, con una interfaz ecuatorial, existe una fuerza de atraccion entrelos electrodos, que esta ausente si solo hay un medio dielectrico que llene todo el espacio entre lasplacas. Se trata de calcular esta fuerza.

(a) Determine la densidad de carga libre en la superficie del electrodo interior.

(b) Halle el valor del campo electrico en los mismos puntos.

(c) La fuerza sobre un elemento de superficie conductora es

dF =12σlE dS

Integrando esta fuerza elemental, determine la fuerza neta sobre el electrodo interior. ¿Haciadonde va dirigida? ¿Cual es el origen de esta fuerza?

(d) De forma analoga, calcule la fuerza sobre el electrodo exterior. ¿Se verifica la tercera ley deNewton?

��

��

a

c

Problema 4.18

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Campos Electromagneticos. Boletın 5. Febrero de 20085.1. Por el interior de una tuberıa cilındrica de radio a fluye un lıquido con una velocidad, dependiente

de la distancia al eje, ρ, como

v = v0

(1 − ρ2

a2

)uz

El lıquido posee una densidad de carga uniforme ρ0, de forma que la densidad de corriente esJ = ρ0v. En el exterior del tubo no hay corriente.

(a) Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una seccion por la tuberıa.

(b) Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial K, de forma que lacorriente total sea nula, ¿cuanto debe valer K?

5.2. Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm2 de seccion por elcual circula una corriente de 100 mA.

5.3. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.Calcule el campo electrico en todos los puntos del espacio.

5.4. Sea un tubo cilındrico, de radio interior a y exterior b, y longitud L, de un material de conductividadσ. Calcule la resistencia electrica

(a) Entre las dos bases.

(b) Entre la cara interior y la exterior.

5.5. Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestidode cobre. Esta formado por un nucleo de aluminio de radio a (suponga a = 2mm), rodeado poruna capa de cobre, de radio exterior b (sea b = 3mm).

(a) Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud L = 10km.

(b) Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencialV0 = 100V al cable anterior.

ab

L

ab

L

A

V0

a

�


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5.6. Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados entierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

(a) Suponga en primer lugar solo un electrodo hemisferico de radio a, perfectamente conduc-tor, puesto a un potencial V1 respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario,determınese la distribucion de potencial en el suelo. Admıtase que el potencial depende ex-clusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calculese laresistencia entre el electrodo y el infinito. Supongase que el suelo posee conductividad igualen todos sus puntos.

(b) Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sı. Sise conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tension V0, ¿quecorriente circula de un electrodo al otro?

(c) Si para una tension de 100V entre dos electrodos de 10 cm de radio se mide una corriente de0.63A, ¿cuanto vale la conductividad del suelo?

5.7. La resistividad del aire en la atmosfera decrece exponencialmente con la altura como

σ−1 = r = r1e−α1z + r2e−α2z + r3e−α3z

dondei ri (1012 Ω·m) αi(km−1)1 46.9 4.5272 22.2 0.3753 5.9 0.121

El campo electrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E0 = −100 V/m. Estecampo es practicamente constante y va siempre en la direccion vertical.

A partir de estos datos halle

(a) El valor del campo electrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera(z = 100 km).

(b) La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.

(c) La distribucion de cargas en la atmosfera.

(d) La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.

(e) La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria

(f) Estime el tiempo que tardarıa la atmosfera en descargarse si no existiera un mecanismo gene-rador

5.8. Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad r1) de seccion S y gran longitud, se procedea unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de oxido laresistividad del cable aumenta hasta un valor r2 en una region alrededor del punto de contacto,pudiendose describir matematicamente segun la ley

r(x) = r1 +r2 − r1

1 + (x/a)2

(a) Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplıquese al caso S = 1mm2, r1 =1.7 × 10−8 Ω·m, r2 = 1.1 × 10−6 Ω·m, a = 2mm.

(b) Si la potencia maxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es p =700W/m3, determine la intensidad de corriente maxima que puede circular por el cable antesde la soldadura y despues de ella.

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5.9. Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo“0”) es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo seencuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo “1” es un paralelepıpedo delados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos “2” y “3” son sendos prismas cuadrados de lado20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra llenode un material ohmico de conductividad σ = 10−4 S/m

(a) Teniendo en cuenta la pequenez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamen-te, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.

(b) Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados ageneradores que fijan sus tensiones en V1 = 10V, V2 = 20V y V3 = −10V.

(c) Para la configuracion anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.

(d) Si el electrodo 2 se encuentra a tension V0 = 100 V, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone atierra, ¿cuales son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Ysi tambien se desconecta el 3?

5.10. Se tiene un circuito impreso en forma de “H” de un material de conductividad σ, con cuatroterminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y eltabique central poseen longitud b. Los cuatro brazos tienen anchura a, (a � b) mientras que eltramo central posee anchura 2a, segun indica la figura. El espesor de toda la pista es c.

(a) Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, Gij , correspondiente a los tres termi-nales libres. Desprecie la pequena contribucion de las esquinas donde confluyen los brazos.

(b) A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias Gij y elabore un circuito equivalenteal sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.

(c) Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial V0

y los otros a tierra.

(d) En la configuracion anterior se corta la conexion a tierra del electrodo 2. En el nuevo estadoestacionario, ¿se consume mas o menos potencia que antes de la desconexion? ¿Cuanto?

5.11. Se tiene un modelo de circuito integrado formado por una pista con las dimensiones indicadas enla figura. La pista es de grafito (σ = 7.3 × 105 S/m). El espesor de la pista vale d = 1mm entodas partes. La anchura de cada segmento rectilıneo es a = 4mm, salvo el central, que tiene unaanchura de 2mm. Todas las fuentes y conexiones exteriores son ideales (sin resistencia).

20mm1mm

20mm

41m

m

43mm

Pro

fundid

ad:

50m

m

1

0

2

3

1

2

3

2a

a

b

b


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(a) Inicialmente el interruptor A esta abierto. Calcule el valor aproximado de la corriente queentra por el electrodo 1, cuando el electrodo 1 esta a una tension de 0.5V y el electrodo 4esta a tierra.

(b) ¿Cuanto vale aproximadamente la potencia disipada en el sistema en la situacion anterior?

(c) Suponga que se cierra el interruptor A. ¿Como cambia la corriente que entra por el electrodo1? ¿Y la potencia consumida?

(d) En la situacion del apartado anterior, ¿cuanto vale aproximadamente la densidad de corrienteen cada tramo recto del circuito? ¿Y la potencia disipada por unidad de volumen?

5.12. Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio a de conductivi-dad σ1 se encuentra inmersa en un medio de conductividad σ2 que se extiende hasta el infinito. Enel interior de la esfera actua una fuerza no electrostatica por unidad de carga E′ = E′

0uz, constantey uniforme.

(a) Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y elpotencial electrico en todo el espacio.

(b) Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma

φ1 = Ar cos θ (r < a)

y en el exterior de ella

φ1 =B

r2cos θ (r > a)

calcule las constantes A y B.

(c) Halle la potencia desarrollada por el campo electrico en el interior y el exterior de la esfera.

(d) Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (z = 0, r < a)determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.

(e) ¿A que tienden los resultados cuando σ1 � σ2? ¿Y cuando σ1 � σ2?

5.13. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de seccion S, y separadas unadistancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placashay establecida una tension V0.

(a) Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, ası como laenergıa almacenada en el sistema.

(b) En t = 0 se desconecta el generador. Determine la evolucion de la carga en las placas a partirde ese momento.

A

4mm

4mm

4mm

2mm

30mm

30mm

60mm30mm

30mm

Espesor: 1mm

V0=5V

3

1

20

Problema 5.11

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(c) Halle la energıa disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.(d) Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

5.14. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesora de un medio de permitividad ε y conductividad σ. El resto del espacio lo ocupa una capa deespesor b vacıa.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

(a) ¿Cuanto valen E, D y J inmediatamente despues de conectar el potencial?(b) ¿Cuanto valen un tiempo largo despues de que se haya establecido?(c) ¿Cuanto valen en cualquier instante?

5.15. Un medio ohmico de permitividad ε, conductividad σ y seccion S/2 rellena parcialmente el espacioentre dos placas planas y paralelas perfectamente conductoras, ambas de seccion S y separadasuna distancia a. La otra mitad del espacio entre las placas queda vacıo.

Inicialmente el sistema se halla en estado estacionario, con una diferencia de potencial V0 entre lasplacas

(a) Determine los campos E, J y D en el sistema, ası como las densidades (volumetricas y super-ficiales) de carga libre y de polarizacion.

(b) Calcule la energıa electrica almacenada y la potencia que se disipa en el sistema en este estadoestacionario.

En t = 0 se desconecta el generador, quedando el circuito abierto

(c) Determine los campos E, J y D y las distribuciones de carga en el sistema cuando, pasado untiempo largo, se alcanza de nuevo un estado estacionario.

(d) Determine la evolucion temporal de estos campos y cargas para todo t > 0.(e) ¿Cuanta energıa se disipa en el proceso?

5.16. Entre dos placas metalicas, planas y paralelas, de seccion S, y separadas una distancia a, se en-cuentra un medio ohmico de permitividad ε y conductividad σ.

Ambas placas estan conectadas a sendos generadores de tension variable.

(a) Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tension de la placa 1 se varıagradualmente de 0 a V0 en un tiempo T como V1(t) = V0t/T . Determine la corriente quellega a esta placa durante este tiempo.

(b) Para el periodo anterior, calcule la energıa disipada en el medio ohmico, ası como la energıaaportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen,¿a que se debe su diferencia?

��

��

V0

ε

σ=00

ε, σ

a

V0

t=0


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(c) Una vez que la placa 1 se encuentra a tension V0, el potencial de la placa 2 comienza a elevarsehasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo T para alcanzar el valor lımite. ¿Cuantacorriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?

(d) Durante este segundo periodo, ¿cuanta energıa se disipa en el medio? ¿Cuanta aporta cadagenerador? ¿Se verifica el balance energetico?

5.17. Dos esferas metalicas, perfectamente conductoras, de radio a, se encuentran muy alejadas la una dela otra (de forma que no se influyen entre sı). Las dos esferas se encuentran conectadas medianteun cable de resistencia R. Una de las esferas se encuentra conectada a un generador de tension V0,a traves de un interruptor que inicialmente se encuentra abierto. Ambas esferas estan inicialmentedescargadas.

(a) Suponga que el interruptor se cierra durante un periodo de tiempo muy corto (el imprescin-dible para que se cargue la esfera conectada a el) y se vuelve a abrir. Justo tras este intervalo¿como es la distribucion de cargas y potenciales en las esferas? ¿Cuanto vale la energıa elec-trostatica almacenada en el sistema?

(b) Si se deja transcurrir un periodo de tiempo largo, ¿como queda la distribucion de cargas ypotenciales? ¿Cual es la energıa electrostatica almacenada en el sistema en el estado final?

(c) Determine la evolucion en el tiempo de las cargas y potenciales en cada esfera, ası como lacorriente que circula por el cable.

(d) Halle la energıa disipada en el cable durante el periodo transitorio y verifique que se satisfaceel balance energetico.

(e) Suponga ahora que, en el proceso anterior, el generador no se desconecta, sino que se dejapermanentemente conectado a la primera esfera. En ese caso, ¿como varıa la carga en cadaesfera? ¿Y la corriente por el cable? ¿Y la energıa disipada y la energıa almacenada?

5.18. Una esfera de radio a se despolariza segun la ley

P(r, t) = ke−λtrur

Determine las densidades de carga de polarizacion, ası como la densidad de corriente de polariza-cion. ¿Se verifica la ley de conservacion de la carga para ρp y σp?

5.19. Suponga que se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conduc-tividad σ. Si se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 la corriente que llega auno de ellos vale I0. ¿Cual sera la corriente si el voltaje varıa como V0 cos ωt?

5.20. Suponga que en los problemas 5.13, 5.14 y 5.15 y 5.17, en lugar de una senal escalon aplicamosuna tension alterna V = V0 cos(ωt).

Para cada una de estas configuraciones:

(a) ¿Cuanto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cual es la impedancia del sistema? ¿Y elcircuito equivalente?

(b) ¿Cuanto vale la energıa aportada por el generador en un periodo? ¿En que se emplea estaenergıa?

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Campos Electromagneticos. Boletın 6. Abril de 20086.1. Una partıcula de masa m y carga q se mueve en el interior de un campo magnetico uniforme

B = B0uz. Si la partıcula se halla inicialmente en el origen y moviendose con velocidad v = v0.¿Cual es la trayectoria posterior? ¿Cual es la posicion en un instante de tiempo t?

6.2. Dos cargas puntuales iguales +q se mueven con la misma celeridad v de forma que en un instantese encuentran situadas en r1 = 0 y r2 = aux, respectivamente.

Si las dos cargas se mueven con velocidades pequenas v = vuz , calcule el valor aproximado de lafuerza electrica y de la fuerza magnetica que ejerce cada carga sobre la otra. ¿Cual es la proporcionentre estas dos fuerzas?

¿Como cambian estas fuerzas si se cambia el signo de una de las cargas, el sentido de una de lasvelocidades, o ambas cosas a la vez?

Calculese el valor de estas fuerzas si v1 = vuz, v = vux. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

6.3. Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campomagnetico uniforme B (en la figura el campo ocupa la region sombreada y apunta perpendicular-mente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pruebe que la fuerza magneticaneta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida.

Generalice este resultado para el caso de que la forma de la region ocupada por el campo magneticosea tambien irregular. ¿En que direccion apunta la fuerza?

6.4. Calcule el campo magnetico creado en todos los puntos del espacio por un segmento de longitudL por el cual circula una corriente continua I.

(a) A partir del resultado anterior, calcule el campo magnetico debido a un hilo rectilıneo delongitud infinita por el cual circula una corriente I.

(b) Por la espira de forma irregular de la figura circula una corriente I. Halle el valor del campoen el punto P .

6.5. Una lınea de alta tension trifasica esta formada por tres hilos paralelos coplanarios, separados unadistancia a, por los cuales circulan las corrientes

I1 =I0

2

(− cos(ωt) −

√3 sen(ωt)

)I2 = I0 cos(ωt) I3 =

I0

2

(− cos(ωt) +

√3 sen(ωt)

)siendo ω la frecuencia de oscilacion, que se considera muy baja.

q q

v v

a

s

I

�B

a

b

β•P

I


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(a) Calcule la circulacion, como funcion del tiempo, del campo magnetico B a lo largo de uncontorno rectangular de base 3a y altura a perpendicular al plano de los hilos y que rodea alos tres.

(b) Calcule el valor del campo magnetico en el plano de los hilos.

(c) Halle la fuerza sobre un segmento de longitud L del hilo central, como funcion del tiempo.¿Cuanto vale la fuerza maxima? Calcule su valor numerico para el caso a = 1m, L = 1m,ω = 100π s−1, I0 = 2kA.

6.6. Una espira rectangular de lados a y b, recorrida por una corriente I1, es coplanaria con un conductorrectilıneo, por el que circula una corriente I2. La distancia del centro de la espira al hilo es d. Hallela fuerza que aparece entre el hilo y la espira.

6.7. Halle el campo magnetico en todos los puntos del eje de una espira circular de radio a por la cualcircula una corriente continua I.

6.8. Un disco de radio a almacena una carga Q distribuida uniformemente en su superficie. El discogira con velocidad angular ω alrededor de su eje. Calcule el campo magnetico en los puntos dedicho eje.

6.9. En el plano z = 0 se encuentran dos anillos coplanarios concentricos, de radios a y b (b > a). Porel anillo interior circula una corriente I0.

(a) Halle la corriente I1 que debe circular por el anillo exterior para que el campo magnetico enel centro de los anillos se anule.

(b) Calcule el campo magnetico en todos los puntos del eje del sistema.

(c) Halle el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos.

(d) Suponga que b = 2a y que nos situamos a una altura z = 10a. ¿Cual es el error relativocometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximacion dipolar?

6.10. Un solenoide de radio a, altura h y n espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por unadistribucion de corriente superficial sobre un cilindro.

(a) Halle el valor K equivalente a que por las espiras circule una corriente I.

(b) Empleando la ley de Ampere, calcule el campo producido por el solenoide, si h → ∞.

(c) Mediante integracion directa, halle el campo magnetico en los puntos del eje del cilindro si hes finito. Estudie el lımite h � a

6.11. Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniformeK. Halle el campo magnetico en todos los puntos del espacio.

I2

I1

a

b

z

Ih

a


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6.12. Por el interior de una tuberıa cilındrica de radio a fluye un lıquido con una velocidad, dependientede la distancia al eje, ρ, como

v = v0

(1 − ρ2

a2

)uz

El lıquido posee una densidad de carga uniforme ρ0, de forma que la densidad de corriente esJ = ρ0v. En el exterior del tubo no hay corriente.

(a) Halle el campo magnetico que se produce tanto en el interior de la tuberıa como en el exteriorde ella.

(b) Calcule la fuerza que el campo magnetico ejerce sobre una carga q que se mueve con ellıquido, a una distancia a/2 del eje.

6.13. Calcule el momento magnetico de la espira en forma de cuadrilatero del problema 6.4 y de laespira tridimensional de la figura , formada por seis aristas de un cubo.

6.14. Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0. Un pequeno iman (equivalentea un dipolo magnetico m), de peso Mg, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo puntode sujecion se encuentra a una distancia a del cable. El iman esta sujeto por su punto central, deforma que puede orientarse libremente. ¿En que direccion apuntara el iman? Calculese la fuerzamagnetica sobre el iman, cuando se encuentra a una distancia x del cable. Halle la ecuacion parael angulo que el hilo forma con la vertical.

6.15. Sobre una mesa horizontal se colocan dos brujulas (equivalentes a dipolos magneticos) iguales,de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos brujulas pueden girar en el plano hori-zontal. Considerando que la interaccion brujula-brujula es mucho mayor que la accion del campomagnetico terrestre, ordene las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energıa.¿Como se orientaran las brujulas?

6.16. Se tiene un pequeno iman, modelable como un dipolo magnetico puntual de momento magneticom0 = m0 uz, situado a una cierta altura z sobre el eje de una espira circular de radio a por la quecircula una corriente electrica continua de intensidad I0.

Calcule la fuerza que la espira ejerce sobre el dipolo, y la que el dipolo produce sobre la espira. ¿Severifica la tercera ley de Newton?

I

a

l

m

�

(a) (b)

(c) (d)


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Camino de los Descubrimientos s/n41092 Sevilla

Campos Electromagneticos. Boletın 7. Abril de 20087.1. El momento dipolar magnetico de un atomo de hierro es aproximadamente

m � 2.22eh

2me

¿Cual es el valor maximo que puede tener la magnetizacion de un trozo de hierro?

Suponga que se tiene un iman cilındrico de gran longitud, magnetizado a lo largo de su eje. Sa-biendo que el campo en el extremo de la barra es aproximadamente B � μ0M/2, calcule el campoque producira este iman. Estime el valor de las corrientes de magnetizacion equivalentes a estaimanacion.

7.2. Se tiene un cilindro de longitud L y radio R, magnetizado segun la ley

M = Ayux

estando situado el origen de coordenadas en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente conel del iman.

Halle las fuentes vectoriales equivalentes a esta magnetizacion. Calcule tambien la distribucion defuentes escalares equivalente.

7.3. Se dispone de una esfera de radio R con una imanacion permanente M = M0uz.

(a) Determine la expresion integral del potencial vector magnetico. Calcule el valor de la integral.Hallese, a partir de A, el valor de B y de H en todos los puntos del espacio.

(b) Describa cualitativamente la forma de B, H y M

(c) Calcule las corrientes de magnetizacion equivalentes, las ecuaciones y las condiciones de con-torno para B.

(d) Halle la distribucion de cargas magneticas equivalentes y el problema de ecuaciones y condi-ciones de contorno para H.

7.4. Se construye un iman cilındrico de radio R = 1cm y longitud L, con una magnetizacion uniformey paralela a su eje M0 = 105 A/m.

(a) Determine aproximadamente los campos H y B cuando L = 1mm, en el centro del iman yen un punto ligeramente por encima de su base superior.

• A partir de las corrientes de magnetizacion.• A partir de las cargas magneticas.

(b) Estime H y B cuando L = 1m en los mismos puntos y con los mismos metodos

(c) Determine exactamente H y B en todos los puntos del eje del iman, tanto dentro como fuerade el. Compare con los resultados anteriores

7.5. Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestidode cobre. Esta formado por un nucleo de aluminio de radio a (suponga a = 2mm), rodeado poruna capa de cobre, de radio exterior b (sea b = 3mm).

Halle el campo magnetico producido por el cable, tanto en su interior como su exterior, cuando porel circula una corriente I = 100A. ¿Cual es el valor maximo del campo magnetico? ¿Donde sealcanza?

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7.6. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material magnetico lineal (de permeabilidad μ)alrededor de la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo magneticouniforme B0.

(a) Sabiendo que la magnetizacion que aparece en la esfera es uniforme, hallese el valor de dichamagnetizacion, del momento dipolar inducido en la esfera, y del campo magnetico en todoslos puntos del espacio.

(b) ¿En que se diferencia el resultado para un material diamagnetico (μ < μ0) de uno para-magnetico? ¿A que se reducen los resultados en los casos de un paramagnetico ideal (μ → ∞)y un superconductor (μ = 0)?

(c) Hallense las corrientes de magnetizacion que aparecen en la esfera.

(d) Calculense los valores numericos para los apartados anteriores con un campo externo B0 =10mT aplicado sobre una esfera de radio 1 cm para los siguientes materiales: oro, aluminio,hierro y un superconductor.

7.7. Los imanes pueden levitar cuando se encuentran frente a un superconductor. Para verlo, considereun pequena esfera de momento magnetico m y peso P situada frente a un plano infinito super-conductor (μ = 0). El iman se encuentra a una altura z0 y su momento magnetico apunta en ladireccion perpendicular al plano superconductor.

(a) Determine el campo magnetico B en todos los puntos del espacio. (Sugerencia: Considereseun dipolo imagen)

(b) Aplicando que la fuerza entre dos dipolos es

F21 =3μ0

4π

((m1(m2·r) + m2(m1·r) + r(m1·m2)) r2 − 5r(m1·r)(m2·r)

r7

)

con r = r2 − r1, calcule la fuerza sobre el dipolo situado sobre el plano. ¿Hacia donde sedirige esa fuerza?

(c) Halle la altura de equilibrio del iman sobre el plano.

(d) ¿Como cambian los resultados si el dipolo apunta paralelamente al plano?

M0 L

R

M0


B0

mm0

m

z0


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Campos Electromagneticos. Boletın 8. Mayo de 20088.1. Una barra metalica de longitud a = 10 cm se mueve en el interior de un campo magnetico uniforme

B0 (B0 = 10mT) con velocidad constante v, siendo v perpendicular tanto al eje de la varilla comoal campo magnetico y de modulo v = 1m/s.

(a) Calcule la fuerza magnetica sobre una carga q de la varilla. ¿Hacia donde se mueven lascargas positivas y negativas de la varilla?

(b) La separacion de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza electrica debido a dicha separa-cion compensa exactamente la fuerza magnetica. Usando esto, halle el campo electrico en elinterior de la varilla.

(c) Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.(d) Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formada

por la varilla y un cierre por el exterior del campo magnetico. Compruebe que coincide con elvoltaje calculado en el apartado anterior.

8.2. Una espira cuadrada de lado a = 2cm, de hilo de cobre de seccion A = 0.5mm2 gira con frecuenciaf = 400Hz en el interior de un campo magnetico uniforme de modulo B0 = 200mT. El eje degiro es perpendicular al campo magnetico.

(a) Determine la corriente que se induce en la espira.(b) Calcule la potencia instantanea disipada en la espira y la energıa total disipada en un periodo

de giro.

8.3. Se construye un sistema con dos hilos metalicos doblados en forma de L. Ambos hilos son de unmaterial de conductividad σ y seccion A. Uno de los conductores (“1”) es fijo, mientras que elsegundo (“2”) puede deslizarse manteniendo el contacto con el primero y su orientacion, de formaque entre ambos conductores definen un rectangulo de base a y altura b. El conductor movil sedesplaza con velocidad constante, de forma que

a = x0 + vxt b = y0 + vyt

Todo el sistema esta sometido a un campo magnetico no uniforme B = Axyuz, perpendicular alplano de los conductores.

(a) Calcule la corriente que circula por el sistema en cada instante. Desprecie el efecto de laautoinduccion.

(b) Halle la fuerza que se ejerce sobre el conductor movil.

av

B

B0 a

vx

vyv

b

B

1

2


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8.4. Se tienen dos raıles paralelos, perfectamente conductores, de longitud 2L separados una distanciaa, tal como se indica en la figura. Los extremos de los raıles estan conectados por sendas resistenciasR1 y R2. Sobre ellos se desliza una barra tambien perfectamente conductora de longitud b. La barrase desplaza con velocidad constante v = V ux. En el espacio entre los raıles hay aplicado un campomagnetico uniforme perpendicular al plano de los raıles, B = B0uz.

(a) Calcule la corriente que circula por la barra.(b) Calcule la fuerza ejercida sobre la barra por el campo magnetico.(c) Halle la potencia disipada por efecto Joule.

8.5. Una espira cuadrada de lado a = 10 cm, hecha de un hilo de cobre de seccion A = 1mm2

penetra en un campo magnetico uniforme perpendicular al plano de la espira y de modulo B0 =30mT. La espira se mueve inicialmente con velocidad v0 = 0.5m/s tangente a uno de sus lados yperpendicular al campo magnetico. En t = 0 la espira entra en el campo.

(a) Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia xy se esta moviendo con velocidad v.

(b) Halle la fuerza que el campo magnetico ejerce con la espira.(c) Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira por

efecto Joule. ¿De donde proviene la energıa disipada?(d) Si se deja que la espira frene por accion del campo magnetico, determine la evolucion en el

tiempo de la velocidad, ası como la energıa total disipada por efecto Joule.

8.6. Se construye una espira doble, soldando una barra a una espira cuadrada de lado 3a. La barraune dos lados opuestos y esta situada a una distancia a de uno de los lados. Tanto la barra comola espira cuadrada estan hechas de un alambre metalico de seccion A y conductividad σ.

La espira gira en torno de la barra con velocidad angular ω, en el seno de un campo magneticouniforme B0, perpendicular a la barra. En t = 0 el plano de la espira es perpendicular al campomagnetico.

(a) Calcule la corriente que circula en cada alambre como funcion del tiempo.(b) Halle la energıa disipada en un periodo de revolucion. ¿En que se va esta energıa? ¿De donde

procede?

8.7. Se tiene un solenoide largo de seccion S, por el cual circula una corriente variable en el tiempoK0(t). Dos voltımetros miden el voltaje entre dos puntos A y B, diametralmente opuestos, de uncircuito formado por dos resistencias R1 y R2, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de losvoltımetros. ¿Coincidiran estas? ¿Por que?

R1

R2

a

2L

vB

x

b

a

a

x

v

B

�t

B0


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8.8. Una espira circular de radio a, con autoinduccion L y resistencia R, se encuentra sometida a uncampo magnetico uniforme en el espacio pero variable en el tiempo. El campo es perpendicular alplano de la espira

Calcule la corriente que circula por la espira si el campo magnetico varıa en el tiempo, durante unlargo intervalo, como

(a) B(t) = Atuz

(b) B(t) = At2uz

(c) B(t) = A sen(ωt)uz

8.9. Se tienen dos anillos metalicos. Ambos anillos estan centrados en el origen de coordenadas. Unode ellos posee radio b y esta situado en el plano xy. El otro, de radio a, esta inclinado, de formaque su normal forma un angulo θ con el eje z. El radio b es mucho mayor que a.

(a) Determine el coeficiente de induccion mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campodel anillo exterior a traves del anillo interior (tenga en cuenta que este es muy pequeno),cuando por el anillo exterior circula una corriente I1.

(b) Halle el coeficiente de induccion mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que espracticamente un dipolo) a traves del anillo exterior cuando por el anillo interior circula unacorriente I2. ¿Son iguales los dos coeficientes?

8.10. Suponga la misma configuracion geometrica del problema 8.9. Por el anillo exterior se hace circularuna corriente constante I0. El anillo interior se hace girar en torno al diametro comun, de formaque el angulo θ varıa con velocidad constante ω. Despreciando los efectos de la autoinduccion,halle la corriente que circula por el anillo interior.

Calcule la energıa disipada en este anillo durante un periodo de revolucion.

8.11. Dos solenoides cilındricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen lamisma longitud h y numero de espiras N1 y N2, respectivamente, las cuales estan arrolladas en elmismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a y b (a < b).

(a) Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.

(b) Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.

(c) Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior dela exterior. ¿Cual es la autoinduccion equivalente de la asociacion?

(d) Suponga que se conectan en paralelo, ¿cual es la autoinduccion equivalente de la asociacion?

V1 V2

R1 R2K0( )t

�A

�B

n

uz

b

a

�

ab

h

Problema 8.7 Problemas 8.9 y 8.10 Problema 8.11

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8.12. Se tienen dos solenoides de seccion cuadrada de lado b de un hilo ideal sin resistencia. La longitudde ambos solenoides es h (h � b) y el numero de vueltas es N1 = N y N2 = 2N , respectivamente.Ambos solenoides se colocan de forma que intersecan en una seccion cuadrada de lado a, tal comomuestra la figura.

(a) Halle los coeficientes de autoinduccion, de induccion mutua y de acoplamiento.(b) Sin mover los solenoides de sitio, el sistema se conecta a un circuito. Para el caso a = b/3,

halle todas las posibles autoinducciones equivalentes que se pueden obtener con este sistema,teniendo en cuenta que los solenoides pueden conectarse entre sı, cortocircuitarse con un hiloideal o dejarse en circuito abierto.

8.13. Un amperımetro de induccion consiste en un solenoide toroidal (de resistencia despreciable y au-toinduccion L), que se situa en torno a la corriente que se pretende medir.

(a) Supongase un toroide de radio medio b y seccion cuadrada pequena de lado a (a � b), conN espiras arrolladas sobre un nucleo de permeabilidad μ (en este problema, ello solo suponecambiar μ0 por μ). Calculese el coeficiente de autoinduccion de este solenoide, a partir delcampo que se crea en su interior cuando por el solenoide circula una corriente I. Supongaseque dentro del solenoide B es de la forma B = B0uϕ con B0 uniforme.

(b) El solenoide anterior se coloca concentricamente con un hilo rectilıneo por el cual circula unacorriente I0 cos(ωt). Calculese la fuerza electromotriz que el hilo induce en el solenoide.

(c) Despreciando la resistencia del solenoide (pero no su autoinduccion), hallese la amplitud dela corriente que circula por el solenoide.

(d) Esta amplitud es proporcional a la de la corriente del hilo, ¿cuanto vale la constante de pro-porcionalidad para un toroide de radio medio 2 cm, y lado 2mm, con 300 espiras y con unnucleo de permeabilidad μ = 10−4 H/m?

8.14. La figura representa un carril metalico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla hori-zontal, tambien superconductora. Esta varilla esta inmersa en un campo uniforme B0 y cae por laaccion de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento sesuelta. Determine la ecuacion de movimiento y la posicion de la varilla en funcion del tiempo si elcircuito esta cerrado por:

(a) Una resistencia R (b) Un condensador C (c) Una autoinduccion L.

Estudie en cada caso el balance energetico del sistema.

bb a-

b

a

b-a

I0cos( t)�

A

ab


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8.15. Dos estrechas bobinas cilındricas de la misma longitud h, tienen radios a y b, mucho menores que sulongitud (a < b � h); las bobinas son coaxiales pero se hallan desplazadas una longitud s, y estanformadas por la misma cantidad de espiras compactas N = nh, enrolladas en el mismo sentido.Las resistencias electricas de las bobinas son R1 para la bobina interior y R2 para la exterior.

(a) Despreciando los efectos de borde, determine sus respectivos coeficientes de autoinduccionL1 y L2, ası como el de induccion mutua M y el de acoplamiento k.

(b) La bobina exterior se halla conectada a un generador de fuerza electromotriz en rampaE = At, mientras que la bobina interna se mantiene en circuito abierto. Obtenga el com-portamiento en el tiempo de la intensidad I2(t) en la bobina exterior (suponga una expresionde la forma I2 = kt + c).

(c) Al mismo tiempo, la bobina interior se extrae con velocidad constante v0, de forma que s =v0t. Calcule la tension V1(t) entre los extremos de esta bobina para t > 0.

B

Z

g

v

x

y

z

a

b

h

h s


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Campos Electromagneticos. Boletın 9. Mayo de 20089.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separa-

das una distancia a (a � b); entre ellas hay vacıo. Entre los centros de las placas se establece unatension V0 cos ωt.

(a) Halle, en primera aproximacion, el campo electrico que se establece entre las placas.

(b) Determine el campo magnetico inducido en el espacio entre las placas, segun la ley deAmpere-Maxwell.

(c) Calcule, la primera correccion en el campo electrico obtenido en (a), de acuerdo con la leyde Faraday. ¿Para que valor del radio empieza a ser importante esta correccion (esto es,comparable al campo estatico)?

(d) Indique como serıan las siguientes correcciones, tanto en E como en B.

9.2. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponer que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo electrico en los puntos del espacio y, a partir de este, la corriente de desplaza-miento. ¿Cuanto vale la densidad de corriente total?

¿Habra campo magnetico en el sistema?

Nota: La mayor parte de este problema ya aparece en el boletın 5.

9.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuen-tra lleno de un material ohmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magneticaμ0. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a � b). La placa superior estapermanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tension V (t).

(a) Despreciando los efectos de borde y la induccion electromagnetica, halle el campo electricoentre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.

(b) Calcule el campo magnetico entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0.

(c) Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, ası como su flujo a traves de unasuperficie cilındrica de radio b y altura a, concentrica con el sistema.

(d) ¿A que equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En que caso es nulo? ¿Que representa estecaso?

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9.4. Un cable coaxial ideal esta formado por un cilindro interior, de radio a, perfectamente conductor,y una superficie cilındrica exterior, de radio b, tambien perfectamente conductora. Los cilindros seextienden indefinidamente a lo largo de su eje.

El cilindro interior se encuentra a una tension V0, mientras que la superficie exterior se encuentraa tierra. Simultaneamente, por la superficie del nucleo fluye una corriente I0 en la direccion deleje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que haydistribuida uniformemente una corriente −I0.

(a) Halle los campos electrico y magnetico en todos los puntos del espacio.

(b) Calcule las densidades de energıa electrica y magnetica por unidad de volumen, ası como laenergıa total almacenada en una porcion de longitud L del cable coaxial.

(c) Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En que direccion fluye laenergıa? Halle el flujo de energıa a traves de una seccion del cable coaxial.

9.5. Los campos electrico y magnetico en el interior de un tubo metalico, de seccion cuadrada (que seextiende entre −L < x < L y −L < y < L, e indefinidamente a lo largo del eje z) vienen dado porlas expresiones

E = Ax(L2 − y2)ux B = −2Axytuz

En el exterior de este volumen ambos campos son nulos.

(a) Pruebe que este campo (E, B) verifica todas las ecuaciones y condiciones de salto necesariaspara ser un campo electromagnetico.

(b) Calcule las densidades de carga y de corriente, fuentes de este campo.

��

a

b

V t( )

V0

I0


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Primer Parcial, Enero de 2008

Optica

O.1. (1.0 puntos) Sobre la propagacion de la luz en una fibra optica, explique

(a) definicion y caracterısticas de la dispersion modal y el ensanchamiento de pulso,

(b) caracterısticas de la propagacion monomodo y multimodo y

(c) retardo por unidad de longitud y frecuencia maxima de transmision.

O.2. (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos

(a) Rango optico del espectro electromagnetico.

(b) Apertura numerica.

(c) Aberracion cromatica.

(d) Numero de diafragma.

(e) Hipermetropıa.

O.3. (0.5 puntos) Obtenga el angulo crıtico para una interfaz aire-hielo (n = 1.309). ¿A que distancia (profun-didad) se verıa un objeto situado en el interior de un bloque de hielo, a 10 cm de la superficie? Trace eldiagrama de rayos correspondiente.

O.4. (0.5 puntos) Construimos una lente biconvexa de vidrio (n = 1.49) cuyas caras tienen radios de curvatura10 cm y 20 cm.

(a) ¿Cual es su distancia focal?

(b) Determinar la posicion y aumento de un objeto de 3 cm de altura situado a 30 cm de ella.

(c) Trazar el diagrama de rayos correspondiente.

Teorıa

(0.5 puntos) Explique desarrolladamente los siguientes enunciados

T.1. Relacion entre el potencial electrico y la energıa potencial electrostatica.

T.2. Consecuencias del equilibrio electrostatico de un conductor.

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Primer Parcial, Enero de 2008

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Una esfera conductora de radio R tiene un hueco, tambien esferico, de radio R/2, no siendoel hueco concentrico con la esfera (sea a la distancia entre centros). Inicialmente la esfera se encuentraaislada y descargada.

(a) Obtenga las expresiones del campo electrico y del potencial en todos los puntos del espacio cuandoen el hueco se introduce una carga Q0 distribuida uniformemente en el volumen del hueco.

(b) Manteniendo esta carga en el hueco, la superficie de la esfera conductora se conecta a una fuentede potencial de valor V0. ¿Cuanto valen el campo y el potencial en todo el espacio una vez que sealcanza el equilibrio electrostatico.

(c) ¿Cuanta carga aporta el generador en el paso anterior?

P.2. (2.5 puntos) Cuatro placas cuadradas de lado L = 2cm, conductoras, se encuentran en la disposicioncuadrada indicada en la figura.

Entre las cuatro placas, centrado, se encuentra un cubo conductor, de arista L = 2cm, situado a unadistancia a = 1mm de cada placa. El cubo esta descargado en todo momento.

Si las cuatro placas se conectan a sendos generadores que fijan tensiones V1 = −10V, V2 = 20V,V3 = 30V, V4 = 40V

(a) Halle la carga almacenada en cada una de las placas cuadradas.

(b) Calcule la energıa electrostatica del sistema.

(c) Calcule el valor del campo en cada uno de los condensadores que se forman.

(d) Halle la presion electrostatica en cada cara del cubo enfrentada a una placa, ası como la fuerzaelectrostatica total sobre el cubo.

Despreciense los efectos de borde y los debidos a las caras del cubo no enfrentadas a una placa.

R/2

Q0

V0

R

V1

V2

V3

V4

Q=0

a=1mm

L=20mm

Problema P.1 Problema P.2

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Campos Electromagneticos.Primer Parcial, Enero de 2008.

Nombre: .

Este test se recogera una hora despues de ser repartido.

La puntuacion total del test es de 2 puntos. Cada respuesta correcta puntua 0.2 puntos. Lasrespuestas erroneas restaran 0.066 puntos. Las respuestas en blanco no contribuyen a la nota del test.Caso de que la nota total resulte negativa, la puntuacion final sera cero.

En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Marque la respuesta correcta con un aspa(�×). Si desea modificar una respuesta, tache la ya escrita (�) y escriba una cruz sobre la nueva.

T.1 Dado un campo, en cilındricas, F = Auρ + Buϕ, con A y B constantes, la condicion para que seairrotacional es que. . .

� A. A = 0.

� B. B = 0.

� C. Siempre es irrotacional.

� D. Nunca puede ser irrotacional.

T.2 Dado el campo escalar, expresado en esfericas, φ = A sen θ/(4 − cos θ), ¿como son sus superficiesequipotenciales?

� A. Esferas concentricas.

� B. Conos con vertice el origen.

� C. Cilindros concentricos.

� D. Planos paralelos.

T.3 Se tiene un campo electrostatico que para r > a es nulo, y para r < a vale E = Aruϕ. ¿Cuantovale la densidad de carga superficial que crea este campo?

� A. Es nula.

� B. −ε0Aa

� C. −ε0Ar

� D. La pregunta no tiene sentido, pues no se trata de un campo electrostatico.

T.4 Una carga de 2 nC se encuentra distribuida uniformemente en una superficie esferica de radio 2 cm.¿Cuanto vale el flujo del campo electrico en una esfera de radio 3 cm concentrica con esta?

� A. 226V · m.

� B. 2.0 nV · m.

� C. 1.77 × 10−20V · m.

� D. 0V · m.

T.5 Una carga esta a una distancia a de un dipolo p. Si la carga se acerca a una distancia a/2, ¿Porcuanto se multiplica la fuerza sobre la carga?

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� A. Por 2.

� B. Por 32.

� C. Por 4.

� D. Por 8.

T.6 Un proton puede suponerse como una esfera cargada en su superficie, de radio a = 10−15 m.¿Cuanto vale aproximadamente la energıa electrostatica de un proton?

� A. 0.1 pJ.

� B. 1MJ.

� C. 200 J

� D. 0.2 pJ.

T.7 Dos conductores se encuentran a una cierta distancia el uno de l otro. El 1 almacena una cargaQ1 < 0 y el 2 esta a tierra. En este sistema. . .

� A. V1 < 0, Q2 = 0.

� B. V1 > 0, Q2 = 0.

� C. V1 < 0, Q2 > 0.

� D. V1 > 0, Q2 < 0.

T.8 Un condensador plano es cargado aplicando una diferencia de potencial V0. Una vez cargado, sedesconectan los electrodos de la fuente, y se acercan las dos placas. ¿Como cambia la energıaalmacenada en el condensador?

� A. Aumenta.

� B. Disminuye.

� C. No cambia.

� D. Depende del signo de V0

T.9 Se tiene un sistema formado por un conductor hueco aislado y descargado. En el interior del huecohay dos conductores, uno de los cuales esta a tension V0 y el otro esta descargado. El circuitoequivalente a este sistema se compone de

� A. Cuatro condensadores y una fuente de tension.

� B. Tres condensadores y una fuente de tension.

� C. Seis condensadores y tres fuentes de tension.

� D. Tres condensadores y tres fuentes de tension.

T.10 Se hace un condensador con dos hojas tamano A4 de papel de aluminio entre las cuales se colocaun folio como los del examen. Suponiendo el papel equivalente a un vacıo, ¿cuanto vale aproxi-madamente la capacidad de este condensador?

� A. ∼ 1 pF.

� B. ∼ 1 nF.

� C. ∼ 1μF.

� D. ∼ 1mF.

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3a Convocatoria Ordinaria, Enero de 2008

Optica

O.1. (1.0 puntos) En una camara fotografica, explique la relacion entre la exposicion, apertura de diafragmay velocidad de obturacion y la escala de valores del numero de diafragma.

O.2. (0.5 puntos) Defina el disco de Airy y el lımite (poder) de resolucion de un sistema optico segun el criteriode Rayleigh.

O.3. (0.5 puntos) Se desea montar un enlace de transmision de datos por fibra optica utilizando una fibra deındices n1 = 1.58 y n2 = 1.49. ¿Cuales son su angulo de aceptacion y apertura numerica? Si la longitudes de 3 km, ¿cual es la frecuencia maxima de transmision?

O.4. (0.5 puntos) Una bombilla emite un flujo radiante de P = 60W de luz monocromatica (λ = 600nm).Asumiendo la isotropıa de la emision, ¿cual es la irradiancia sobre una superficie situada a d = 3m?Escriba la expresion escalar del campo electrico a esa distancia.

Teorıa

(1 puntos) Describa matematicamente y explique los siguientes conceptos:

T.1. Ley de Gauss.

T.2. Presion electrostatica sobre un conductor.

T.3. Intensidad y densidades de corriente.

T.4. Ley de Faraday.

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3a Convocatoria Ordinaria, Enero de 2008

Problemas

P.1. (2.25 puntos) Se tiene un sistema de dos conductores formado cada uno de ellos por una esfera de radioa y una corteza esferica de radio 2a, de espesor despreciable, unidas por un cable muy largo. Cadacorteza recubre concentricamente a la esfera del otro conductor. Los dos subsistemas estan muy alejados,de forma que el campo de cada uno de ellos produce una influencia despreciable en el otro.

(a) Determine la matriz de coeficientes de capacidad del sistema, ası como las capacidades y autocapa-cidades del circuito equivalente.

(b) Si el conductor 1 se encuentra a potencial V0 y el 2 esta aislado pero almacena una carga Q0, ¿quecarga almacena el conductor 1? ¿A que potencial se encuentra el conductor 2?

(c) Determine la energıa almacenada en el sistema para el caso anterior.

(d) Suponga que el conductor 2 se conecta a tierra, ¿como cambian las cargas y potenciales de losdos conductores? ¿Cuanto varıa la energıa almacenada en el sistema? ¿En que caso la energıa nocambia?

P.2. (2.25 puntos) Se tiene un hilo rectilıneo infinito por el que circula una corriente constante en el tiempoI0. A una distancia x del hilo se encuentra una pequena esfera (de radio a � x) de material magnetizablede permeabilidad relativa μr = 2.

(a) Calcule el momento magnetico total de la esfera debido al campo magnetico producido por el hilo.

(b) Calcule la fuerza ejercida por el hilo sobre la esfera.

(c) ¿De que tipo es el material, paramagnetico o diamagnetico? ¿Que ocurre si el material es del otrotipo?

(d) Calcule el valor numerico de la fuerza y de la aceleracion de la esfera para los valores I = 10A,x = 10 cm, a = 5mm, M = 10g (siendo M la masa de la esfera).

V0

Q0

Problema P.1

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Campos Electromagneticos.3a Convocatoria Ordinaria, Enero de 2008.

Nombre: .




T.1 En una region del espacio esta definido un campo vectorial irrotacional. Para este campo, la circu-lacion entre dos puntos. . .

� A. depende solo de la distancia entre los puntos.

� B. no depende de los puntos.

� C. no depende del valor del campo.

� D. no depende del camino entre los dos puntos.

T.2 Se tienen dos cargas puntuales 2q y −q separadas una distancia a. En el punto medio entre las doscargas

� A. El campo y el potencial electrico son nulos.

� B. El campo electrico es nulo pero el potencial no.

� C. El potencial es nulo, pero el campo no.

� D. Ni el campo ni el potencial son nulos.

T.3 Se tiene una distribucion de una carga total Q distribuida uniformemente en la superficie de unaesfera de radio R, ¿cuanto vale el potencial en el centro de la esfera?

� A. Q/(4πε0R2)

� B. Q/(4πε0R)

� C. Infinito.

� D. Cero.

T.4 Una esfera conductora ideal de radio R esta aislada y cargada electricamente con una carga Q0;posteriormente, se conecta a una fuente de potencial de valor V0. La energıa electrostatica final delsistema es:

� A. Ue = 2πε0RV 20

� B. Ue = Q0V0

� C. Ue = Q0V0/2

� D. Ue = Q20/8πε0R

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T.5 Sobre una partıcula de un material dielectrico lineal se aplica un campo electrico uniforme. ¿Comoes el campo en el interior de la partıcula comparado con el aplicado?

� A. Mayor que el aplicado.

� B. Menor que el aplicado.

� C. Igual al aplicado.

� D. Mayor o menor, dependiendo de que esta hecha la partıcula.

T.6 El espacio entre dos placas planas y paralelas (perpendiculares al eje z) separadas una distancia ase llena de un material de permitividad ε(r) y conductividad σ(r). Se aplica una tension V0 entrelas placas. En el estado estacionario, siempre. . .

� A. E = (V0/a)uz .

� B. ∇·J = 0.

� C. ∇·D = 0.

� D. Todas las respuestas son ciertas.

T.7 Por una hilo rectilıneo circula una corriente de de 100mA. El campo magnetico a 5 cm del hilo esaproximadamente. . .

� A. 1.3μT

� B. 0.2μT

� C. 2.8 pT

� D. 0.4μT

T.8 ¿Cual de las siguientes ecuaciones relativas al campo magnetico H es incorrecta?

� A. H = B/μ0 − M

� B. ∇× H = Jm

� C. ∇ ·H = ρm

� D. n · [H] = σm

T.9 Se tiene un circuito de resistencia R y autoinduccion L conectado a una fuente de corriente conti-nua. Si se cortocircuita esta ultima, ¿que ocurre con la corriente a partir de ese momento?

� A. Se anula instantaneamente.

� B. Permanece constante.

� C. Decae exponencialmente con el tiempo.

� D. Decae linealmente con el tiempo

T.10 ¿Cual de las siguientes no es una de las ecuaciones de Maxwell en la materia?

� A. ∇× D = ρ

� B. ∇× E = −∂B∂t

� C. ∇× B = 0

� D. ∇× H = J +∂E∂t

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Segundo Parcial, Junio de 2008

Optica

O.1. (1.0 puntos) Explique los fundamentos del mecanismo de emision de luz laser.

O.2. (0.5 puntos) Defina los siguientes parametros de una camara digital:

(a) aumento primario y del sistema

(b) campo de vision

(c) distancia de trabajo

(d) profundidad de campo

(e) contraste

O.3. (0.5 puntos) Un laser de argon (λ = 488nm) de potencia 50 W emite un haz cilındrico de 10 mm dediametro. Determine

(a) la irradiancia,

(b) el campo electrico en el frente de ondas.

(c) ¿Cuantos fotones por segundo estan siendo emitidos?

O.4. (0.5 puntos) Explique la forma y calcule el tamano de la imagen de un punto distante formada por unacamara con una lente de distancia focal f = 105mm y diametro del diafragma D = 18.8mm. Considereluz de λ = 550nm.

Teorıa


T.1. Concepto, definicion y principales propiedades de los coeficientes de conductancia.

T.2. Corrientes de magnetizacion (o imanacion).

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Segundo Parcial, Junio de 2008

Problemas

P.1. (2.5 puntos) El sistema de la figura esta formado por tres placas conductoras ideales, planas y paralelas,todas de area S. Todas las placas pueden suponerse muy delgadas. Entre la placa “1” y la “2” hay undielectrico ideal de espesor a, caracterizado porque presenta una polarizacion uniforme y constante P0,perpendicular a dichas placas. Entre las placas “2” y “3”, separadas una distancia b, hay un medio ohmicode conductividad σ y permitividad ε. Las dos regiones entre las placas estan inicialmente descargadas.La placa central se encuentra conectada a un generador, que fija una diferencia de potencial V0 respectoa las otras dos placas, ambas a tierra.

(a) Determine los campos y corrientes en el sistema cuando este se halla en regimen estacionario.(b) Calcule las distribuciones estacionarias de carga libre en el sistema. Ajuste el valor de V0 para que la

placa central este descargada. Este valor se usara en los dos apartados siguientes.(c) En un instante t = 0 se desconecta el generador. Halle la distribucion de campos, corrientes y cargas

libres en el sistema cuando se alcanza de nuevo una situacion estacionaria.(d) Calcule la evolucion en el tiempo de los campos, las corrientes y la carga libre en las placas.


P.2. (2.5 puntos) Una espira cuadrada de lado b, de resistencia R y autoinduccion despreciable rodea concen-tricamente a un solenoide circular largo, de radio a, de longitud h (h � a) y N espiras. Por el solenoidecircula una corriente constante Ib0, que a partir de t = 0 comienza a decaer exponencialmente como

Ib(t) = Ib0e−λt

(a) Sabiendo que el campo magnetico en el interior del solenoide es aproximadamente uniforme, cal-cule la corriente que circula por la espira cuadrada como funcion del tiempo.

(b) Halle la carga que pasa por un punto de la espira durante todo el periodo t > 0.(c) Halle la potencia instantanea disipada por efecto Joule en la espira, ası como la energıa total disipada

en el periodo t > 0.(d) Suponga ahora la misma situacion descrita anteriormente, pero considere que la espira posee una

autoinduccion no despreciable L y que inicialmente no circula corriente por ella. Para t > 0 lacorriente que pasa por la espira es de la forma

Ie = Ce−λt + De−Rt/L

Calcule las constantes C y D, ası como la carga que pasa por un punto de la espira en el periodot > 0 y la energıa total disipada en el mismo periodo.

ε σ,

P0a

b

V0 ab

h

I tb( )


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Campos Electromagneticos.Segundo Parcial, Junio de 2008.

Nombre: .




T.1 Un condensador esferico de radio interior 1 cm y exterior 2 cm esta relleno de cuarzo. El condensa-dor se coloca a una tension de 100 V. ¿Cuanto vale aproximadamente la energıa almacenada en elcondensador?

� A. 11 nJ.

� B. 56 nJ.

� C. 6.3 kJ.

� D. 21 J.

T.2 Un condensador de placas planas y paralelas esta relleno de dos capas del mismo espesor demateriales dielectricos de permitividades relativas 3 y 5, siendo la interfaz paralela a las placas.¿Cuanto vale la capacidad de este condensador comparada con la situacion en vacıo?

� A. es 2.4 veces mayor

� B. es 1.88 veces mayor.

� C. es 3.75 veces mayor.

� D. es 4 veces mayor.

T.3 En una region la densidad de corriente es perpendicular al campo electrico.

� A. En esa region el campo electromagnetico esta absorbiendo energıa.

� B. En esa region el campo electromagnetico ni gana ni pierde energıa.

� C. En esa region el campo electromagnetico esta realizando trabajo.

� D. Tal situacion es imposible.

T.4 Un cable de cobre por el cual circula una corriente estacionaria posee seccion variable. Donde laseccion es mayor. . . .

� A. la intensidad de corriente es menor.

� B. el campo electrico es mayor.

� C. la intensidad de corriente es mayor.

� D. el campo electrico es menor.

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T.5 La ley de Ampere establece que. . .

� A. el flujo de B a traves de cualquier superficie cerrada es nulo.

� B. la circulacion de B a traves de cualquier curva cerrada es proporcional a la corriente queatraviesa una superficie apoyada en ella.

� C. el flujo de B a traves de cualquier superficie es proporcional a la corriente que circula por unacurva apoyada en ella.

� D. la circulacion de B a lo largo de cualquier curva cerrada es siempre nula.

T.6 Se tiene una esfera imanada radialmente. Se parte en dos mitades. Inmediatamente tras el cortelas dos mitades. . .

� A. se atraen.

� B. se repelen.

� C. no se ejercen fuerza alguna, pues la repulsion de los polos iguales se compensa con la atraccionde los opuestos.

� D. se repelen o se atraen, dependiendo de por donde se haga el corte.

T.7 La permitividad relativa de un material es 1.01. Este material es . . .

� A. paramagnetico.

� B. diamagnetico.

� C. un dielectrico lineal.

� D. ferromagnetico.

T.8 Una espira circular de radio 1 cm gira con frecuencia f = 400 Hz alrededor de un diametro, elcual es perpendicular a un campo magnetico de valor 125 mT. ¿Cuanto vale aproximadamente laamplitud de la fuerza electromotriz inducida en la espira?

� A. 0 V

� B. 1 kV

� C. 0.1 V

� D. 5 V

T.9 ¿En que se mide el campo magnetico H?

� A. En T · m/A.

� B. En N/A · m.

� C. En T.

� D. En A/m.

T.10 ¿Cual de las siguientes no es una de las ecuaciones de Maxwell?

� A. ∇× E = −∂B/∂t.

� B. ∇ ·E = ρ/ε0.

� C. ∇× B = μ0J.

� D. ∇ ·B = 0.

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Examen Final, Julio de 2008• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1, O.2, O.3,

O.4, T.1, y T.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios O.5, O.6,O.7, O.8, T.3, y T.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.1, O.3, O.6, O.8,T.2 y T.3.

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Optica

O.1. [1P-T] (1 punto) En una camara fotografica, explique (a) la relacion entre la distancia focal, distancia alobjeto y tamano de la imagen, (b) clasificacion de los objetivos segun su distancia focal y (c) la distancia focalequivalente 35 mm para las camaras digitales.

O.2. [1P] (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos:

(a) aberracion esferica

(b) coma

(c) astigmatismo

(d) distorsion

(e) aberracion cromatica

O.3. [1P-T] (0.5 puntos) Se desea montar un enlace de transmision de datos por fibra optica utilizando unafibra de ındices n1 = 1.492 y n2 = 1.402. ¿Cuales son su angulo de aceptacion y apertura numerica? Si seusa un diodo de λ = 850 nm, determine la frecuencia normalizada y el diametro maximo (del nucleo) paraque la propagacion sea monomodo.

O.4. [1P] (0.5 puntos) El espejo retrovisor exterior de un automovil es un espejo esferico de radio R = 180 cm.Justifique si debe ser concavo o convexo y trace el diagrama de rayos correspondiente. ¿Como sera la imagende un objeto situado a una distancia de 15 m?

Teorıa


T.1. [1P] Consecuencias del caracter irrotacional del campo electrostatico.

T.2. [1P-T] Concepto de condensador. Capacidad de un condensador. Relaciones entre la carga, potencial yenergıa almacenada en un condensador

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Examen Final, Julio de 2008• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1, O.2, O.3,

O.4, T.1, y T.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios O.5, O.6,O.7, O.8, T.3, y T.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.1, O.3, O.6, O.8,T.2 y T.3.


Optica

O.5. [2P] (1 punto) Explique (a) los riesgos asociados al uso de sistemas laser, (b) la clasificacion de los sistemaslaser segun su potencial de riesgo y las medidas de seguridad necesarias.

O.6. [2P-T] (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos, e indique las unidades de cada uno:

(a) flujo radiante

(b) luminancia

(c) irradiancia

(d) intensidad luminosa

(e) emitancia

O.7. [2P] (0.5 puntos) Sobre un sensor optico de area A = 10 mm2 y detectividad especıfica D∗ = 108 cm ·Hz1/2/W incide una senal luminosa con una potencia de ruido equivalente NEP = 1.5×10-5 W y una relacionsenal-ruido SNR = 1000. Calcule el ancho de banda y la irradiancia de la senal incidente.

O.8. [2P-T] (0.5 puntos) Una bombilla emite un frente de ondas esferico con un campo electrico E = 19 V/ma una distancia d = 6 m. Calcule la irradiancia y la potencia luminosa de la bombilla. Si la luz es azulada(λ = 480 nm), estime el numero de fotones emitidos por unidad de tiempo.

Teorıa


T.3. [2P-T] Dielectricos lineales y permitividad.

T.4. [2P] Concepto de generador y fuerza electromotriz

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Examen Final, Julio de 2008• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1 y P.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios P.3 y P.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.1 y P.4.


Problemas

P.1. [1P-T] (2.5 puntos) Una superficie esferica conductora de radio R, puesta a tierra, contiene en su interioruna distribucion de carga no uniforme, cuya densidad de carga es de la forma

ρ ={

Ar(R − r) (r < R)0 (r > R)

(a) Calcule el campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Calcule el valor de la carga almacenada en la esfera conductora.

(c) Halle el potencial electrico en el centro de la esfera.

i. A partir del campo electrico.ii. Por integracion directa a partir de las densidades de carga.

(d) Halle la energıa electrostatica almacenada en el sistema.

P.2. [1P] (2.5 puntos) Se tiene el sistema de la figura, formado por un prisma triangular (“4”), cuya base es untriangulo equilatero de lado L, y cuya altura es tambien L. Este prisma esta conectado a tierra. Frente a else encuentran tres placas cuadradas de lado L situadas a distancia a, 2a y 3a (a � L), respectivamente. Lasplacas “1” y “3” se conectan a un voltaje V0, mientras que la “2” almacena una carga Q0

(a) Halle la matriz de coeficientes de capacidad en este sistema de cuatro conductores. Desprecie los efectosde borde.

(b) Calcule la carga y el potencial de cada placa, ası como la energıa total del sistema.

(c) Calcule la presion electrostatica en cada cara del prisma. A partir de la presion, halle la fuerza neta sobreel prisma.

R

2

1

3

V0

Q0

a

2a3a

L

4


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Examen Final, Julio de 2008• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1 y P.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios P.3 y P.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.1 y P.4.


Problemas

P.3. [2P] (2.5 puntos) Para construir un fusible se intercala un hilo de plomo (σ = 4.84× 105 S/m) en el caminode un hilo de cobre de 0.5 mm de radio. La pieza de plomo esta formado por un hilo de 0.1 mm de radio y1 cm de longitud, unido al cobre por dos troncos de cono, tambien de plomo, de 0.5 cm de longitud.

(a) La condicion de fusion la da el que en un intervalo de tiempo de 1 s, en la pieza de plomo se disipe unaenergıa de 700 mJ/mm3. Calcule la intensidad maxima que puede circular por el hilo de cobre para queno se alcance este lımite.

(b) Calcule la resistencia de la pieza de plomo, admitiendo que el sistema se comporta como un conductorfiliforme de seccion variable.

P.4. [2P-T] (2.5 puntos) Un conductor cilındrico de radio muy pequeno a y longitud indefinida es recorridopor una corriente continua I0. Una espira cuadrada muy pequena, de lado b, resistencia R y autoinducciondespreciable, es coplanaria con el hilo y se encuentra situada a una distancia y de este (y � b).

(a) Calcule, detallando los pasos, el campo magnetico producido por el hilo en su exterior

(b) Si por la espira circula una corriente I1, ¿que fuerza ejerce el hilo sobre ella?

(c) Suponga que la espira se aleja del hilo, sin cambiar su orientacion, de modo que y = y0 + v0t, ¿cuantovale la corriente I1 inducida en la espira en un instante t? ¿Y la fuerza que el hilo ejerce sobre ella?

a=0.1mm

b=0.5mm

L=1cm

h=0.5cm

y

I0

I1

b

X

Y

Z


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Campos Electromagneticos.Examen final (Solo Primer Parcial), Julio de 2008.

Nombre: .




T.1 Dado un campo, en cilındricas, F = Auϕ + Buz, con A y B constantes, la condicion para que seasolenoidal es que. . .

� A. A = 0.

� B. B = 0.

� C. Siempre es solenoidal.

� D. Nunca puede ser solenoidal.

T.2 ¿Como son las lıneas coordenadas de la coordenada polar θ?

� A. Semirrectas que parten desde el eje Z

� B. Semirrectas que parten desde el origen de coordenadas.

� C. Circunferencias horizontales (paralelos)

� D. Semicircunferencias verticales (meridianos)

T.3 Dos cargas puntuales, de valor q y 9q estan a una distancia a. ¿A que distancia de la carga q seanula el campo electrico?

� A. No se anula en ningun punto.

� B. a/3.

� C. a/4.

� D. a/5.

T.4 Una carga de +2μC se encuentra distribuida uniformemente en una superficie esferica de radio2 cm. ¿Cuanto vale el flujo del campo electrico en una esfera de radio 1 cm concentrica con esta?

� A. 2.21 × 10−18V · m.

� B. 28.3kV · m.

� C. 0.25μV · m� D. 0V · m.

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T.5 ¿Se tiene una carga q en el origen y sendas cargas −q en aux y 2aux. En puntos alejados el sistemase percibe como. . .

� A. una carga puntual, sin momento dipolar.

� B. un dipolo.

� C. una carga y un dipolo.

� D. No se percibe en absoluto.

T.6 Para colocar 1 C de carga sobre la superficie de una esfera de 1 km de radio, ¿cuanta energıa hacefalta?

� A. 4.5 J.

� B. 4.5 kJ.

� C. 4.5 MJ.

� D. 4.5 GJ.

T.7 ¿Cual de las siguientes afirmaciones es falsa para un conductor en equilibrio electrostatico?

� A. No puede haber lıneas de campo que salgan del conductor y vayan a parar a sı mismo.

� B. El potencial es nulo en todo el conductor.

� C. El campo electrico en el material conductor es nulo.

� D. La densidad de carga de volumen es siempre nula en el conductor.

T.8 Se tiene un sistema formado por tres esferas conductoras. Dos de ellas estan conectadas entre sıpor un hilo conductor y a una fuente de tension V0. La tercera esta conectada a una fuente detension V1. El circuito equivalente mınimo se compone de

� A. Tres condensadores y dos fuentes de tension-

� B. Seis condensadores y dos fuente de tension.

� C. Seis condensadores y tres fuente de tension.

� D. Un condensador y dos fuentes de tension.

T.9 Se tiene un conductor descargado en forma de corteza esferica de radio interior a y exterior b,centrada en el origen. En su interior, pero no en su centro sino en un punto r0, se encuentra unacarga puntual q. ¿Que campo se ve en el exterior de la esfera?

� A. El de una carga puntual q situada en r0.

� B. El de una carga puntual situada en r = 0.

� C. Ninguno.

� D. El de dos cargas puntuales de valores q y −qa/r0, situadas en r0 y R2r0/r20.

T.10 ¿A que equivale el producto F·V2/m?

� A. J.

� B. Pa.

� C. N.

� D. C/m3.

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Campos Electromagneticos.Examen final (Solo Segundo Parcial), Julio de 2008.

Nombre: .




T.1 Entre dos placas planas y paralelas de seccion 1 cm2, con cargas de ±1 μC, separadas una distanciade 1,mm, y entre las cuales hay vacıo, se coloca una capa de dielectrico de permitividad relativaεr = 2. Al colocar el dielectrico, ¿como cambia la diferencia de potencial entre las placas?

� A. No cambia.

� B. Aumenta al doble.

� C. Se reduce a la mitad.

� D. Tal sistema es imposible.

T.2 La conductividad del cobre es el doble de la del aluminio. Sendos hilos de la misma seccion ylongitud se colocan en serie y se hace circular una corriente I0 por la asociacion.

� A. Las perdidas por efecto Joule son el doble en el cobre que en el aluminio.

� B. Las perdidas por efecto Joule son el doble en el aluminio que en el cobre.

� C. La corriente en el aluminio es el doble que en el cobre.

� D. La caıda de tension en el cobre es el doble que en el aluminio.

T.3 Se tiene la frontera entre dos materiales ohmicos, de distinta permitividad y distinta conductividad.Existe una distribucion estacionaria de corrientes. ¿Que componente de que campo es continua enesta interfaz?

� A. La tangencial de J.

� B. La normal de J.

� C. La tangencial de D.

� D. La normal de D.

T.4 La aceleracion de una carga que se mueve en un campo magnetico no uniforme. . .

� A. solo posee componente tangencial.

� B. solo posee componente normal.

� C. tiene modulo constante, pero direccion variable.

� D. es siempre paralela al campo magnetico.

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T.5 Por una espira de radio 10 cm circula una corriente de 100 mA. El campo magnetico en su centroes aproximadamente

� A. 0.1 μT.

� B. 4.4 pT.

� C. 63 μT.

� D. 0.63 μT.

T.6 Una esfera esta magnetizada radialmente hacia adentro, M = −Arur. ¿Que se percibe desde elexterior?

� A. Toda la esfera se ve como un unico polo norte.

� B. Toda la esfera se ve como un unico polo sur.

� C. No produce campo magnetico en el exterior.

� D. Se aprecia un campo magnetico que da vueltas en torno a la esfera.

T.7 ¿Cual de las siguientes ecuaciones relativas al campo magnetico H es incorrecta?

� A. H = B/μ0 − M.

� B. ∇ ·H = ρm.

� C. ∇× H = Jm.

� D. n · [H] = σm.

T.8 En el interior de un solenoide cilındrico de radio b y longitud h se introduce una barra supercon-ductora de radio tambien b y la misma longitud. ¿Como cambia la autoinduccion de la bobina?

� A. Se hace cero.

� B. No cambia.

� C. Aumenta.

� D. Disminuye sin llegar a anularse.

T.9 ¿Que dice el teorema de Poynting cuando se aplica a un volumen limitado por una caja supercon-ductora?

� A. La potencia disipada es igual a la que entra a traves de las paredes del sistema.

� B. La potencia disipada se escapa a traves de las paredes en forma de calor.

� C. La energıa almacenada se escapa a traves de las paredes en forma de calor.

� D. La potencia disipada procede de la disminucion en la energıa almacenada.

T.10 ¿Cual de las siguientes no es una de las ecuaciones de Maxwell?

� A. ∇× E = ∂B/∂t.

� B. ∇ ·E = ρ/ε0.

� C. ∇× B = μ0J + μ0ε0∂E/∂t.

� D. ∇ ·B = 0.

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2a Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2008

Optica

O.1. (1.0 puntos) En una camara fotografica digital, explique

(a) la distancia focal equivalente en 35 mm

(b) principios de funcionamiento y clasificacion de los sistemas de reduccion de vibraciones

O.2. (0.5 puntos) Defina el plano de polarizacion de la luz y los tipos de polarizacion.

O.3. (0.5 puntos) Construimos un espejo concavo con radio de curvatura de 12 m.

(a) ¿Cual es su distancia focal?

(b) Determine la posicion y aumento de un objeto de 15 cm de altura situado a 9 m de la misma.

(c) Trace el diagrama de rayos correspondiente.

O.4. (0.5 puntos) Un laser de He-Ne (λ = 632.8 nm) emite un haz de irradiancia I = 4500W/m2 linealmentepolarizado en la direccion x. Escriba las expresiones de los campos electrico y magnetico asociados.

Teorıa


T.1. Construccion de un circuito equivalente a un sistema de conductores

T.2. Ley de induccion electromagnetica (ley de Faraday). Considere los casos de una espira en movimientoen un campo estatico, y de una espira en reposo en un campo variable.

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2a Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2008

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Se tiene un casquete hemisferico de radio interior R y exterior 2R. Este casquete posee unadensidad de carga uniforme ρ0.

(a) Calcule el valor del potencial electrico en el punto O, centro del casquete.

(b) Calcule el trabajo para mover una carga puntual q desde un punto A situado en el borde del cas-quete, al punto B, situado diametralmente opuesto.

(c) Halle el valor del campo electrico en el punto O.

(d) Considerando O como el origen de coordenadas, halle la expresion del potencial electrico en puntosalejados del casquete, hasta el segundo orden de aproximacion.

P.2. (2.5 puntos) Un cilindro de radio a y longitud infinita posee una densidad de carga uniforme ρ0. Elcilindro se mueve con velocidad constante v0 paralelamente a su eje, de forma que existe una densidadde corriente J = ρ0v0. Para todos los puntos del espacio halle:

(a) El campo electrico, E.

(b) El campo magnetico, B.

(c) Las densidades de energıa electrica, ue, magnetica, um y electromagnetica, uem.

(d) El vector de Poynting, N.

(e) La velocidad de propagacion de la energıa, definida como vu = N/uem.

ρ0

2R R

A× ×B•O

Problema P.2

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Campos Electromagneticos.2a Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2008.

Nombre: .




T.1 Un campo escalar cuyo laplaciano es nulo en todo el espacio se denomina. . .

� A. Solenoidal.

� B. Conservativo.

� C. Armonico.

� D. Irrotacional.

T.2 Se tienen tres cargas 9μC, −4μC, 36μC, situadas en 0, ux, 3ux (m), respectivamente. ¿Sobre cualde las tres cargas es mayor la fuerza?

� A. Sobre la segunda.

� B. Sobre la tercera.

� C. La fuerza es nula para cada carga.

� D. Sobre la primera.

T.3 Sobre una superficie esferica existe una distribucion de carga dada por σs = σ0 cos θ. En el centrode la esfera. . .

� A. el potencial electrico es nulo, el campo no.

� B. el campo electrico es nulo, el potencial no.

� C. tanto el campo como el potencial son nulos.

� D. ni el campo ni el potencial son nulos.

T.4 ¿Como se expresa matematicamente que el conductor 3 esta en influencia total con el 2?

� A. C23 = −C22.

� B. C33 = −C23.

� C. C11 = −C12.

� D. C22 = −C23.

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T.5 ¿En que se mide el desplazamiento electrico?

� A. En V/m.

� B. En F/m.

� C. En m.

� D. En C/m2.

T.6 Un cable de cobre de seccion S y longitud a se estira, manteniendo su volumen, hasta que sulongitud es 3a. La resistencia del cable, comparada con la original, es. . .

� A. un tercio.

� B. 27 veces mayor.

� C. 9 veces mayor.

� D. el triple.

T.7 ¿Cual de las siguientes magnitudes no verifica el principio de superposicion?

� A. La potencia disipada por efecto Joule.

� B. La fuerza magnetica sobre una carga en movimiento.

� C. El campo magnetico.

� D. El potencial vector magnetico.

T.8 ¿Cual es la principal diferencia entre las propiedades de un material ferromagnetico, como el hierro,y uno ferrimagnetico (ferrita) como la magnetita (Fe3O4)?

� A. La ferrita posee menor conductividad.

� B. La ferrita no posee imanacion remanente.

� C. La ferrita es mejor conductor.

� D. La ferrita no posee imanacion maxima.

T.9 Una espira cuadrada de lado 10 cm gira con frecuencia f =50 Hz alrededor de una lınea que unedos vertices opuestos, siendo esta lınea paralela a un campo magnetico uniforme de valor 100 mT.¿Cuanto vale la amplitud de la f.e.m. inducida en la espira?

� A. 1 mV.

� B. 50 mV.

� C. Es nula.

� D. 0.314 V

T.10 ¿Cual de las siguientes no es una de las ecuaciones de Maxwell? es . . .

� A. ∇× E = −∂B/∂t.

� B. ∇ ·B = 0.

� C. ∇× B = μ0J + μ0ε0∂E/∂t

� D. ∇ ·E = −ρ/ε0.

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