18 Unidad 1

En esta unidad se propone el estudio de los números na-turales de hasta seis cifras a través de:• su composición y descomposición;• la comparación, ordenación y redondeo a distintos ór-

denes de unidad;• la suma y la resta, aplicando las propiedades de estas

operaciones;• la multiplicación y la división;• la jerarquía de las operaciones;• las potencias como forma abreviada de escribir pro-

ductos de factores iguales.

A lo largo de toda la unidad se proponen actividades de trabajo en equipo y cooperativas y se plantea el tema de la sostenibilidad medioambiental.

TemporalizaciónPara el desarrollo de esta unidad se recomienda distribuir el trabajo en doce sesiones. La propuesta de sesiones es orientativa.

Números naturales

Tus alumnos serán capaces de:

Formar, comparar, ordenar y redondear números naturales.

Sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales.

Utilizar las propiedades de la suma, la resta y la multiplicación.

Utilizar la prueba de la división.

Conocer la propiedad fundamental de la división.

Resolver operaciones combinadas.

Conocer y utilizar las potencias.

Resolver un problema paso a paso.

Desarrollar estrategias de cálculo mental.

Trabajar con números romanos y valorar objetos de otras épocas y culturas como fuente de información.

La programación y las sugerencias didácticas para desarrollar las sesiones de clase están en smMasSavia.com, en los recursos del profesor.

• Números y operaciones, cuader-no 12, Madrid, Ediciones SM.

• Mejora tu resolución de problemas, 4.º Primaria. Madrid, Ediciones SM.

Lecturas recomendadas

• Jonathan Litton: Mates di-vertidas para gente ingeniosa. Madrid, Ediciones SM. Una guía para comprender cuestio-nes matemáticas a través de preguntas del día a día.

• David J. Smith: Si la Tierra fuese una aldea. Madrid, Ediciones SM. Un álbum ilustrado que estimula la conciencia global explicando cómo sería la Tierra si fuera una aldea de cien habitantes.

Material complementario

Unidad 1 19

RECURSOS EN LA WEB

Números naturalesMATERIAL PARA EL AULA (1) RECURSOS DIDÁCTICOS

Y TRABAJOS PARA ASIGNARRECURSOS

INTERACTIVOS (2)

• Problema COPER: El concurso de televisión

• RúbricaGrandes estrategas

• Inventa un problema• Resuelve problemas• Problema visual

Problemas

• Utiliza la estrategia• Tutorial: El entrenamiento (vídeo)

Cálculo mental

• Prueba para preparar la evaluación• Prueba de evaluación. Ficha y

asignable• Escala de evaluación

• Itinerario personalizado. Prepara la evaluación.

• Mi diario.• Tutorial: Producción grupal (vídeo)• Autoevaluación

Comprobamos lo aprendido

• Mentatletas • Sumar con fichas (vídeo)• Tutorial: Uno, dos y/o cuatro (vídeo)

2. Sumar y restar números naturales

• Hacer para comprender. Tu tablero SMDecimal

• Lo que ya sé• Mentatletas• Leer números grandes (vídeo)• Tutorial: Lápices al centro (vídeo)

• Tarjetas• Tijeras

1. Números naturales

• Contenidos básicos. Multiplicación• Paso a paso. Act. 6. Ficha e

interactivo.

• Calculadora estropeada• Aplica la propiedad distributiva• Regla

3. Multiplicar números naturales

• Contenidos básicos. División • Mentatletas • Tutorial: Producción grupal (vídeo)

• Garbanzos4. Dividir números

naturales

• Contenidos básicos. Jerarquía de operaciones

• Paso a paso. Act. 6• Profundización. Operaciones

combinadas. Ficha y asignable

• Mentatletas• Coloca los paréntesis• Tutorial: Folio giratorio (vídeo)5. Jerarquía de operaciones

• Paso a paso. Act. 6• Contenidos básicos. Potencias.

Asignable• Profundización. Potencias.

Asignable

• Calculadora estropeada

• Plastilina• Pajitas

6. Potencias. Cuadrados y cubos

• Mentatletas• Practica con potencias

7. Potencias de base 10

• Comprensión lectora. El método indio para escribir números. Ficha y asignable

• Mentatletas• Tutorial: Cabezas juntas numeradas

(vídeo)8. Números romanos

Encontrarás todos los recursos en smMasSavia.com

(1) En negro, materiales de la caja de aula. (2) En negro, recursos exclusivos del profesor. En azul, recursos del alumno.

20 Unidad 1

8

Nos activamos

En la clase de Clara han hecho 6 equipos. Cada equipo ha hecho tarjetas como estas.

Luego, un miembro de cada equipo ha cogido una tarjeta y las han colocado en la pizarra.

Haced vosotros el mismo juego. ¿Qué números fal-tan por poner en la pizarra? Construid números de seis cifras. Leedlos y escribid cómo se leen.

Comprendemos

En un número natural, cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa.

1 CM = 100 000 U 1 UM = 1 000 U 1 DM = 10 000 U 1 C = 100 U 1 D = 10 U

40 312 = 4 DM + 3 C + 1 D + 2 U146 253 = 1 CM + 4 DM + 6 UM + 2 C + 5 D + 3 U

Descompón los siguientes números.

1

2

1 Números naturales

Números naturales

En esta unidad vamos a:

Conocer el valor de posición y el redondeo de números naturales.

¿Qué distancia hay entre la Tierra y la Luna aproximadamente?

Operar números naturales.Averigua en qué año nacieron tus amigos.

¿Cuánto bambú come un oso panda al año?

Estudiar la jerarquía de las operaciones.

¿Qué resuelves primero? ¿La suma o la multiplicación?

Hallar potencias ¿Puedes formar un cuadrado con 3 cuadraditos?

Repasar los números romanos Averigua en qué siglo llegó Colón a América.

900 000

100 000

90 000

10 000

9 000

1 000

900

100

90

10

9

1

900 000

100 000

90 000

10 000

9 000

1 000

900

100

90

10

9

1

30 500567 234 600 581

CM DM UM C D U

4 0 3 1 2

1 4 6 2 5 3

smMasSavia.comLo que ya sé.

Ciento cuarenta y seis mil doscientos

cincuenta y tres

1 4 6 200

Agilidad mentalMentatletas (3 a 5 minutos)Tres ejercicios con estas condiciones:− Operaciones: sumas− Cantidad de números: 3− Tiempo (segundos): 1− Número de cifras: 1

El alumno escribirá cada resultado y se lo mostrará a la clase levantando su tablero.Si no se dispone de acceso a recursos digitales, pro- poner:• 2 + 4 + 3• 7 + 2 + 5

Nos activamosEl objetivo de esta activación es que los alumnos reco-nozcan que el valor de cada cifra de un número depen-de de la posición que ocupa en el número.

Solucionario1. Faltan las tarjetas de 50 y de 3. 2.

3. 17 000 540 000 980 0004. 4 UM + 3 D + 1 U = 4 031

7 CM + 2 DM + 3 C + 1 D = 720 310 10 000 + 500 + 30 = 105 030

Conocimientos previosLos estudiantes deben saber:• la lectura y escritura de números naturales

hasta un millón para poder leer y escribir números de más cifras con fluidez;

• redondear números naturales a distintos órdenes: desde la unidad hasta las unida-des de millar;

• sumar y restar con soltura números natu-rales de hasta cinco cifras y conocer las propiedades de la suma y la prueba de la resta;

• aplicar con soltura el algoritmo para multi-plicar números de varias cifras;

• manejar con fluidez el algoritmo de la divi-sión con un divisor de hasta tres cifras;

• interpretar el significado de los paréntesis dentro de una expresión con varias opera-ciones.

Leer números grandes Vídeo para recordar cómo se leen los números de cinco y seis cifras.

1

CM DM UM C D U5 6 7 2 3 40 3 0 5 0 06 0 0 5 8 1

1

Hacer para comprenderFicha para reforzar este contenido de forma manipulativa.

Unidad 1 21

9

Para viajar de la Tierra a la Luna, un cohete recorre 384 400 km. ¿Cuántos kilómetros recorre aproximadamente?

384 400 está entre 380 000 y 390 000. Está más cerca de 380 000.

Recorre 380 000 km aproximadamente.

Para redondear un número a las decenas de millar, nos fijamos entre qué dos decenas de millar se encuentra. Después elegimos la más cercana.

Redondea los siguientes números a la decena de millar.

Aplicamos

¿De qué números se trata? Escríbelos en tu cuaderno. Ordénalos.

Redondea y completa la tabla.

A la centena de millar

A la decena de millar

A la unidad de millar

A la centena

87 527 ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆

145 823 ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆

638 502 ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆

649 327 ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆

Observa las siguientes condiciones. Después, escribe todos los números que las cumplen:

3

4

5

6 G I

380 000 384 400 390 000380 000 384 400 390 000

4 UM + 3 D + 1 U

7 CM + 2 DM + 3 C + 1 D

10 000 + 500 + 30

900 000 + 3 000 + 400 + 30 + 5

• Tengan 6 cifras.• Su cifra de las unidades de millar sea un 8.• Sean menores que 200 000.• La cifra de las centenas sea el doble de 3.• La cifra de las unidades sea 0.• La cifra de las decenas de millar sea par y la de las decenas impar.

16 845 536 010 975 345

Recuerda que para ordenar dos números debes fijarte en los órdenes de unidad. > se lee mayor que.< se lee menor que.

5. 87 527, 100 000, 90 000, 88 000, 87 500 145 823, 100 000, 150 000, 146 000, 145 800 638 502, 600 000, 640 000, 639 000, 638 500 649 327, 600 000, 650 000, 649 000, 649 300

6. 108 610, 108 630, 108 650, 108 670, 108 690, 128 610, 128 630, 128 650, 128 670, 128 690, 148 610, 148 630, 148 650, 148 670, 148 690, 168 610, 168 630, 168 650, 168 670, 168 690, 188 610, 188 630, 188 650, 188 670, 188 690

G I La actividad 6 se puede realizar mediante la técnica cooperativa de “Lápices al centro”, (ver la Guía de aprendizaje cooperativo y el tarjetón de esta técnica). Se sugiere esta técnica para que los alum-nos consensúen primero en equipos lo que hay que hacer, obteniendo, por ejemplo, un primer número que cumpla todas las condiciones, y después obten-gan el resto de números individualmente.

Previsión de dificultadesEs posible que los alumnos encuentren difi-cultades similares a estas en el estudio de la unidad:• Los alumnos pueden olvidar escribir los ce-

ros cuando aparecen en el cociente de las divisiones.

• Al aplicar la propiedad fundamental de la división, los alumnos suelen olvidar que el resto también queda transformado.

• La introducción de la multiplicación y la división en la resolución de operaciones combinadas les añade complejidad. Por ello, es necesario practicar partiendo de expresiones con sumas y restas y aumentar progresivamente la dificultad.

• Pueden mostrar dificultades al escribir nú-meros grandes, como un número por una potencia de base 10. Es importante que, una vez expresado así, comprueben si el número es correcto.

Te proponemos dos dinámicas para que trabajes la metacognición de tus alumnos a lo largo de esta unidad. Al final de las cuatro sesiones que te parezcan más adecuadas puedes proponerles que respondan a las siguientes preguntas:• Antes de hoy, yo pensaba que…• Mantengo mejor mi atención cuando…• Mi equipo, hoy, me ha ayudado a entender…• ¿Qué podría mejorar para la próxima clase?Pueden resolverlas en un Cuaderno (donde guar-darán también otras evidencias de lo aprendido al final de la unidad) o resolviendo el organizador que tienen en sus recursos.

Mi diario

2 Lápices al centroTutorial para que esta técnica se desarrolle con

éxito en el aula. Dispones de una versión para mostrar a tus alumnos.

2

22 Unidad 1

10

2 Sumar y restar números naturales

Nos activamos

El gran mago Tera saca a un voluntario todas las noches en su espectáculo. A continuación, el mago adivina su año de nacimiento. Observa.

Conviértete tú en un gran mago. Haz la prueba con tus compañeros. Usad las fechas de nacimiento de vuestros padres u otras inventadas. Podéis ayudaros de la calcu-ladora.

Comprendemos

Podemos sumar 1 866 + 107 así. También podemos restar 7 624 − 4 672:

Coloca y realiza estas sumas y restas.

La suma tiene estas dos propiedades:

Resuelve en tu cuaderno. Indica qué propiedad de la suma has utilizado en cada caso.• 574 + 35 = 35 + ◆◆◆ = ◆◆◆

• 8 325 + 1 212 + 443 = 8 325 + (◆◆◆ + 443) = ◆◆◆

• 2 034 + 285 = ◆◆◆ + 2 384 = ◆◆◆

1

2

3

UM C D U

1 8 6 6

+ 1 0 7

1 9 7 3

UM C D U

7 6 2 4

− 4 6 7 2

2 9 5 2

2 478 + 5 498 307 455 + 49 782 7 543 − 5 981 456 831 − 47 910

Conmutativa25 + 9 = 9 + 25 = 34

Asociativa(25 + 9) + 73 = 25 + (9 + 73) = 107

Escribe un número de 4 cifras distintas

en un papel.

Con esas mismas cifras construye otro

número diferente.

Resta el menor de los números

al mayor.

Suma las cifras del resultado. Si la suma

tiene más de una cifra, repítela hasta que solo quede una.

4 672

7 624 7 624 – 4 672

= 2 952

2 + 9 + 5 + 2 = 18

1 + 8 = 9

Agilidad mentalMentatletas (3 a 5 minutos)Cuatro ejercicios con estas condiciones:− Operaciones: sumas− Cantidad de números: 3− Tiempo (segundos): 1− Número de cifras: 1Si no se dispone de acceso a recursos digitales proponer:• 2 + 5 + 2• 3 + 4 + 7• 6 + 8 + 3• 5 + 6 + 4

Nos activamosEl objetivo de esta activación es que los alumnos reali-cen sumas y restas de números naturales. Podrían reali-zar la actividad por parejas para adivinar el número del compañero.

Solucionario2. 2 478 + 5 498 = 7 976; 307 455 + 49 782 = 357 237 7 543 − 5 981 = 1 562; 456 831 − 47 910 = 408 921

3. 574 + 35 = 35 + 574 = 609 8 325 + 1 212 + 443 = 8 325 + (1 212 + 443) = 9 980

Sumar con fichasVídeo para trabajar la suma utilizando el tablero SMDecimal.

1

1

Unidad 1 23

11

Unidad 1

Aplicamos

¿De qué números se trata? Escríbelos con cifras en tu cuaderno. Súmalos.

4 UM + 3 D + 1 U un millón dos mil cinco 60 000 + 100 + 4

Completa las series en tu cuaderno.

Uno de estos números es el minuendo. Otro es el sustraendo. El que queda es la diferencia. ¿Cuál es cada uno?

Coloca en forma de resta. Compara con tu compañero. A partir de vuestros resul-tados, enunciad la prueba de la resta.

Copia y averigua los números que faltan.

Pablo ha comprado todos estos artículos por 1 367 €. ¿Cuánto le ha costado la cafetera?

4

5

6 I G

7

8

3 000 3 120 3 240 ◆◆◆ ◆◆◆ 3 600 ◆◆◆ 3 840

134 450 134 300 ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ 133 700 ◆◆◆

12 515 6 057 6 458

63 279 − 4 875 = ◆◆◆ ◆◆◆ − 5 133 = 73 167 94 636 − ◆◆◆ = 72 636

◆◆◆ €

957 €231 €

Suma 25 a esa cifra.

Suma las últimas dos

cifras del año en que naciste

a ese resultado.

38. No

2004

¿Qué número has obtenido? ¿Naciste

antes del año 2000?

¡Naciste en el 2004!

Si nació antes del año 2000, entonces sumo

1 866 al resultado. Si no, sumo 1 966.

38 + 1 966 = 2 004

9 + 25

= 34

34 + 04

= 38

Los términos de una resta son: minuendo (m), sustraendo (s) y diferencia (d).

m − s = d

4. 4 031 + 1 002 005 + 60 104 = 1 066 140

5. • 3 000, 3 120, 3 240, 3 360, 3 480, 3 600, 3 720, 3 840• 134 450, 134 300, 134 150, 134 000, 133 850,

133 700, 133 550

6. 12 515 − 6 057 = 6 458 o 12 515 − 6 458 = 6 057

I G La actividad 6 se puede realizar mediante la técnica cooperativa de “Uno, dos y/o cuatro”. La actividad no es excesivamente compleja y sugeri-mos realizarla mediante la variante de UNO, DOS (ver Guía de aprendizaje cooperativo y el tarjetón de esta técnica). Cada alumno resuelve la tarea indivi-dualmente y a continuación contrasta su trabajo con su pareja para consensuar una única respuesta. Recuerda que dispones de cinco vídeos con conse-jos dentro de la barra de herramientas cooperativas.

7. 63 279 − 4 875 = 58 404 78 300 − 5 133 = 73 167 94 636 − 22 000 = 72 636

8. 1367 − (231 + 957) = 179

Uno, dos y/o cuatro Tutorial para que esta técnica se desarrolle con

éxito en el aula. Dispones de una versión para mostrar a tus alumnos.

2

2

24 Unidad 1

12

3 Multiplicar números naturales

Nos activamos

¿Conoces el método japonés de multiplicación? Observa.

Fíjate en el primer factor, 32. Dibuja tantas líneas como decenas. Más abajo, dibuja tantas líneas como unidades.

Fíjate ahora en el segundo factor, 12. Haz lo mismo. Ahora debes cruzar las líneas sobre las que ya tienes.

Haz tres zonas diferentes como las de la imagen.

Cuenta ahora los cruces en cada una de las zonas marcadas del dibujo.

3

2

3

2

3

2

2

1

3

2

2

1 8

3 4

8

3 4

El resultado viene dado por los números calculados: 384

Por tanto, 32 × 12 = 384

Propón a tu compañero distintas multiplicaciones y practica el método japonés. Resuelve las que te propongan. Comprobad los resultados con la calculadora. Por ejemplo: 23 × 12; 21 × 31; 32 × 31.

¿Qué pasa si en alguna zona el número de cruces es mayor de 10?

Comprendemos

Silvia y Pedro han multiplicado 213 × 321. Observa cómo.

Silvia y Pedro han utilizado la propiedad distributiva.

1

Los ceros no afectan a la suma

final. Podemos eliminarlos.

2 1 3

× 3 2 1

2 1 3

4 2 6 0

+ 6 3 9 0 0

6 8 3 7 3

factores

213 × 1

213 × 20

213 × 300

producto

Como 321 = 300 + 20 + 1, multiplicamos 213 por 1,

por 20 y por 300 y sumamos.

32 × 12

= 213 × 300 + 213 × 20 + 213 × 1

213 × 321 = 213 × (300 + 20 + 1) =

Agilidad mental

Calculadora estropeada (3 a 5 minutos)Elegir a dos alumnos que escriban en la pizarra su propuesta.1.º Nivel 4. Buscar una suma con el generador de

operaciones.

2.º Elegir la cifra prohibida (una de las que aparecen en la suma).

3.º Tiempo 2 min.

El alumno escribirá su propuesta y la mostrará a la clase levantando su tablero.Si no se dispone de acceso a recursos digitales, escribir la siguiente operación sin utilizar el 2:

132 + 315

Nos activamosEl objetivo de esta activación es realizar multiplicacio-nes sencillas y reconocer cómo se obtiene cada cifra que compone el producto utilizando un método dife-rente.

Solucionario1. Si en una zona hay más de diez cruces, la cifra de

las decenas se suma al número de cruces de la siguiente zona.

45 × 39 = 1755

MultiplicaciónFicha para profundizar en este contenido.

1

12 + 5 =17

36

45

36 + 15 + 4 = 55

Unidad 1 25

13

Unidad 1

La multiplicación también cumple estas propiedades:Conmutativa: 12 × 3 = = 3 × 12 = 36Asociativa:(5 × 3) × 6 = = 5 × (3 × 6) = 90

Descompón estas multiplicaciones usando la propiedad distributiva. Fíjate en el ejemplo.

Ejemplo

245 × 128 = 245 × (100 + 20 + 8)

Resuelve estas multiplicaciones. Explica cómo lo has hecho.

Aplicamos

Completa en tu cuaderno. ¿Qué propiedad de la multiplicación has utilizado?

• ◆◆◆ × 7 = ◆◆◆ × 263 = ◆◆◆

• 28 × (◆◆◆ × 16) = (◆◆◆ × 34) × ◆◆◆ = ◆◆◆

• (◆◆◆ + 5) × ◆◆◆ = 7 × ◆◆◆ + ◆◆◆ × 12 = ◆◆◆

smMasSavia.com | Aplica la propiedad distributiva.

Copia y relaciona cada operación con el dibujo que la representa.

Marco tiene 12 años. Calcula su edad en semanas. Ten en cuenta que un año tiene, aproximadamente, 52 semanas.

El oso panda estaba en peligro de extinción. Para evitarlo, China decidió proteger los bosques de Bambú. Un oso panda come 12 kg de bambú al día. ¿Cuánto bambú comerá en un año?

2

3

4

5

6

7

8

1 896 × 36 756 × 319 987 × 793

134 × 34525 × 25 51 238 × 258

1 007 × 934934 × 78

4 × 1 + 4 × 8 4 × (4 + 5) (3 + 6) × 4

2. • 245 × 128 = 245 × (100 + 20 + 8) = = 24 500 × 4 900 × 1 960 = 31 360• 1 896 × 36 = 1 896 × (30 + 6) =

= 1 896 × 30 + 1 896 × 6 = 56 880 + 11 376 = = 68 256

• 756 × 319 = 756 × (300 + 10 + 9) = = 226 800 + 7 560 + 6 804 = 241 164

• 987 × 793 = 987 × (700 + 90 + 3) = = 690 900 + 88 830 + 2 961 = 782 691

3. • 25 × 25 = 25 × (20 + 5) = 25 × 20 + 25 × 5 = = 500 + 125 = 625

• 134 × 345 = 345 × 134 = 345 × (100 + 30 + 4) = = 34 500 +10 350 + 1 380 = 46 230

• 51 238 × 258 = 51 238 × (200 + 50 + 8) = = 1 3 21 9 404

• 934 × 78 = 934 × (70 + 8) = 72 852• 1007 × 934 = 934 × 1007 = 934 × (1000 + 7) =

= 934 000 + 6 538 = 940 5384. 263 × 7 = 7 × 263 = 1 841 28 × (34 × 16) = (28 × 34) × 16 = 15 232 (7 × 5) × 12 = 7 × 5 × 12 = 4205. Actividad interactiva6. • 4 × 1 + 4 × 8. Respuesta B

• 4 × (4 + 5). Respuesta C• (3 + 6) × 4. Respuesta A

Te facilitamos una ficha fotocopiable con ayudas en el entorno digital dentro de “Apoyo a la diversidad”.

7. 12 × 52 = 10 × 52 + 2 × 52 = 624 semanas 8. 365 × 10 + 365 × 2 = 3 650 + 730= 4 380 kg

Paso a pasoFicha de apoyo para facilitar la

resolución de la actividad 6.

2

26 Unidad 1

14

4 Dividir números naturales

Nos activamos

El profesor ha llevado a clase 1 198 garbanzos. También ha llevado bolsitas en las que caben 110 garbanzos. Ha preguntado cuántas bolsitas necesitan para guardarlos.

El equipo de Nerea y Luis ha decidido averiguar cuántas veces cabe el número 110 en 1 198. Observa cómo lo han hecho.

Finalmente, el equipo de Nerea y Luis respondió que necesitaban 10 bolsitas. También dijo que quedarían 12 garbanzos sin guardar.

Luego, el profesor cogió bolsitas para 70 garbanzos.

Formad equipos. Averiguad cuántas bolsitas se necesitan para guardar los 1 198 garbanzos. Tened en cuenta que ahora caben 70 garbanzos en cada bolsita.

Resolved el problema haciendo grupos, como el equipo de Nerea y Luis.

1

G

1 x 110 = 110 luego cabe una vez.

Y también 2 veces porque 2 x 110 = 220.

Con el 4. 4 x 110 = 440

Cabe 4 veces.

Si uso el 8. 8 x 110 = 880

Cabe 8 veces.

11 x 110 = 1 210No cabe 11 veces.

Estamos cerca, usaré el 10.

10 x 110 = 1 100Sí, cabe 10 veces.

Entonces, como 1 210 – 1 198 = 12

podemos hacer 10 grupos de 110 y sobran 12 unidades

Agilidad mentalMentatletas (3 a 5 minutos)Cuatro ejercicios con estas condiciones:− Operaciones: sumas− Cantidad de números: 3− Tiempo (segundos): 1− Número de cifras: 1Si no se dispone de acceso a recursos digitales, proponer:• 8 + 2 + 7• 7 + 3 + 2• 2 + 8 + 5• 3 + 6 + 8

Nos activamosEl objetivo de esta activación es realizar repartos senci-llos, pensar en qué consiste el proceso de dividir dos nú-meros naturales y qué representa el resto de la división.

Solucionario1. Respuesta modelo: 70 × 10 = 700 70 × 7 = 490 Luego 17 bolsas contienen:

700 + 490 = 1 190 garbanzos y sobran 8.

Producción grupalTutorial para que esta técnica se desarrolle con éxito en el aula. Dispones de una versión para mostrársela a tus alumnos.

Unidad 1 27

15

Unidad 1

Comprendemos

¿Cuántas bolsas necesitamos para guardar 1 198 garbanzos si en cada bolsa caben 70 garbanzos?

Dividimos 1 198 entre 70.

Necesitamos 17 bolsitas. Sobran 8 garbanzos.

Imaginad que el número de garbanzos y el número de garbanzos que caben en cada bolsa se triplican. ¿Cuántas bolsitas necesitaremos entonces?

1 198 : 70 es equivalente a 3 594 : 210

Necesitamos 17 bolsitas. Sobran el triple de garbanzos.

Si el dividendo y el divisor de una división se multiplican o se dividen por el mismo número, el cociente no varía. Sin embargo, el resto de la división queda multiplicado por ese número. Esta es la propiedad fundamental de la división.

Resuelve estas divisiones.

Aplicamos

Divide 44 820 entre estos números.

a. Comprueba que están bien hechas. b. ¿Cuáles son exactas? ¿Por qué?

¿Cuál de estas divisiones tiene el mismo cociente que 67 : 5? ¿Cómo es su resto? A. 210 : 15 B. 268 : 20 C. 402 : 35 D. 134 : 12

2

3

4

Recuerda la prueba de la división:

D = d × c + r

1. Observa que podemos dividir 119 entre 70.

2. Bajamos la siguiente cifra, el 8. Después calculamos 498 entre 70.

1 1 9 8 7 0

4 9 11 1 9 8 7 0

4 9 8 1 70 8

divisor (d)

cociente (c)

resto (r)

Dividendo (D)

3 5 9 4 2 1 0

1 4 9 4 1 70 2 4

1 198 × 3

cociente

resto = 8 × 3

70 × 3

3 467 : 34 14 567 : 45 1 298 : 80

6012 249 392

G La actividad 1 se puede realizar mediante la téc-nica cooperativa de “Producción grupal” (ver la Guía de aprendizaje cooperativo y el tarjetón de esta técnica). Se propone esta técnica porque el objetivo fundamental de esta actividad no es averiguar el re-sultado, sino comprender el proceso de distribuir una cantidad en partes iguales y saber en qué casos esto se corresponde con una división exacta.

2. 3 467 : 34 = 101, resto = 33 14 567 : 45 = 32, resto = 32 1 298 : 80 = 16, resto = 18

3. Son exactas las tres primeras divisiones. 44 820 : 392 = 114; resto = 132

4. 67 : 5 = 13; resto = 2 B. 268 : 20 = 13; resto = 8, que tiene el mismo

cociente que 67 : 5. El resto está multiplicado por 4.

DivisiónFicha para reforzar este contenido.

28 Unidad 1

16

5 Jerarquía de operaciones

Nos activamos

Observa la ilustración.

¿Qué está pensando cada hermano? ¿Por qué piensan cosas distintas? ¿Tiene sen-tido lo que piensa cada uno?

Observa ahora este texto.

¿Cómo deberían estar colocadas las comas para que correspondiese a la bombera de la derecha?

Los paréntesis en Matemáticas son tan importantes como las comas en Lengua. Pueden cambiar el resultado de una operación. Estas operaciones son muy pare-cidas y todas son correctas. Obsérvalas y coméntalas con tu compañero.

Comprendemos

1

La bombera entró andando sobre la cabeza, llevaba el casco en los pies, las botas en la mano,el extintor.

2 × 3 + 4 – 6 = 4 2 × (3 + 4 – 6) = 2 2 × (3 + 4) – 6 = 8

¡Vamos a comer niños!

Las expresiones con varias operaciones se llaman operaciones combinadas. Se resuelven en este orden.

1.º Operaciones que están dentro del paréntesis. 2.º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda

a derecha. 3.º Sumas y restas.

2 × (3 + 4) – 6 == 2 × 7 – 6 == 14 – 6 == 8

Agilidad mentalMentatletas (3 a 5 minutos)Cuatro ejercicios con estas condiciones:− Operaciones: sumas− Cantidad de números: 3− Tiempo (segundos): 1− Número de cifras: 1Si no se dispone de acceso a recursos digitales, propo-ner:• 9 + 4 + 5• 8 + 2 + 4• 3 + 9 + 8• 2 + 5 + 9

Nos activamosEl objetivo de esta activación es reconocer que los parén-tesis determinan el orden de las operaciones, y este orden puede cambiar el resultado de una expresión matemática de manera similar a como los signos de puntuación pue-den alterar el significado de una frase.

Solucionario

2. 15 × 4 − 9 = 60 − 9 = 51 66 + (16 − 5) + 10 = 66 + 11 + 10 = 87 3 × 3 + 15 : 5 = 9 + 3 = 12;

(36 + 15) × 2 = 51 × 2 = 102 6 + 3 × 40 + 2 = 6 + 120 + 2 = 128 8 × 5 − (12 + 4) = 40 − 16 = 24

Jerarquía de operacionesFicha para reforzar este contenido.

1

Unidad 1 29

17

Unidad 1

Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

Aplicamos

Relaciona en tu cuaderno cada expresión con la situación que le corresponde.

¿Cuáles de estas operaciones están mal resueltas? Corrígelas.

smMasSavia.com | Trabaja la jerarquía de operaciones.

Copia estas expresiones en tu cuaderno. Coloca paréntesis donde sea necesario.

En un quiosco hay 40 cajas de cromos. Cada caja contiene 25 paquetes. Cada paquete lleva 7 cromos. El quiosquero vende 12 paquetes. ¿Cuántos cromos que-dan en el quiosco? Escribe todos los cálculos en una sola expresión.

Reflexiona. ¿En qué casos no son necesarios los paréntesis? Justifica tu respues-ta. Después, resuelve las siguientes operaciones.

2

3

4

5

6

7

8 I G

7 × (12 + 5)

7 docenas de lápices más

5 lápices.

12 paquetes de 7 gomas

menos 5 gomas.

7 paquetes con 12 sacapuntas

y 5 gomas en cada uno.

7 × 12 + 5 7 × 12 − 5

(30 + 17) – (19 + 3)(8 : 4) + (7 × 5) 6 × (15 – 8)

• 15 × 4 − 9 • 66 + (16 − 5) + 10 • 3 × 3 + 15 : 5• (36 + 15) × 2 • 6 + 3 × 40 + 2 • 8 × 5 − (12 + 4)

• 8 + 7 × 2 = 30 • 4 + 22 : 2 + 12 = 25• 45 − 7 × 5 + 8 = 18 • 9 + 2 × 4 × 5 = 49

7 + 30 × 5 = 185 25 × 4 + 12 = 112

40 − 7 × 5 = 5 24 × 16 − 10 = 144

15 + 25 × 3 − 8 = 112 6 + 14 × 4 = 80

3. • 7 × (12 + 5), 7 paquetes con 12 sacapuntas y 5 gomas en cada uno.

• 7 × 12 + 5, 7 docenas de lápices más 5 lápices.• 7 × 12 − 5, 12 paquetes de 7 gomas menos

5 gomas.

4. 8 + 7 × 2 = 8 + 14 = 22; 4 + 22 : 2 + 12 = 4 + 11 + 12 = 27

5. Actividad interactiva

6. (7 + 30) × 5 = 185; (25 × 4) + 12 = 112 40 − (7 × 5) = 5; 24 × (16 − 10) = 144 (15 + 25) × 3 − 8 = 112; (6 + 14) × 4 = 80

Te facilitamos una ficha fotocopiable con ayudas en el entorno digital dentro de “Apoyo a la diversidad”.

7. (40 × 25 − 12) × 7 = 6 916 cromos

8. • (8 : 4) + (7 × 5) = 8 : 4 + 7 × 5 = 2 + 35 = 37• (30 + 17) − (19 + 3) = 47 − 16 = 31, son necesa-

rios los paréntesis• 6 × (15 − 8) = 6 × 13 = 78, son necesarios.

I G La actividad 8 se puede realizar mediante la técnica cooperativa del “Folio giratorio” (ver la Guía de aprendizaje cooperativo y el tarjetón de esta técnica). Se sugiere esta técnica porque es adecuada para responder a lotes de ejercicios y promueve la participación de todos los miembros del equipo.

Puedes sugerir a tus alumnos que reflexionen so-bre la manera en que los paréntesis afectan al orden de las operaciones y en qué casos son innecesarios. Esta actividad se puede realizar con el faro de pen-samiento “Debate y acuerdo” (ver la Guía de apren-der a pensar y el tarjetón de la estrategia).

Folio giratorioTutorial para que esta técnica se desarrolle con

éxito en el aula. Dispones de una versión para mostrar a tus alumnos.

Paso a pasoFicha de apoyo para facilitar la resolución de la

actividad 6.

2

Operaciones combinadasFicha para profundizar en este contenido.

30 Unidad 1

18

6 Potencias. Cuadrados y cubos

Nos activamos

Por grupos, cortad un folio en cuadrados de 5 cm de lado.

Observa estos ejemplos. A continuación, contesta las preguntas.

• ¿Cuál es el siguiente cuadrado que podemos formar?

Coged ahora plastilina y pajitas de plástico. Montad varios cubos como el de la figura. Usadlos para responder a las siguientes preguntas. Fijaos para ello en el ejemplo superior. • ¿Podemos montar un cubo con 1 cubo? • ¿Y con 2 cubos? • ¿Con 4 cubos, es posible? • ¿Cuántos cubos son necesarios para formar el siguiente cubo?

Comprendemos

Un producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia.

5 × 5 × 5 × 5 = 54

54 es una potencia. Se lee cinco elevado a 4.

Multiplicar dos veces el mismo número es hallar el cuadrado de ese número.

Multiplicar tres veces el mismo número es hallar el cubo de ese número.

1

54Base: factor que se repite

Exponente: número de veces que se repite el factor

• ¿Cuántos cuadrados hay?

Para saberlo, multiplicamos lado × lado.

• ¿Cuántos cubos hay?

Para saberlo, multiplicamos lado × lado × lado.

Se lee cuatro elevado a dos o cuatro elevado al cuadrado.

Se lee cuatro elevado a tres o cuatro elevado al cubo.

4 × 4 = 16 42 = 4 × 4

4 × 4 × 4 = 64 43 = 4 × 4 × 4

¿Y con 4 cuadrados?

Sí: 22 = 4

¿Podemos formar un cuadrado con 2 cua-drados?

No

¿Podemos formar un cuadrado con uno de los cuadrados?

Sí: 12 = 1

Agilidad mental

Calculadora estropeada (3 a 5 minutos)1.º Nivel 4. Buscar una resta con el generador de ope-

raciones.

2.º Elegir la cifra prohibida (una de las que aparecen en la resta).

3.º Tiempo: 2 min.Si no se dispone de acceso a recursos digitales, pedir a los alumnos que escriban la siguiente resta sin utilizar el 2:

522 − 237

Nos activamosEl objetivo de esta activación es identificar el cálculo de una potencia con el producto de factores iguales e identificar el cuadrado de un número y su cubo como un cuadrado y un cubo cuyo lado es ese número.

Solucionario1. El siguiente cuadrado que se puede formar nece-

sita 9 cuadrados: 32 = 9 No se puede. No se puede. No se puede. Son necesarios 8 cubos: 23 = 8

Unidad 1 31

19

Unidad 1

Dibuja en tu cuaderno. Escribe en forma de potencia y resuelve. ¿Cuántos cuadrados hay en estas figuras?

Completa en tu cuaderno.

Producto Potencia Se lee

10 × 10 ◆◆◆ ◆◆◆

◆◆◆ 83 ◆◆◆

◆◆◆ ◆◆◆ cien al cuadrado

3 × 3 × 3 × 3 × 3 ◆◆◆ ◆◆◆

◆◆◆ 26 ◆◆◆

◆◆◆ ◆◆◆ nueve al cubo

◆◆◆ 72 ◆◆◆

Aplicamos

Calcula en tu cuaderno el resultado de 54 y contesta. a. ¿Es lo mismo 54 que 5 × 4? ¿Por qué? b. ¿Cuánto vale 51?

Compara las respuestas con las de tu compañero.

¿Cuántos cubitos forman el cubo de Rubik? Exprésalo en forma de potencia.

Fíjate en el tablero de parchís. a. Expresa como potencia el número de fichas rojas. b. Expresa como potencia el número de fichas azules y amarillas juntas. c. Expresa como potencia el número total de fichas.

2

3

4

5

6

2. 32, 22, 52

3. 4. 54 = 625 No es lo mismo 54 que 5 × 4, porque 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625, y 5 × 4 = 20 51 = 5

5. 3 × 3 × 3 = 33 = 27 cubitos

6. a. 22 = 4 fichas rojas b. 8 = 23

c. 16 = 42 = 24

Te facilitamos una ficha fotocopiable con ayu-das en el entorno digital, dentro de “Apoyo a la di-versidad”.

Producto Potencia Se lee

10 × 10 102 diez elevado al cuadrado

8 × 8 × 8 83 ocho elevado al cubo

100 × 100 1002 cien elevado al cuadrado

3 × 3 × 3 × 3 × 3 35 tres elevado a cinco

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 26 dos elevado a seis

9 × 9 × 9 93 nueve elevado al cubo

Paso a paso Ficha de apoyo para facilitar la resolución

de la actividad 6.

32 Unidad 1

20

7 Potencias de base 10

Nos activamos

Observa lo que ha escrito la profesora en la pizarra.

Responde.• ¿Qué relación existe entre el número de ceros de cada número y su expresión en

forma de potencia?• ¿Cómo puedes escribir 100 000 en forma de potencia? ¿Y 1 000 000?

Comprendemos

Delia ha leído que la distancia entre la Tierra y el Sol es aproximada-mente 15 × 107 km. ¿Qué significa esta medida?

Para expresar medidas grandes, la unidad seguida de ceros se puede expresar en forma de potencia.

número producto potencia de base 10

100 10 × 10 102

1 000 10 × 10 × 10 103

10 000 10 × 10 × 10 × 10 104

La distancia de la Tierra al Sol es 15 × 107 km = 150 000 000 km.

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Escribe estos números como potencias de base 10.

1

2

n.º n.º de 0 potencia

10 1 101

100 2 102

1 000 3 103

10 000 4 104

cien diez milmil un millón

Agilidad mentalMentatletas (3 a 5 minutos)Tres ejercicios con estas condiciones:− Operaciones: sumas− Cantidad de números: 3− Tiempo (segundos): 1− Número de cifras: 1El alumno escribirá cada resultado y se lo enseñará a la clase levantando su tablero.Si no se dispone de acceso a recursos digitales, proponer:• 9 + 1 + 5

• 6 + 2 + 7

Nos activamosEl objetivo de esta activación es reconocer que el expo-nente de la potencia coincide con la cantidad de ceros que tiene el número que es potencia de 10.

Solucionario1. El número de ceros coincide con el exponente

de la potencia de base 10. 100 000 = 105

1 000 000 = 106

2. cien = 102; mil = 103

diez mil = 104; un millón = 106

Hacer para comprenderFicha para reforzar este contenido de forma manipulativa.

Unidad 1 33

21

Unidad 1

En otro libro ha encontrado que el diámetro del Sol es 1 392 000 km. Podemos descomponer este número usando potencias de 10.

1 392 000 = 1 000 000 + 300 000 + 90 000 + 2000

1 392 000 = 1 000 000 + 3 × 100 000 + 9 × 10 000 + 2 × 1000

1 392 000 = 1 × 106 + 3 × 105 + 9 × 104 + 2 × 103

Cualquier número se puede expresar como una suma de cifras por poten-cias de base 10.

Completa en tu cuaderno la siguiente tabla. En ella aparecen las distancias del Sol a los planetas del Sistema Solar.

Mercurio 58 000 000 ◆◆◆

Venus ◆◆◆ 108 × 107

Tierra 150 000 000 ◆◆◆

Marte 228 000 000 ◆◆◆

Júpiter ◆◆◆ 778 × 106

Saturno 1 400 000 000 ◆◆◆

Urano 2 870 000 000 ◆◆◆

Neptuno ◆◆◆ 45 × 108

Escribe estas cantidades usando potencias de base 10.

Aplicamos

Escribe en tu cuaderno el número que representa cada expresión. • 8 × 103 + 3 × 102 + 9 × 10 + 1• 8 × 105 + 6 × 104 + 5 × 102 + 6 × 10 + 5• 6 × 106 + 2 × 104 + 2 × 102 + 9 × 10 + 3

smMasSavia.com | Trabaja con las potencias de 10.

Los dinosaurios se extinguieron hace aproximadamente 65 millones de años.

Escribe los años en forma de potencias de 10.

En una frutería hay 9 cestas con 10 cajas. En cada caja hay 10 fresas. ¿Cuántas fresas hay en total?

3

4

5

6

7

8

5 890403 186 742 25 014 000

3. 58 000 000 = 58 × 106

1 080 000 000 = 108 × 107

150 000 000 = 15 × 107

228 000 000 = 228 × 106

778 000 000 = 778 × 106

1 400 000 000 = 14 × 108

2 870 000 000 = 287 × 107

4 500 000 000 = 45 × 108

4. 403 = 4 × 102 + 3 5 890 = 5 × 103 + 8 × 102 + 9 × 10 186 742 = 1 × 105 + 8 × 104 + 6 × 103 + 7 × 102 +

+ 4 × 10 + 2 25 014 000 = 2 × 107 + 5 × 106 + 1 × 104 +

+ 4 × 103

5. 8 × 103 + 3 × 102 + 9 × 10 + 1 = = 8 000 + 300 + 90 + 1 = 8 391

8 × 105 + 6 × 104 + 5 × 102 + 6 × 10 + 5 = = 800 000 + 60 000 + 500 + 60 + 5 = 860 565

6 × 106 + 2 × 104 + 2 × 102 + 9 × 10 + 3 = = 6 000 000 + 20 000 + 200 + 90 + 3 = 6 020 293

6. Actividad interactiva.

7. 65 millones = 65 × 106 = 6 × 107 + 5 × 106

8. Hay 9 × 10 × 10 = 9 × 102 = 900 fresas.

34 Unidad 1

Agilidad mentalMentatletas (3 a 5 minutos)Tres ejercicios con estas condiciones:− Operaciones: sumas− Cantidad de números: 3− Tiempo (segundos): 1− Número de cifras: 1El alumno escribirá cada resultado y se lo enseñará a la clase levantando su tablero.Si no se dispone de acceso a recursos digitales, propo-ner:• 9 + 1 + 5• 6 + 2 + 7• 6 + 3 + 8

Nos activamosEl objetivo de esta activación es componer números ro-manos reconociendo que todos ellos se pueden escribir utilizando solamente siete letras diferentes, las cuales se pueden repetir.

Solucionario1. 325 = CCCXXV 513 = DXIII 1 321 = MCCCXXI 3 001 = MMMI 16 = XVI 107 = CVII

22

8 Números romanos

Nos activamos

En la clase de 5.º están construyendo números romanos.

Por equipos, construid tarjetas como las del dibujo de arriba con las letras I, V, X, L, C, D y M. • Utilizando el método de arriba, escribid con números romanos los números 325

y 513. • Intentad ahora 1 321 y 3 001.• ¿Cómo serían el 16 o el 107?

Comprendemos

Los números romanos se escriben con letras. Cada letra tiene un valor distinto.

1 5 10 50 100 500 1 000

I V X L C D M

Para leer o escribir un número romano seguimos estas reglas:• Si una letra está a la derecha de otra de igual o mayor valor, se suman sus valores.

VI = 5 + 1 = 6• Si la letra I está a la izquierda de V o X se resta su valor. Lo mismo ocurre si X está

a la izquierda de L o C, o si C está a la izquierda de D o M.

IX = 10 − 1 = 9 XCIX = 100 – 10 + 10 – 1 = 90 + 9 = 99• Las letras I, X, C y M no pueden aparecer más de tres veces seguidas. No pueden

aparecer dos o más veces seguidas V, L, y D.

MMCCXXX = 2 230• Para escribir números mayores de 3 999. Al poner una raya horizontal encima de

un número, su valor queda multiplicado por mil.

1

Al escribir números en romano no puedes utilizar estas combinaciones:

IL, IC, ID, IM

XDVII = X+D+VII=10 000+500+7 =10 507XDVII = X+D+VII=10 000+500+7 =10 507

35 es 30 + 5 1 525 es 1 000 + 500 + 20 + 5

132 es 100 + 30 + 2

X X XX

X X VX X I IVC DM

El método indio para escribir númerosFicha y asignable para trabajar la comprensión lectora.

Unidad 1 35

2. 76 = LXXVI 875 = DCCCLXXV 345 = CCCXLV 916 = CMXVI

3. 1 056 = MLVI 3 515 = MMMDXV 4 763 = IVDCCLXIII 3 846 = MMMDCCCXLVI 3 999 = MMMCMXCIX 8 245 = VIIICCXLV

4. 4 de julio de 1776

5. 4 = IV; 78 = LXXVIII, correcto; 134 = CXXXIV; 49 = XLIX

532 = DXXXII; 715 = DCCXV

6. 1212, siglo XIII. 1914, siglo XX. 1789, siglo XVIII 2012, siglo XXI. 1643, siglo XVII

7. Reflexiona. Las dos rayas sobre un número romano lo multiplican por un millón.

V = 5 millones = 5 000 000 X = 10 millones = 10 000 000

I G La actividad 7 se puede realizar mediante la técnica cooperativa de “Cabezas juntas numera-das” (ver la Guía de aprendizaje cooperativo y el tar-jetón de esta técnica). Se propone esta técnica para que todos los alumnos participen ofreciendo sus opiniones y contrastándolas con las de sus compa-ñeros.

23

Unidad 1

En el año 1492 ocurrieron cosas muy importantes. Una de ellas fue la llegada de Cristóbal Colón a América. El resto de años de este ejercicio también ocurrieron cosas importantes. ¿Te animas a descubrirlas?

Escribe estos números con números romanos.

Escribe con números romanos.

Aplicamos

En el libro que sostiene la Estatua de la Libertad en Nueva York hay una fecha ta-llada: Julio – IV – MDCCLXXVI.

Averigua qué fecha es.

Averigua qué números están mal escritos. Después, escríbelos correctamente en tu cuaderno.

Para saber a qué siglo pertenece un año, se suma 1 al número formado por las cifras de los miles y las centenas de ese año.

Ejemplo

1492 14 + 1 = 15, luego pertenece al siglo XV.

1085 10 +1 = 11, luego pertenece al siglo XI.

711 7 + 1 = 8, luego pertenece al siglo VIII.

Completa en tu cuaderno la tabla. Añade el siglo al que pertenecen estas fechas.

Año 1212 1914 1789 2012 1643

Siglo ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆◆

Reflexiona. En numeración romana, una raya encima de un número significa que ese número está multiplicado por 1 000. ¿Qué valor crees que tienen estos números con dos rayas? Explícalo.

2

3

4

5

6

7 I G

87576 345 916

3 846 3 999 8 245

1 056 3 515 4 763

VV XXII XVXV

• 4 = IIII • 134 = CXXIV • 532 = DXXII• 78 = LXXVIII • 49 = IL • 715 = LXV

Cabezas juntas numeradasTutorial para que esta técnica se desarrolle con

éxito en el aula. Dispones de una versión para mostrar a tus alumnos.

36 Unidad 1

SolucionarioComprender2.a. Responde 42 preguntas y obtiene 58 puntos.b. Cuántos aciertos tuvo.c. Cada respuesta correcta da 3 puntos. Cada respuesta incorrecta quita 1 punto. Las preguntas no respondidas no puntúan.d. Son preguntas en las que hay que elegir una op-

ción entre varias para responder.e. No, porque tendría 42 × 3 = 126 puntos.f. Respuesta abierta.

3.

4. Una tabla:

24

GRANDES ESTRATEGAS

Comprender 1. Lee el problema atentamente. 2. Responde:

a. ¿Qué datos me dan? ¿Son todos útiles? b. ¿Qué tengo que averiguar?c. ¿Cómo se relacionan los datos entre sí y con lo que me preguntan? d. ¿Qué son las preguntas de respuesta múltiple?e. El concursante que respondió a 42 preguntas, ¿las acertó todas? f. Invéntate un nombre para este concurso.

3. Con las respuestas anteriores completa esta tabla.

4. Piensa un diagrama o gráfico que explique el problema.

EL CONCURSO DE TELEVISIÓNUn concurso de televisión consiste en hacer 50 preguntas de respuesta múltiple a cada concursante. Por cada respuesta correcta se dan 3 puntos y por cada respuesta incorrecta se quita 1 punto. Las preguntas no respondidas no puntúan. Un concursante que respondió a 42 preguntas tiene 58 puntos.

¿Cuántos aciertos tuvo?

Datos del problemaQué sé de manera segura. Qué no cambia.

Responde 42 preguntas◆ ◆ ◆

Objetivo ¿Qué tengo que averiguar?

◆ ◆ ◆

Relaciones¿Qué Información me ayuda a conseguir el objetivo?

Cada respuesta correcta 3 puntos◆ ◆ ◆

Aciertos Puntos ganados Fallos Puntos perdidos Total

Aciertos 3 × Aciertos 42 − Aciertos 42 − Aciertos 58

No siempre hay que hacer un dibujo. Podría ser una tabla

simple como esta.

Problema COPERDesarrollo completo del problema.

1

RúbricaRúbrica del programa COPER.

2

Datos del problemaResponde 42 preguntas. Obtiene 58 puntos.

Objetivos Cuántos aciertos tuvo

RelacionesCada respuesta correcta suma 3 puntos; cada respuesta incorrecta resta 1 punto.

AciertosPuntos

ganadosFallos

Puntos perdidos

Total

N 3 × N 42 − N 42 − N 58

1 2

Unidad 1 37

Pensar2. Una estrategia de Ensayo y error es útil.

Ejecutar

Aciertos Puntos Fallos30 90 1220 38 2225 58 17

ResponderEl concursante contestó bien 25 de las 42 pregun-tas.Ver el desarrollo completo en el cuaderno Programa COPER.

25

Unidad 1

pensar En grupos pequeños decidid qué estrategia puede ayudaros a resolver el problema.

En este caso es útil usar la estrategia de Ensayo y Error.

Para aplicar la estrategia piensa una cantidad que pueda ser solución y comprueba si cumple las relaciones.

- Si las cumple, ya has encontrado la solución.

- Si no las cumple, prueba con otra cantidad. Los resultados obtenidos pueden ayudarte a escogerla.

ejeCutar

1. Dibuja una tabla como esta y prueba un número de aciertos. Por ejemplo 30 aciertos puede ser un buen comienzo.

2. Como el resultado es mayor que 58 pruebo otro número. Por ejemplo, 20.

3. ¿Por qué crees que he probado con 20? Si no obtienes 58, sigue probando números hasta que obtengas los 58 puntos.

responder

1. Vuelve al principio y comprueba si tu solución es válida. 2. Asegúrate de si hay una solución única o varias. 3. Lee de nuevo el objetivo y escribe una respuesta.

El concursante contestó bien ◆◆◆ preguntas del concurso.

El ensayo y error consiste en ir probando las posibles respuestas de un pro-blema una a una hasta dar con la respuesta correcta.

AciertosPuntos ganados

3 × aciertosFallos

42 − aciertosPuntos perdidos

42 − aciertosTotal

ganados − perdidos

30 3 × 30 = 90 42 – 30 = 12 12 90 – 12 = 78; 78 > 58

AciertosPuntos ganados

3 × aciertosFallos

42 − aciertosPuntos perdidos

42 − aciertosTotal

ganados − perdidos

30 3 × 30 = 90 42 – 30 = 12 12 90 – 12 = 78; 78 > 58

20 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆

Con 20 obtengo un número menor de 58. La solución será

un número entre 20 y 30.

38 Unidad 1

Solucionario

1. 9 127 404 − 6 984 903 = 2 142 501

2. 1 170 : 52 = 22 , resto = 26. Debe hacer 23 viajes.

3. 4 × 152 × 89 = 54112 €.

4. 26 500 : 2 = 13 250 kg. Caben 13 250 : 25 = 530 cajas.

5. 453 − 25 = 428 €. Si paga con 9 billetes de 50 € son 9 × 50 = 450 € El cambio es: 450 − 428 = 22 €

6. 35 × 3 + 50 × 4 = 305 cm

7. La mitad de 5 300 kg es 2 650 kg Debe engordar 2 650 − 115 = 2 535 kg

Inventa un problemaRespuesta modelo:Luis ha pagado 1 100 € y le han devuelto 38 €. ¿Cuántas noches ha pasado en el hotel?

Solución:1 100 − 38 = 1 0621 062 : 354 = 3 noches

Puedes utilizar la herramienta “Inventa un problema” para inventar más problemas a partir de más condicio-nes.

Problema visualAnimación para trabajar el razonamiento. PROBLEMAS

Inventa un problema

Inventa y resuelve un problema con los datos del tríptico. La respuesta debe ser: 9 noches.

Utiliza tus estrategiasEn un museo hubo 6 984 903 visitantes en 2016. En 2017 hubo 9 127 404. ¿Cuántas personas visitaron el museo en 2017 más que en 2016?

En un funicular caben 52 pasajeros. ¿Cuántos viajes debe hacer como mínimo para transportar a 1 170 personas?

Un avión realiza 4 viajes diarios. En cada viaje lleva 152 pasajeros. Si cada billete cuesta 89 €, ¿cuánto dinero recauda la compañía en un día?

Un barco puede transportar 26 500 kg. Los operarios han colocado la mitad de la carga. ¿Cuántas cajas de 25 kg caben todavía en el barco?

Jamila ha comprado este colchón. El vendedor le rebaja 25 €. Si Jamila paga con billetes de 50 €, ¿qué cambio recibe?

Luna sabe que necesita 35 cm de forro para forrar un cuaderno. También que gasta 50 cm en cada libro. Tiene 3 cuadernos y 4 libros. ¿Cuántos centímetros de forro debe comprar?A. 595 cm B. 290 cm C. 305 cm D. 185 cm

Una elefanta de 5 300 kg tiene una cría de 115 kg. ¿Cuánto debe engordar la cría para pesar la mitad que su madre?A. 1 585 kg B. 2 535 kg C. 5 185 kg D. 2 650 kg

1

2

3

4

5

6

7

26

453 €

Patrimonio de la

humanidad

OFERTA

Hotel Casco

Antiguo

354 €3 noches

Problema Observa y contestaProyectable para realizar la actividad de manera oral.

Entrénate paso a pasoActividad interactiva para resolver con preguntas pautadas.

Unidad 1 39

Solucionario

1. 200 + 100 = 300; 30 + 20 = 50; 4 + 1 = 5 300 + 50 + 5 = 355

200 + 700 = 900; 50 + 40 = 90; 5 + 1 = 6 900 + 90 + 6 = 996 700 + 100 = 800; 80 + 0 = 80; 2 + 4 = 6

100 + 600 = 700; 50 + 30 = 80; 3 + 5 = 8 700 + 80 + 8 = 788

500 + 400 = 900; 10 + 80 = 90; 3 + 1 = 4 900 + 90 + 4 = 994

G La actividad 1 se puede realizar mediante la técnica cooperativa de “El entrenamiento” (ver la Guía de aprendizaje cooperativo y el tarjetón de esta técnica). Se propone esta técnica porque facilita llegar al ob-

jetivo fundamental de la actividad: que todos los alumnos aprendan este procedimiento para sumar mentalmente números de tres cifras.

Durante todo el trimestre se trabajará con esta téc-nica en las primeras actividades del cálculo mental para crear una rutina de trabajo en los alumnos.

2. Contienen errores, y corregidas quedan: 542 + 326 = 868 156 + 243 = 399

3. 175 + 324 100 + 300 = 400; 70 + 20 = 90; 5 + 4 = 9 Recorren 400 + 90 + 9 = 499 km

4. 263 + 735 200 + 700 = 900; 60 + 30 = 90; 3 + 5 = 8 Tiene 998 libros.

CÁLCULO MENTALUnidad 1

27

Aplica la estrategia anterior. Escribe el resultado en tu cuaderno. La primera hazla con tu equipo.

Localiza las sumas que contienen errores. Corrígelas en tu cuaderno.

Carlota va de viaje con su familia. Primero recorren 175 km en autobús y luego 324 km en tren. Calcula mentalmente cuántos kilómetros recorrerán en total.

La sala de lectura infantil de la biblioteca del barrio tiene 263  libros para niños de 0 a 5 años. También cuenta con 735 libros para niños de 5 a 12 años. Aplica la estrategia y calcula cuántos libros tiene la sala.

1 G

2

3

4

624 + 235

600 200 800+ =

20 30 50+ =

4 5 9+ =

624 + 235 = 800 + 50 + 9 = 859

782 + 104234 + 121 255 + 741 153 + 635 513 + 481

513 + 273 = 786 312 + 654 = 966 542 + 326 = 986

156 + 243 = 439 556 + 340 = 896 473 + 526 = 999

Sumar números de tres cifras

Utiliza la estrategia Actividad interactiva para trabajar la estrategia

de cálculo mental. 

2

El entrenamiento Tutorial para que esta técnica se desarrolle con

éxito en el aula. Dispones de una versión para mostrar a tus alumnos.

2

40 Unidad 1

Solucionario1. 9 745 < 9 945; 86 721 > 84 546

4 310 redondeado es 4 000; 1 972 es 2 000

1 415 + 3 720 = 5 135; 2 505 − 2 192 = 313

266 × 24 = 6 384; 2 256 : 80 = 28, resto = 16

2 050 = 2 × 103 + 5 × 10.

G I La actividad 1 se puede realizar mediante la técnica cooperativa de “Lápices al centro”, (ver la Guía de aprendizaje cooperativo y el tarjetón de esta técnica). Se propone esta técnica porque permite que los alumnos consensúen lo que tienen que ha-cer, de manera que los contenidos de la unidad que-den más claros.

Con esta actividad, tus alumnos sabrán mejor cómo se realiza un mapa conceptual.

2. 90 328 > 90 238 > 89 893 > 89 789

3. A. 3 000 000

4. 678 × 506 = 343 068; 5037 × 67 = 337 479

84 325 × 48 = 4 047 600

5. A. 3 231 : 13 = 248, resto = 7

6. 3; 34; 41

7. 320 = 3 × 102 + 2 10;

9 525 = 9 × 103 + 5 × 102 + 2 × 10 + 5

74 503 = 7 × 104 + 4 × 103 + 5 × 102 + 3

138 088 = 1 × 105 + 3 × 104 + 8 × 103 + 8 × 10 + 8

8. 1 600 − (2 × 225 + 3 × 325) = 175; 175 : 35 = 5 garrafas

9. 199710. 209 1902

28

COMPROBAMOS LO APRENDIDO

Ordena de mayor a menor.

¿Cuál es el resultado de redondear 3 472 802 a la unidad de millón?A. 3 000 000 B. 3 550 000 C. 3 473 000 D. 4 000 000

Multiplica y comprueba con la calculadora.

Resuelve la división 6462 : 26. ¿Cuál de las siguientes divisiones es equivalente?

A. 3 231 : 13 B. 2 154 : 11 C. 12 321 : 52

¿Cuál es el resultado de estas expresiones?

Descompón utilizando potencias de 10.

320 9 525 74 503 138 088

Elsa es cooperante en un pueblo de Etiopía, donde escasea el agua potable. Va a un pozo cercano y consigue 1 600 L de agua. Entonces llena 2 bidones de 225 L y 3 bidones más de 325 L. Después, reparte el resto de agua en garrafas de 35 L. ¿Cuántas garrafas llena?

¿Qué número aparece en el azulejo de la fotografía?

2

3

4

5

6

7

8

9

Organiza tus ideas. Completa en tu cuaderno.1 G I

90 328 90 23889 789 89 893

Números naturales

Suma y resta

1 4 1 5

+ 3 7 2 0◆ ◆ ◆ ◆

2 5 0 5

− 2 1 9 2◆ ◆ ◆ ◆

División

2 2 5 6 8 0◆ ◆ ◆ ◆ ◆

◆ ◆

Multiplicación

2 6 6

× 2 4◆ ◆ ◆ ◆

+ 5 3 2 0◆ 3 ◆ 4

Potencias52 = 5 × 5 = 25

53 = 5 × 5 × 5 = 12524 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

2 050 = ◆ × 104 + ◆ × 102

Comparación

9 745 ◆ 9 94586 721 ◆ 84 546

4 310 redondeado a las unidades de millar es ◆◆◆

1 972 redondeado a las unidades de millar es ◆◆◆

Redondeo Operaciones

678 × 506 84 325 × 485 037 × 67

• 28 : 4 + 8 − 3 × 4 • 5 × (7 + 3) − 8 × 2 • 13 + 7 × (10 − 6)

Trabajo individual asistidoTutorial para que esta técnica se desarrolle con éxito en el aula. Dispones de una versión para mostrar a tus alumnos.

Itinerario personalizado. Repasa y entrénate

Interactivo para que el alumno compruebe la adquisición de conceptos.

1

1

Repasa y comprueba lo aprendidoFicha para repasar y preparar la evaluación.

1

Unidad 1 41

G I La actividad 10 se puede realizar mediante la técnica cooperativa de “Producción grupal”, (ver la Guía de aprendizaje cooperativo y el tarjetón de esta técnica). Se propone esta técnica porque hace que to-dos los alumnos avancen juntos al paso siguiente solo después de haber comprendido el anterior.

11. a. B. Y b. T Si la división es entera, a cada uno de los 22 po-

sibles valores del resto le corresponde una le-tra diferente.

c. Pueden resultar 23 restos diferentes: del 0 al 22, ambos incluidos.

d. Si a cualquier múltiplo de 23 le sumamos 1, al resultado le corresponde la letra R:

5 × 23 + 1 = 116; 116 = 23 × 5 + 1; resto = 1,

29

Unidad 1

Averigua cuál es el número del carné de Lua.

• Tiene siete cifras y es capicúa.• La cifra de los millares vale 1 000 unidades. • La cifra de las unidades es el doble que la de los millares.• La cifra de las centenas de millar es menor que la de los millares. • La cifra de las centenas es 9.

Para obtener la letra del DNI se divide el número entre 23. El resto de esa división se asocia a una letra según esta tabla.

a. ¿Qué letra tiene el DNI número 5 406 087?A. M B. Y C. N D. W

b. Si al dividir el número de DNI resulta una división exacta, ¿qué letra se obtiene? ¿Y si la división es entera?

c. ¿Cómo puedes saber cuántos restos diferentes resultan al dividir entre 23? Ano-ta cuáles son.

d. ¿Puedes encontrar tres números de DNI distintos pero con la misma letra? Ex-plica cómo hacerlo. Ayúdate de la calculadora para encontrarlos.

10 G I

11

smMasSavia.com | Autoevaluación.

Número capicúa:número que está formado por cifras ordenadas de forma que da igual leerlas de izquierda a derecha que al revés.2 332 es un capicúa.

Hoy me ha encantado aprender… y saberlo me sirve para…

Lo que más me ha sorprendido de esta unidad es…

Para aprender algo nuevo necesito…

Con la ayuda de he conseguido…

Cuando trabajamos en grupo me siento…

1

2

3

4

5

Resto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Letra T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E

Prueba de evaluaciónFicha y asignable para evaluar los conocimientos

adquiridos de los alumnos.

Escala de evaluaciónTabla con los criterios de evaluación y los

estándares de aprendizaje para ayudarte en la calificación de la prueba de evaluación.

2

Producción grupalTutorial para que esta técnica se desarrolle con

éxito en el aula. Dispones de una versión para mostrar a tus alumnos.

Para que tus alumnos profundicen en su reflexión y respondan a las actividades del diario con mayor de-talle les puedes orientar con preguntas como esta::• ¿En qué te gusta ayudar a los demás?Si tus alumnos están guardando todas sus re-flexiones de metacognición en un cuaderno, su-giéreles que escriban en él todas las actividades de la sección “Comprobamos lo aprendido”. Así ten-drán una muestra de lo que han aprendido a lo largo de la unidad.Si tus alumnos no han completado el diario que tienen en sus recursos interactivos, puedes suge-rirles que lo hagan ahora.

Mi diario

Mi diarioInteractivo para reflexionar sobre el aprendizaje.

22