Universidad de Sonora

Departamento de Fısica

Ensayo

Demostracion matematica

Marıa Fernanda Moreno Lopez

19 de octubre de 2015

Demostracion matematica

El estudio de las matematicas se remonta a epocas antiquısimas. En estas epocas sa-

bios filosofos aportaron, plasmando sus conocimientos e ideas, a futuras genereaciones para

ayudar al progreso intelectual de la humanidad. Si estos cimientos se hubieran dado tiempo

despues, los avances tecnologicos modernos estarıan atrasados en tiempo considerable. En

cambio, de haberse dado antes, el avance y el material intelectual de ahora estarıa avanzado

a lımites incrompendidos.

Pitagoras fue un filosofo y matematico griego que construyo la base de la fundamentacion

matematica y, gracias a ella, la matematica moderna, por su famoso teorema del triangulo

rectangulo. Este teorema lo demostro en su tiempo con logica irrefutable y hasta ahora sigue

siendo una verdad absoluta.

Existe una diferencia entre la demostracion matematica y la cientıfica. Aunque se cree

que la ciencia es precisa, esta se basa en la experimentacion, observacion y percepcion. Una

hipotesis no es comprobada hasta que se pone a prueba y se obtienen evidencias a su fa-

vor. La hipotesis no debe solo explicar un fenomeno fısico, si no que tambien debe hacer

predicciones. Cuando se tienen bastantes evidencias sin que ni una observacion haya puesto

en contradiccion la hipotesis, entonces se da como teorema valido. Pero esta validez no es

mas que una aproximacion a la realidad y en cualquier momento existe la posibilidad de que

alguna observacion posterior refute una teorıa que se daba por completamente cierta.

Una demostracion matematica se fundamenta de la logica; se parte de axiomas o afirma-

ciones que son ciertos por que ya se han demostrado con anterioridad. La idea se desarrolla

con argumentacion logica y progresiva, cuidando hasta el ultimo minucioso detalle para lle-

gar finalmente a una conclusion. Si al final del proceso se encuentra que los axiomas son

correctos y que la logica es impecable, entonces la conclusion es innegablemente absoluta

hasta el fin de los tiempos.

Fermat fue uno de los principales matematicos de la primera mitad del siglo XVII, de

origen frances apodado como prıncipe de los anficionados. Descubrio el calculo diferencial

antes que Newton y Leibniz entre otras aportaciones.

Hablando de Fermat, un problema matematico que estuvo sin demostrar por unos tre-

cientos anos, desde 1637, fue el ultimo teorema de Fermat. Este hombre habıa escrito en los

margenes de un libro de matematicas algunas curiosidades provenientes de sus pensamien-

tos. En una de estas notas, se encuentra el teorema mas famoso de la historia, no por que

representara una verdad para algun hecho fısico; si no por que su demostracion habıa sido

imposible por matematico tras matematico a lo largo de la historia desde que se formulo.

Este teorema a la vista se veıa de una sencillez admirable y lo interesante es que tiene un

parecido con el teorema de Pitagoras.

Pitagoras dice el cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectangulo es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos:

c2 = a

2 + b2

Y Fermat dice: si n es un numero entero mayor que 2, entonces no existen numeros enteros

positivos tales que se cumpla la igualdad:

cn = a

n + bn

En 1995, el matematico Andrew Wiles, despues de 7 anos de arduo trabajo, logro lo

impensable: demostrar el ultimo teorema de Fermat. El mismo cuenta la lucha que fue con-

seguir ese exito. Cuando era pequeno, se encontro en un libro de matematicas la sencilla

expresion facil de entender aun para su corta edad, desde entonces el se fijo la meta de algun

dıa llegar a demostrala. La demostracion de este teorema se logro gracias a las ideas de un

numeroso grupo de matematicos que directa e indirectamente aportaron sus conocimientos

de tal forma que un solo hombre se dedico por anos para unificarlos y darles un sentido tal

que se lograra demostrar el famoso ultimo teorema de Fermat. Las matematicas utilizadas

para demostrar esta sencilla expresion son de un nivel tan complejo y moderno en su tiem-

po que eran impensables en epocas pasadas, tiempo en el cual muchos matematicos vieron

frustrados sus intentos por el fracaso.

A grandes rasgos, Wiles logro la desmotracion a partir de la conexion la conjetura

Taniyama-Shimura la cual establece que cada curva elıptica puede asociarse unıvocamen-

te con un objeto matematico denominado forma modular. La relacion entre esta conjetura y

el ultimo teorema de Fermat fue demostrada por Ribet, del cual se hablara mas adelante. Si el

ultimo teorema de Fermat fuese falso, entonces existirıa una curva elıptica de caracterısticas

tan peculiares que no podrıa asociarse a ninguna forma modular y por lo tando la conjetu-

ra Taniyama-Shimura serıa falsa. Por lo tanto, esta conjetura demuestra este famoso teorema.

Ası son las demostraciones matematicas, empezar por un camino que se ve logico, se-

guir hasta encontrarse en un callejon sin salida; regresar y darse cuenta que se debe de

empezar desde el principio y tomar una ruta diferente, ya que no se llego a lo que se pre-

tendıa. Esto no solo es propio del ultimo teorema de Fermat, si no que tambien es valido

para los ejercicios en los libros de estudio de los alumnos de carreras afines a las matematicas.

Para demostrar un teorema, se sigue una estructura secuencial comparable a la que se

sigue en el metodo cientıfico, pero basada en la logica formal y rigurosa que caracterısa a las

matematicas.

En el proceso de demostracion se parte de un axioma, se conoce ası a una proposicion

cuya verdad es evidente y no requiere demostracion puesto que se justifica por sı misma;

sobre ella se empiezan a contruir los postulados que se usan para la deduccion de teoremas

que seran demostrados o refutados por los mismos axiomas y postulados. Como ejemplo,

la geometrıa euclidiana tradicionalmente se presenta en formato axiomatico, en el que to-

das las declaraciones verdaderas derivan de un pequeno numero de axiomas; Uno de ellos

menciona la existencia de un infinito de puntos, infinitas rectas e infinos planos. Otro ha-

ce mencion a que el todo es igual a la suma de las partes, siendo ası mayor a cada una de ellas.

El postulado es la proposicion fundamental de un sistema deductivo que no es evidente

por si mismo, pero no es posible llegar a demostrarse. Los postulados suelen ser las pro-

posiciones iniciales de una ciencia, tanto que los axiomas son las proposiciones iniciales de

un sistema deductivo. Regresando con la geometrıa euclidiana, los postulados de Euclides

hacen referencia al tratado denominado Los elementos, escrito hacia el ano 300 a.C en el cual

exponıa los conocimientos geometricos de la Grecia clasica deduciendolos a partir de cinco

postulados; el primero de ellos asegura que dos puntos cualesquiera determinan un segmento

de recta. Uno segundo, dice que un segmento de recta se puede extender indefinidamente en

una lınea recta. El tercero garantiza que se puede trazar una circunferencia dados un centro

y un radio cualquiera. El cuarto, todos los angulos rectos son iguales entre si. Por ultimo,

el postulado de las paralelas, por un punto exterior a una recta, se puede trazar una unica

paralela.

Teorema es la proposicion demostrable o refutable aplicando la logica formal, partiendo

de axiomas, postulados y de otros teoremas demostrados previamente. En todo teorema se

distinguen tres partes: hipotesis, que evoca a supuestos o datos conocidos; tesis, la proposi-

cion que se quiere demostrar y la demostracion, la cual es el proceso en el que se utilizan

los conocimientos previos para mostrar la verdad o la falsedad de un teorema. Un teorema

no llega a ser tal hasta que finalmente se demuestra o se refuta, durante el lapso de tiempo

para que eso suceda, se le conoce como conjetura; mientras tanto, se supone cierta. Como

ejemplo de conjetura, se menciona al teorema de Ribet, antes conocido como conjetura epsi-

lon, enunciado por Jean-Pierre Serre y demostrado por Ken Ribet. Su prueba fue un paso

significativo hacia la demostracion del ultimo teorema de Fermat.

Posterior a la demostracion corolario es la afirmacion logica que es consecuencia inmedia-

ta de un teorema, esta afirmacion puede ser demostrada usando las propiedades del teorema

previamente probado. Un caso de corolario es la afirmacion de que la suma de los angulos

interiores de un triangulo es igual a 180◦ a la cual le sigue la afirmacion: en un triangulo

rectangulo, la suma de los dos angulos contiguos a la hipotenusa es igual a 90◦.

Existen muchos metodos de demostracion, entre los mas usuales esta la demostracion

vacıa, que consiste en establecer que el valor verdadero de la hipotesis es falso. Un ejemplo

de esto puede ser la conjetura epsilon. Esta proposicion evocaba a que podrıa haber una

combinacion de numeros enteros positivos que fueran solucion a la expresion de Fermat, la

cual decıa que no existıa solucion alguna.

Otro metodo es la demostracion trivial que consiste en probar que el valor verdadero de

la conclusion es verdad. Esta, personalmente, la considero como mas intuitiva que la anterior,

puesto que lo primero que se llega a pensar es en encontrar un procedimieto que nos asegure

que la hipotesis es cierta.

Un tercer camino es la demostracion directa, esta asume que la hipotesis es verdad y

despues se hace uso de cualquier informacion disponible para probar que la conclusion es

correcta.

Bibliografıa

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El enigma de Fermat