IntroduccinEn este tema, se estudian los cambios de forma (deformaciones) que pueden experimentar los cuerpos debido a un determinado estado de fuerzas; as como, las relaciones geomtricas que junto con las las relaciones geomtricas que junto con las condiciones de equilibrio permitan obtener la solucin a problemas estticamente indeterminados.

Deformacin bajo carga axial.

Si se considera unavarilla de acero delongitud L y seccinlongitud L y seccintransversal uniformeal aplicar una carga Pen su extremo lavarilla se alargar.

Deformacin unitaria La deformacin que tambin se conoce como

deformacin unitaria, se obtiene dividiendo la deformacin total entre la longitud original del cuerpo.

La deformacin se denota con la letra griega minscula La deformacin se denota con la letra griega minscula psilon ()

originallongitudtotalndeformaci

=

La deformacin total que experimenta un cuerpo puede ser medido.

Probeta de cobre antes del ensayo de

tensin por computadora.

ENSAYO DE TRACCIN

Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_tracci%C3%B3n

Probeta de cobre fracturada en el

ensayo de tensin.

ENSAYO DE TRACCIN

Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_tracci%C3%B3n

ENSAYO DE COMPRESIN

Ensayo de compresin de una probeta

cilndrica de hormign.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_compresi%C3%B3n

Probeta despus de la rotura a compresin.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_compresi%C3%B3n

Diagrama curva

Esfuerzo-DeformacinRepresentacin grfica del esfuerzo producido por la carga actuante:

P

Y la deformacin unitaria:AP

=

L

=

Diagrama Esfuerzo-Deformacin,

representativo de materiales dctiles

Caractersticas del Diagrama

Esfuerzo-Deformacin

Relacin de Proporcionalidad (Robert Hooke).

Importante debido a que el estudio de slidos elsticos, se

basa en ley.

E=

Caractersticas del Diagrama

Esfuerzo-Deformacin

No existe relacin lineal. Las deformaciones

aumentan ms rpidamente para cada incremento en esfuerzo.

Caractersticas del Diagrama

Esfuerzo-Deformacin

Caractersticas del Diagrama

Esfuerzo-Deformacin

Cambio en la estructura estructura cristalina

Caractersticas del Diagrama

Esfuerzo-Deformacin

Puede notarse que en la probeta, lafractura ocurre a lo largo de unasuperficie con forma de cono, que formaun ngulo de aproximadamente 45 conla superficie original de la probeta. Estola superficie original de la probeta. Estoindica que el cortante es el principalresponsable de la falla de los materialesdctiles y confirma el hecho de que bajouna carga axial, los esfuerzos cortantesson mximos en las superficies queforman un ngulo de 45 con la carga.

Diagrama Esfuerzo-Deformacin,

representativo de materiales frgiles

Los materiales frgiles como el hierrocolado, el vidrio y las rocas, secaracterizan por el fenmeno de quela fractura ocurre sin un cambionotable previo de la tasa dealargamiento. De esta forma no hayuna diferencia entre la resistencialtima (mxima carga aplicada alltima (mxima carga aplicada almaterial) y la resistencia a la fractura.No ocurre la estriccin en el caso deun material frgil y la fractura ocurre alo largo de un superficie perpendiculara la carga. Se concluye a partir deesta observacin que los esfuerzosnormales son los principalesresponsables de la falla de losmateriales frgiles.

Diagrama esfuerzo-deformacin para el concreto

De relevancia particular es el hecho de que, para un acero dado, la resistencia ala fluencia es la misma tanto a tensin como a compresin. Para valores mayoresde deformacin, las curvas de esfuerzo deformacin a tensin y a compresindivergen, para la mayora de los materiales dctiles, se encuentra que laresistencia ltima a compresin es mucho mayor que la resistencia ltima a latensin, esto se debe a la presencia de fallas (por ejemplo, cavidades o grietasmicroscpicas) que tienden a debilitar al material a tensin, mientras que noafectan en forma significativa su resistencia a compresin.

Un ejemplo de un material frgil con diferentes propiedades a tensin y acompresin es el concreto, cuyo diagrama esfuerzo deformacin se muestra acompresin es el concreto, cuyo diagrama esfuerzo deformacin se muestra acontinuacin

En el lado de tensin del diagrama, primero se observa un rango elstico linealen el que la deformacin es proporcional al esfuerzo. Despus de que se haalcanzado el punto de fluencia, la deformacin aumenta ms rpidamente queel esfuerzo hasta que ocurre la fractura. El comportamiento del material bajocompresin es diferente. Primero, el rango elstico lineal es significativamentemayor. Segundo, la ruptura no ocurre cuando el esfuerzo alcanza su mximovalor. En lugar de esto, el esfuerzo decrece en magnitud mientras que ladeformacin plstica sigue aumentando hasta que la ruptura ocurre. Note queel mdulo de elasticidad, representado por la pendiente de la curva deel mdulo de elasticidad, representado por la pendiente de la curva deesfuerzo deformacin en su porcin lineal, es la misma en tensin que encompresin. Esto es cierto para la mayora de los materiales frgiles.

Diagrama esfuerzo deformacin

para el acero dulce

En el acero dulce, el punto de cedencia es el mismo a tensin y a compresin. La carga inicial es de tensin y se aplica hasta que se alcanza el punto C en el diagrama. Luego de descargar (D), se aplica una carga de compresin, la cual provoca que el material alcance el punto H, donde el esfuerzo es igual a y. La porcin DH del diagrama es curva y no muestra un punto de cedencia bien definido. A esto se le conoce como efecto Bauschinger. Al mantenerse la carga de compresin, el material fluye a lo largo de la lnea HJ.Si la carga se retira despus de alcanzar el punto J, el esfuerzo retorna a cero a lo largo de la lnea JK y se observa que la pendiente de JK es igual al mdulo lo largo de la lnea JK y se observa que la pendiente de JK es igual al mdulo de elasticidad. La deformacin permanente resultante AK ser positiva, negativa o cero, dependiendo de las longitudes de los segmentos BC y HJ. Si una carga de tensin se aplica de nuevo a la probeta, la porcin del diagrama que comienza en K se curvar hacia arriba y hacia la derecha hasta que se alcance el esfuerzo de fluencia y. Si la carga es lo suficientemente grande para causar endurecimiento por deformacin del material (C), la descarga ocurre a lo largo de la lnea CD. Al aplicarse la carga inversa, el esfuerzo se vuelve de compresin, alcanzando su valor mximo en H y mantenindolo mientras el material fluye a lo largo de la lnea HJ.

Diagrama esfuerzo deformacin

para el acero dulce

Note que, en tanto que el mximo valor para el esfuerzo de compresin es menor que y, el cambio total en esfuerzo entre C y H es an igual a 2y.Si el punto K o K coincide con el origen A del diagrama, la deformacin permanentees igual a cero, y parecer que la probeta ha regresado a su condicin original. Noobstante, habrn ocurrido cambios internos y, an cuando la misma secuencia decarga pueda repetirse, la probeta se fracturar sin advertencia previa despus dealgunas repeticiones. Esto indica que las excesivas deformaciones plsticas a lasque ha sido sometida la probeta han causado un cambio radical en lascaractersticas del material. Las cargas inversas dentro del rango plstico, por lotanto, rara vez se permiten, por lo que slo se realizan en condiciones controladas.Tales situaciones ocurren en el enderezado de materiales daados y en elalineamiento final de una estructura o mquina.

Modelos de Esfuerzo-Deformacin

para diferentes tipos de Rocas.

Materiales dctiles Materiales Frgiles

Acero al carbono acero estructural

Vidrio

Ejemplos de algunos materiales

frgiles y dctiles

estructural

Aleaciones de aluminio Diamante

Hierro colado

Mdulo de ElasticidadPuede obtenerse una medida de la rigidez del material calculando el coeficiente del esfuerzo normal en un elemento y la deformacin unitaria correspondiente en el mismo. Se denota por E.

normalunitariandeformacinormalesfuerzoE =

=E

Pendiente del tramo recto de la curva esfuerzo deformacin.

Medida de la rigidez de un material.

Un material con un valor de E elevado se deformar menos con un esfuerzo dado que uno con un valor reducido de E.

Un trmino ms completo para E sera el mdulo de elasticidad a tensin o compresin, porque es definido elasticidad a tensin o compresin, porque es definido en funcin del esfuerzo normal.

Sin embargo, el trmino mdulo de elasticidad, sin ningn modificador, generalmente se considera como el mdulo de tensin.

Mdulo de Elasticidad a Cortante

El coeficiente del esfuerzo cortante y la deformacin por cortante se conoce como mdulo de elasticidad a cortante, o mdulo de rigidez, y se denota por G.

cortantecortanteporndeformaci

esfuerzoG =

=G

cortante

G es una propiedad del material, y se relaciona con el mdulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson por:

)1(2 +=EG

Deformacin Tangencial.

La accin cortante en las caras paralelas del elemento tiende a deformarlo angularmente, el ngulo (gamma), medido en radianes, es la deformacin

G = Mdulo de rigidez transversal.

= Distorsin.

= Fuerza cortante.

GALV

=

medido en radianes, es la deformacin por cortante

ElasticidadPropiedad que hace que un cuerpo que ha sidodeformado, regrese a su forma original despus de quehan desaparecido las fuerzas deformadoras. (Fitzgerald)

Ley de Hooke y

Deformacin Axial

EALP

LE

AP

==

EALA

Relaciona la deformacin total con:La fuerza aplicada, la longitud de la barra, el rea de la seccin

transversal y su mdulo de elasticidad

Hiptesis

La carga debe ser axial.

La barra debe ser homognea y de seccin constante.

La tensin no debe sobrepasar el lmite de La tensin no debe sobrepasar el lmite de proporcionalidad.

Relacin de Poisson.

Deformacin segn dos y tres ejes

Si una barra se alarga porSi una barra se alarga poruna traccin axial sufreuna disminucin de susdimensiones transversales

Relacin de Poisson

Coeficiente de Poisson

La fuerza de tensin en la barra la alarga en ladireccin de la fuerza aplicada, pero al mismo tiempo,el ancho de la barra se acorta. De este modo, en elelemento de esfuerzo ocurre un alargamiento yelemento de esfuerzo ocurre un alargamiento ycontraccin simultneamente

Relacin de Poisson

Coeficiente de Poisson

La fuerza de tensin en la barra la alarga en ladireccin de la fuerza aplicada, pero al mismo tiempo,el ancho de la barra se acorta. De este modo, en elelemento de esfuerzo ocurre un alargamiento yelemento de esfuerzo ocurre un alargamiento ycontraccin simultneamente

Cuando una barra esta sometida a una carga de traccinsimple se produce en ella un aumento de longitud en ladireccin de la carga, as como una disminucin de lasdimensiones laterales perpendiculares a esta. La relacin

Relacin de Poisson

Coeficiente de Poisson

dimensiones laterales perpendiculares a esta. La relacinentre la deformacin en la direccin lateral y la de ladireccin axial se define como relacin de Poisson. Larepresentaremos por la letra griega . Para la mayora de losmetales esta entre 0.25 y 0.35.

Es la relacin entre la deformacin transversal y lalongitudinal.

Cuando un cuerpo deformable est sometido a una fuerzaaxial de tensin, no slo se alarga, sino que tambin secontrae lateralmente. Igualmente, una fuerza decompresin que acta sobre una cuerpo ocasiona que ste

Relacin de Poisson

Coeficiente de Poisson

compresin que acta sobre una cuerpo ocasiona que stese contraiga en la direccin de la fuerza y que se expandalateralmente.

Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de labarra cambia un cantidad y su radio una cantidad . Lasdeformaciones unitarias en la direccin axial o longitudinaly en la direccin lateral o radial son respectivamente:

Relacin de Poisson

Coeficiente de Poisson

y en la direccin lateral o radial son respectivamente:

ly

l latlong'

==

A principios del siglo XIX, el francs S.D. Poissondescubri que dentro del rango elstico, la razn de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya que

las deformaciones y son proporcionales. A esta

Relacin de Poisson

Coeficiente de Poisson

las deformaciones y son proporcionales. A esta constante se le llama razn de Poisson,

long

lat

=

Relacin de Poisson.

Deformacin segn dos y tres ejes

=

=

=

=

L

a

hohfholateralnDeformaci

LoLoLf

axialnDeformaci

==

a

L

L

PoissondeeCoeficientho

Relacin de Poisson.

Deformacin segn dos y tres ejes

Asociando la relacin de Poisson y la Ley de Hooke se tiene:

EX

ZY

==

Condicin de deformacin bajo una carga axial paralela al eje X

EZY ==

Carga Multiaxial

Ley de Hooke Generalizada.

Carga Multiaxial

Ley de Hooke Generalizada.

( )[ ]ZYXX E +=1

Deformaciones expresadas en( )[ ]( )[ ]YXZZ

XZYY

E

E

+=

+=

1

1 Deformaciones expresadas entrminos de las componentes deesfuerzo

Elementos Estticamente

Indeterminados.

Con frecuencia aparecen conjuntos de elementos cargados axialmente en lo quelas ecuaciones de equilibrio esttico no son suficientes para determinar lasfuerzas que, en cada seccin soportan. Estas condiciones se dan en estructurasen las que las reacciones o las fuerzas resistivas internas exceden en nmero alde ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Tales casosde ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Tales casosrequieren ecuaciones adicionales que relacionen las deformaciones elsticas enlos distintos elementos, generalmente se aplican los siguientes principios pararesolver dichos casos.1- En el diagrama del slido aislado de la estructura o de parte de ella, aplicar lasecuaciones del equilibrio esttico.2- Si hay ms incgnitas que ecuaciones independientes de equilibrio, obtenernuevas ecuaciones mediante relaciones geomtricas entre las deformacioneselsticas producidas por las cargas y por las fuerzas incgnitas. Para esto, sedebe dibujar un esquema, exagerando las deformaciones elsticas.

Elementos Estticamente

Indeterminados.

Determinar ReaccionesDeterminar Reacciones

Problema InicialProblema Inicial

Ecuaciones de esttica

insuficientes para

Ecuaciones de esttica

insuficientes para Determinar Fuerzas Internas.

Determinar Fuerzas Internas.

Problema estticamente indeterminado

Problema estticamente indeterminado

Mtodo de Superposicin

ReaccionesReacciones

Elementos Estticamente

Indeterminados.

Elementos Estticamente

Indeterminados.

Elementos Estticamente

Indeterminados.

Elementos Estticamente

Indeterminados.

Elementos Estticamente

Indeterminados.

Esfuerzos por temperatura

TLT

T

T

==

TEAP ==

Muchas Gracias.Muchas Gracias.