3.- Durante una prueba esfuerzo-deformación se ha obtenido que para un esfuerzo de 35 MN/m2 la deformación ha sido de 167x10-6 m/m y para un esfuerzo de 140 MN/m2, de 667x10-6 m/m. Si el límite de proporcionalidad es de 200 MN/m2. ¿Cuál es el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0.002? Si el límite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MN/m2, ¿se hubieran deducido los mismos resultados? Razonar la respuesta.

SOLUCIÓN:

E=σε

=35167

=140667

=209 ,581×109 N/m2

⇒E=209 ,581 GPa

140×106 N/m2

667×10−6 m/m= x

0 ,002 m/m

x=419 ,79×106 N/m2

σ=419 ,79 MPa

4.- Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad ϼ se suspende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es δ= ϼgL2/2AE. Llamando M a su masa total demostrar que también δ= MgL/2AE.

SOLUCIÓN:

∑ F y=0

σ y ( A )−ρ⋅g⋅A⋅y=0

σ y=ρ⋅g⋅A⋅y

A

σ y=ρ⋅g⋅y

δ=∫0

L σ y

Edy

δ=∫0

L ρ⋅g⋅yE

dy

δ= ρ⋅gE

⋅y2

2|0L

⇒ δ=ρ⋅g⋅L2

2E

Premultiplicando por A: δ= ρ⋅g⋅L2

2 E⋅( AA );

pero M=ρ⋅V⇒M=ρ⋅L⋅A

Reemplazando:δ=M⋅g⋅L

2 AE

CORTE M-M

W=ρ⋅g⋅V

V=A×L

W=ρ⋅g⋅A⋅L

δ= P⋅LE⋅A

Pero:

PA

=σ

5.- Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300mm2 y una longitud de 150m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 20kN que depende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850kg/m3 y E= 200 x 103 MN/m2, determinar el alargamiento de la varilla. Indicación: Aplique el resultado del problema 204.

SOLUCIÓN:

δ=carga axial+peso propio⇒δ= P⋅LE⋅A

+ ρ⋅g⋅L2

2 E

δ=20×103×150300×10−6×200×109

+7850×9 ,81×1502

2×200×109=0 ,0543 m⇒ δ=54 ,3 mm

6.- Un alambre de acero de 10m de longitud que cuelga verticalmente soporta una carga de 2000 N. Determinar el diámetro necesario, despreciando el peso del alambre, si el esfuerzo no debe exceder de 140 MPa y el alargamiento debe ser inferior a 5mm. Supóngase E= 200 GPa.

SOLUCIÓN:

δ= P⋅LE⋅A

, donde: A= πd2

4

δ= 4 P⋅Lπ⋅E⋅d2

⇒ d=2√ P⋅Lπ⋅E⋅δ

⇒ d=2√2000×100 ,005×π×200×109

=0 ,00505 m

σ= PA

= 4 Pπ⋅d2

⇒ d=√ Pσ⋅π

= 2√2000140×106×π

d=0 ,0043 m ⇒ d=4,3 mm

De los 2 valores escogemos el mayor: d=5 ,05 mm

7.- Una llanta de acero, de 10mm de espesor, 80mm de ancho y de 1500mm de diámetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0.30, ¿Qué par se requiere para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformación de la rueda y use E= 200GPa.

SOLUCIÓN:

Debido a la dilatación hay un incremento radial:λ=0 ,25 mm

λ=α⋅RE

(2): donde:R=750 mm ∧ E=200 GPa

Pero el esfuerzo es provocado por la fuerza N sobre el área de acción:

σ=NA

= N

π (r2−r2 ); r

8.- Una barra de aluminio de sección constante de 160mm2 soporta unas fuerzas axiales aplicadas en los puntos que indica la figura. Si E=70GPa, determinar el alargamiento, o acortamiento, total de la barra (No hay pandeo de este elemento).

SOLUCIÓN:

δ=δ AB+δ BC+δ CD

δ=[ ( 35×103 ) (0,8 )+(20×103 ) (1,0 )+ (−10×103) (0,6 ) ]× 1

(70×109) (160×10−6 )

δ=3 ,39 mm

9.- Resolver el problema 9 intercambiando las fuerzas aplicadas en sus extremos, en el izquierdo la fuerza de 10KN y en el derecho la de 35KN.

SOLUCIÓN:

PAB=10 kN PBC=−5 kN PCD=−35 kN

δ=δ AB+δ BC+δ CD

δ=[ ( 10×103 ) (0,8 )−( 5×103 ) (0,6 ) ]× 1

(70×109 ) (160×10−6)

δ=−1 ,607×10−3m ⇒ δ=1 ,61 mm

10.- Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como se indica y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones: La deformación total no ha de exceder de 2mm ni las tensiones han de sobrepasar 140 MN/m2, en el acero, 80 MN/m2 en el aluminio ni 120 MN/m2 en el bronce. Se supone que el conjunto esta convenientemente anclado para evitar el pandeo y que los módulos de elasticidad son 200x103 MN/m2 para el acero, 70x103 MN/m2 para el aluminio y 83x103 MN/2 para el bronce.

SOLUCIÓN:

δ total=δ AB+δ BC+δ CD

0 ,002=(−3 P ) (0,6 )

(83×103 ) ( 450×10−6 )+

(−2 P ) (1,0 )(70×103 ) ( 600×10−6 )

+(2P ) (0,8 )

( 200×109) (300×10−6 )

0 ,002=−4 ,819×10−5 P−4 ,762×10−8 P+2 ,667×10−6 P

P=28 ,927 kN

SOLUCIÓN:

Del bronce: σ=120×106= 3P

250×10−6⇒ PBronce= 18 kN

Del aluminio: σ=80×106= 2P

600×10−6⇒ PAlu min io= 24 kN

Del acero: σ=140×106= 2P

300×10−6⇒ PAcero= 18 kN

De los 4 valores obtenidos escogemos el menor, por lo tanto: P=18 kN

11.- Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura. En B, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C.

SOLUCIÓN:

∑MC=0

D y=25 kN

∑MC=0

Ay ( 4,5 )+T B=50

T B=−3 A y

∑ F y=0

A y+D y+T B=50

A y+25−3 (A y )=50

A y=−12,5 kN ⇒ T B=37 ,5 kN

SOLUCIÓN:

D y (4 )=50 (2 )

δ= P⋅LE⋅A

=37 ,5×103×3200×109×300×10−6

⇒ δ=1 ,875 mm

1,875 mm3m

= y4,5m

⇒ y=2 ,8125 mm

12.- Un bloque prismático de concreto de masa M ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica en la figura. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.

SOLUCIÓN:

∑M A=0

T AL (5 )=M⋅g (3 ) ⇒T aL=35M⋅g

∑ F y=0

δaC+δaL

T aC+LAC

EAC+Aac

=T al+LaL

Eal+Aal

⇒

25M⋅g (3 )

200×10−9⋅AaC

=

35M⋅g (6 )

70×109⋅AaL

∴AaL

AaC

=8 ,571

T AC+T aL=M⋅g ⇒ TAC=25M⋅g

13.- La barra rígida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la figura, esta en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si P=50kN, determine el movimiento vertical de la barra.

SOLUCIÓN:

∑M A=0

∑ F y=0

T ac+T aL=P ⇒ T ac=30 kN

δ A=30×103×3200×109×300×10−6

⇒ δA=1,5 mm

δB=200×103×470×109×500×10−6

⇒ δB=2 ,286 mm

0 ,786 mm5m

= x2m

⇒ x=0 ,314 mm y=1 ,814 mm

14.- Las barras rígidas AB y CD mostradas en la figura están apoyadas mediante pernos en A y en C, y mediante las varillas mostradas. Determine la máxima fuerza P que

T aL (5 )=P (2 ) ⇒ TaL=20 kN

pueda aplicarse como se muestra si el movimiento vertical de las barras esta limitado a 5mm. Desprecie los pesos de todos los miembros.

SOLUCIÓN:

∑MC=0

TDB (6 )=P (3 ) ⇒ TDB=P/ 2

∑M A=0

T aL (3 )=TBD (6 ) ⇒ T aL=2(P2 ) T aL=P

2 x+ y=5 mm δ aL=x δ aL= y

2⋅δaL+δac=0 ,005

2[ P (2 )70×109×500×10−6 ]+[P/ 2 (2 )

200×109×300×10−6 ]=0 ,005

1 ,309×10−1 P=0 ,005 ⇒ P=38 ,182 kN

15.- Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento que le producirá una fuerza P de tensión.

SOLUCIÓN:

xy= DLd

= dLD

⇒ x=D⋅yLD

∧LD

Ld

= Dd

δ=∫Ld

LD PE

⋅dyA

SOLUCIÓN:

De la relación de triángulos:

xy= D

LD

= d

Ld

⇒ x=D⋅y

LD

∧LD

Ld

=Dd

δ=∫Ld

LD PE

¿ dyA

Donde:

A=πx2

4⇒ A=π

4⋅D

2⋅y2

L2

D

Reemplazando:

δ= PE∫Ld

LD dy

π4⋅D

2⋅y2

L2

D

δ=4 P⋅L

2

D

π⋅E⋅D2 ∫Ld

LD y−2 ⇒ δ=4 P⋅L

2

D

π⋅E⋅D2 [−1y ]Ld

LD

δ=4 P⋅L

2

D

π⋅E⋅D2 [LD−Ld

LD−Ld] ⇒ δ=

4 P⋅L2

D

π⋅E⋅D2⋅ L

LD

⇒ δ= 4 P⋅Lπ⋅E⋅D⋅d

16.- Una varilla delgada de longitud L y sección recta constante A, situada en un plano horizontal, experimenta una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos. Llamando ϼ a la densidad y ω a la velocidad angular, demostrar que el alargamiento total de la varilla viene dado por ϼ ω2L3/3E.

∑ F=m ,θR

F=A⋅dx⋅ρ⋅ω2⋅x

F=A⋅ω2⋅ρ⋅x⋅dx

δ=∫0

L F⋅xE⋅A

: dx

δ=∫0

L ( A⋅ω2⋅ρ⋅x⋅dx )E⋅A

x

δ=ω2⋅ρE

∫0

Lx2⋅dx=ω2⋅ρ

E [ x2

3 ]0

L

⇒ δ=ρ⋅ϖ2 L2

3 E

17.- Dos varillas de aluminio AB y BC articuladas en A y C a soportes rígidos, como indica la figura, están unidas en B mediante un pasador y soportan la carga P=20 kN. Si las varillas tienen una sección de 400 mm2 y E= 70X103 MN/m2, determinar las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento horizontal y vertical del punto B. Considérese α=300 y Ѳ=300.

∑ F X=0

BA ( 12 )−(−BA )( 1

2 ) =P ∴ BA=P ∧ BC=−P

18.- Resolver el problema 17 si la varilla AB es de acero de E=200x103 MN/m2, α=450 y Ѳ=300, sin modificar los demás datos.

19.- Una barra de sección circular que varía linealmente desde diámetro D en un extremo hasta otro menor d en el opuesto, se suspende verticalmente de su extremo más ancho. Si la densidad del material es ϼ, determinar el alargamiento debido a su propio peso. Aplicar el resultado a la determinación del alargamiento de un sólido de forma cónica suspendido de su base.