Definición de matrices: Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas. En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Orden de una matriz: Como has visto hasta aquí, las matrices se componen de filas y columnas a las que generalmente se las representan con las letras m y n. La m para las filas y la n para las columnas. El número de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el número de filas por el de columnas: m x n. Al producto m x n llamamos orden de matriz. Cuando decimos que una matriz es de orden 4x5 ya podemos afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas. Te darás cuenta que una matriz de 3x2 es más pequeña que otra matriz de 7x4. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, la dimensión significan lo mismo.

Tipos de matrices:

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

I) Ejercicio de suma de matrices

Sean A= (aij) y B = (bij) dos matrices de orden mxn.  Se define la

matriz suma de A y B como la matriz de orden mxn dada por:

 A + B = ( aij + bij )

 

La suma de matrices, así definida,  es una operación interna en el conjunto de las matrices de oren mxn, Mm,n   ,  verificándose además las siguientes:

Propiedades.  Asociativa,  conmutativa, elemento neutro (la matriz O), y elemento opuesto.

Por tanto el conjunto Mm,n  con + es un grupo aditivo.

Ejercicio multiplicación de matrices

Mm x n x Mn x p = M m x

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejercicio de una por un escalar:

Producto de una matriz por un escalar

Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar.

Sea A=(aij ) i=1,...,n j=1,2,...,m entonces k·A=k·(aij )=(k·aij )