DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás

ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera

una definición consistente y precisa.

Leibniz, que fue el primero que en 1673 usó la palabra "función" para referirse a la relación de dependencia de

dos variables o cantidades, Euler, que le dio su formulación moderna y = f(x), Cauchy, Dirichlet o Gauss, las mejores mentes de la Historia

de la Humanidad le dedicaron su atención y sus desvelos.

El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que acontecen a nuestro alrededor. Así, podemos

nombrar fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectos económicos, como la inflación o la evolución de los

valores bursátiles, con todo tipo de fenómenos físicos, químicos o naturales, como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y la

aceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda de una partícula a escala cuántica, la desintegración de

sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales. Casi todo es susceptible de ser tratado a través del

planteamiento y estudio de una o varias funciones que gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles.

Otra cosa bien distinta y mucho más difícil, es determinar cuáles son las funciones que intervienen en cada proceso en concreto. Esta, en

suma, es la tarea de los científicos: descubrir la dinámica rectora de cada fenómeno y expresarla en términos de una función.

El concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos del siglo XIX, en 1837, Dirichlet formuló la definición de

función como relación entre dos variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos.

Vamos a comenzar el estudio de las funciones dando su definición actualmente aceptada, relativamente moderna para la importancia del

concepto. Para ello, necesitamos conocer primero lo que es una aplicación.

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

Ejemplo 1.-

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

x --------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x2 o f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

Ejemplo 2.-

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X Conjunto Y

Ángela 55

Pedro 88

Manuel 62

Adrián 88

Roberto 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 3.-

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X Conjunto Y Desarrollo

− 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1

− 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1

0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3

1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9

4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo 4.-

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos  dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 5.-

Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

SIMBOLOGÍA PARA REPRESENTAR FUNCIONES

El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x. Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial como F(x), x), x), etc.Durante el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicara una misma ley de dependencia entre una función y su variable. En los casos mas simples, esta ley indica la ejecución de un conjunto de operaciones analíticas con la variable.

Representar una función: f(x)=-3+2x

Representación de funciones racionales:

Funciones trigonométricas : Seno y= se

Coseno y= cos x

Tangente y= tan x

Cosecante y= csc x

Secante y= sec x

Cotangente y= ctg x

DOMINIO, IMAGEN Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dominio de una función : Es el conjunto formado por los

elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable

independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos

en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda

a derecha.

Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes.

Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso

se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".

Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de

abajo a arriba.

El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenes

f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha

función.

La manera más efectiva para determinar el Rango

consiste en graficar la función y ver los valores que

toma “Y” de abajo hacia arriba.

Imagen: En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por:

FUNCIÓN INYECTIVA, FUNCIÓN SUPRAYECTIVA, FUNCIÓN BIYECTIVA.

Inyectiva. Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o

imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.

Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}

Es decir, gráficamente queda:

Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea.

ENTONCES ES INYECTIVA.

Ejemplo 2: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,2)}

(solo se cambio el número indicado en

rojo) Gráficamente queda:

Hay un elemento de B (el número 2)

que

recibe dos flechas o líneas, por lo tanto

NO ES INYECTIVA.

Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son iguales

la función es suprayectiva.

Ejemplo 1: Sean los conjuntos:

A = {1,2,3} y

B = {2,4}

y la función

f = {(1,2), (2,2), (3,4)}

Gráficamente queda:

Al conjunto B = {2,4} se le llama

codominio.

El rango de la función también es I = {2,4}

Como el codominio y el rango son iguales la función es

SUPRAYECTIVA

.

Ejemplo 2: Sean los mismos

conjuntos anteriores PERO con la

función:

f = {(1,2), (2,2), (3,2)} Gráficamente

queda de la siguiente forma:

El codomino B = {2, 4}

El rango o imagen es: I = {2}

Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES

SUPRAYECTIVA

En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la

imagen deben ser todos los reales.

Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiere

que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo : La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y

suprayectiva; por lo tanto es biyectiva.

TIPOS DE FUNCIONES

CRITERIOS PARA DETERMINAR SI UNA RELACION MATEMATICA ES UNA FUNCIÓN O NO LO ES.

DOMINIO: (X) SON LOS VALORES QUE LE DAMOS A LA FUNCIÓN.

CONTRADOMINIO: (F(X)) VALORES QUE NOS DEVUELVE LA FUNCIÓN.

Las siguientes expresiones son funciones.

• f ( x ) = x,

• f ( x ) = 2 x + 1,

• f ( x ) = 2 x + 1,

• f ( x ) = log2 x2 + 1 ,

• f ( x ) = e− x ,

• f ( x ) = x · e x + ln( x ).

Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: «para cada

valor del dominio le corresponde a lo más un valor del contradominio.»

Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función.

Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Las siguientes son relaciones que no son funciones.

• x^2 + y^2 = 4, porque cuando graficamos esta relación, obtenemos una circunferencia. Si x

es elemento del dominio, y y es elemento del contradominio, no se cumple que para todo

elemento del dominio haya a lo más un elemento del contradominio.

Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos el

criterio de la línea vertical.

Criterio de la línea vertical

: Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una función ésta puede ser cortada en dos puntos,

entonces la relación no es una función.

En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar la función con la recta en dos

de sus puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es una función.

Porque si fuera una función, para cada valor de x debería existir a lo más un solo valor de y, pero

en cada caso hay dos valores, por lo que ya no se puede tratar deuna función.

¿QUE ES LA COMPOSICION DE FUNCIONES, Y COMO SE REALIZA?

La composición es una operación entre funciones que se establece de la

siguiente manera:

Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la función

f con la función g , a la función denotada f g ( léase f composición g ),

cuya regla de correspondencia es

(f g)( x)= f [g ( x)]

donde su dominio está representado por el conjunto

Dfg={x|x Dg ; g ( x ) Df }∈ ∈

Para obtener la regla de correspondencia de la función f g , según la definición

anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la

función f .

Así por ejemplo, sean las funciones f ( x ) = 4 x ^2 −1 y g ( x ) = x , entonces,

la regla de la función f g se obtiene mediante la siguiente sustitución

( f g )(x)= f [g √(x)], por lo que

( f g )(x)=f [ x] , entonces

( f g ) ( x ) = 4x −1

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

www.aprendematematicas.org.mx/.../funciones/DGB4_1_...fp.educarex.es/fp/.../gs...matematicas/U6_Funciones.phttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.htmlhttp://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_Bachillerato_LOGSE/Representaci%C3%B3n_de_funciones_elementaleswww.monografias.com/.../dominio-y-rango-funcion/domi..http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_de_una_funci%C3%B3nhttp://html.rincondelvago.com/funciones-matematicas.htmlhttp://www.slideshare.net/agascras/funcion-inyectiva-suprayectiva-y-biyectiva-5975060dcb.fi-c.unam.mx/.../Matematicas/.../Composicion.pdfCalculo Diferencial e integral /William Anthony Granville.Calculo /Edwin J. Purcell.

“INSTITUTO SUPERIOS TECNOLOGICO DE SAN PEDRO”

NOMBRE DE LA MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL.

NO. UNIDAD Y NOMBRE: UNIDAD 2 ,FUNCIONES.

NOMBRE DEL MAESTRO: M.C. MARTIN MENDOZA RODRIGUEZ..

CARRERA: ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES.