En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto y dos operaciones que están relacionadas entre sí mediante la propiedad distributiva, de manera que generalizan la noción de número, especialmente en el sentido de su "operabilidad".

Definición [editar]

Sea A un conjunto. Supongamos que existen dos operaciones binarias definidas +, · sobre A que llamaremos suma y multiplicación. Supongamos que dichas operaciones cumplen con

1. La suma es conmutativa: para todo par de elementos a, b en A

2. En el conjunto A existe un elemento neutro para la suma, que se denota con 0

3. Existencia de inverso aditivo: para cada elemento a en A existe otro elemento − a que cumple

4. La suma es asociativa: para todo trío de elementos a, b, c en A

5. El producto es asociativo: para todo trío de elementos a, b, c en A

6. El producto es distributivo respecto de la suma

7. Elemento neutro para el producto, denotado por 1, con las propiedades

Entonces se dice que la terna forma un anillo1 . Pedir que evita que el anillo sea trivial (conste sólamente del elemento 0). Al elemento 1 también se lo suele llamar unidad multiplicativa.

Cuando una terna , sólo satisface las primeras seis propiedades, se dice que forma un pseudo-anillo. Sin embargo, hay autores que definen los anillos, como aquellos que satisfacen las seis primeras propiedades y a los anillos que cumplen con la séptima propiedad los llaman anillos con unidad.

Si n es un entero mayor que uno, el conjunto de las matrices cuadradas cuyas entradas son números reales, junto con la suma de matrices y el producto de matrices, es un ejemplo de anillo. La matriz nula juega el papel del elemento 0 y la matriz que sólo tiene unos en la diagonal principal y sus otras entradas son nulas, juega el papel del elemento 1 en el anillo.

Centro de un anillo [editar]

Se dice que dos elementos a y b de un anillo conmutan si

El centro de un anillo es el conjunto de elementos a del anillo que conmutan con todo otro elemento del anillo y se lo suele denotar con Z(A). Esto es

La definición también tiene sentido si en todos los lugares donde aparece la palabra anillo se la sustituye por pseudoanillo.

Anillos Conmutativos [editar]

Se dice que un anillo (o pseudoanillo) A es conmutativo si A = Z(A). El ejemplo más sencillo de anillo conmutativo es el conjunto de los números enteros , junto con las operaciones de suma y multiplicación de enteros2 .

Dominio de integridad [editar]

Artículo principal: Dominio de integridad

Supóngase que en un anillo conmutativo, siempre que

entonces se dice que el anillo es un dominio de integridad3 .

El conjunto de los números enteros es un dominio de integridad, no así, el conjunto de funciones reales definidas sobre un intervalo.

Inverso Multiplicativo [editar]

Sea (A, +, .) un anillo. Supongamos que existe un par de elementos a y b en A que cumplen

Se dice que a es el inverso multiplicativo por la izquierda (o simplemente inverso a la izquierda) de b. De manera similar, se dice que b es el inverso multiplicativo por la derecha (o simplemente inverso a la derecha) de a.

Si ocurre que

se dice que a y b son uno inverso del otro. A veces se escribe b = a − 1 para resaltar el hecho de que b es el inverso (multiplicativo) de a.