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    ANILLOS REALES (Tercera y ltima parte)

    ENRIQUE ANDRADE Departamento de Matemticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autnoma de Mxico 04510 Mxico, D. F., Mxico. E-mail: enrosolis@yahoo.com.mx LEN KUSHNER Departamento de Matemticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autnoma de Mxico 04510 Mxico, D. F., Mxico. E-mail: kushner@servidor.unam.mx 1 INTRODUCCIN

    Anillos Reales (tercera parte), es una revisin de los captulos cinco y seis de las notas de T. Y. Lam; An introduction to real algebra dadas como un curso en la Sexta Escuela Latinoamericana de Matemticas en Oaxtepec Morelos en el verano de 1982. En las primeras tres secciones se desarrolla la teora de Artin-Lang para lgebras afines y sus campos de funciones. Se trabaja siempre con campos cerrados reales y sus cerraduras reales; se exponen resultados importantes tales como el teorema de lugares racionales de Lang y los teoremas del homomorfismo y del encaje. En la cuarta seccin se introducen los conceptos y resultados necesarios para establecer la generalizacin del teorema clsico de los ceros de Hilbert (Nullstellensatz clsico) al caso real o teorema de Dubois-Risler (Nullstellensatz real).

    SUMMARY

    Real rings (third part), it is a revision of the chapters five and six of the notes of T. Y. Lam; An introduction to real algebra given as a course in the Sixth Latin American School of Mathematics in Oaxtepec Morelos in the summer of 1982.

    In the first three sections the theory of Artin-Lang is developed for affine algebras and their fields of functions. One always works with real closed fields and their real closure. Such important results are exposed as Lang theorem of rational places and the homomorphism and imbedding theorems. In the fourth section concepts and results are introduced to establish the generalization of the classic theorem of the zeros of Hilbert (Classic Nullstellensatz) to the real case or theorem of Dubois-Risler (Real Nullstellensatz).

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    2 EXTENSIONES DE CAMPOS.

    Se recuerda que un anillo A) es un campo si todo elemento distinto de cero de A es una unidad; y un subconjunto F de un campo K es un subcampo de K si F es un campo con respecto a las operaciones en K. Se dice que un campo K es un campo de extensin de un campo F, lo cual se escribe K:F o que K:F es una extensin de campos si existe un homomorfismo inyectivo :FK. Sea K:F una extensin de campos, K es un elemento algebraico sobre F si f ()=0 para algn polinomio fF[x] distinto de cero. Un elemento K es trascendente sobre F si f()0 para todo polinomio fF[x] no constante. Un campo de extensin K de un campo F es una extensin algebraica sobre F si todo elemento en K es algebraico sobre F. Se dice que un campo K es algebraicamente cerrado si K no tiene extensiones algebraicas propias o equivalentemente si toda extensin algebraica L de K satisface que L=K. Una extensin K:F es finita de grado n sobre F si K como espacio vectorial sobre F es de dimensin finita n. Se denota esta dimensin con el smbolo [K:F] y se denomina grado de K sobre F. Se observa que toda extensin finita K:F de campos es algebraica. En efecto, si K \ F es arbitrario y [K:F]=n con n, entonces 1, , 2 , , n no son elementos linealmente independientes; de modo que existen elementos a0, a1 , , anF no todos cero tal que a0+a1+"+ann=0. Entonces f=a0+a1x+"+anxn es un polinomio distinto de cero en F[x] y f ()=0; luego, es algebraico sobre F. F es un campo intermedio entre los campos K y k si K:F y F:k son extensiones de campos. Si K es un campo y un subconjunto de K, entonces el subcampo de K generado por es la interseccin de todos los subcampos de K que contienen a . Sea K:F una extensin de campos y un subconjunto de K. Se denota por F() el subcampo de K generado por F. F() es el subcampo ms pequeo de K que contiene a F y . F() es la interseccin de todos los subcampos de K que contienen a F y . F() es un campo intermedio entre K y F, es decir, es un campo de extensin del campo F. Si ={t1 , , tn}, se escribe F(t1 , , tn) y es el campo generado sobre F por t1 , , tn, o el campo obtenido por adjuncin de t1 , , tn a F. Tambin se dice que F(t1 , , tn) es el campo de cocientes del dominio entero F[t1 , , tn] o campo de funciones racionales. En el caso particular en que ={}, se dice que K:F es una extensin simple de campos si K=F(), es decir, K se obtiene adjuntando uno de sus elementos a F. La extensin K:F es finitamente generada si K=F(t1 , , tn) para algunos elementos t1 , , tnK. Una extensin finitamente generada no necesariamente es finita. Cuando se habla de una extensin de campos K:F, es usual utilizar el siguiente diagrama en el que la letra F se coloca en un nivel ms bajo que la letra K para indicar que F est contenido en K.

    ) Como en los captulos anteriores, aqu anillo significa anillo conmutativo con unitario.

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    K

    F

    Una cadena de campos FF1F2"Fn-1FnFn+1"K se denomina torre y cada subextensin Fn:Fn-1 un piso de la torre. De particular inters son las torres con un nmero finito de pisos. PROPOSICIN 2.1. Sea kFK una torre de campos. Si A y B son bases para las extensiones K:F y F:k respectivamente, entonces AB={ab| aA, bB} es una base para la extensin K:k y [K:k]=[F:k][K:F]. En consecuencia, K:k es finita si y slo si K:F y F:k son finitas. DEMOSTRACIN Sea xK, entonces x=ai yi para un nmero finito de ndices i, con yiF y aiA. Tambin se tiene que yi=zij bj, donde zijk y bjB. Luego x=zij ai bj lo cual muestra que K es generado sobre k por AB. Ahora supngase que zij ai bj=0 con zijk, aiA y bjB. Si zij bj=ci, entonces ci ai=0, con ciF. Como los bj son linealmente independientes sobre k, se sigue que ci=0 para toda i luego zij=0 ya que las ai son linealmente independientes en F. Como una consecuencia de esta proposicin, se tiene COROLARIO 2.2. Si F1F2"Fn es una torre de campos y Fi+1:Fi es una extensin (finita) para cada i=1, 2,, n, entonces Fn:F1 es una extensin (finita) y

    [Fn:F1]=[Fn:Fn-1][Fn-1:Fn-2]" [F2:F1].

    DEMOSTRACIN Se obtiene directamente de 2.1., por induccin. Un polinomio no constante fF[x] es irreducible sobre F si f no puede expresarse como producto de dos polinomios en F[x] de grado menor que el grado de f. Esto es, para cualquier factorizacin f=gh en F[x], g o h es una unidad en F[x] ). Se recuerda que un ideal I de un anillo A es un ideal principal de A si I es generado por un elemento en A, es decir, I= para alguna aA, y A es un dominio de ideales principales si todo ideal de A es principal. PROPOSICIN 2.3. Si F es un campo, entonces F[x] es un dominio de ideales principales. DEMOSTRACIN Sea I un ideal de F[x]. Si I={0}, entonces I=. Supngase que I{0} y sea gI un ) Las unidades en F[x] son los elementos distintos de cero de F.

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    elemento distinto de cero de grado mnimo. Si g tiene grado cero, se sigue que gF y es una unidad; luego, I==F[x] e I es un ideal principal. Si g tiene grado 1, entonces tomando un elemento arbitrario fI, por el algoritmo de la divisin, existen polinomios q, r en F[x] tal que f=qg+r, donde grad(r)< grad(g). Como f, gI, se tiene que f-qg=rI y dado que g es un polinomio no cero de grado mnimo en I, se sigue que r=0, luego f=qg, esto es, I=. Los polinomios irreducibles en el anillo de polinomios F[x] estn estrechamente relacionados con los ideales maximales en F[x], es decir, PROPOSICIN 2.4. Sea F[x] el anillo de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en un campo F. Entonces un ideal < f >{0} con fF[x] es maximal si y slo si f es irreducible sobre F. DEMOSTRACIN () Sea un ideal maximal de F[x] que no es el ideal cero, entonces < f>F[x] y fF. Sea f=gh una factorizacin de f en F[x], entonces gh implica que g< f > o h, esto es, g o h tienen a f como un factor comn. Es decir, los grados de los polinomios g y h no pueden ser menores que el grado de f. Por lo tanto, f es irreducible sobre F. () Sea fF[x] un polinomio irreducible sobre F y supngase que I es un ideal en F[x] tal que IF[x]. Por la proposicin 2.3., existe un polinomio gF[x] tal que I=, luego f lo que significa que f=gh para algn polinomio hF[x]. Como f es irreducible, se tiene que g o h es de grado cero. Si g es una constante en F[x] distinta de cero, entonces g es una unidad en F[x] y =I=F[x]. Si h es de grado cero, entonces h(x)= con F y g=-1f est en ; as, I=< f >. Por lo tanto, IF[x] lo cual no puede ser posible. Luego < f > es maximal. Un resultado ms general establece que si un anillo A es un dominio de ideales principales, entonces todo ideal primo es maximal y recprocamente.

    Sea K:F una extensin de campos, K un elemento arbitrario y :F[x] K; a0+a1x+"+anxn 6a0+a1+"+ann con (x)= y (a)=a para cada aF ( transforma isomorficamente a F va la funcin identidad) el homomorfismo de evaluacin en , entonces se tiene el siguiente TEOREMA 2.5. Sea K:F una extensin de campos y K un elemento algebraico sobre F. Entonces existe un polinomio irreducible fF[x] con f()=0. f est determinado de forma nica salvo un factor constante en F, y es un polinomio de grado mnimo 1 en F[x]. Adems, si g()=0 para algn polinomio gF[x] con g0, entonces f divide a g. DEMOSTRACIN Sea :F[x] K el homomorfismo de evaluacin; su ncleo Ker()= para algn polinomio fF[x]. Si gKer() con g0, entonces g y f divide a g (ya que por

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    el algoritmo de la divisin, g=qf +r con q, rF[x] donde ya sea r=0 o grad(r)= F[x]/Ker()Im()=F[]. Como F[] es un dominio entero, el ideal < f > es primo en F[x]; esto significa que f es irreducible en F. Por 2.4., se sigue que < f > es maximal; de esta forma F[x] /< f > es un campo. Como F() es el campo ms pequeo que contiene a F y , y dado que F[x] /< f >=F[]F(), se sigue que F[]=F(). Por otro lad