Deduccin en laLgica de PredicadosRoberto Moriyn

RazonamientoRecordatorio: El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en deducir las consecuencias de un conjunto de axiomas.Las reglas de deduccin del Clculo de Predicados permiten deducir a partir de un conjunto de axiomas cualquier consecuencia de ellos.

Ejemplo de deduccinAxiomas:Todas las personas andanTodo objeto que anda se mueveJuan no se mueveDemostrar que Juan no es una persona.Posible formalizacin con proposiciones:Demostrar ~Persona Juan sabiendo que x,(Persona xAnda x),x,(Anda xMueve x) y ~Mueve Juan

Ejemplo de deduccin, IIUtilizando las iniciales:Los smbolos de predicados unarios P, A y M representan las condiciones ser una persona, andar y moverse respectivamente.El smbolo de constante J representa a Juan.Axiomas:A = {x,(PxAx); x,(AxMx) ; ~MJ }

Lenguaje lgicoUn lenguaje lgico est formado por una coleccin de smbolos de variables, constantes, funciones y predicados.En este curso supondremos que hay al menos una constante, lo que implica que el conjunto de valores posibles de las variables no es vaco.Esta hiptesis se puede evitar, pero con demostraciones ms complicadas.

Lenguaje lgico, IIEn el ejemplo anterior hay una constante, J, y tres predicados unarios (P, A y M).Un lenguaje lgico determina dos lenguajes asociados: trminos y frmulas.En el ejemplo anterior hay un solo trmino, J, e infinitas frmulas como las que se han mostrado como axiomas.

Lenguaje lgico, IIIOtro ejemplo:Constantes: 0.Funciones: f (unaria).Predicados: = (binario infijo).Trminos: ffff0, ffffx, etc.Predicados: f0=ff0, x,fx=0, etc.

Lenguaje Lgico, IVLenguaje de la Aritmtica:Constantes: 0.Funciones: S (siguiente, unaria), + (suma, binaria infija) y * (producto, binaria infija).Predicado: = (binario infijo).Trminos: SS0+S(x*y) etc.Tambin abreviadamente: 2+(x*y+1), etc.Frmulas: x,y,~y+Sx=0, etc.

Lenguaje Lgico, VLenguaje de la Semitica:Constantes: 0 (cadena vaca).Funciones: S (anteposicin, unaria) y + (concatenacin, binaria).Predicado: = (binario infijo)Trminos: SaSb0+Sa(x+y), etc.Tambin abreviadamente: ab+Sa(x+y), etc.Frmulas: x,y,~y+Sx=0, etc.

Ejemplo de deduccin, IIIRecordamos nuestro ejemplo inicial:Predicados unarios: P (es persona), A (anda) y M (se mueve).Constante: J (Juan).Axiomas: x,(PxAx); x,(AxMx) ; ~MJ.

Ejemplo de deduccin, IVDex,(PxAx) se deduce PJAJDe lo anterior se deduce ~AJ~PJ[*]De x,(AxMx) se deduce AJMJDe lo anterior se deduce ~MJ~AJPor el modus ponens, de lo anterior y ~MJ se deduce ~AP.Por el modus ponens, de lo anterior y [*] se deduce ~PJ.

Ejemplo de deduccin, VLa deduccin anterior se escribe habitualmente como sigue:x,(AxUx)[Axioma]APUP[R. de especificacin]~UP~AP[R. implicacin contrarr.]~UP[Axioma]~AP[Modus Ponens]

Ejemplo de deduccin, Vx,(MxAx)[Axioma]MPAP[R. de especificacin]~AP ~MP[R. implicacin contrarr.]~MP[Modus Ponens]

La nica regla nueva en el ejemplo anterior es la de especificacin.

Lgica de predicados:Reglas de deduccinTodas las de la lgica proposicional, sustituyendo sus tomos por los de la lgica de predicados (con una limitacin en la regla de deduccin de implicaciones que se describir enseguida).

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, IISi permitiramos lenguajes lgicos sin constantes habra que restringir la utilizacin del modus ponens para no permitir deducciones comox=x, x=x y,y=y y,y=y

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, IIIRegla de especificacinEjemplo: a,~Sa=0 ~S(c+SS0)=0- , [: Cualquier variable]- , /[: Cualquier variable][: Trmino todas cuyas variables son nuevas]Sin la restriccin anterior, habra deducciones falsas como a,b,b=Sa b,b=Sb

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, IV

Regla de generalizacin:Ejemplo:(~x=0 y,x+x=SSy) x, (~x=0 y,x+x=SSy)- ,[: Cualquier variable no ligada en ].Significado: Las variables libres pueden tener valor arbitrario.

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, VLimitacin en la regla de deduccin de implicaciones (, ):La deduccin de partida (, ) no puede incluir ninguna generalizacin sobre ninguna variable libre de .Consecuencia: en una deduccin auxiliar, no equivalen una frmula y x,. Se puede aplicar especificacin a la ltima, pero no generalizacin a la primera.

Deduccin de implicacin a partir de inferenciaSi se permitieran generalizaciones en las deducciones que dan lugar a implicaciones, se podran hacer deducciones falsas como la siguiente:Deduccin auxiliar:a=0 a,a=0[Generalizacin] Sa=0 [Especificacin]Frmula deducida: a=0 Sa=0

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, VIRegla de intercambio:Ejemplo: a,~Sa=0 ~a,Sa=0- A,~B A~,B[: variable]Observaciones:x,~ ~x,

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, VIIComentario a la regla de intercambio:,~ ~,Se pueden aadir las reglasA,~B A~,B

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, VIIIRegla de existencia:Ejemplos:a) a,~Sa=0 b,a,~Sa=bb) a,~Sa=0 ^ a,~SSa=0 b, (a,~Sa=b ^ a,~SSa=0)- ,//[: Trmino en ]

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, IXRegla de mbito:Ejemplo:y,(SSy=Sy+S0 vz,Sz=0) (y, SSy=Sy+S0) v z,~Sz=0- ,(v) (,)v[ no libre en ]- ,(^) (,)^[ no libre en ]

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, XComentario a la regla de mbito: Las siguientes deducciones son correctas bajo la hiptesis de existencia de constantes:- ,(^) (,)^- (,)v ,(v)[ no libre en ](pero no en general: las partes derechas pueden ser falsas si el dominio es vaco aunque las partes izquierdas sean ciertas)

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, XIComentario a la regla de mbito: Las siguientes deducciones son correctas en general:- (,)^ ,(^)- ,(v) (,)v[ no libre en ]La demostracin se dar ms adelante. Podemos aceptar cuatro reglas de deduc-cin correspondientes a estas deducciones.

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, XIIReglas para la igualdad:R. fundamental: =R. de simetra:= =de Transitividad:=, = =R. de Sustitucin:=, //[, , : Trminos]

Lgica de predicados:Reglas de deduccin, XIIILas tres primeras reglas de la igualdad se pueden reescribir de manera natural como axiomas (son la idempotencia, simetra y transitividad de la igualdad).En general, todo el sistema de reglas se puede sustituir por un conjunto de axiomas junto con una sola regla: el modus ponens.

Ejemplo de deduccin, VIAxiomas:A todos los gatos les gusta el pescadoTodos los gatos comen todo lo que les gustaZiggy es un gatoDemostrar que Ziggy come pescado

Ejemplo de deduccin, VIIConstantes:Ziggy zPescado pPredicados:x es un gato g xA y le gusta z t y zu come w c u w

Ejemplo de deduccin, VIIIx, g x t x p[Axioma]x, y, g x ^ t x y c x y[Axioma]g z[Axioma]g z t z p[Espec. 1]t z p[Modus pon.]g z ^ t z p[3, 5]y, g z ^ t z y c z y[Espec. 2]g z ^ t z p c z p[Espec.]c z p[Modus pon.]

Ejercicio obligatorio[PESC] Deducir que algn lenguado es un desgraciado a partir de los siguientes axiomas:Todo tiburn se come un lenguadoTodo pez grande y blanco es un tiburnAlgunos peces grandes blancos viven en aguas profundasTodo lenguado comido por un pez que vive en aguas profundas es desgraciado

Universalidad delClculo de PredicadosLa ltima demostracin es vlida independientemente del dominio. Podra ser, por ejemplo, una demostracin acerca de nmeros y funciones, alcachofas y caballos o puntos y rectas.Esto es cierto en todas las deducciones formales basadas en el Clculo de Predicados.Las personas razonamos en base a unas reglas lgicas fijas, pero guiamos nuestro razonamiento en base a nuestro conocimiento del modelo que tenemos en mente.

Ejemplo de deduccin, IXx,(F G) (x,F) (x,G)

x,(F G) (x,F) Gy/xF Gy,((~x,F)vGy/x)[x,Fy,(Gy/xv(~x,F))F(y,Gy/x)v(~x,F)G(~x,F)v(y,Gy/x)Gy/x](x,F) (y,Gy/x)

Ejemplo de deduccin, Xx,(F G) (x,F) (x,G)

x,(F G) x,~G~Fy/xF G(x,G)v(~Fy/x)~G ~F(~Fy/x)v(x,G)[x,~Gy,((~Fy/x)v(x,G))~G(y,~Fy/x)v(x,G)~F(y,Fy/x)(x,G)~Fy/x]

Ejemplo de deduccin, XIx, ; ( ) x,Demostracin:x,(x,~)~ x,((x,~)~)[x, ~(x,~)x,~~(x,) x,~~x,~]

Ejemplo de deduccin, XII,(FvG) (,F)vG[ no libre en G]Demostracin:[~G[(FvG)^~GFvG~G~GFF]

Ejemplo de deduccin, XIII((FvG)^~G) Fx,((FvG)^~G) x,F[VISTO EN CLASE]((x,FvG)^~G)x,((FvG)^~G)[REGLA DE AMBITO][(x,FvG)^~Gx,((FvG)^~G)[MODUS PONENS]x,((FvG)^~G) x,Fx,F][MODUS PONENS]

Ejemplo de deduccin, XIV(x,(FvG))^~Gx,F(x,(FvG))^~Gx,F][MODUS PONENS]~Gx,F(x,F)vGUFFFF!!!

Ejemplo de deduccin, XVx,F, x,G x,FDemostracin:[x,~F[[Reduccin al absurdo]] ~FFF^~F](x,~F) F^~F(x,~F) (x, F^~F)[General. y mbito]

Ejemplo de deduccin, XVI(x,Fv~F) (x,F)Fv~FG (Fv~F)x,G x,(Fv~F)[VISTO EN CLASE]x,G[AXIOMA]x,(Fv~F)x,F[MODUS PONENS]

Ejercicios obligatorios[LOB] Se supone que en la lobera hay lobos, que son carnvoros, y hombres, que pueden ser carnvoros o hervboros. Tambin se supone que los carnvoros no comen lechuga y que Tom, que est en la lobera, la come. Demostrar que Tom es un hombre.[ARD] Resolver el ejercicio anterior suponiendo que en la lobera tambin puede haber ardillas, que son hervboras, y que los hombres tambin pueden ser omnboros, as como que los herv-boros no comen carne, que los omnboros comen carne y lechuga y que Tom come carne y lechuga. Es innecesaria alguna de las hiptesis?

Ejercicios opcionales[TAUT] Demostrar que las siguientes frmulas lgicas son tautologas:(x,y,P x y) (y,z,(P 0 y ^ P y z)(P (Q^R)) ((P Q) ^ (P R))((P Q) ^ (P R)) (P (Q^R))((x, R x v Q x) ^ x,~R x) x,Q x

Interpretacin: Definicin formalRecordatorio: En los sistemas formales que hemos estudiado una interpretacin asigna objetos de un conjunto a partes de la palabra de partida.En la Lgica de Predicados una interpretacin asigna objetos de un conjunto a los trminos y afirmaciones acerca de esos objetos a los predicados.El conjunto de objetos asociado a una interpretacin se llama su dominio (puede ser vaco).

Interpretacin:Definicin formal, IIUna interpretacin I de un lenguaje lgico consiste en un conjunto D (su dominio) y:Para cada variable , un elemento de D, I.Para cada constante c, un elemento de D, cI.Para cada smbolo de funcin n-aria f, una funcinfI: DxDxxD D.Para cada smbolo de predicado n-ario P, un subconjunto PI DxDxxD.

Interpretacin:Definicin formal, IIIEn la definicin anterior las operaciones se consideran funciones binarias.La interpretacin de los smbolos de un lenguaje formal se extiende a todos los trminos y todas las frmulas del lenguaje:Los trminos se interpretan como elementos del dominio. Si un trmino tiene la formaf(1, , n), su interpretacin es fI(1I, , nI).Las frmulas se interpretan como booleanos.

Interpretacin:Definicin formal, IVLas frmulas se interpretan Si una frmula tiene la forma P(1, , n), su interpretacin es (1I, , nI) PI.Las frmulas compuestas se interpretan como en el clculo de proposiciones. Por ejemplo, F^G se interpreta como FI^GI.Las frmulas con cuantificador se interpretan como sigue:x,F es cierta si xD,FI.x,F es cierta si xD,FI.

Teorema de coherencia delClculo de PredicadosSi una frmula F se deduce a partir de un conjunto de frmulas A, es consecuencia de dicho conjunto de frmulas.Demostracin:Es consecuencia de que en cada regla de deduccin, si todas frmulas de su cabecera son ciertas en una interpretacin, su cuerpo tambin es cierto.

Teoras lgicasDeduccin como sistema formalUna teora lgica est formada por un lenguaje lgico, un clculo lgico (sistema formal) y un conjunto de axiomas, que son frmulas cerradas. Las frmulas deducidas de los axiomas se denominan teoremas.El conjunto de axiomas de una teora lgica puede ser infinito, pero tiene que ser recursivo.

Deduccin y consecuenciaEn una teora lgica basada en el Clculo de Predicados, dada cualquier deduccin que utilice los axiomas Ai para demostrar un teorema T, la frmula A1^A2^^AN T es una tautologa.Demostracin:Es consecuencia del teorema de coherencia para el Clculo de Predicados.

ModelosUn modelo es una interpretacin de una teora lgica en la que todos los axiomas son ciertos (y por lo tanto los teoremas tambin).Ejemplo: En una lgica con un slo smbolo de funcin f y un nico axioma,A = { x,y,f x = f y x = y },cualquier conjunto D con una aplicacin inyectiva f:DD es un modelo.

Ejercicios obligatoriosDar modelos para los siguientes conjuntos de axiomas suponiendo que el lenguaje lgico que se considera no tiene constantes:[MOD1] { x,y,x=y }[MOD2] { x,x=x }[MOD3] { x,~x=x }[MOD4] { x,~x=x }[MOD5] { x,y,x=y }[MOD6] { y,x,x=y }[MOD7] { x,y,(~x=y ^ z,(x=z v y=z)) }

Lgica de predicados con un modelo numrico: Axiomasx,~Sx=0x,0+x=xx,y,Sx+y=S(x+y)x,x.0=0x,y,x.Sy=(x.y)+xx,y,(Sx=Sy x=y)Nota: x,y,(x=y Sx=Sy) es un teorema, consecuencia de la regla genrica de sustitucin.

Lgica de predicados con modelo numrico: Axiomas, IIInduccin (conjunto infinito de axiomas)Ejemplo:0+0=0 ^ x,(x+0=xSx+0=Sx) x,(x+0=x)- 0/, ,( S/) , [F: Frmula; V: Variable]Es un conjunto infinito (recursivo) de axiomas, que se pueden utilizar como reglas de deduccin.

Utilizacin de induccin para demostrar un teoremaPara demostrar en la lgica de predicados con modelo numrico un teorema de la forma x,F mediante induccin, hay que demostrar dos cosas:A F0/xA x,(FFSx/x)Una vez demostrado lo anterior, se tiene que AF0/x^x,(FFSx/x), y por la regla del modus ponens y el axioma de eleccin para la frmula F, Ax,F.

Ejemplo sencillo de demostracin por induccin sobre nmerosQueremos demostrar por induccin que x,(x+0=x) . Tenemos que ver que:0+0=0x,(x+0=xSx+0=Sx)Lo primero es un axiomaLo segundo se demuestra mediante la regla de deduccin de implicaciones

Ejemplo sencillo de demostracin por induccin sobre nmeros, II x, (x+0=xSx+0=Sx)0+0=0 0+0=0 ^x,y,Sx+y=S(x+y) (x, (x+0=xSx+0=Sx))y,Sx+y=S(x+y) (0+0=0 ^Sx+0=S(x+0) x,(x+0=xSx+0=Sx))[x+0=x x,(x+0=x)Sx+0=Sx] x,(x+0=x)x+0=xSx+0=Sx

Modelo numricoLa interpretacin(D =, 00, SS, ++, ..)es un modelo de la teora lgica anterior.Hay ms modelos: D = x {0} Z x Q+, conS(x, y) = (Sx, y)(x, y) + (p, q) = (x+p, y+q)(n, 0) . (x, p/q) = (x, p/q) . (n, 0) = (x.n, n.p/q)(x, p/q) . (y, r/s) = (x.y, p.r/(q.s))

Lgica de predicados con modelo numrico: Ejemplo de deduccinTeorema: S0+S0=SS01 x,y,Sx+y=S(x+y)[Ax. 3]2y,S0+y=S(0+y)[Espec. x 0]3S0+S0=S(0+S0)[Espec. y S0]4x,(0+x)=x[Ax. 2]5(0+S0)=S0[Espec. a S0]6S(0+S0)=SS0[Adicin suces.]7(S0+S0)=SS0[Transitiv (3, 6)]

Ejemplo de demostracin numrica por induccinx,y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)Caso x=0:Partimos del teorema vistoS0+S0=SS0x,~Sx=0[Axioma 1]~S0=0[Espec, x0]~S0=0 ^ S0+S0=SS0[Agrup. Conj.]~S0=0 ^ ~S0=0 ^ S0+S0=SS0[Agrup. Conj.]z,(~S0=0 ^ ~z=0 ^ S0+z=SS0)[Existencia]y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^ y+z=SS0)[Existencia]

Ejemplo de demostracin numrica por induccin, IIPaso de induccin:y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx) u,w,(~u=0^~w=0^u+w=SSSx)[~y=0^~z=0^y+z=SSx~y=0^~z=0y+z=SSxSy+z=SSSx [Modus ponens]~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx](~y=0^~z=0^y+z=SSx)(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx) [D.I.I.]z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)z,(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx) [Ej.V]y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)y,z,(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx)x,y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx) [Induccin]

Ejemplo: Demostracin ms sencillax,y,Sx+y=S(x+y) ~Sx=0y,S0+y=S(0+y) ~S0=0 ^ ~Sx=0 ^S0+Sx=S(0+Sx) S0+Sx=SSxx,0+x=x z,(~S0=0 ^ ~z=0 ^0+Sx=Sx S0+z=SSx)S0+Sx=SSx y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^x,~Sx=0 y+z=SSx)~S0=0 x, y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^y+z=SSX)

Ejercicios opcionales[NUM1] Demostrar las siguientes afirmaciones:~S0+SS0=S(S0+0)+SSS(S0+S0)6 es un nmero par2 no es el cuadrado de ningn nmero25 es la suma de dos cuadradosHay nmeros impares que no son el cuadrado de otro nmeroSi t1 y t2 son trminos cerrados de la lgica de la aritmtica, o bien t1=t2 es un teorema o ~t1=t2 es un teorema.

Ejercicios opcionales[NUM2] Demostrar las siguientes afirmaciones:Si un nmero es mayor que otro no nulo, hay un mltiplo de ste que es mayor que el primeroNo todos los nmeros son iguales a 4Ningn nmero, salvo el 0 y el 1, es igual a su cuadrado.Dos nmeros distintos tienen siguientes distintos.No todo nmero x es una potencia de 2.

Ejercicios obligatorios[NUM3] Demostrar cada una de las siguientes frmulas, o su negacin:~x,y,(SSO.y)=xx,y,~(SSO.y)=xx,~y,(SSO.x)=yx,y,~(SSO.x)=y

Ejercicios obligatorios[IND] Demostrar por induccin las siguientes afirmaciones:- Todo nmero distinto de cero es el siguiente a otro nmero- El producto de nmeros naturales es distributivo con respecto a la suma- Todo mltiplo de cuatro es un mltiplo de dos

Ejercicios opcionales[PRDEDN] Escribir un programa que hace deducciones lgicas sobre predicados numricos a partir de un conjunto de axiomas.[PRDEDNUS] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lgicas sobre nmeros a partir de un conjunto de axiomas.

Lgica de predicados con modelo numrico: ObservacinLa afirmacin[T]~z=0~z=x.x.x+y.y.yes un caso particular del Teorema de Fermat, y por lo tanto es un teorema.Sin embargo, entre los siglos X y XVIII no se saba si era un teorema o no. Nadie dudaba entonces que o bien era un teorema o su negacin lo era. Sin embargo, no era imposible que ni [T] ni su negacin fueran teoremas. Los matemticos generalmente hacen este tipo de suposiciones.

Lgica de predicados con modelo de cadenas: Axiomasx,~Sx=0[]x,0+x=xx,y,Sx+y=S(x+y)[]Sx=Sy x=y[] (elimin.)~Sx=Sx[,, ]Nota: x,y,(x=y Sx=Sy) es un teorema, consecuencia de la regla genrica de sustitucin.

Lgica de predicados con modelo de cadenas: Axiomas, IIInduccinEjemplo: F x,y,z,(x+y)+z=x+(y+z)(y,z,(0+y)+z=0+(y+z) ^(x,(y,z,(x+y)+z=x+(y+z) y,z,(Sx+y)+z= Sx+(y+z))) x,y,z,(x+y)+z=x+(y+z)Axioma:F0/V, V, [] V,FEs un conjunto infinito de axiomas que se pueden utilizar como reglas de deduccin.

Ejemplo sencillo de demostracin por induccin sobre cadenas0+y=y[Axioma de induccin]y+z=y+zx,y,z,(x+y)+z=x+(y+z)(0+y)+z=y+z0+(y+z)=y+z(0+y)+z=0+(y+z)[x+(y+z)=(x+y)+zSx+(y+z)=S(x+(y+z))Sx+(y+z)=(Sx+y)+z](0+y)+z=0+(y+z) ^ x+(y+z)=(x+y)+zSx+(y+z)=(Sx+y)+z)

Modelo de cadenasLa interpretacin(D=*, 00, SS, ++)es un modelo de la teora lgica anterior.

Lgica de predicados con modelo de cadenas: Ejemplo de predicadosinCorchete 0C,sinCorchete CsinCorchete SC[, ] . [, ].Definicin sin utilizar un smbolo nuevo:x,y,((C=x+y ^ ~y=0)z,(y=Saz v y=Sbz))

Ejercicios obligatoriosDemostrar las siguientes afirmaciones:[STR1] Si dos palabras tienen descomposiciones idnticas como concatenacin de otras dos, son iguales[STR2] Si dos palabras tienen descomposiciones diferentes como concatenacin de otras dos, no tienen por qu ser iguales[STR3] La palabra 101010 no es la concatenacin de otra palabra consigo misma

Ejercicios opcionalesDemostrar cada una de las siguientes afirmaciones o su negacin:[STR4] ~x,y,(SaSbO+y)=x[STR5] x,y,~(SaSbO+y)=x[STR6] ~x,y,(SaSbO+x)=y[STR7] x,~y,(SaSbO+x)=y[STR8] x,y,~(SaSbO+x)=y

Ejercicios opcionales[LENGTH] Se define la longitud de una cadena de caracteres mediante la funcin L tal queL0 = 0 ^ LSaw=Saw ^ LSbw=Saw.Demostrar quex,y,u,v,(Lx=u^Ly=vL(x+y)=u+v)[MENOR] Definir el predicado < sobre cadenas, que significa que la segunda cadena contiene a la primera al comienzo, y demostrar quex,y,u,v,L(x,u)^L(y,v)^x

Ejercicios opcionales[PRDEDCH] Escribir un programa que hace deducciones lgicas sobre predicados sobre cadenas a partir de un conjunto de axiomas.[PRDEDCHUS] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lgicas sobre cadenas a partir de un conjunto de axiomas.

Teora de conjuntos: Axiomas de Zermelo Fraenkel (ZF)Extensionalidad (mismos elementos igualdad)

Regularidad

Especificacin [: Frmula] ({xy|})

Emparejamiento ({x,y})

Unin ({y|yx})

Teora de conjuntos: Axiomas de Zermelo Fraenkel (ZF), IIReemplazamiento (imagen de funcin)

Infinito [: y,~(yx). S(y): y{y}, xz(x=y)v(xy)]

Potencia [zx: yzyx] ({y|yx})

Eleccin [well-orders: ]

Teora de conjuntos: Axiomas de Zermelo Fraenkel (ZF), IIReemplazamiento (imagen de funcin)

Infinito [: y,~(yx). S(y): y{y}, xz(x=y)v(xy)]

Potencia [zx: yzyx] ({y|yx})

Eleccin [well-orders: ]

Ejemplo de teorema de la teora de conjuntosX, X { y | yy }[y,(yx~yy)xx^~xxxx~xx~y,(yx~yy)]~xx v ~xx (y,(yx~yy)) ~xx ~y,(yx~yy)~xxxx ~y,(yx~yy) vxx v xx ~y,(yx~yy)xx ~y,(yx~yy)

Teora lgica de Zermelo-Fraenkel: IncompletitudLa afirmacin(x,xyz,zx)(u,x,xyz,zx^zu)se conoce como axioma de eleccin.En la segunda mitad del siglo XX, Paul Cohen demostr que el axioma de eleccin es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.Ello se debe a que en algunos modelos de la teora es cierto y en otros no.

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