7/24/2019 Deber 1 Tercer Parcial

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1

0.0.1. Tarea

1.

Considere una solucin en serie de potencias alrededor del cero. Encuentre una relacinde recurrencia para los coeficientes y escriba los primeros cinco trminos distintos de cerodel desarrollo

en serie de potencias alrededor de cero de dos soluciones linealmenteindependien- tes:a) yrr + (1 x)y

r+ 2xy = 0;

b) yrr +x2yr + (x2 1)y = 0;

c) yrr 4y

r+xy = 4 + 6x.

2.Encuentre los primeros cinco trminos distintos de cero de la serie de Maclaurin de lasolucin general de la ecuacin diferencial. Encuentre la relacin de recurrencia para loscoe- ficientes de la solucin en serie:

a) yrr + 2yrCosx =x;b) y

rr 2y

rTanx +y = 0;

c) yrr yr+ySen2x = 1 +x;

3.Resuelva la ecuacin de Airy: yrr = xy.

1.1.2. Tarea

1.Encuentre todos los puntos singulares de la ecuacin diferencial y clasifquelos comoregu- lar o irregular:

a) x2(x 3)2yrr + 4x(x2 x 6)yr + (x2 x 2)y =0;b) (x3 2x2 7x 4)yrr 2(x2 + 1)yr + (5x2 2x)y = 0;c) x2(x 2)yrr + (5x 7)yr + 2(3 +5x2)y = 0.

2.a) Muestre que cero es un punto singular regular de la ecuacin diferencial;b) encuen-tre y resuelva la ecuacin indicial;c) determine la relacin de recurrencia;d) use lasraces de la ecuacin indicial y la relacin de recurrencia para encontrar los primeros seistrminos no nulos de dos soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencialvlidas en algn intervalo alrededor de cero, excepto posiblemente en cero:a) 16x

2yrr 4x

2yr + 3y = 0;

b) 2x2

yrr

+x(2x + 1)yr

(2x2

+ 1)y = 0;c) 2x

2yrr x(5 + 3x

2)yr + (5 + 9x)y = 0;

3.La ecuacin

diferencial

x(1 x)yrr

+ [c (1 + a + b)x]yr aby = 0

se llama ecuacin hipergeomtrica;a,bycson constantes.a) Muestre que cero es un punto singular regular de la ecuacin hipergeomtrica.b) Suponiendo quecno es entero, use el mtodo de Frobenius para obtener los primeros seis

trminos no nulos de dos soluciones linealmente independientes alrededor de cero.

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0.0.3. Tarea

1.a) Muestre que cero es un punto singular regular de la ecuacin diferencial; b) encuen-tre y resuelva la ecuacin indicial; c) encuentre dos soluciones linealmenteindependientes parax en algn intervalo(0; R). Estos problemas incluyen los tres casosdel teorema. En c) escriba al menos cuatro trminos no nulos de cada una de las seriessolucin:a) x

2yrr +x(x 2)y

r+ (x

2+ 2)y = 0;

b) 3x2yrr + (6x

2 7x)y

r+ 3(1 +x

3)y = 0;

c) 4x2y

rr 2x(x + 2)y

r+ (x + 3)y = 0;

d) x2y

rr+xy

r+ (x

2 4)y = 0.

1.1.4. Tarea

1.Utilice la tabla, el teorema correspondiente y, posiblemente, la integracin defunciones,parahallarL[f](s):a) Cost Sent;

b) 2t2e3t

4t + 1;

c) 3Cos2t + 5Sen4t;

d) 4Cos23t.

2.Utilice el teorema correspondiente y la tabla para obtener la transformacin inversa deLaplace deF (s):

4sa) ;

s2 143s + 17b) ;

s2 75c)

(s + 7)2;

2.

1 3 4.

d)

s4

s+

s2

+s6;

s 4

(s2 + 5)2

+

s

s2 + 2;

1.1.5. Tarea

1.Utilice la transformacin de Laplace para resolver el problema de valor inicial:a) yr 9y = t,y(0) = 5;b) y

r+ 4y = Cost,

y(0) = 0;c) y

r+ 2y = e

t, y(0) =

1;d) yr 2y = 1 t,y(0) =

1;

.

2.

2.Determine 1 . Supngase quef est definida en[0; ). Decimos quef ess(s2 + 4)

peridica con periodoTsi, parat 0,f (t + T ) =f (t). Un ejemplo esSent, que tiene unperiodo2.

e)

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0.0.6. Tarea

1.Utilice la tabla junto con el primer teorema de traslacin para encontrar latransformada de Laplace de la funcin:a) (t 2)e

3t;

b) (t Cost)e4t;

c) (1 t2

+ Sent)et;

d) (t4

+ 2t 1)e5t.

2.Utilice la versin inversa del primer teorema de traslacin para obtener latransformada inversa de Laplace de la funcin:

1a)

s2 + 4s + 12;

b)

s 4;s2 8s +

10s + 2

c) ;s2 + 6s + 1

d) s 3s + 10s +

9

3.Utilice la transformacin de Laplace para resolver el problema de valores iniciales:

a) yrr 6yr+ 8y = e

t, y(0) = 3, yr(0) =

9;b) yrr + 6yr + 8y = 4, y(0) =4, yr(0) = 12;c) yrr

+ 4yr + 3y = t, y(0) = 9, yr(0) =

18;d) yrr + 4y = etSent, y(0) =1, yr(0) = 4.

4.Determin

e. t

L e2t0

.

e2r

Cos3rdr

5.Escriba la funcin en trminos de la funcin de Heaviside:.

0 si0t

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6.DetermineL[f]:.

0 si0 t

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4f) yrr + 5yr + 6y =f (t), y(0) = 0, yr(0) = 4, f (t)

=

.

t2 si0 t