DE LOS ORÍGENES GRIEGOS A LOS CIENTIFICOS ALEJANDRINOS:

1) PITAGORISMO Y PLATONISMO: LA ARITMETIZACION DE LA NATURALEZA EN EL TIMEO.

En la segunda mitad del siglo V se produjeron tres cambios que afectaron profundamente la evolución del pensamiento griego. En primer término, la expansión de la educación relacionada con el movimiento sofistico. En segundo lugar, Sócrates hizo descender a la filosofía del cielo. Mientras los filósofos anteriores atendieron mas a la física y a la cosmología que a la ética, ocurrió lo contrario. Y en tercer término, Atenas se trasformó en el principal centro intelectual de Grecia. Este desarrollo se acentúa cuando Platón primero y luego Aristóteles fundan escuelas. Como discípulo de Sócrates, Platón compartió el apasionado interés de su maestro por los problemas morales, pero, a diferencia de este, fue también una figura de gran importancia en la evolución de la ciencia griega, no solo por ser el fundador de la Academia, sino por sus opiniones sobre los fundamentos y objetivos de la investigación científica.La importancia de Platón en nuestros estudios reside menos en las teorías científicas que formulo que en lo que podríamos llamar su filosofía de la ciencia. Frecuentemente se lo ha representado como un archienemigo de la ciencia. La filosofía basada en la teoría de las formas fue, se argumenta, completamente opuesta a la ciencia e implico un importante obstáculo para su desarrollo.La obra principal que debemos considerar , además de la República, para valorar la posición de platón en la evolución de la ciencia griega, es el Timeo. Este incluye una detallada cosmología descrita como un eikos mitos o un eikos logos y nuestro primer problema es el de su significado. Sería erróneo equiparar este relato con lo que podríamos clasificar de mito. Es cierto que en muchos pormenores particularmente los relacionados con la obre del demiurgo son simbólicos y no deben interpretarse literalmente. Ni supondremos que el orden en que se describe la creación de las diferentes cosas concuerda con la secuencia histórica de dichos eventos. No obstante, la cosmología, más que un mito o ficción es un relato o historia probable. Platón nos deja pocas dudas acerca de sus intenciones. Timeo explica de que clase será su relato primero distingue entre las formas eternamente existentes y el mundo cambiante del acontecer, las primeras son los modelos y e l segundo la copia, y seguidamente discierne lo distintos tipos de descripción adecuados a cada una. Exige que los enunciados acerca de la realidad invariable, la formas , sean irrefutables, por lo menos hasta donde sea posible.La cosmología del Timeo no es una interpretación rigurosa. En realidad , Platón cree que la naturaleza del tema excluye esta posibilidad. por otra parte, afirma que es la mejor explicación posible, dado que la misma se refiere al mundo del acontecer. Señala repetidamente que no existe ninguna explicación posible del mundo del devenir y que ninguna formulación de este tipo es susceptible de ser demostrada. El efecto de su cosmología no dogmática no fue indudablemente el de alentar mas investigaciones empíricas, sino todo lo contrario. Pero si la primera preocupación del filosofo es el mundo de las formas, ¿ qué sentido tiene el estudio del mundo del acontecer? Un pasaje del Timeo indica que Platón consideraba este estudio más bien como un esparcimiento. La justificación ultima del estudio del mundo de la naturaleza es de carácter ético. Si nos preguntamos porque Platón se embarco en una exposición detallada del mundo del acontecer, la naturaleza de su cosmología proporciona la clave principal de la respuesta a esta pregunta. A lo largo de toda su relación enfatiza el papel de un agente inteligente e intencional en el

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universo. Esta teleología- la creencia en la existencia de una causa final en la naturaleza- de lo omnipresente se menciona frecuentemente como uno de los rasgos no científicos o anticientíficos de la física de Platón, y mucha de sus ideas sorprenden por lo artificiosas. Sin embargo es en razón de la implicancia s teleológicas de su exposición que podemos estar seguros de que su cosmología fue concebida seriamente. El principal motivo de Platón para hacer lo que llamaríamos ciencia natural fue revelar las operaciones de la razón en el universo. Compara frecuentemente, en forma desfavorable, el mundo del devenir con las formas, pero , sin embargo, afirma repetidamente que es el mejor posible de los mundos creados.Los tres principales elementos del esquema cosmológico de Platón son, entonces : primero, las formas, segundo, lo particular, modelado a imagen de estas, y tercero, el agente constructor del modelo: el artífice, el cual no crea el mundo en el sentido de quien crea la materia que los constituye, más bien se lo concibe como tomando la materia ya existente e imponiendo orden a sus desordenados movimientos. No es omnipotente pero alcanza los mejores resultado posible. Platón describe, por una parte las obras de la razón y por otra, lo que existe por necesidad, los efectos de la llamada causa errante. No es este un principio activo que se opone al artífice, como la fuerza del mal, sino mas bien la resistencia pasiva que l materia desordenada opone a los designios de aquel. La cosmología el Timeo está encuadrada en una compleja y característica armazón filosófica. El temo llego a ser un documento que ejerció influencia, pero ahora debemos intentar una evaluación de las teorías especificas y explicaciones que anticipa. El primer problema: en qué medida son estas las propias teorías de Platón. Tomo mucho de sus predecesores y contemporáneos. Podemos identificar deudas especificas con Empedocles, pitagóricos y atomizas. Pero sería erróneo concluir que las ciencias naturales del Timeo son simplemente una colección de ideas ajenas. Su contribución más notable a la física de su tiempo la constituye su doctrina de los últimos componente s de la materia. En el Timeo analiza las condiciones del cambio. Advierte acerca de la inestabilidad de lo que percibimos afirmando que no describiríamos el fuego, el agua, etc., si fueran objetos definidos y estables. Distingue lo que deviene de aquello en que deviene, llamando a esto último el receptáculo del acontecer. Esta fue una importante idea que influyo en la concesión de Aristóteles del sustrato y aportó una original contribución al análisis filosófico del cambio. Luego , el Timeo procede a describir que deviene. La teoría que presenta toma prestado mucho de Empedocles y de los atomistas, pero combinando la ideas de estos y de otras fuentes, Platón obtiene lo que en ciertos aspectos es una nueva solución al problema de la constitución de la materia. Como Empedocles, considera a cada sustancia materia compuesta por cuatro cuerpos simples: fuego, aire, agua y tierra, pero a diferencia de aquel no se detuvo en este punto de el análisis, sino que identifico a cada uno de los cuatro elementos con uno de los sólidos regulares. El fuego con el tetraedro el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro y la tierra con el cubo. El quinto sólido regular , el dodecaedro, lo menciona pero sin identificarlo con ningún cuerpo simple. Aunque no sabemos con seguridad en que periodo los matemáticos griegos descubrieron los cinco sólidos regulares, podemos suponer que los contemporáneos de Platón continuaban ejercitándose en sus construcción y en el estudio de sus propiedades y este mismo, sin duda , se inspiro en sus trabajos. Construyo las cuatro figuras que emplea para representar a los cuerpos simples con dos tipos básicos de triángulos: el rectángulo isósceles y el semiequilatero. Así, los triángulos rectángulos isósceles pueden cambiarse de varias manera para formar un cuadrado – cara del cubo-, y en forma similar, los medioequilateros se

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combinan formando triángulos equilátero, que son las caras del tetraedro, octaedro e icosaedro. Curiosamente, Platón no escogió para sus figuras las construcciones más simples. En vez de formar el cuadrado con dos triángulos isósceles rectángulos (A), empleo cuatro (B), y en vez de emplear dos semiequilatero para formas el lado de los otros sólidos uso seis (D),

La razón de esto es oscura, puede estar relacionada con la construcción empleada para definir el centro de los sólidos en cuestión, o también con la creencia de Platón de que cada cuerpo simple existe bajo diferentes formas, según las dimensiones o el grado de las unidades que lo compone. Puede haber deseado una construcción complicada para sugerir que los triángulos básico de cada cuerpo pueden combinarse de diferentes manera para dar origen a distintos isótopos de dicho cuerpo, como por ejemplo los triángulos rectángulos isósceles pueden disponerse no solo en grupos de cuatro, sino también de dos o de otras potencias de dos, para formar cubos de diversos tamaños correspondientes a las distintas formas del cuero simple tierra. ¿ puede compararse la teoría de Platón con sus principales rivales, la de Empedocles y la de los atomista? En primer lugar, es mas económica que la de Empedocles, que requiere cuatro tipos distintos de materia, y al admitir que se producen cambios entre el fuego, el aire y el agua por lo menos elude ciertas objeciones empíricas a las que aquella está expuesta. Como hemos visto, Empedocles no permitía la trasformación de una raíz en otra, a pesar de ser un hecho de la experiencia común por ejemplo que el agua al ser calentada hasta el punto de ebullición ,s e trasforma en vapor , es decir, según la concepción griega , en aire y que este aire puede recondensarse convirtiéndose nuevamente en agua. Las diferencias entre la teoría de Platón y las de los atomistas son también instructivas. Les debe a ellos la idea de que las variedades de los objetos sensibles pueden reducirse a las diferencias en forma y tamaño de las partículas, que son homogéneas en cuanto a su sustancia. Pero, mientras aquellos consideraban sólidas a dichas partículas básicas materiales, platón enseñaba que los sólidos primarios estaban a su vez compuestos por superficies planas formadas por dos tipos de triángulos básicos. En segundo lugar, mientras los atomistas postularos la existencia de un vacío, y evidentemente sabían que en un movimiento pleno este es posible, dado que el mismo es instantáneo y cíclico, de acuerdo con su teoría del impulso circula el movimiento de a empuja a b, que a su vez empuja a c y así sucesivamente y a z el último termino de la serie, empuja a a. La tercera y más importante: mientras los atomistas aparentemente postularon una variedad indefinida de formas y dimensiones atómicas y describieron las interacciones entre las mismas solo en sus términos más generales, Platón intento una explicación concreta y especifica de las formas de los cuerpos primarios, así como de las trasformaciones que tiene lugar entre ellos. Así, el icosaedro del agua se descompone en dos octaedros de aire y un tetraedro de fuego. El sólido original de veinte caras se divide en dos sólidos de ocho caras cada uno y uno de cuatro. Muchos detalles de la teoría de Platón permanecen en la oscuridad ¿ cómo pueden desintegrarse los cuerpo s primarios y recombinarse formando otras figuras? ¿ cómo pueden describirse los sólidos primarios como cuerpos de alguna clase, cuando son entes geométricos construidos con superficies planas? Existen también muchos elementos fantásticos y arbitrarios en la doctrina de platón. Así, luego de asignar cuatro de los cinco sólidos regulares a los cuatro cuerpos simple y no hallando ninguna otra función para el quinto, el dodecaedro, lo identifico con os doce signos del zodiaco, y

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nuevamente, cuando comprobamos que la tierra está excluida de las trasformaciones que afectan a los demás sólidos primarios, la razón de ello no se funda en ningún dato empírico claro supuesto, sino que es una consecuencia directa de la geometría de la teoría , dado que se la ha identificado con el cubo. Mas lo que platón hizo y los mismos atomista nunca intentaron ,fue proponer una explicación geométrica precisa de las formas de los cuerpos primarios y reducir los cambios que tiene lugar entre ellos a formulas matemáticas. No debemos ignora los aspectos positivos de la posición de Platón. Tiene razón al insistir en que el objeto de la búsqueda del científico es el descubrimiento de las leyes abstracta subyacentes en los hechos empíricos. Su creencia en la estructura matemática del universo y – tomada y desarrollada a partir de la de los pitagóricos- y su concepción de una astronomía y una física matemáticas e ideales constituyen sus dos ideas más importantes y fructíferas, y el hecho de que ambas nos resulten hoy evidentes no disminuye, sino mas bien engrandece, la obra notable de Platón.

2) LA EXPLICACIÓN EN EL ATOMISMO. LA TRADICIÓN EPICÚREA

La teoría física más famosa y de mayor influencia entre los sistemas del siglo V fue la teoría atómica, que por primera vez postulo Leucipo de Mileto y luego desarrollo Demócrito de Abdera. Correctamente se la considera la culminación de la especulación presocrática. El problema de su adecuada interpretación, se ha agravado debido a la tendencia a equiparar el antiguo atomismo con las teorías modernas del mismo nombres entre las que existen diferencias fundamentales.El postulado básico del antiguo atomismo en su forma original del siglo v era que solo los átomos y el vacío son reales. Las diferencias entre los objetos físicos, incluyendo tanto las cuantitativas como las que consideramos diferencias en la sustancia se explican en términos de modificaciones en la forma, distribución y posición de los átomos. Los átomos son infinitos en número y se hallan dispersos en el vacío. Están en continuo movimiento y sus desplazamientos dan lugar a colisiones mutuas y constantes. Los efectos de estas colisiones son dobles: algunos átomos rebotan contra otros, o si los átomos en colisión están provistos de ganchos o de puntas , o sus formas , de algún modo se corresponden una con otra, se unen formando así cuerpos compuestos. Los cambios de todo tipo se interpretan, conforme a lo expuesto, en términos de combinación y separación de a tomos los componentes así formados poseen diversas cualidades sensibles, tales como color, gusto, temperatura, etc., pero la sustancia misma de los átomos permanece inalterada.Como los otros sistemas que hemos considerado, esta teoría evoluciono como una respuesta al problema planteado por Parménides y los demás filósofos eleáticos. Ciertamente, al postular una sola sustancia elemental, Leucipo estuvo más cerca de la concepción del propio Parménides que de la de Empedocles o Anaxagoras. como el ser invariable del camino de la verdad, cada átomo individual es increado e indestructible, inalterable, homogéneo , sólido e indivisible. Puede decirse que Leucipo postuló una infinita pluralidad de unidades eleáticas, y aun podrá haber sido directamente influido en esto por un argumento de que Meliso formulo cuando trato de demostrar que si fueron muchos, deben haber sido iguales a la unidad, aunque Meliso, evidentemente, había concebido este argumento para destacar lo absurdo de la noción de pluralidad. Leucipo creyó, al proponer tal pluralidad de objetos iguales a la unidad eleática, que había resuelto el problema del cambio . Leucipo también coincidió con los eleáticos en que, sin el vacío , el movimiento es imposible. Pero, mientras aquellos

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negaron la existencia del vacío, este sostuvo que no solo deben considerarse reales el ser o lo que es – los átomos, sino, además el no ser o lo que no es- el vacío-. Este fue el diente de la llave con la cual reinstauro ambas cosas: la pluralidad y el cambio. El vacío es lo que separa loa átomos y el medio a través del cual se mueven. Los atomistas dejaron sin resolver ciertas dificultades de concepto en su teoría, y sus intentos de aplicarla a la interpretación de fenómenos específicos fueron exiguos. No es claro por ejemplo, si así como consideraron a sus átomos físicamente indivisibles, los consideraron también indivisibles desde el punto de vista matemático. Sus átomos, no podían dividirse físicamente, pero ¿ los consideraron también lógico o matemáticamente indivisibles, es decir, carentes de partes? No estamos seguros de la respuesta a esta pregunta, pero ciertos textos de Aristóteles parecen indicar que no distinguieron los límites de la divisibilidad física y e la matemática. Parecerían no haber advertido que s i los átomos difieren en su forma, ello implica que tiene partes, y, por lo tanto, deben considerarse matemáticamente divisibles. Además, algunas de nuestras fuentes señalan que la variedad, tanto en las formas como en las dimensiones de los átomos , es infinita. Los opositores del atomismo explotaron esta suposición con el fin de suscitar objeciones a la teoría, como, por ejemplo, lo absurdo de un átomo con la dimensiones del mundo. Pero si bien podemos estar seguros de que se hubieran opuesto a esta conclusión, no sabemos cuál habría sido su defensa, si es que realmente se plantearon tal dificultad. Leucipo fue responsable de los fundamentos de la teoría atómica, pero existen pocas pruebas de que haya intentado aplicar su doctrina en particular al esclarecimiento de fenómenos naturales. Los intereses de Demócrito, fueron muy amplios. Los títulos de sus libros indican la amplitud de sus investigaciones. Además, aplico la teoría atómica en detalle, por lo menos en un ámbito: el de su doctrina de las cualidades sensibles. En su teoría del conocimiento clasifica como bastardo al derivado de los sentidos, en contraste con el legítimo procedente del entendimiento, si bien admite que la mente extrae sus datos de los sentidos, lo que estos perciben son las cualidades secundarias debidas a diferencias en las formas, dimensiones o disposiciones de los átomos, pero solo estos y el vacío son reales y estas cualidades secundarias existen solo convencionalmente. Formulo doctrinas detalladas donde relaciona gustos específicos, colores , olores etc. con determinadas configuraciones atómicas. Así un gusto ácido está compuesto por pequeños átomos delgados, de moderadas dimensiones. Además, asocia los que considera los cuatro colores primario : negro , blanco , rojo y amarillo , con ciertas formas y disposiciones de los átomos, interpretando a los demás colores como compuestos por esos cuatro. Este es el primer intento de explicación detallada de las bases físicas de la sensación. Vemos pues como para los atomistas la relación entre apariencia y realidad no era lo que se dé entre un original y una copia imperfecta , sino que creían que los objetos y relaciones del mundo real eran de tipo diferentes de los del mundo que nos dan a conocer nuestros sentido.Lo real, es el movimiento de los átomos a través del vacío. Este movimiento motiva nuestra experiencia perceptual . sin movimiento no habría percepción. Los átomos solo tiene las propiedad de tamaño, forma, impenetrabilidad y movimiento y la propensión a combinarse y asociarse de diversos modos y al contrario que los cuerpos macroscópicos, los átomos no pueden atravesarse ni dividirse.Varios aspectos del programa de los atomista s han sido importantes para el desarrollo de puntos de vista posteriores sobre el método científico. Un aspecto influyente del atomismo es la idea de que los cambio observados pueden ser explicados haciendo referencia a procesos que tienen lugar en un nivel de organización más elemental. Esto

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llego a ser un artículo de a para muchos filósofos naturales del siglo XVII Gassendi, Boyle y Newton, entre otros, afirmaron que los cambios macroscópicos son causados por cambios submacroscópicos.Además, los antiguos atomista se dieron cuenta, al menos tácitamente, de que no se pueden explicar las cualidades y procesos de un nivel por el mero hecho de postular que las mismas cualidades y procesos se hallan presente s en un nivel más profundo. Por ejemplo, no se pueden explicar adecuadamente los colores de los objetos atribuyendo los colores a la presencia de átomos coloreados.Otros aspecto importante del programa de los atomista es la reducción de los cambios cualitativo del nivel macroscópico a cambios cuantitativos den el nivel atómico. Los atomistas estaban de acuerdo con Pitágoras en que la explicación científica debe darse en términos de relaciones geométricas y numéricas. Des factores pesaron en contra de una aceptación amplia de la versión clásica del atomismo. El primer factor fue el materialismo intransigente de esta filosofía. Al explicar la percepción e incluso el pensamiento en términos de movimientos e tamos, los atomistas recusaban la propia autoconciencia del hombre. El atomismo parecía no dejar lugar para los valores espirituales… es seguro que los valores de la amistad, el valor y la veneración no pueden reducirse a un concurso de átomos. Además, los atomistas no dejan lugar dentro de la ciencia a consideraciones sobre propósitos, ya sean naturales o divinos. El segundo factor fue el carácter ad hoc de las explicaciones de los atomistas. Ofrecían una imagen de preferencia, un modo de considerar los fenómenos, pero no había modo de comprobar lo adecuado de la imagen. Consideremos la disolución de la sal en el agua. El argumento más fuerte ofrecido por los atomistas clásico supone que el efecto podría estar producido por la dispersión de los átomos de sal en el liquido. Sin embargo, los atomistas clásico no podían explicar porque la sal se disuelve en el agua mientras que la arena no lo hace. Por supuestos, podían decir que los átomos de sal se ajustan a los intersticios que hay entre los átomos de agua mientras que los átomos de arena no lo hacían. Pero los críticos del atomismo rechazarían esta explicación como meramente otro modo de decir que la sal se disuelve en agua mientras que la arena no lo hace.

3) INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN EN Aristóteles. TÓPICOS, ANALÍTICOS Y DE INTERPRETATIONE.

Aristóteles consideraba la investigación científica como una progresión de las observaciones hasta los principios generales, para volver a las observaciones. Mantenía que el científico debe inducir principios explicativos a partir de los fenómenos que se han de explicar, y después deducir enunciados acerca de los fenómenos a partir de premisas que incluyan estos principios. El procedimiento inductivo- deductivo de Aristóteles puede ser representado como sigue:

inducción(1)

observaciones (2)principios explicativos(3)

deducciónAristóteles pensaba que la investigación científica comienza con el conocimiento de que suceden ciertos fenómenos, o de que coexisten ciertas propiedades. La explicación científica solo se consigue cuando se deducen en enunciados sobre esos fenómenos o propiedades a partir de los principios explicativos. De este modo , la explicación científica es una transición desde el conocimiento de un hecho (1) hasta el conocimiento de las razones del hecho(3).

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Por ejemplo, un científico podría aplicar el procedimiento inductivo –deductivo a un eclipse lunar del siguiente modo. Comienzo con la observación del oscurecimiento progresivo de la superficie lunar. Induce entonces de esta observación, y de otras observaciones, varios principios generales: que la luz viaja en línea recta, que los cuerpos opacos producen sombras, y que una determinada situación de dos cuerpos opacos cerca de un cuerpo luminosos coloca a u n cuerpo opaco en la sobra del otro. De estos principios generales, y de la condición de que la tierra y la luna son cuerpos opacos, que, en este caso, mantienen la relación geométrica requerida con el sol luminoso, deduce a continuación un enunciado acerca del eclipse lunar. Ha progresado desde el conocimiento factual de que la superficie de la luna se ha oscurecido hasta la comprensión de por qué tuvo lugar esto. La etapa inductiva.Según Aristóteles, todo cosa particular es una unión de materia y forma. Materia es lo que hace que un particular sea un individuo único, y forma es lo que hace que el particular sea un miembro de una clase de cosas similares, especificar la forma de un particular es especificar las propiedades que comparte con otras particulares. Por ejemplo, la forma de una jirafa particular incluye la propiedad de tener un estomago con cuatro cavidades. Aristóteles sostenía que las generalizaciones sobre las formas se extraían de la experiencia sensible por medio de la inducción. Se ocupo de dos tipos de inducción. Los dos tipos comparten la característica de proceder de enunciados particulares a enunciados generales. El primer tipo de inducción es la enumeración simple, en la que los enunciados sobre objetos o acontecimientos individuales se tomas como b ase para una generalización sobre la especie de la que son miembros. O , en un nivel más alto, los enunciados sobre especies individuales se toman como base para una generalización sobre un genero.

Primer tipo de inducción de Aristóteles:Enumeración simple

PremisasLo que se observa que es verdadero de varios individuos

Lo que se observa que es verdadero de varias especies

Generalización

generalización

conclusiónlo que se presume que es verdadero de la especie a que pertenecen los individuos

lo que se presume que es verdadero del genero a que pertenecen las especies

en un argumento inductivo por enumeración simple, las premisas y la conclusión contienen los mismos términos descriptivos. Un argumento típico por enumeración simple tiene la formas:

a1 tiene la propiedad pa2 tiene la propiedad pa3 tiene la propiedad p

todos los a tiene la propiedad p

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el segundo tipo de inducción es una intuición directa de aquellos principios generales que están ejemplificados en los fenómenos. La inducción intuitiva es una cuestión de perspicacia, esta es la capacidad para ver lo que es esencial en los datos de la experiencia sensible. Un ejemplo dado por Aristóteles es el caso de un científico que advierte en varias ocasiones que el lado brillante de la luna esta vuelto hacia el sol , y concluye que la luna brilla porque refleja la luz solar. La operación de la inducción intuitiva es análoga a la operación de la visión del taxonomista. El taxonomista es un científico que ha aprendido a ver los atributos genéricos y las diferentiae de un espécimen. En cierto sentido, el taxonomista ve más que el que observa el espécimen si estar entrenado. La etapa deductivaEn la segunda etapa de la investigación científica, las generalizaciones logradas por inducción se usan como premisas par a la deducción de enunciados sobre las observaciones iniciales. Aristóteles estableció una restricción importante sobre los tipos de enunciados que pueden aparecer como premisas y conclusiones de los argumentos deductivos en la ciencia. Permitía solo aquellos enunciados que afirmase que una clase está incluida en , o está excluida de, una segunda clase. Si s y p se seleccionan como símbolos de las dos clases los enunciados que Aristóteles permitía son

Tipo enunciado relaciónA todos los s son p s esta totalmente incluido en pE ningún s es p s esta totalmente excluido de PI algunos s son p s esta parcialmente incluido en pO algunos s no son p s esta parcialmente excluido de pAristóteles sostenía que el tipo A es el más importante de los cuatro, creía que ciertas propiedades son esencialmente inherentes a los individuos de ciertas clases, y que los enunciados del tipo todos los s son p reproducen la estructura de estas relaciones. Quizás por esta razón, Aristóteles mantenía que una explicación científica adecuada debe darse en términos de enunciados de este tipo. Más específicamente , cito el silogismo en bárbara como el paradigma de demostración científica. Este silogismo está formado por enunciados del tipo A ordenados del modo siguiente:

Todos los m son pTodos los s son m

Todos los s son pDonde p, s m son los términos mayor, menor y medio del silogismo. Aristóteles mostró que este tipo de silogismo es válido. Si es cierto que todos está incluido en m y que todo m está incluido en p, debe ser también cierto que todos está incluido en p. Esto es así sin que importe que clases sean las que designan s, p y m. Uno de los grandes logros de Aristóteles fue establecer que la validez de un argumento viene determinada únicamente por la relación entre premisas y conclusión.Aristóteles interpreto la etapa deductiva de la investigación científica como la interposición de términos medios entre los términos sujeto y predicado del enunciado que ha de probarse. Por ejemplo, el enunciado todos los planetas son cuerpos que tienen brillo constante puede deducirse seleccionando cuerpos cercanos a la tierra como término medio. En forma silogística, la prueba es:Todos los cuerpos cercanos a la tierra son cuerpos que tiene brillo constanteTodos los planetas son cuerpos cercanos a la tierra

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Todos los planetas son cuerpos que tiene brillo constante.Mediante la aplicación de la etapa deductiva del procedimiento científico, el científico ha avanzado desde el conocimiento de un hecho acerca de los planetas hasta la comprensión de por qué este hecho es como es.

4) EL IDEAL APODÍCTICO DE Aristóteles EN LOS ANALÍTICOS

Aristóteles reconocía que un enunciado que predique un atributo de un termino de clase puede siempre ser deducido de más de un conjunto de premisas. Cuando se eligen diferentes términos medios, se producen argumentos diferentes, y algunos argumentos son más satisfactorios que otros. Aristóteles insistió en que las premisas de una explicación satisfactoria deben ser verdaderas. Por lo tanto, excluía de la clase de las explicaciones satisfactorias aquellos silogismos validad que tiene conclusiones verdaderas pero premisas falsas. El requisito de que las premisas sean verdaderas es uno de los cuatro requisitos extralógicos que Aristóteles exigía a las premisas de las explicaciones científicas. Los otros tres requisitos son que las premisas deben ser indemostrables, conocerse mejor que la conclusión y ser causas de la atribución hecha en la conclusión. Aunque Aristóteles afirmo que las premisas de toda explicación científica adecuada debían ser indemostrables, está claro por el contexto de su presentación que estaba interesado en insistir solamente en que debe haber algunos principios dentro de cada ciencia que no puedan deducirse de principios más básicos. La existencia de algunos principios indemostrables dentro de una ciencia es necesaria para evitar una regresión infinita en las explicaciones. En consecuencia, no todo el conocimiento de una ciencia es susceptible de ser probado. Aristóteles mantenía que las leyes más generales de la ciencia, y las definiciones que estipulan los significados de los atributos propios de esa ciencia, son indemostrables. El requisito de que las premisas deben conocerse mejor que la conclusión es un reflejo de la opinión de Aristóteles de que las leyes generales de una ciencia deben ser evidentes. Aristóteles sabia que un argumento deductivo no puede dar más información de la que implican sus premisas, e insistía en que los primeros principios de demostración deben ser al menos tan evidentes como las conclusión extraídas de ellos. El más importante de los cuatro requisitos es el de relación causal. Es posible construir silogismos validado con premisas verdaderas de tal modo que las premisas no establezcan la causa de la atribución que se hace en la conclusión . es instructivo comparar los dos silogismos siguientes acerca de los rumiantes:

Silogismo de hecho razonadoTodos los rumiantes con estómagos de 4 cavidades son animales a los que faltan los incisivos superioresTodos los bueyes son rumiantes con estómagos de 4 cavidades

Todos los bueyes son animales a los que faltan los incisivos superiores.

Silogismo del hechoTodos los rumiantes con pezuñas partidas son animales a los que faltan los incisivos superioresTodos los bueyes son rumiantes con las pezuñas partidas

Todos los bueyes son animales a los que faltan los incisivos superiores

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Aristóteles diría que las premisas del silogismo del hecho razonado establecen la causa del hecho de que a los bueyes les falten los incisivos en el maxilar superior. La capacidad de los rumiantes para almacenar comida parcialmente masticada en una cavidad del estomago y volverla a la boca para una posterior masticación explica porque no necesitan , y no tiene, incisivos en el maxilar superior. Por el contrario, las premisas del correspondiente silogismo del hecho no establecen la causa de la falta de incisivos superiores. Aristóteles diría que la correlación entre la estructura de la pezuña y la de la mandíbula es accidental. Lo que se necesita en este punto es un criterio para distinguir las correlaciones causales de las accidentales. Aristóteles reconoció esta necesidad. Sugirió que en una relación causal el atributo es verdadero de todos los caso del sujeto, es verdadero precisamente del sujeto y no como parte de un todo mayor y es esencial para el sujeto.Los críticos de Aristóteles de la relación causal dejan mucho de que desear. El primer criterio puede aplicarse para eliminar de la clase de las relacione causales cualquier relación que tenga excepciones. Pero se podría establecer una relación causal aplicando el criterio solo a aquellos casos en los que la clase del j sujeto puede enumerarse completamente. Sin embargo, la gran mayoría de las relaciones causales de interés para el científico tiene un ámbito de predicación abierto. Por ejemplo, que los objetos más densos que el agua se u hunden en esta es una relación que, se cree, se mantiene para todos los objetos, pasados, presente s y futuros, y no solo para aquellos pocos objetos que se han puesto en el agua. No es posible mostrar que todo caso de la clase del sujeto tenga esta propiedad. El tercer criterio de Aristóteles identifica la relación causal con la atribución esencial de un predicado a un sujeto. Esto coloca el problema un paso atrás. Desgraciadamente, Aristóteles no proporcionó un criterio para determinar que atribuciones son esenciales. Sin duda, sugirió que animal es un predicado esencial de hombre, mientras que musical no lo es, y que cortar el cuello de un animal esta esencialmente relacionado con su muerte, mientras que dar un paseo no está esencialmente relacionado con la caída de un rayo. Pero una cosa es dar ejemplos de predicación esencial y de predicación accidental y otra estipular un criterio general para hacer la distinciónLa estructura de una cienciaAunque Aristóteles no especifico un criterio par la atribución esencial de un predicado a una clase de sujetos, insistió en que cada ciencia particular tiene un genero de sujetos y un conjunto de predicados distintivos. El género de sujetos de la física, es la clase de casos en los que los cuerpos cambia sus posiciones en el espacio. Entre los predicados que son propios de esta ciencia están posición , velocidad y resistencia. Aristóteles destaco que una explicación satisfactoria de un fenómeno debe utilizar los predicado de la ciencia ala que pertenezca el fenómeno.Aristóteles sostenía que una ciencia individual es un grupo deductivamente originado de enunciados en el nivel más alto de generalidad se encuentran los primeros principios de todas las demostraciones: los principios de identidad, de no contradicción y del tercero excluido. Estos son principios aplicables a todos los argumentos deductivos. En l siguiente nivel de generalidad se encuentran los primeros principios y definiciones de la ciencia particular. Los primeros principios de una ciencia no están sujetos a deducción de otros principios más básicos. Son los enunciados verdaderos más generales que pueden hacerse acerca de los predicados propios de la ciencia. Como tales, los primeros principios son los puntos de partida de todas las demostraciones de la ciencia. Funcionan como premisas

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para la deducción de las correlaciones que se encuentren en niveles más bajos de generalidad. Las cuatro causas.Aristóteles señalo otro requisito adicional para las interpretaciones científicas. Exigió que una explicación adecuada de una correlación o proceso debe especificar cuatro aspectos de lo que constituye su causa. Los cuatro aspectos son la casa formal, la causa materia la causa eficiente y la causa final. Aristóteles insistió en que toda explicación científica de una correlación o proceso debe dar cuenta de su causa final. Las interpretaciones teleológicas no necesitan presuponer deliberación o lección conscientes. Sin embargo, presuponen que un estado de cosa futuro determina el modo en que se desarrolla un estado de cosas presente. En cada caso, el estado futuro tira, por decirlo así, de la sucesión de estados que conducen hacia él.Aristóteles critico a los filósofos que pretendían explicar el cambio exclusivamente en términos de sus causas materiales y eficientes. Aristóteles también critico a aquellos filósofos naturales pitagóricos que creían que habían explicado un proceso cuando habían encontrado una relación matemática ejemplificada en el. Se debe añadir, sin embargo, que Aristóteles reconocía la importancia de las relaciones numéricas y geométricas en la ciencia física. En realidad, distingui9o un grupo de ciencia mixtas- astronomía, óptica , música ay mecánica- cuya tema son la relaciones matemática entre objetos físicos.Trato de distinguir la ciencia empírica, como un todo , de la matemática apura. Logro esta demarcación distinguiendo entre matemática aplicadas, como las que se practican en las ciencia mixta y matemática puras, que se ocupan de numero y figuras en abstracto. Aristóteles mantenía que , mientras que el objeto de la ciencia empírica es el cambio, el objeto de la matemática apura e s lo que no cambia. El matemático puro abstrae de las situaciones físicas ciertos aspectos cuantitativos de los cuerpos y de sus relaciones, y se ocupa exclusivamente de estos aspectos. Aristóteles sostenía que estas formas matemáticas no tenían existencia objetiva. Solo en la mente del matemático sobreviven las normas a la destrucción de los cuerpos de los que se abstraen. El carácter necesario de los primeros principiosAristóteles afirmo que el conocimiento científico genuino tiene el rango de verdad necesaria. Mantenía que los primeros principios adecuadamente formulados de las ciencias, y sus consecuencias deductivas, no pueden ser sino verdaderos. Como los primeros principios predican atributos de términos de clase, se puede decir que Aristóteles mantenía la siguientes tesisA cites propiedades son esencialmente inherentes a los individuos de ciertas clases, un individuo no sería miembro de una de esas clases si no poseyera los atributos en cuestiónB en tales casos, existe una identidad de estructura entre el enunciado universal afirmativo que predica aun atributo de un termino de clase y la inherencia no verbal de la propiedad correspondiente en los miembros de la claseC es posible par el científico intuir correctamente este isomorfismo entre lenguaje y realidad. Aristóteles lego a sus sucesores la fe en que , como los primero principios de las ciencias reflejan relacione s de la naturaleza que no podrían ser otras que las que son , estos principios no pueden ser falsos. Sin duda, el no podía certificar esta fe.

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5) EUCLIDES. EL IDEAL AXIOMÁTICO Y EL MODELO DE LOS ELEMENTOS

una tesis ampliamente compartida por los escritores antiguos era que la estructura de una ciencia completa debía ser un sistema deductivo de enunciados. Aristóteles había puesto de relieve la deducción de conclusiones a partir de primeros principios. muchos escritores del final de la antigüedad creían que el ideal de la sistematización deductiva había sido realizado en la geometría de Euclides y en la estática de ArquímedesEuclides y Arquímedes habían formulado sistemas de enunciados – que comprendían axiomas, definiciones y teoremas- organizados de tal manera que la verdad de los teoremas s e seguía de la supuesta verdad de los axiomas. EUCLIDES probo que sus axiomas, junto con las definiciones de términos tales como ángulo y triangulo implican que la suma de los ángulos de un triangulo es igual a dos ángulos rectos. Y Arquímedes probo a partir de sus axiomas de la palanca que dos pesos desiguales se equilibran a distancias del fulcro que son inversamente proporcionales a los pesos.Tres aspectos del ideal de sistematización deductiva son:

a. que los axiomas y los teoremas estén relacionados deductivamenteb. que los propios axiomas sean verdades evidentesc. que los teoremas concuerden con las observaciones.

Los filósofos de la ciencia han tomado diferentes posturas con respecto a los aspectos segundo y tercero, pero ha habido acuerdo general sobre el primer aspecto.No es posible suscribir el ideal deductivo sin aceptar el requisito de que los teoremas estén deductivamente relacionados con los axiomas. Euclides y Arquímedes emplearon dos importantes técnicas para probar teoremas a partir de sus axiomas: argumentos por reductio ad absurdum y un método de exhausción.La técnica de reductio ad absurdum par aprobar el teorema t es asumir que no es verdadero y deducir entonces a partir de no y de los axiomas del sistema un enunciado y su negación. Si se pueden deducir de este modo dos enunciados contradictorios, y si los axiomas del sistema son verdaderos, entonces t debe ser también verdadero.El método de exhausción es una extensión del método de reductio ad absurdum. Consiste en mostrar que cada posible contrario de un teorema tiene consecuencias que son incompatibles con los axiomas del sistema.Con respecto l requisito de las relaciones deductivas entre axiomas y teoremas, la geometría de Euclides era deficiente. Euclides dedujo algunos de sus teoremas apelando a la operación de superponer figuras para establecer su congruencia. Pero en los axiomas no aparece referencia alguna a esta operación de su preposición. Por tanto, Euclides probo algunos de sus teoremas saliéndose del sistema axiomático. La geometría de Euclides fue refundida en una forma rigurosamente deductiva por David Hilbert en la última parte del siglo XIX. En la reformulación de Hilbert, cada uno de los teoremas es una consecuencia deductiva de los axiomas y de las definiciones.Un segundo aspecto, más controvertido, del ideal de sistematización es el requisito de que los axiomas deben ser en sí mismos verdades evidentes. Este requisito fue claramente enunciado por Aristóteles , quien insistió en que los primeros principios de las ciencias respectivas deben ser verdades necesarias. El requisito de que los axiomas de los sistemas deductivos sean verdades evidentes era también compatible con el enfoque pitagórico de la filosofía natural. El pitagórico comprometido creía que en la naturaleza existen relaciones matemáticas que pueden ser descubiertas por la razón. Desde este punto de vista, es natural insistir en que los punto de partida de la sistematización deductiva sean aquellas relaciones matemáticas que se ha hallado que subyacen a los fenómenos.

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Aquellos que siguieron la tradición de salvar las apariencias en astronomía matemática adoptaron una actitud diferente. Rechazaron el requisito aristotélico. Para salvar las apariencias basta con que las consecuencias deductivas de los axiomas estén de acuerdo con las observaciones. El que los axiomas en sí mismos no sean plausibles, o incluso sean falsos, es irrelevante. El tercer aspecto del ideal de sistematización deductiva es que el sistema deductivo debe estar en contacto con la realidad. Ciertamente, Euclides y Arquímedes intentaban probar teoremas que tuviesen aplicación práctica. En realidad, Arquímedes fue famoso por su aplicación de las leyes de la palanca a la construcción de catapultas con fines militares. Pero, para estar en contacto con el reino de la experiencia, es necesario que al menos algunos de los términos del sistema deductivo hagan referencia a objetos y relaciones del mundo. Parece que Euclides, Arquímedes y sus inmediatos sucesores supusieron que termino tales como punto, línea, peso y varilla tiene correlatos empíricos. Arquímedes, por ejemplo, no menciona los problemas que conlleva el dar una interpretación empírica de un teorema sobre la palanca. No hizo comentarios sobre las limitaciones que han de imponer a la palanca en sí. Sin embargo, los teoremas que el derivo son confirmados experimentalmente solo por aquellas varillas que no se doblan de modo apreciable y que tiene el peso distribuido de manera uniforme. Los teoremas de Arquímedes e aplican de modo estricto únicamente a palancas ideales, las cuales, en principio, no pueden darse en la experiencia, es decir, varillas infinitamente rígidas, pero sin masa,.Puede ser que la preocupación de Arquímedes por las leyes aplicables a esta palanca ideal refleje una tradición filosófica en la cual se establece un contraste entre las complejidades inmanejables de los fenómenos y la pureza intemporal de las relaciones formales. Esta tradición se vio a menudo reforzada por la opinión ontológica de que el reino de los fenómenos es, en el mejor de los casos, un imitación o un reflejo del mundo real. La responsabilidad principal por la promulgación de ese punto de vista recae sobre platón y sus intérpretes. este dualismo tuvo importantes repercusiones en el pensamiento de Galileo y de descartes.

6) SALVAR LOS FENÓMENOS: Platón Y LOS ASTRÓNOMOS.

El filosofo de la naturaleza pitagórico cree que las relaciones matemáticas a las que se ajustan los fenómenos constituyen explicaciones de por qué las cosas son como son. Este punto de vista ha encontrado la oposición, casi desde el principio, de un punto de vista rival. Este punto de vista rival es el de que las hipótesis matemáticas deben distinguirse de las teorías sobre la estructura del universo. Según esta concepción, una cosa es salvar las apariencias sobreponiendo relaciones matemáticas a los fenómenos , y otra cosa muy distinta explicar porque los fenómenos son como son. Esta distinción entre teorías físicamente verdaderas e hipótesis que salvan las apariencias fue establecida por Gemino en el siglo i antes de Cristo. Gemino esbozo dos enfoques para el estudio de los fenómenos celestes. Uno es el enfoque del físico, que deriva los movimientos de los cuerpos celestes de sus naturalezas esenciales. El segundo es el del astrónomo, que deriva los movimientos de los cuerpos celestes de figuras y movimientos matemáticos. En la astronomía griega fue la única ciencia en la que antes de finalizar el siglo iv se aplicaron con mucho éxito métodos matemáticos. Las tentativas de los griegos tendentes a construir un modelo mecánico de los cuerpos celestes, se remontan hasta Anaximandro, pero su representar las estrellas bajo el sol y

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la luna y separados por círculos regulares más que intentar salvar las apariencias de los fenómenos reduciéndolos a leyes matemáticas, es un resabido del deseo de simetría de AnaximandroEl siglo v fue también testigo de una proliferación de teoría acerca de las relaciones entre los principales cuerpos celestes, de las cuales la más notable es el sistema de Filolao, que aunque significa un adelanto considerable s con relación a las ideas primitivas, particularmente porque en ella su autor identifica a los cinco planetas, asignándoles círculos independientes situados por debajo de la esfera de las estrella fijas, no existen prueba de que la misma u otro de los sistemas de fines del siglo v y comienzo del iv intentaran una explicación precisa de los movimientos de los diversos cuerpos celestes.El merito por la primera explicación matemática de los movimientos de los cuerpos celestes pertenece a Eudoxio de Cnidos. Pero también debe mencionarse el papel de Platón en esta evolución. En sus teorías distingue entre dos tipos de movimiento es de la esfera de las estrellas fijas, compartido por todos los cuerpos celestes y los movimientos independientes del sol, la luna y los planetas a lo largo del circulo oblicuo de la eclíptica en sentido opuesto al movimientos. También reconoces que Venus y mercurios se mueven con la misma velocidad media que el sol.. de mayor influencia aun fueron sus ideas acerca de qué clase de explicación debían encarar los astrónomos. En la República recomienda una astronomía ideal o matemática, por medio de problemas en lugar de aquella basada en la observación y además aparte de este precepto general se le atribuye la responsabilidad de la formulación de un problema en particular que durante muchos silos haría de ser la principal preocupación de los astrónomos: el del movimiento de los planetas. (que movimientos uniformes y ordenados es necesario suponer para explicar los movimientos aparentes de los planetas). La contribución más importante de Platón pues, fue su insistencia en que la astronomía es una ciencia matemática exacta y los últimos astrónomos del siglo iv recogieron su desafió e intentaron explicaciones que comprendieran todas las características principales de los movimientos de los cuerpos celestes. La solución de Eudoxio, conservada para nosotros por Aristóteles y Simplicio, fue la más ingeniosa. Aquel sugirió que las complicadas trayectorias aparentes del sol, la luna y los planetas eran producidas , en cada caso, por simples movimientos circulares de cierto número de esferas concéntricas. La tierra se halla en reposo en el centro común de todas las esferas, pero los ejes de estas están inclinados uno con respecto del otro y rotan con velocidades diferentes aunque uniformes. Para cada uno de los cinco planetas postulo cuatro esferas. Los movimientos de estas esferas son los que explican las estaciones y retrogradaciones del planeta.El sistema en conjunto revela gran habilidad matemática y logro explicar con bastante éxito gran variedad de fenómenos , sin infringir la regla de platón de que solo debían postularse simples movimientos circulares. Eso si en ciertos puntos, algunos de ellos de importancia, la teoría fracasa en la interpretaciones de los hechos. La teoría de las esferas concéntricas no podía tener en cuenta las diferencias en las distancias a la tierra del sol , la luna y los planetas, y por cierto, fue particularmente en este punto en el que esta clase de modelo naufrago para ser abandonado en favor de la teoría de los epiciclos y de los círculos excéntricos.Fue tal el prestigio de la solución de Eudoxio q que en vez de abandonar por completo su modelo, sus sucesores inmediatos trataron de modificarlo para que diera cuenta de algunos fenómenos en cuya explicación había fracasado. La primera de estas modificaciones fue obra de Calipo cuya teoría fue difundida nuevamente por Aristóteles. En vez de postular veintisiete esferas aumento el numero en siete.

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Las teorías de Eudoxio y de Calipo fueron construcciones puramente matemáticas. Ningún astrónomo sabía nada acerca de la mecánica de los movimientos celestes, de la naturaleza de las esferas concéntricas o de la forma en que el movimiento se trasmitía de una a otra. La modificación posterior del modelo de Eudoxio fue obra de Aristóteles que intento utilizar esta teoría matemática como base de un sistema mecánico. Le preocupaba especialmente, el problema de la transmisión del movimiento desde la esfera mas externa del cielo hasta la regio situada debajo de la luna. En tanto las esferas de Eudoxio están concebidas como asociada a un s sistema mecánico, el movimiento de cada uno de los cuerpos celestes estará afectado no solo por el de sus propias esferas, sino por todas las situadas encima de los mismo. I Aristóteles se vio obligado a introducir cierto número de esferas compensadoras.Pese a las modificaciones introducidas con posterioridad a Eudoxio, el modelo de las esferas concéntricas fracaso en su propósito de salvar las apariencias de los fenómenos, particularmente ningún numero de esferas adicionales podía explicar las variaciones de brillo de los planetas, que indicaban que sus distancias a la tierra no eran constantes. Fue superado por la teoría de los epiciclos y sus círculos excéntricos, que pertenece al siglo iii.En el siglo ii d.c Claudio Ptolomeo formulo una serie de modelos matemáticos, uno para cada uno de los planetas que entonces se conocían. Un rasgo importante de los modelos es el uso de círculos, epiciclos y deferentes, para reproducir los movimientos aparentes de los planetas respecto del zodiaco. En el modelo de epiciclos y deferentes, el planeta p se mueve a lo largo de un circulo epicíclico, cuyo centro se mueve a lo largo de un circulo deferente alrededor de la tierra. Ajustando las velocidades de revolución de los pu8ntos p y c, Ptolomeo podía reproducir el movimiento retrogrado periódico observado del planeta. Al pasar de a a b siguiendo el epiciclo, el planeta parece , par un observador sobre la tierra, seguir la dirección contraria a su movimiento respecto a las estrellas del fondo.Ptolomeo destaco que era posible construir más de un modelo matemático para salvar las apariencias de los movimientos planetarios. Señalo, en particular, que se puede construir un sistema de movimientos excéntrico que fuese matemáticamente equivalente a un sistema de epiciclos y deferentes dado.

modelo de epiciclos y deferentes modelo de movimiento excéntrico

en el modelo de movimiento excéntrico , el planeta p se mueve a lo largo de un circulo centrado en un punto excéntrico c, el cual se mueve, con dirección opuesta, a lo largo de un circulo con centro en la tierra t. Como los dos modelos son matemáticamente

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equivalentes, el astrónomo está en libertad de emplear aquel modelo que le sea más conveniente. Surgió una tradición en astronomía según la cual el astrónomo debía construir modelos matemáticos para salvar las apariencias, pero no debía teorizar sobre los movimientos reales de los planetas. Esta tradición debe mucho a la obra de Ptolomeo sobre los movimientos planetarios. El propio Ptolomeo, sin embargo, no defendió consecuentemente esta posición. Insinuaba en el almagesto que sus modelos matemáticos eran solo artilugios para el cálculo, y no debía entenderse que afirmaba que los planetas describían realmente movimientos epicíclicos en el espacio físico. Peor en una obra posterior, Hypotheses planetarum, afirmo que este complicado sistema de círculos revelaba la estructura de la realidad física.La dificultad de Ptolomeo para restringir la astronomía a salvar las apariencias tuvo eco en Proclo, un neoplatónico del siglo v. Proclo se quejaba de que los astrónomos habían subvertido el método científico adecuado. En lugar de deducir conclusiones de axiomas evidentes, basándose en el modelo de la geometría, construían hipótesis solamente para acomodarse a los fenómenos. Proclo insistía en que el axioma adecuado APRA la astronomía es el principio aristotélico de que todo movimiento simple es un movimiento, o bien alrededor del centro del universo, o bien con dirección hacia o desde este centro. Y consideraba la incapacidad de los astrónomos para derivar los movimientos de los planetas de este axioma cono indicio de una limitación de la mente humana impuesta por la divinidad.

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