“AÑO DE LA INTEGRACION Y DEL RECONOCIEMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE UCAYALI

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURVAS EN TRANSICIÓN

CICLO: V

DOCENTE: Ing. Devyn Donayre Hernández.

FECHA DE ENTREGA: 1 de junio.

INTEGRANTES: PECHO SCHRADER, ANGÉLICA. ROBLES RIMAC, RUBEN DARIO.

SANCHEZ SANTACRUZ, JAMES.VARGAS MENDOZA, CARLOS AUGUSTO.

PUCALLPA – PERÚ

2012.

CURVAS DE TRANSICIÓN EN CARRETERAS.

En un trazado donde solo se emplean rectas y círculos, la curvatura pasa bruscamente desde cero en la tangente hasta el valor finito y constante en la curva. Esta discontinuidad de curvatura en el punto de unión de los alineamientos rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional, pues además de ser incomoda para el conductor puede ser causa de accidentes debido a la fuerza centrifuga. Por otra parte, para alcanzar en la curva circular la inclinación transversal de la vía en las curvas llamada peralte requerido a todo lo largo de ella, debe pasarse de la inclinación transversal hacia ambos lados del eje de la vía en la parte recta llamada bombeo del alineamiento recto de dicho peralte. De estas consideraciones surge la necesidad de emplear un alineamiento de transición entre los alineamientos rectos y curvos de una carretera, a través del cual la curvatura pase gradualmente desde cero hasta el valor finito de la curvatura circular, a la vez que la inclinación transversal de la calzada pase también paulatinamente desde el bombeo al peralte.

En las carreteras modernas, la transición de un elemento de tanta importancia como el circulo y la recta. Su uso se hace obligatorio para evitar ópticas de los bordes de la vía, a la vez de la necesidad de adaptar el trazado a la configuración del terreno al comportamiento usual que la mayoría de los conductores induce a su empleo. Diversos procedimientos se han utilizado para efectuar la transición de la curvatura entre los alineamientos rectos y circulares. Es así que el enlace de dos alineamientos rectos se puede realizar mediante el uso del arco de circulo de radio precedido y seguido por una curva de transición de radio variable, o utilizando las curvas de transición sin arco de círculos intermedios. Cualquiera que sea el procedimiento que se seleccione para realizar la transición de una carretera, esta debe satisfacer los requerimientos exigidos por la dinámica del movimiento, la maniobrabilidad del vehículo, el confort del conductor y la geometría del trazado

GEOMETRIA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN.

En un trazado donde sólo se emplean rectas y círculos, la curvatura pasa bruscamente desde cero en la tangente hasta un valor finito y constante en la curva. Esta discontinuidad de curvatura en el punto de unión de los alineamientos rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional, pues además de ser incomoda para el conductor puede ser causa de accidentes debidos a la fuerza centrifuga. Por otra parte, para alcanzar en la curva circular el peralte (inclinación transversal de la vía en las curvas) requerido a todo lo largo de ella, debe pasarse del bombeo (inclinación transversal hacia ambos lados del eje de la vía en la recta) del alineamiento recto a dicho peralte. De estas consideraciones surge la necesidad de emplear un alineamiento de transición entre los alineamientos rectos y curvos de una carretera, a través del cual la curvatura pase gradualmente desde cero hasta el valor finito de la

curva circular, a la vez que la inclinación transversal de la calzada pase también paulatinamente desde el bombeo al peralte. En las carreteras modernas, la transición es un elemento de tanta importancia como el círculo y la recta. Su uso se hace obligatorio para evitar ópticas de los bordes de la vía, a la vez de la necesidad de adaptar el trazado a la configuración del terreno al comportamiento usual que la mayoría de los conductores induce a su empleo. Diversos procedimientos se han utilizado para efectuar la transición de la curvatura entre los alineamientos rectos y circulares. Es así que el enlace de dos alineamientos rectos se puede realizar mediante el uso del arco de circulo de radio R precedido y seguido por una curva de transición de radio variable, o utilizando las curvas de transición sin arco de círculos intermedios. Cualquiera que sea el procedimiento que se seleccione para realizar la transición, esta debe satisfacer los requerimientos exigidos por la dinámica del movimiento, la maniobrabilidad del vehículo, el confort del conductor y la geometría del trazado.

TIPOS DE CURVAS EN TRANSICION

TE = Punto de empalme entre la recta y la espiralEC = Punto de empalme entre la espiral y el arco circular

CE = Punto de empalme entre el arco circular y la espiralET = Punto de empalme entre la espiral y la recta∆   = Deflexión de la curva.Rc = Radio curva circularLe = Longitud curva espiralӨe = Delta o deflexión curva espiralXc = Coordenada X de la espiral en los puntos EC y CEYc = Coordenada Y de la espiral en los puntos EC y CEP   = Disloque = Desplazamiento del arco circular con respecto a la tangenteK  = Abscisa Media. Distancia entre el TE y el punto donde se produce el disloqueTe = Tangente de la curva. Distancia TE – PI y PI - ETEe = ExternaTl  = Tangente larga. Distancia entre TE o ET y PIeTc = Tangente corta. Distancia entre PIe y EC o CECe = Cuerda larga de la espiral. Línea que une TE con EC y CE con ETФ  = Angulo de la cuerda larga de la espiral∆c = Deflexión de la curva circularG  = Grado de curvatura circularLc = Longitud curva circularCc = Cuerda larga circular

Estudio de la Clotoide o Espiral de Euler.Su expresión más simple es           A2 = R x LCorresponde a la espiral con más uso en el diseño de carreteras, sus bondades con respecto a otros elementos geométricos curvos, permiten obtener carreteras cómodas, seguras y estéticas.Las principales ventajas de las espirales en alineamientos horizontales son las siguientes:

-   Una curva espiral diseñada apropiadamente proporciona una trayectoria natural y fácil de seguir por los conductores, de tal manera que la fuerza centrífuga crece o decrece gradualmente, a medida que el vehículo entra o sale de una curva horizontal.

-   La longitud de la espiral se emplea para realizar la transición del peralte y la del sobreancho entre la sección transversal en línea recta y la sección transversal completamente peraltada y con sobreancho de la curva.

-   El desarrollo del peralte se hace en forma progresiva, con lo que se consigue que la pendiente transversal de la calzada sea, en cada punto, la que corresponde al respectivo radio de curvatura.

-   La flexibilidad de la clotoide y las muchas combinaciones del radio con la longitud, permiten la adaptación a la topografía, y en la mayoría de los casos la disminución del movimiento de tierras, para obtener trazados más económicos.Con el empleo de las espirales en autopistas y carreteras, se mejora considerablemente la apariencia en relación con curvas circulares únicamente.  En efecto, mediante la aplicación de espirales se suprimen las discontinuidades notorias al comienzo y al final de la curva circular (téngase en cuenta que sólo se utiliza la parte inicial de la espiral), la cual se distorsiona por el desarrollo del peralte, lo que

es de gran ventaja también en el mejoramiento de carreteras existentes.

Ecuaciones Paramétricas

La clotoide se puede definir como una curva tal que su radio es inversamente proporcional a su longitud.  Su ecuación intrínseca es:

Donde:L          :           Longitud desde el origen a los puntos indicados, (m)R         :           Radios en los puntos indicados, (m)A         :           Parámetro de la clotoide, (m)

Parámetro A

a.  Consideraciones generales- Por definición, en las clotoides la curvatura varía gradualmente desde cero (0) en la tangente, hasta un valor máximo correspondiente al de la curva circular espiralizada, ya que el radio de la curva, en cualquier punto de la espiral, varía con la distancia desarrollada a lo largo de la misma, manteniendo su parámetro A constante.  Es decir, aún cuando el radio y la longitud de los distintos puntos de la clotoide tienen diferentes valores, estos están ligados entre sí, de modo que su producto es un valor constante, pudiéndose fácilmente calcular uno de ellos cuando se conoce el valor del otro;

- Las clotoides de parámetro A grande, aumentan lentamente su curvatura y, por consiguiente, son aptas para la marcha rápida de los vehículos.  Las espirales de parámetro A pequeño aumentan rápidamente su curvatura y, por consiguiente, se utilizan para velocidades de marcha reducida;

- El parámetro A, al fijar el tamaño de la clotoide, fija la relación entre R (radio), L (longitud) y q (ángulo central de la espiral).b.  CálculoSi en la fórmula A2=R x L hacemos R=L, entonces: A = R = L, y el punto en que tal cosa ocurre es el punto paramétrico de la clotoide, punto en el cual el radio de curvatura y la longitud del arco desde el origen son iguales.  En el punto paramétrico corresponde un arco entre las tangentes de 28°38’52”.

Elementos de la Clotoide

R x L = A2        --->         Rc x Le = R x L    ----->            R = (Rc x Le)/ L

∆ = 2Өe + ∆c

Otra característica de la clotoide es  Ө = L2/2RLe; significa que el ángulo central de la Clotoide , Ө, varía proporcionalmente al cuadrado de de su arco, o distancia desde TE hasta el punto considerado.Si, Ө = Өe  ; entonces;  L = Le  y R = Rc ; sustituyendo   Өe = Le/2Rc  (Rad.)Si se quiere en Grados; multiplicar por (180/pi)Relacionando las dos ecuaciones de Ө  y  Өe  tenemos;(Ө/ Өe) =   L2/2RLe / Le/2Rc  = (L/Le)2   ---->        (Ө/ Өe) =    (L/Le)2

 Las Coordenadas cartesianas de un punto sobre la curva (PSC) serán:X = L (1 – Ө2/ 10)                              Y = L (Ө/ 3 – Ө3/ 42)      Ө en Rad.En el punto EC ó CE tendremosXe = Le (1 – Өe

2/ 10)                         Ye = Le (Өe/ 3 – Өe3/ 42)      Ө en

Rad.Reemplazando en Y, el valor de  Ө; tenemos la Ecuación general de la Curva

Y = L3 / 6RLe

Que indica que la Clotoide es aproximadamente una parábola cúbica.

Si se observa la Figura 03 se puede notar que la espiral desplaza la curva circular hacia el centro de esta separándola un distancia Ye en el punto donde estas empalman (EC y CE) y una distancia p, llamada disloque, en el PC. Aunque el PC no existe dentro de la curva, es el punto donde supuestamente estaría ubicado éste si no se tiene la curva espiral, en otras palabras, es el punto donde la tangente a la prolongación de la curva circular es paralela a la tangente de la curva.El punto PC está ubicado a una distancia K desde el TE en la dirección de la tangente. El valor de K se conoce comoabscisa media ya que su valor es aproximadamente igual a la mitad de Le. Podría decirse entonces, que el disloque es el valor de Y en la mitad de la curva espiral y que la mitad de la curva espiral reemplaza parte de la curva circular.De la Figura 003 se tiene que:

K, P, entonces son las coordenadas cartesianas del punto PC

La utilidad del disloque radica en que de acuerdo a su valor se define la necesidad o no de utilizar curvas de transición. Un valor muy pequeño significa que la trayectoria de la curva circular simple es muy similar a la descrita con curvas de transición por lo que se podría prescindir de estas. Un valor alto indica que las dos trayectorias son lo suficientemente diferentes para considerar que se deben usar las espirales de transición.De acuerdo a la fórmula de cálculo del disloque se puede observar que al aumentar el radio disminuye el peralte por lo que curvas con radios muy grandes no requiere de espirales de transición. Aunque se han manejado valores límites para disloque, inicialmente fue de 0.30 m y luego de 0.1 m, por debajo de los cuales se recomienda no usar transiciones, los diseños actuales contemplan el uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del disloque.

Ubicación del TE (o ET)De la Fig. 01 obtenemos que:

De la misma figura obtenemos que el valor de la externa será:Ec= (Rc+P)(sec ∆/2) - Rc

El valor de la Tangente Larga y la Tangente Corta será:Tc= Ye/ (senӨe)                                       Tl= Xe – Tc (cosӨe)  

 El valor de la cuerda Larga Ce, de la figura 02, tenemos

                             De la fig. 02 tomamos que el ángulo Ф llamado ángulo de deflexión, es el formado por la línea que une un punto cualquiera sobre la clotoide con el TE y la línea TE-PI. Si aceptamos que este ángulo es lo suficientemente pequeño, entonces aceptamos que el arco se confunde con la cuerda, por lo tanto:y = L sen Ф;  = L . Ф , entonces;    Ф = y/L.   reemplazando “y” de la ecuación general, tenemos;Ф = L2/(6RcLe);   pero sabemos que Ө = L2/2RLe,  entonces: Ф = Ѳ / 3Los parámetros de la curva circular se obtienen de las mismas formulas de la curva circular simple. Sabiendo que:∆ = 2Өe + ∆c

L = 2Le + LcLc = (π Rc ∆c)/ 180

LEMNISCATA Es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante. En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en latín significa "cinta colgante".Puede ser obtenida como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo inversor centrado en el centro de la hipérbola.

Pues bien, si seccionamos un toro por un plano paralelo a su eje obtendremos óvalos de Cassini, con diferentes formas según el plano esté más cerca o lejos de dicho eje (simplificando mucho la forma de expresarlo). En el dibujo de la derecha está la lemniscata de Bernoulli, caso particular de los óvalos de Cassini. Como veis se asemeja al símbolo de infinito: ∞

El trazado es sencillo:

1. Trazar dos rectas perpendiculares r y s.

2. Trazar una circunferencia tangente a las dos rectas con el radio que queramos

3. Por O (intersección de r y s), trazar rectas secantes a la circunferencia. Cada secante intercepta en una pareja de puntos, como la pareja M 1 y M 2

4. Tomar la longitud de cada cuerda y situar en la recta a partir de O obteniendo puntos exactos de la curva como OM al tomar la cuerda M1-M 2, ON= N1 N2, OP= P1 P 2…

5. Al unir los diferentes puntos M, N, P… la curva queda determinada.

PARABOLA CUBICA

La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3, se llama: función cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece a continuación.

DEDUCCION DE LAS FORMULAS PARA CURVAS EN TRANSICION

Se adoptará en todos los casos como curva de transición la clotoide, cuya ecuación intrínseca es:

R·L = A2

Siendo:

R = radio de curvatura en un punto cualquiera. L = longitud de la curva entre su punto de inflexión (R = infinito

) y el punto de radio R. A = parámetro de la clotoide, característico de la misma.

Otros valores a considerar son (figura 4.1):

Figura 4.1Curva de transición.

Ro = radio de la curva circular contigua. Lo = longitud total de la curva de transición.

Ro= retranqueo de la curva circular.

Xo, Yo = coordenadas del punto de unión de la clotoide y de la curva circular, referidas a la tangente y normal a la clotoide en su punto de inflexión.

Xm, Ym = coordenadas del centro de la curva circular (retranqueada) respecto a los mismos ejes.

L = ángulo de desviación que forma la alineación recta del trazado con la tangente en un punto de la clotoide.

o En radianes:

L = L/2·R

o En grados centesimales:

L = 31,83 ·L /R

Lo = ángulo de desviación en el punto de tangencia con la curva circular.

= ángulo entre las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de inflexión.

V = vértice, punto de intersección de las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de inflexión,

T = tangente, distancia entre el vértice y el punto de inflexión de una clotoide.

B = bisectriz, distancia entre el vértice y la curva circular.

Longitud mínima.

La longitud de la curva de transición deberá superar la necesaria para cumplir las limitaciones que se indican a continuación.

Limitación de la variación de la aceleración centrífuga en el plano horizontal.

La variación de la aceleración centrífuqa no compensada por el peralte deberá limitarse a un valor J aceptable desde el punto de vista de la comodidad.

Suponiendo a efectos de cálculo que la clotoide se recorre a velocidad constante igual a la velocidad específica de la curva circular asociada de radio menor, el parámetro A en metros, deberá cumplir la condición siguiente:

Siendo:

Ve = Velocidad especifica de la curva circular asociada de radio menor (km/h)

J = Variación de la aceleración centrifuga (m/s3) R1 = Radio de la curva circular asociada de radio mayor (m)

R0 = Radio de la curva circular asociada de radio menor (m) p1 = Peralte de la curva circular asociada de radio mayor (%) p0 = Peralte de la curva circular asociada de radio menor (%)

Lo que supone una longitud minima (Lmin) de la clotoide dada por la expresión:

A efectos prácticos, se adoptarán para J los valores indicados en la tabla, debiendo sólo utilizarse los valores de Jmáx cuando suponga una economía tal que justifique suficientemente esta restricción en el trazado, en detrimento de la comodidad.

TABLA

Ve

(km/h)Ve < 80

80 < Ve < 100

100 < Ve < 120

120 < Ve

J (m/s³) 0,5 0,4 0,4 0,4

Jmáx

(m/s³)0,7 0,6 0,5 0,4

Limitación de la variación de la pendiente transversal.

A efectos de aplicación de la presente Norma, la variación de la pendiente transversal se limitará a un máximo del cuatro por ciento (4 %) por segundo para la velocidad específica de la curva circular asociada de radio menor.

Condiciones de percepción visual.

Para que la presencia de una curva de transición resulte fácilmente perceptible por el conductor, se deberá cumplir simultáneamente que:

La variación de acimut entre los extremos de la clotoide sea mayor o igual que 1/18 radianes.

El retranqueo de la curva circular sea mayor o igual que cincuenta centímetros (50 cm).

Es decir, se deberán cumplir simultáneamente las siguientes condiciones:

Lmin = Ro/9 ------> Amin = Ro/3 Lmin = 2·(3·Ro)1/2 ------> Amin = (12·Ro

3)1/4

Siendo:

Lmin = longitud (m). Ro = radio de la curva circular (m).

Por otra parte, se recomienda que la variación de acimut entre los extremos de la clotoide, sea mayor o igual que la quinta parte del ángulo total de giro entre las alineaciones rectas consecutivas en que se inserta la clotoide (figura 4.1).

Es decir:

Lmin = (··Ro)/500 ------> Amin = Ro·(·/500) 1/2

Siendo:

Lmin = longitud (m). Ro = radio de la curva circular (m), = ángulo de giro entre alineaciones rectas (gon).

Valores máximos.

Se recomienda no aumentar significativamente las longitudes y parámetros mínimos obtenidos en el apartado 4.4.3 salvo expresa justificación en contrario. La longitud máxima de cada curva de acuerdo no será superior a una vez y media (1,5) su longitud mínima.

REPLANTEO DE LAS CURVAS CON TRANSICIONES

1) Se ubica con mucha precisión los puntos principales de la curva, es decir, TE, EC,CE y ET de tal manera de no acumular errores.

2) Se ubican los puntos intermedios de las espirales y la curva circular con menosprecisión.

Forma de replantear el CE o el EC

1) Con la cuerda larga (CL) y Ǿe2) Con la tangente larga (TL) y con la tangente corta (TC)3) Con Xc y Yc

4) Con el problema No. 2 (replanteo) apoyándose en referencias que tenganCoordenadas. Se supone que el Ec ya tiene sus coordenadas calculadas.

NOTA: Cuando la distancia (d) de replanteo es muy larga es recomendable utilizardistanciómetros.

Formas de calcular las deflexiones para el replanteo de la espiralPrimera forma

Calcular θ por la fórmula θ = (l / le)2

θ e para cada punto y luego se toma: Ǿ = θ / 3θ = (l / le)2θ e / 3

Segunda formaSe calcula X e Y para cada punto con las fórmulas siguientes:X =λ( 1 - θ 2/ 10 + θ 4/ 216 . . . ) Y = λ( θ/ 3 - θ3/ 4 . . . )Ǿ = arc Tg (X / Y)

Tercera forma

Con los coeficientes de la tabla VIII (Ver ANEXO No. 13) y la tabla X de Barnett.

NOTA: * La única diferencia entre la tabla VIII y la Tabla X es que la tabla Xdivide a la espiral en veinte partes iguales.* La forma 1 y la forma 3 son las más recomendables, por su sencillez, paracalcular las deflexiones de las espirales.

Para calcular las deflexiones de un punto cualquiera, con la tabla VIII, se multiplica elcoeficiente que se indica en la tabla porθ e.

Ǿ= coeficiente *θe

Replanteo por deflexiones desde un punto de cambio dentro de la espiral

Aunque esta operación se presenta muy pocas veces en el campo, debido a lacorta distancia de la espiral, es prudente conocer el procedimiento.

Existen dos formas:

Con la tabla VIII de BarnettCon las fórmulas de la espiral y de la circular

NOTA: La forma 2 es tediosa y complicada por lo que se sugiere utilizar la forma 1.

Ejemplo: Si se tiene una curva con una e = 9º 06´ 45¨,54 le = 40 m. y Rc = 125,75 m.y se observó hasta el punto 7, y en este punto se necesita hacer un punto decambio para seguir replanteando la espiral. Se pide calcular las deflexionespara los puntos 8, 9 y 10.

Haciendo esto por la primera forma se obtiene:Pto. deflexiones78 Ǿ= 0,0733 *θe = 0º 40´ 059 Ǿ = 0,1533 *θe = 1º 23´ 4910 Ǿ = 0,2400 *θe = 2º 11´ 13

Orientación del anteojo para replantear

1) Si el punto de estación es TE ó ET se apunta con 00º 00´00¨ al vértice y seComienza a marcar las deflexiones.2) Si el punto de estación es EC ó CE se apunta al punto de intersección de TL y TCy si se quiere replantear la espiral se marcan las deflexiones desde EC. Pero si seQuiere replantear la circular se apunta con 00º 00´ 00¨ a la intersección de TL y TCCon el anteojo invertido, luego se realiza la vuelta de campana y se comienza aMarcar las deflexiones de la circular calculadas en la libreta desde EC. Otra formade replantear la circular sería apuntando con anteojo invertido a TE con un ánguloigual a 2 e a la izquierda, luego se realiza la vuelta de campana y se comienza areplantear la circular.

NOTA: Todo esto se fundamenta por el hecho de que todas las deflexiones se marcan

desde una tangente geométrica a la curva.

3) Si la estación es un punto de cambio dentro de la espiral se apunta a TE con elanteojo invertido, y con un ángulo de 00º 00´00¨ se da vuelta de campana y secomienza a marcar las deflexiones desde el punto de cambio sumándole 2 a cadadeflexión.