Guia de Curvas de Transicion

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Ingeniera Vial I Curvas de Transicin /

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL

"LISANDRO ALVARADO"

DECANATO DE INGENIERIA CIVIL BARQUISIMETOVENEZUELA

Departamento de Ing Vial Ingeniera Vial I (21055)

Ing Jos Ral de la Cruz Secciones 082/52-53-54

No es el ngulo recto lo que me atrae.

Ni la lnea recta dura, inflexible, creada por el hombre.

Lo que me atrae es la curva libre y sensual. La curva que encuentro en las montaas de mi pas.

En el curso sinuoso de sus ros... en las ondas del mar... en el cuerpo de la mujer amada.

De curvas est hecho todo el Universo.

Oscar Niemeyer

CURVAS DE TRANSICIN

Para lograr que un vehculo que describe una trayectoria rectilnea pase a

una circular, el conductor acta sobre los componentes direccionales produciendo

la accin deseada. Ese cambio de direccin tiene lugar en el rea "barrida" por el

mvil en su desplazamiento de manera que podemos inferir, analizando

empricamente la trayectoria descrita, su eventual asimilacin a una curva plana

matemticamente definida o su probable naturaleza aleatoria.

En 1941 el trazadista vial Olaf Glser analiz, en la helada poblacin

alemana de Dresden, la huella dejada por miles de automviles sobre la nieve y el

limo en zonas sin sealizacin vertical ni demarcacin de canales. El resultado fue

concluyente, la trayectoria descrita desde el alineamiento recto hasta alcanzar la

curvatura constante deseada, responde al grupo de las radiodes, curvas planas

cuya caracterstica principal es la variacin del radio de curvatura en funcin de

alguno de sus elementos geomtricos. Tenemos as, la radiode de abscisa

(Parbola cbica), la de cuerda (Lemniscata u valo de Cassini), y la de arco

(Clotoide, o "Espiral" de Cornu) definida por Jacobo Bernoulli en 1680.

Las curvas de transicin o simplemente transiciones, tienen su origen

prctico en la dinmica de los ferrocarriles. A medida que la potencia de las

locomotoras aument y con ella la velocidad de desplazamiento, se produjeron

graves descarrilamientos que obligaron a la investigacin aplicada a dar con

soluciones tcnicas satisfactorias: a) la sobreelevacin del riel exterior y b) la

insercin de una radiode entre el alineamiento recto y el de curvatura constante.

En realidad la insercin de la radiode no persegua en un principio regular los

incrementos de aceleracin radial en la curvatura horizontal sino la obtencin de

una lnea recta en el perfil longitudinal del riel exterior para la Longitud de

Transicin de peralte. Esta necesidad solo se cumple rigurosamente en una

123


curva cuyo radio de curvatura decrezca en proporcin inversa al arco recorrido

razn por la que se adopt para las carreteras, luego de largas polmicas entre

los promotores de las otras radiodes, a la Clotoide como la transicin por

antonomasia.

Esta radiode, incorrecta pero usualmente denominada "espiral", posee

caractersticas comunes a las dems radiodes pero adems otras ventajas como:

a) el isodinamismo que permite deflexiones constantes de las ruedas direccionales,

b) la variacin constante del radio de curvatura desde infinito en su punto de

tangencia hasta cero en cualquiera de sus polos y c) el replanteo, anlogo al de los

arcos circulares. Por otra parte, y esta es una de sus aplicaciones ms

importantes, en su longitud es posible desarrollar racionalmente el peralte.

Huge Kasper, W. Schurba y H. Lorenz, en su texto, hoy clsico, "La clotoide

como elemento del trazado", de principio de la dcada de los '50 del siglo pasado,

sentaron las bases para que la "curva misteriosa" dejara de ser tal. La expresin

del parmetro de la Clotoide como una variable cuadrtica es un artificio

matemtico introducido por Kasper en el diseo geomtrico de carreteras:

donde:

: Radio en el punto genrico

: Arco clotoidal hasta el de radio

: Radio del arco circular

: Arco clotoidal hasta el punto o

: Parmetro de la Clotoide

El valor del parmetro se obtiene haciendo , de donde:

Esto equivale a decir que el parmetro de la Clotoide es el valor del radio de

curvatura en el extremo de un arco de longitud . Al punto de la clotoide donde se

cumple esta igualdad se le denomina paramtrico. El valor del ngulo tangencial

en dicho punto es un valor constante: 0,5 radianes. De aqu se concluye que las

infinitas clotoides son iguales en su forma y es el parmetro su relacin de

homotecia.

El parmetro de la clotoide tambin puede calcularse a partir del conocimiento de la longitud de arco y del ngulo obtenido por la diferencia de

ngulos tangenciales en los extremos de dicho arco. Sea , en la figura siguiente, un elemento diferencial de arco de clotoide:

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pero,

sustituyendo:

e integrando

Aunque el ngulo tangencial vara entre 0 y radianes, en la prctica

valores altos son raras veces empleados1.

1 En Venezuela se utilizaron en 1956, para los enlaces a desnivel de la Autopista del Este, en

Caracas, clotoides de transicin total con ngulos tangenciales de 135. Hoy da se prefieren transiciones precediendo y siguiendo a un arco circular que evita el cambio instantneo de direccin en el punto ECE.

125


Si bien es cierto que la expresin paramtrica de la clotoide se determina sin

mayor complicacin, sus otros elementos no son sencillos de determinar y a ello se

debi el que por muchos aos se utilizaron para su clculo, aprovechando la

homotecia de la curva, tablas contentivas de valores tabulados de sus elementos

geomtricos para una longitud de parmetro unitario. Multipl icando el valor del

elemento geomtrico en el punto de semejanza de la clotoide de parmetro

unitario, por el parmetro de la otra clotoide, se obtiene el valor del elemento

deseado. Hoy da la versatilidad de las computadoras personales y sus integradas

versiones de bolsillo, muchas de ellas programables, han permitido reducir a

niveles insospechados los lentos y tediosos procedimientos de clculo. Sin

embargo, las tablas son de gran utilidad cuando, por ejemplo, se requiere un valor

aproximado inicial para un proceso de iteracin.

Como ya se expres las coordenadas rectangulares son ms laboriosas de

obtener; para deducirlas analicemos la figura siguiente:

Por definicin la clotoide es una radiode cuya curvatura vara

proporcionalmente con respecto al desarrollo del arco , por ello, en un punto

genrico de una transicin, se tiene que:

Si un arco de la misma clotoide es empleado como acuerdo horizontal entre

una recta y un arco de crculo, tendremos que en el punto , el arco y el radio

tendrn por valor y , respectivamente, por lo que:

Relaciones geomtricas entre arcos y radios de un punto

genrico PSC y del EC de una clotoide. Grfico sin escalas.

126


Eliminando la constante de proporcionalidad resulta:

de donde:

tambin,

Sustituyendo en la ltima ecuacin a R por su equivalente:

Integrando:

finalmente,

Cuando tiende a , tiende a por lo que podemos escribir para el

punto EC:

La relacin por cociente entre y ser:

simplificando trminos y despejando :

127


Esta frmula es la ms directa para la determinacin de en un punto

cualquiera de la transicin ya que se puede expresar el ngulo tangencial tanto en

radianes como en grados sexagesimales.

Del grfico de la pgina 51* se tiene que:

Estableciendo como origen relativo de la clotoide su punto de tangencia

con el eje de las abscisas (radio ) y la perpendicular en dicho punto (ver grfico

de la pgina 51*), Y desarrollando el coseno y seno en su expresin seriada

tenemos:

Reemplazando en las ecuaciones anteriores a por su equivalente

y luego integrando la serie de trminos resulta:

Anlogamente

En la prctica se desprecian los trminos de la serie a parir del cuarto por

ser infinitsimos de orden superior resultando ecuaciones manejables:

Las ecuaciones anteriores proveen las coordenadas rectangulares relativas

de un punto genrico de la clotoide definida por su longitud. Para obtener las

cartesianas de una clotoide definida por su parmetro las ecuaciones son:

128


A las coordenadas cartesianas del punto singu1ar , unin entre la

espiral y el crculo, se les denota e :

Normalmente el clculo con los cuatro primeros trminos de la serie es

suficiente y las ecuaciones resultantes son:

Tanto la definicin por el parmetro como por su longitud, pueden

emplearse indistintamente aunque en Venezuela se utiliza ms la segunda. Para

replanteos expeditivos o para representaciones grficas a escala grande, se

emplean ventajosamente las frmulas aproximadas que se obtienen desechando

los trminos de la serie ms all del primero; para clotoides definidas por su

longitud:

Para aquellas definidas por su parmetro:

129


PARMETROS DE INSERCION DE LA CLOTOIDE

Para que pueda introducirse un arco de transicin de longitud ,

antecediendo a un arco de crculo de radio , en tangencia con un alineamiento

recto, es necesario que el crculo sufra un desplazamiento tanto en el sentido de

las abscisas como en el de las ordenadas, de manera tal que se posibilite la

insercin de dicho arco. Tambin puede insertarse el arco de transicin

separando la tangente del crculo y conservando la posicin planimtrica del

centro de giro, o disminuyendo el radio de curvatura en una magnitud

conveniente. Se prefiere, usualmente, a) mantener la posicin de la tangente

para no afectar el diseo de las dems curvas y b) conservar el radio de

curvatura para no introducir valores no enteros que difieran de los valores

normalizados.

El desplazamiento radial en el sentido de las ordenadas recibe por nombre

retranqueo, por analoga con el trmino arquitectnico, y se le denota

comnmente como . Se le interpreta como la distancia que el vehculo se

separa del eje de geometra del arco de crculo utilizado como acuerdo, al

describir el conductor su propia transicin. La curva de transicin, que bisecta al

retranqueo en partes casi iguales, ha desarrollado hasta ese punto una longitud

Algunos elementos geomtricos de la curva de transicin. Sin escala.

130


que, proyectada sobre la tangente, representa la distancia axial a la que se

encuentra el origen de la transicin. En la figura que antecede a este prrafo el

retranqueo es:

mientras que la abscisa del centro de giro ser:

Si las transiciones de entrada y salida fuesen idnticas, igual parmetro, el

valor de la subtangente que representa la distancia del vrtice al punto inicio de

las transiciones, ser:

y la externa , tiene la frmula:

Desplazamientos geomtricos del crculo que posibilitan

la insercin del arco de transicin. Sin escala.

131


: Unin Tangente-Espiral

: Unin Espiral-Tangente

: Unin Espiral-Crculo

: Unin Crculo-Espiral

: Centro del Acuerdo Horizontal

: Centro de giro

: Radio de curvatura del crculo

: Retranqueo

: Vrtice de las tangentes

: ngulo de deflexin

: ngulo del arco circular

: Longitud del arco clotoidal

: Longitud del arco circular

: ngulo Tangencial en (y en )

: Abscisa de (y de )

: Ordenada de (y de )

: Abscisa del centro de giro

: Subtangente total

: Externa

132


El ngulo al centro , subtendido por el arco de crculo de longitud , est asociado al ngulo de deflexin por la relacin:

En el extremo distal de la clotoide y por lo que:

La longitud total del acuerdo es:

LONGITUD MNIMA DE LA TRANSICIN DE CURVATURA

Sea un vehculo que describe, con velocidad constante , una trayectoria

recta sobre una superficie horizontal; si en un momento dado cambia su trayectoria

a la de un arco clotoidal, el radio de curvatura, que tenda a infinito al comienzo de

la transicin, decrecer en una proporcin inversa al arco recorrido. Al final de la

transicin la aceleracin centrpeta ser:

Se tiene por la ecuacin intrnseca de la espiral que:

por lo que:

Sustituyendo en la primera ecuacin se tiene:

Pero , de donde:

Dado que la variacin de la aceleracin centrpeta, mejor la rata de variacin

133


de la aceleracin centrpeta con respecto al tiempo, debe ser una constante

resulta:

y finalmente

La rata de cambio de la aceleracin es entonces una expresin del empuje

radial que sufren los pasajeros por efecto de la variacin de la fuerza centrpeta y

en consecuencia puede expresarse como una medida de la comodidad

experimentada al recorrer la espiral. El rango de valores de este coeficiente, al

que tambin se le denota como "choque especfico" ha sido determinado

empricamente desde que las transiciones, en los aos finales del siglo

diecinueve, se emplearon en el guiado de los ferrocarriles. Sin embargo, un valor

de 3 , muy utilizado en ferrovas, resulta excesivo para carreteras,

mientras que 1 origina clotoides muy largas que pueden motivar

aumentos de la velocidad directriz.

El ingeniero Joseph Barnett, hacia 1936, recomend en su publicacin

clsica "Curvas con Transiciones para Caminos" un choque especfico de 2

, valor aproximado a 0,6 que ha sido ampliamente aceptado. Si

expresamos 1a velocidad en resulta una longitud de espiral dada por la

expresin:

Esta expresin, que se conoce como Frmula de Barnett, presupone al

vehculo desplazndose sobre una superficie horizontal, de donde inferimos que la

longitud calculada para la espiral puede ser reducida si se toma en cuenta la

cantidad de fuerza centrpeta absorbida por el peralte. El planteamiento terico es

el siguiente:

Cuando un vehculo transita a velocidad una trayectoria clotoidal peraltada

se tiene que en el extremo de un arco la inclinacin transversal de la calzada no

compensa toda la fuerza centrpeta y la aceleracin neta diferencia entre la

total y aquella compensada por el peralte puede escribirse:

134


donde:

: Peralte desarrollado en el arco

: Radio de curvatura en el extremo del arco

: Aceleracin de la gravedad

La rata de variacin de la aceleracin, tolerable por los pasajeros, resulta de

dividir la aceleracin neta por el tiempo que el vehculo tarda en recorrer el arco :

pero: y entonces,

tambin , de donde:

Sustituyendo al producto por su equivalente :

despejando :

Esta expresin, ms conocida como Frmula de Smirnoff2 es empleada para

calcular longitudes mnimas de arcos de clotoides definidas por su longitud. Si en

ella sustituimos a la aceleracin de la gravedad por su valor 9,81 y

expresamos la velocidad en se tiene:

La N.V.V. adopta un choque especfico de 0,41 por lo que la expresin

deviene en:

2 Desarrollada por ruso-estadounidense Michael V. Smirnoff y publicada en el estudio "Analytical

Method of Determining the Lenght of Transition Spiral" para la Sociedad Norteamericana de Ingenieros Civiles en 1949.

135


La siguiente tabla se elabor seleccionando de la tabla de "Longitudes

Normalizadas de Transiciones definidas por su Longitud" de las "Normas para

el Proyecto de Carreteras" los valores correspondientes a los radios ms

comunes:

Radio Ancho de rotacin

(m) 1 canal 2 canal 3 canal

50 55 90 120

60 60 95 130

70 60 100 135

80 65 100 140

90 70 105 145

100 70 110 145

120 75 115 155

140 80 120 160

160 85 125 165

180 85 130 170

200 90 130 175

250 90 135 180

300 90 135 180

350 90 135 180

400 90 130 170

450 85 120 155

500 85 110 140

550 80 105 130

600 80 100 120

650 75 95 115

700 70 90 105

750 70 85 100

800 65 80 95

900 60 75 90

1000 55 70 85

1200 45 60 75

2000 30 30 45

2500 30 30 45

3000 30 30 45

Nota: La lnea marcada en el ancho de rotacin indica el lmite donde no se necesita transicin de curvatura.

Longitudes normalizadas para Transiciones de Curvatura y

peralte de las Normas Viales Venezolanas (Extracto).

136


Los valores de la tabla anterior deben ser empleados en los proyectos viales

y slo en aquellos casos donde el encaje del arco sea impracticable, se emplearn

transiciones menores. En tales condiciones las N.V.V. requieren la satisfaccin de

los requisitos siguientes:

(para ancho de rotacin de 1 canal3)

Se tomar como al mayor de los tres valores.

El ejemplo siguiente permite aplicar los criterios citados:

Velocidad de proyecto: 90

Calzada nica: 2 canales de 3,60 c/u

Radio del arco circular: 350

Se pide:

a) normalizada de acuerdo a las N.V.V.

b) mnima segn las N.V.V.

Solucin:

a) En base al criterio de rotacin para calzadas nicas la longitud

normalizada se obtiene por la tabla de la pgina 60 en la interseccin de la

columna "1 canal" con la fila 250 (radio):

b) Longitud mnima:

de acuerdo a el valor normalizado de la N.V.V.

;

3 Para carreteras multicanal ver Frmulas a emplear en la Nota al pie de la pgina 36.

137


La longitud mnima de la transicin ser la mayor de las tres, esto es

. Esta eleccin est en clara concordancia con el criterio para la

distribucin del peralte en la transicin de curvatura, aspecto que pasamos a

explicar seguidamente:

DISTRIBUCIN DEL PERALTE EN LA CLOTOIDE

El desarrollo del peralte se rige por una ley lineal y para lograr este cometido

se hace coincidir el inicio de la transicin con el punto y su final con el punto de

unin de la clotoide y el arco circular con los consiguientes incrementos de

peralte proporcionales a las longitudes de arco recorridas. Si el paso por la

transicin se realiza a velocidad constante (como lo exige el anlisis terico) los

incrementos de aceleracin obedecern a una ley montona creciente y la

conduccin resultar cmoda y racional aunque la aceleracin tangencial no ser

totalmente absorbida por el peralte. La condicin de equilibrio del mvil la suplir, a

todo lo largo de la transicin, la friccin movilizada.

De lo expuesto en el prrafo anterior se infiere que si la longitud de

Transicin de peralte resultara superior a la de Transicin de Curvatura, habra

necesidad de a) comenzar a desarrollarla en el tramo recto b) concluir su desarrollo

en el tramo circular o c) combinar las proposiciones anteriores, En cualquiera de

los casos la solucin resultante es insatisfactoria desde el punto de vista dinmico

por lo que la distribucin del peralte debe hacerse conjuntamente con la transicin

de curvatura tal como se indica en el texto y grficos de las pginas *43 a *45 de

estas notas.

EL ANGULO TANGENCIAL COMO PARAMETRO DE INSERCIN DE LA ESPIRAL

Para que pueda ser utilizada una radiode como curva de transicin debe

cumplirse que en los puntos de unin con los elementos geomtricos a enlazar

(recta y crculo, crculo y crculo, recta y recta), la tangente sea comn y la

curvatura coincidente con la del punto del elemento que une. Esta condicin sine

qua non da lugar a una correlacin angular que restringe la posibilidad de

insercin de los arcos de transicin dado que no siempre el encaje es

geomtricamente posible.

Tal como se expresa en la pgina *51, el ngulo tangencial en el punto

de un arco de clotoide representa la diferencia de acimutes de las tangentes en los

extremos de dicho arco. Si se intenta disear un acuerdo entre dos alineamientos

rectos utilizando para ello arcos simtricos de clotoide tendramos que en el

desarrollo de la longitud de dichos arcos para alcanzar la curvatura constante del

crculo, ser preciso reducir el ngulo disponible para el arco circular en . Si

denominamos al ngulo de deflexin entre los alineamientos y al ngulo al

138


centro del arco circular tendramos que determinndose as tres

posibles relaciones entre la deflexin media y :

En el primer caso los arcos de transicin habran ocupado de la

deflexin total y estaran enlazados a un arco de crculo cuya longitud viene

dada por la expresin:

con en radianes y en metros. Para determinar la longitud del arco circular con

el ngulo al centro expresado en grados sexagesimales la igualdad a utilizar es la

siguiente:

En la relacin 2 el encaje de los arcos de transicin ha determinado la

supresin del arco circular quedando ste reducido al punto . A este acuerdo

se le denomina de Transicin Total o Clotoide de Vrtice por presentar su

diagrama de curvatura una angulosidad que semeja un tringulo issceles. En el

pasado el diseo con transicin total se lleg a considerar una solucin "elegante"

para los acuerdos pero modernamente poco se le emplea por razones

constructivas y dinmicas.

Cuando el resultado de diferenciar la deflexin media y el ngulo tangencial

es un valor negativo, el acuerdo resulta geomtricamente irrealizable y las

clotoides no pueden ser encajadas interceptndose en la bisectriz sin haber

alcanzado su longitud.

La ocurrencia del ltimo caso es frecuente cuando las deflexiones de los

alineamientos son pequeas y no siempre su solucin se puede alcanzar dado que

para lograr que el parmetro de insercin aumente para dar cabida a la espiral,

es menester aumentar el radio de curvatura que a su vez incidira sobre el peralte y

sobre la propia longitud de la espiral.

Tambin es posible modificar el ngulo de deflexin, aumentndolo, pero

la rotacin de las tangentes sobre los vrtices antecedente y siguiente pudiera

139


El ngulo tangencial en el extremo de la clotoide exponindose

grficamente sus relaciones con el de deflexin.

140


resultar impracticable. En ese momento estar plenamente justificado disear el

acuerdo con un arco circular simple.

El primer caso merece una explicacin ms detallada pues no siempre el

hecho de que exista arco circular es garanta de un buen diseo. Particular

atencin debe conferirse a la longitud de este tramo pues si resultara muy corto,

tanto como para que el conductor no apreciara que lo transita, tendra lugar una

dinmica similar a la de la transicin total. En trminos de percepcin, convendra

que la longitud del tramo circular no fuese menor que la distancia que recorre el

vehculo en un (1) segundo cuando se desplaza a la a la velocidad de proyecto. Si

as no fuese debera recalcularse la longitud de la espiral aumentando ligeramente

el choque especfico pero sin alcanzar valores de arco de transicin ms pequeos

que la longitud mnima de Transicin de Peralte. Si an esto resultara insuficiente

habr que aumentar el radio de curvatura, dejando invariable el choque especfico,

hasta conseguir la longitud conveniente de . Veamos algunos ejemplos

relacionados:

Se desea conocer:

a) Longitud mnima de transicin,

b) Longitud del arco circular y

c) Longitud total del acuerdo.

Solucin:

a) Longitud mnima de transicin: las Normas Viales Venezolanas prescriben

la verificacin de tres requisitos (ver pgina 63) para permitir el uso de transiciones

menores a las normalizadas:

(para ancho de rotacin de un canal)

Se tomar como al mayor de los tres valores. El primero de los requisitos

es de fcil cumplimiento. El segundo corresponde a la longitud derivada de la

141


aplicacin de la frmula de Smirnoff cuando el choque especfico es :

La tercera longitud corresponde a la longitud mnima de transicin de

peralte:

Se asume igual al ltimo valor por ser el mayor de los tres y se calcula el

ngulo tangencial:

La longitud del arco circular ser:

Para que el diseo resulte satisfactorio debe cumplirse que:

El tiempo empleado en recorrer el arco circular es:

La longitud total del acuerdo:

El diagrama de curvatura es el que sigue:

142


Se desea conocer:

a) Longitud de transicin segn criterio de Barnett,

b) Longitud del arco circular y

c) Longitud total del acuerdo.

Solucin:

Barnett estim que la longitud de la espiral ser aquella cuyo choque

especfico sea , as tenemos:

Es imprescindible determinar la longitud de transicin de peralte para

compararla con la de transicin de curvatura:

Diagrama de Curvatura. Clotoides Simtricas. S/escalas.

143


El ngulo tangencial es:

El ngulo al centro del arco circular ser:

Siendo nulo el valor de la longitud del arco circular tambin lo es y el

diagrama de curvatura del enlace es:

Si con los datos geomtricos del ejemplo anterior se intenta disear un

enlace horizontal empleando la longitud normalizada de la espiral segn las N.V.V.,

el acuerdo no ser posible:

Longitud normalizada

El signo negativo indica que las clotoides se entrecruzan en un punto donde an

no han alcanzado la curvatura del crculo. Si el radio aumenta, por ejemplo a , el

ngulo tangencial se reduce permaneciendo invariable la longitud de transicin:

Diagrama de Curvatura Clotoide de Vrtice. S/escalas.

144


Sistema de Curvas Espiralizadas Revertidas

Perspectiva aproximadapor R. A. Jerez

145


Longitud normalizada

La longitud del arco circular es:

El tiempo en que el vehculo transita el arco circular debe ser igual o mayor a

un segundo:

De los ejemplos analizados se deduce que la longitud mnima de la

transicin no es un valor nico, si no que por el contrario cada autor, sustentando

un criterio propio, o cada administracin pblica, asumiendo para s la aplicacin

de esos criterios, dar un matiz particular a este tan debatido tema de la ingeniera

vial. De la misma manera que la longitud de la espiral, el ngulo tangencial y el

retranqueo han sido objeto de controversia tcnica en lo que a sus valores mnimos

se refiere. Los ingenieros han esgrimido, en una u otra direccin, las ms diversas

opiniones, muchas de ellas encontradas. En todo caso, lo importante es el apego

racional a la normativa legal y la sensata aplicacin del sentido comn en la toma

de decisiones sobre los casos que esta normativa, que amerita un impostergable

refrescamiento, no contemple.

A continuacin, ya como aspecto final de este tema, se incluye un ejemplo

resuelto donde se abarcan la mayora de los criterios y clculos relacionados con la

transicin de curvatura:

Se desea disear un acuerdo horizontal con transiciones entre las tangentes

cuyas direcciones se indican. Determine los elementos geomtricos , , y de

un situado a 50 metros del origen de la transicin. Asimismo calcule , , ,

, , , , y las coordenadas de los puntos singulares , , , , y .

Datos:

146


Solucin:

El primer paso debera ser la representacin grfica de los alineamientos a

enlazar. El dato bsico para lograr este cometido lo constituyen las direcciones

angulares de las tangentes. La escala de representacin es un elemento a

determinar y siendo el radio de curvatura la magnitud ms inmediata de que

disponemos lo elegiremos como valor a representar, asumiendo que la dimensin

del papel disponible es de :

Con las direcciones de los alineamientos elaboramos un pequeo plano a

escala 1:5000 contentivo de los principales elementos geomtricos y sus relaciones

angulares, acimutes, rumbos y deflexin.

Seguidamente determinamos la longitud de transicin empleando para ello el

Parmetro de la clotoide:

El ngulo tangencial en el punto es:

El ngulo tangencial en el extremo del arco clotoidal de longitud ser:

Representacin grfica de los alineamientos mostrando sus principales

relaciones angulares. Escala 1:5000.

147


y el radio de curvatura en el referido extremo es:

Las coordenadas cartesianas del PSC son:

Y las del punto EC:

La abscisa del centro de giro vale:

El valor del retranqueo es:

y una aproximacin nos permite verificarlo:

Otra frmula aproximada:

La Subtangente total del enlace ser:

por lo que se hace necesario calcular la deflexin:

148


tambin:

luego:

La externa ser:

y la longitud del arco circular:

A continuacin pasaremos a determinar las coordenadas de los puntos

singulares del acuerdo:

a) Punto :

b) Punto :

149


c) Punto :

d) Punto :

e) Punto :

f) Punto

tambin (comprobacin):

150

Ingeniera Vial I Sobreancho /

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SOBREANCHO

El rea barrida por un vehculo en un recorrido rectilneo es notablemente

menor que aquella ocupada en uno curvo. En la figura siguiente, tomada de las

N.V.V., la lnea continua representa la traza descrita por la entreva , de un

vehculo tipo1 W 40, cuando describe su mnimo radio de giro. La lnea

discontinua es la traza del vuelo delantero.

1 Es la denominacin norteamericana empleada para denotar un tipo de vehculos pesado,

articulado, cuya distancia entre ejes extremos corresponde a 40 pies (aproximadamente 12,2 m).

Trayectoria para vehculo tipo W 40al recorrer curvas de 90

y 180. Modificado de las Normas para el Proyecto de

Carreteras del M. T.C. de Venezuela.

151


Evidentemente este radio mnimo de giro solo se utilizara en el diseo de

calles principales ya que el rea ocupada en carreteras secundarias y principales,

con radios muy superiores, es menor.

Sin embargo, otras dificultades aadidas como la tendencia de los

conductores a separarse del borde interior de la curva o la dificultad para mantener

el vehculo en el centro del canal, hacen necesario construir la calzada, para

ciertos valores de radio, con secciones de mayor dimensin en las curvas que en

las rectas. Esta dimensin lineal aadida recibe el nombre de sobreancho y se le

denota como .

Las N.V.V. prescriben los Sobreanchos, calculados para un tipo de vehculo

pesado, que se indican en la siguiente tabla:

Radio

(m)

Ancho del Carril (m)

3,60 3,30 3,00

50 1,30 1,60 1,90

60 1,20 1,50 1,80

70 1,10 1,40 1,70

80 1,00 1,30 1,60

90 0,90 1,20 1,50

100 0,80 1,10 1,40

110 0,60 0,90 1,20

120 0,50 0,80 1,10

150 0,40 0,60 0,90

200 0,30 0,45 0,60

250 0,30 0,45

300 0,30

Nota: en caso de hombrillos pavimentados se puede disminuir en 0,60 m el valor indicado.

Estos valores se debern multiplicar por 2 si la va es de 4 canales y por 3 si

fuese de 6.

Ejemplo 1:

Carretera d 2 canales de

Radio de curvatura:

Se pide:

Sobreancho total.

Sobreancho total del pavimento en curvas. Carreteras de dos

canales. Tomado de las Normas Viales Venezolanas.

152


Solucin:

Buscando en la tabla de Sobreancho la interseccin de la columna

Canal de con la fila Radio encontramos el

sobreancho: .

Ejemplo 2

Carretera de 2 canales de

Radio de curvatura:

Se pide:

Sobreancho total.

Solucin:

El valor del Sobreancho para un radio de no est tabulado por lo

que podemos interpolar asumiendo su variacin lineal entre los radios

y .

Ejemplo 3:


Hombrillos pavimentados de

Radio de curvatura:

Se pide:

Sobreancho total.

Solucin:

Por ser la va de 4 canales el Sobreancho ser:

Siendo el hombrillo pavimentado el Sobreancho se puede disminuir en

y finalmente:

153


El resultado indica que de acuerdo al criterio de las normas venezolanas la

calzada no necesita sobreancho.

TRANSICION DE SOBREANCHO

Las N.V.V. establecen textualmente que el sobre ancho normal se aplicar

al borde interior del pavimento a lo largo del desarrollo de la curva. La transicin

del Sobreancho se efectuar conjuntamente con la transicin de curvatura y se

realizar por incremento uniforme.

De la lectura del prrafo anterior se infiere que la N.V.V. no indica como

realizar la transicin de Sobreancho en curvas circulares simples. Tal vez lo ms

aconsejable sea inscribirlo en la transicin de peralte en proporciones y

respecto del punto .

As,

de donde:

y

A veces estas distancias resultan cortas y la apariencia del trazado es

deficiente al presentar aparentes angulosidades en los bordes. En todo caso estas

imperfecciones se suavizarn a ojo en el momento en que sea detectada su

ocurrencia en la fase constructiva.

En los acuerdos horizontales con transicin de curvatura su inscripcin

conjunta con la Transicin de Sobreancho permite que sta ltima crezca

montonamente siendo su valor, para cualquier punto del desarrollo, igual a:

donde:

: Sobreancho en la seccin radial del extremo de un arco de

longitud .

: Sobreancho del tramo .

: Arco genrico de clotoide.

: Longitud total de la clotoide.

154


Ejemplo:

En la curva de radio determinar el Sobreancho de la seccin

radial localizada en el extremo de un arco de de longitud.

Datos:

Parmetro de la clotoide:


Solucin:

El valor tabulado del Sobreancho para el Radio y ancho de canal del

problema es:

Luego, el Sobreancho para el arco de ser:

Ejemplo:

En la curva circular simple, de radio , determine el valor del

Sobreancho en las secciones transversales que contienen los puntos

y .

Datos:

Va de 4 canales de

Solucin:

El peralte asignado por las N.V.V. para el radio del problema es

y el Sobreancho total, tratndose de 4 canales, ser:

Finalmente, conviene expresar que las N.V.V. no consideran Sobreancho

alguno para radios superiores a aunque las recomendaciones tcnicas de la

AASHTO, por ejemplo, prescriben Sobreancho para radios muy superiores.

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