INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO” Ampliación Maracaibo Plataforma SAIA Materia: Vias de Comunicacion I

CURVAS COMPUESTAS

Autor:

GOMEZ PEÑA, Robin

C.I.: 9.799.075

Maracaibo, Agosto de 2016

INTRODUCCION

Curvas compuestas son las formadas por una sucesión de curvas circulares de diferente

radio. En el punto de contacto o de unión de dos de estas curvas, que se denomina P.C.C. (punto

común de curvas), puede trazarse una tangente a ambas, y los puntos de tangencia inicial y final

de una curva compuesta con las tangentes de una línea de proyecto se denominan, como en las

curvas simples, PC y PT.

En terrenos de montaña es frecuente el uso de curvas compuestas, entre cuyos elementos

existen relaciones que facilitan su cálculo y localización y que es preciso establecer.

En la localización de curvas compuestas de dos radios puede presentarse casos luego del

estudio del terreno en el lugar donde deba colocarse el PC y el PT, o ambos, sea inaccesible y

haya la necesidad de desplazar uno u otro de tales puntos, escogiendo su ubicación y midiendo

su respectiva distancia del PI.

CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS Las curvas circulares compuestas son aquellas que están formadas por dos o más curvas

circulares simples.

A pesar de que no son muy comunes, se pueden emplear en terrenos montañosos, cuando se

quiere que la carretera quede lo más ajustada posible a la forma del terreno o topografía natural,

lo cual reduce el movimiento de tierras. También se pueden utilizar cuando existen limitaciones de

libertad en el diseño, como por ejemplo, en los accesos a puentes, en los pasos a desnivel y en

las intersecciones.

1 Curvas circulares compuestas de dos radios

En la Figura 1 aparecen los diferentes elementos geométricos de una curva circular compuesta de

dos radios, definidos como:

PI = Punto de intersección de las tangentes.

PC = Principio de la curva compuesta.

PT = Fin de la curva compuesta o principio de tangente.

PCC = Punto común de curvas o punto de curvatura compuesta.

Punto donde termina la primera curva circular simple y empieza la segunda.

R1 = Radio de la curva de menor curvatura o mayor radio.

R2 = Radio de la curva de mayor curvatura o menor radio.

O1 = Centro de la curva de mayor radio.

O2 = Centro de la curva de menor radio.

Δ = Ángulo de deflexión principal.

Δ1 = Ángulo de deflexión principal de la curva de mayor radio.

Δ2 = Ángulo de deflexión principal de la curva de menor radio.

T1 = Tangente de la curva de mayor radio.

T2 = Tangente de la curva de menor radio.

TL = Tangente larga de la curva circular compuesta.

TC = Tangente corta de la curva circular compuesta.

Figura 1 Curva circular compuesta de dos radios

Los elementos geométricos que caracterizan cada curva circular simple se calculan en forma

independiente en cada una de ellas, utilizando las expresiones para curvas circulares simples,

deducidas anteriormente.

Para la curva compuesta es necesario calcular la tangente larga TL y la tangente corta TC, así:

∆ = ∆1 + ∆2

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐸𝐸 − 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐸𝐸

𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐸𝐸 = 𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑃𝑃𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + (𝑂𝑂2𝐶𝐶 − 𝑂𝑂2𝑃𝑃) En el triángulo rectángulo ABO1:

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂1𝐴𝐴 sin∆1 = 𝑅𝑅1 sin∆1

En el triángulo rectángulo O2D.PT:

𝑂𝑂2𝐶𝐶 = 𝑂𝑂2.𝑃𝑃𝑇𝑇 sin∆ = 𝑅𝑅2 sin∆

En el triángulo rectángulo O2CB:

𝑂𝑂2𝑃𝑃 = 𝑂𝑂2𝐴𝐴 sin∆1= 𝑅𝑅2 sin∆1

En el triángulo rectángulo PI.E.PT:

𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐸𝐸 = 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝑃𝑃𝑇𝑇 cos∆ = 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos∆

Por lo tanto,

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑂𝑂2𝐶𝐶 − 𝑂𝑂2𝑃𝑃 − 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐸𝐸

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑅𝑅1 sin∆1 + 𝑅𝑅2 sin∆ − 𝑅𝑅2 sin∆1 − 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos∆

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑅𝑅2 sin∆ + (𝑅𝑅1−𝑅𝑅2) sin∆1 − 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos∆

En el triángulo rectángulo PI.E.PT:

sin∆ =𝐸𝐸.𝑃𝑃𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃.𝑃𝑃𝑇𝑇 =

𝑏𝑏𝑇𝑇𝐶𝐶

,𝑇𝑇𝐶𝐶 =𝑏𝑏

sin∆

𝑏𝑏 = 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝑂𝑂1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1 = 𝑅𝑅1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1

𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝑃𝑃 − 𝑃𝑃𝑇𝑇.𝐶𝐶 En el triángulo rectángulo ABO1:

𝐴𝐴𝑂𝑂1 = 𝑂𝑂1𝐴𝐴 cos∆1= 𝑅𝑅1 cos∆1

En el triángulo rectángulo O2D.PT:

𝑃𝑃𝑇𝑇.𝐶𝐶 = 𝑂𝑂2𝑃𝑃𝑇𝑇 cos∆ = 𝑅𝑅2 cos∆

Entonces:

𝑏𝑏 = 𝑅𝑅1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1 + 𝐴𝐴𝑃𝑃 − 𝑃𝑃𝑇𝑇.𝐶𝐶 = 𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅1 cos∆1 + 𝑅𝑅2 cos∆1 − 𝑅𝑅2 cos∆

𝑏𝑏 = 𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2 cos∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos∆1

Luego:

𝑇𝑇𝐶𝐶 =𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2 cos∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos∆1

sin∆

Igualmente:

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑅𝑅2 sin∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin∆1 − �𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2 cos∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos∆1

sin∆ � cos∆

𝑇𝑇𝐿𝐿 =𝑅𝑅2 sin2 ∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin∆ sin∆1

sin∆ +−𝑅𝑅1 cos∆ + 𝑅𝑅2 cos2 ∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos∆ cos∆1

sin∆

𝑇𝑇𝐿𝐿 =𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1 cos∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos∆2

sin∆

2 Curvas circulares compuestas de tres radios La Figura 2 muestra una curva compuesta de tres radios de longitudes diferentes tal que R1>R2>R3

y de ángulos de deflexión principal Δ1, Δ2 y Δ3 respectivamente. Los puntos H y D son los puntos

comunes a cada par de curvas circulares, o sea, los dos PCC de la curva compuesta. Para el

cálculo y localización de la curva circular compuesta es necesario determinar la tangente larga TL

y la tangente corta TC, así:

∆ = ∆1 + ∆2 + ∆3

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑎𝑎 − 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐺𝐺 , donde,

𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑃𝑃𝐶𝐶 + 𝐸𝐸𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐸𝐸𝐵𝐵 = 𝑂𝑂3𝐵𝐵 − 𝑂𝑂3𝐸𝐸 , entonces,

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑃𝑃𝐶𝐶 + 𝐸𝐸𝐵𝐵 − 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐺𝐺

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑃𝑃𝐶𝐶 + 𝑂𝑂3𝐵𝐵 − 𝑂𝑂3𝐸𝐸 − 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐺𝐺 [1]

Los segmentos AH, BH, CD, O3F, O3E y PI.G se determinan en los siguientes triángulos

rectángulos:

Triangulo O1AH => 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂1𝐴𝐴 sin∆1= 𝑅𝑅1 sin∆1

Triangulo O2BH => 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂2𝐴𝐴 sin∆1= 𝑅𝑅2 sin∆1

Triangulo O2CD => 𝑃𝑃𝐶𝐶 = 𝑂𝑂2𝐶𝐶 sin(∆1 + ∆2) = 𝑅𝑅2 sin(∆1 + ∆2)

Triangulo O3F.PT => 𝑂𝑂3𝐵𝐵 = 𝑂𝑂3.𝑃𝑃𝑇𝑇 sin∆ = 𝑅𝑅3 sin∆

Triangulo O3ED => 𝑂𝑂3𝐸𝐸 = 𝑂𝑂3𝐶𝐶 sin(∆1 + ∆2) = 𝑅𝑅3 sin(∆1 + ∆2)

Triangulo PI.G.PT => 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐺𝐺 = 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝑃𝑃𝑇𝑇 cos∆ = 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos∆

Figura 2 Elementos de una curva circular compuesta de tres radios

Por lo tanto, en [1]:

𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑅𝑅1 sin∆1 − 𝑅𝑅2 sin∆1 + 𝑅𝑅2 sin(∆1 + ∆2) + 𝑅𝑅3 sin∆ − 𝑅𝑅3 sin(∆1 + ∆2) − 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos∆

𝑇𝑇𝐿𝐿 = (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin∆1 + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) sin(∆1 + ∆2) + 𝑅𝑅3 sin∆ − 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos∆ [2]

La tangente corta TC, en el triángulo rectángulo PI.G.PT, es:

sin∆ =𝐺𝐺.𝑃𝑃𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃.𝑃𝑃𝑇𝑇 =

𝑏𝑏𝑇𝑇𝐶𝐶

, 𝑇𝑇𝐶𝐶 =𝑏𝑏

sin∆ , donde,

𝑏𝑏 = 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝑃𝑃 + 𝐶𝐶𝐷𝐷

𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃.𝑂𝑂1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1 = 𝑅𝑅1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1

𝐴𝐴𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝑂𝑂2 − 𝑃𝑃𝑂𝑂2

𝐶𝐶𝐷𝐷 = 𝐶𝐶𝐸𝐸 − 𝐷𝐷𝐸𝐸 = 𝐶𝐶𝐸𝐸 − 𝑃𝑃𝑇𝑇.𝐵𝐵

𝑇𝑇𝐶𝐶 =𝑃𝑃𝑃𝑃.𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝑃𝑃 + 𝐶𝐶𝐷𝐷

sin∆ =𝑅𝑅1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1 + 𝐴𝐴𝑂𝑂2 − 𝑃𝑃𝑂𝑂2 + 𝐶𝐶𝐸𝐸 − 𝑃𝑃𝑇𝑇.𝐵𝐵

sin∆ [3]

Los segmentos AO1, BO2, CO2, DE y PT.F se determinan en los siguientes triángulos rectángulos:

Triángulo O1AH => 𝐴𝐴𝑂𝑂1 = 𝑂𝑂1𝐴𝐴 cos∆1= 𝑅𝑅1 cos∆1

Triángulo O2BH => 𝐴𝐴𝑂𝑂2 = 𝑂𝑂2𝐴𝐴 cos∆1= 𝑅𝑅2 cos∆1

Triángulo O2CD => 𝑃𝑃𝑂𝑂2 = 𝑂𝑂2𝐶𝐶 cos(∆1 + ∆2) = 𝑅𝑅2 cos(∆1 + ∆2)

Triángulo O3ED => 𝐶𝐶𝐸𝐸 = 𝑂𝑂3𝐶𝐶 cos(∆1 + ∆2) = 𝑅𝑅3 cos(∆1 + ∆2)

Triángulo O3F.PT => 𝑃𝑃𝑇𝑇.𝐵𝐵 = 𝑂𝑂3.𝑃𝑃𝑇𝑇 cos∆ = 𝑅𝑅3 cos∆

Por lo tanto, en [3]:

𝑇𝑇𝐶𝐶 =𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅1 cos∆1 + 𝑅𝑅2 cos∆1 − 𝑅𝑅2 cos(∆1 + ∆2) +𝑅𝑅3 cos(∆1 + ∆2) − 𝑅𝑅3 cos∆

sin∆

Luego:

𝑇𝑇𝐶𝐶 =𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅3 cos∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos∆1 − (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) cos(∆1 + ∆2)

sin∆ (1-01)

La tangente larga TL se obtiene reemplazando la ecuación (1-01) en [2]:

𝑇𝑇𝐿𝐿 = (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin∆1 + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) sin(∆1 + ∆2)

+ 𝑅𝑅3 sin∆

− �𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅3 cos∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos∆1 − (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) cos(∆1 + ∆2)

sin∆ � (cos∆)

𝑇𝑇𝐿𝐿 =(𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin∆ sin∆1 + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) sin∆ sin(∆1 + ∆2) + 𝑅𝑅3 sin2 ∆ − 𝑅𝑅1 cos∆

sin∆

+𝑅𝑅3 cos2 ∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos∆ cos∆1 + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) cos∆ cos(∆1 + ∆2)

sin∆

𝑇𝑇𝐿𝐿 =𝑅𝑅3(sin2 ∆ + cos2 ∆) − 𝑅𝑅1 cos∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) (sin∆ sin∆1) + (cos∆ cos∆1)

sin∆

+(𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3)[sin∆1 + sin(∆1 + ∆2) + cos∆ cos(∆1 + ∆2)]

sin∆

𝑇𝑇𝐿𝐿 =𝑅𝑅3(1)− 𝑅𝑅1 cos∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos(∆ − ∆1) + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) cos[∆ − (∆1 + ∆2)]

sin∆

Pero, ∆ − ∆1= ∆2 + ∆3 y ∆ − (∆1 + ∆2) = ∆3

Luego:

𝑇𝑇𝐿𝐿 =𝑅𝑅3 − 𝑅𝑅1 cos∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos(∆2 + ∆3) + (𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3) cos∆3

sin∆ (1-02)

Las expresiones anteriores para TC y TL sólo son válidas bajo la condición de que R1>R2>R3, en

ese orden.

Sin embargo, un caso más general es aquel en el cual siempre el radio de la primera curva es R1,

el de la segunda R2 y el de la tercera R3, cualesquiera sean sus longitudes; como por ejemplo, el

mostrado en la Figura 3. En esta situación, es más conveniente denominar las tangentes de la

curva compuesta como tangente de entrada TE o del lado del PC y tangente de salida TS o del

lado del PT. Dichas tangentes se calculan así:

𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑇𝑇1 + 𝑋𝑋 , donde,

𝑋𝑋sin𝛼𝛼 =

𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 + 𝑌𝑌sin𝛽𝛽 , esto es,

𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑇𝑇1 +(𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 + 𝑌𝑌)sin𝛼𝛼

sin𝛽𝛽 , pero,

𝑌𝑌sinΔ3

=𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3

sin𝜌𝜌

Figura 3 Caso General de una curva circular compuesta de tres radios

𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑇𝑇1 + �𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 +(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sinΔ3

sin𝜌𝜌 � �sin𝛼𝛼sin𝛽𝛽�

𝜌𝜌 = 180° − (Δ2 + Δ3) , sin𝜌𝜌 = sin[180°− (Δ2 + Δ3)] = sin(Δ2 + Δ3)

𝛼𝛼 = (Δ2 + Δ3) , sin𝛼𝛼 = sin(Δ2 + Δ3)

𝛽𝛽 = 180° − Δ , sin𝛽𝛽 = sin(180° − Δ) = sinΔ

Por lo tanto:

𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑇𝑇1 + �𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 +(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sinΔ3

sin(Δ2 + Δ3) � �sin(Δ2 + Δ3)

sinΔ � (1-03)

Para la tangente de salida se tiene:

𝑇𝑇𝑆𝑆 = 𝑇𝑇3 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 , donde,

𝑎𝑎sinΔ1

=𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 + 𝑌𝑌

sin𝛽𝛽 =𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 + (𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3)sinΔ3

sin𝜌𝜌sin𝛽𝛽

𝑎𝑎 = �𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇2 +(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3)sinΔ3

sin(Δ2 + Δ3) � �sinΔ1sinΔ �

𝑏𝑏sinΔ2

=𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3

sin𝜌𝜌 , 𝑏𝑏 =(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sinΔ2

sin(Δ2 + Δ3)

Por lo tanto:

𝑇𝑇𝑆𝑆 = 𝑇𝑇3 + �𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 +(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sinΔ3

sin(Δ2 + Δ3) � �sinΔ1sinΔ � +

(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sinΔ2sin(Δ2 + Δ3) (1-04)

Los valores de las tangentes simples T1, T2 y T3 se calculan en cada curva como:

𝑇𝑇1 = 𝑅𝑅1 tanΔ12 ; 𝑇𝑇2 = 𝑅𝑅2 tan

Δ22 ; 𝑇𝑇3 = 𝑅𝑅3 tan

Δ32

Dependiendo del valor de las longitudes de los radios T1, T2 y T3, en la Figura 4, se presentan las

seis posibles configuraciones.

Figura 4 Casos de curvas circulares compuestas de tres radios

Ejemplo: Elementos geométricos y deflexiones de una curva circular compuesta de dos radios.

Datos: Según la Figura 5, se tienen tres alineamientos rectos AB, BC y CD con la siguiente información:

Azimut alineamiento AB = 32°

Azimut alineamiento BC = 66°

Azimut alineamiento CD = 144°

Radio de la curva 1 = R1 = 76.800m

Cuerda Unidad de la curva 1 = C1 = 10m

Cuerda Unidad de la curva 2 = C2 = 5m

Abscisa del PC = K0+968.000

Distancia de BC = 60.000m

Los tres alineamientos deben unirse con una curva compuesta de dos radios (R1>R2), donde el

tramo BC es la tangente común a las curvas simples.

Figura 4

Calcular: a.- Las tangentes larga y corta de la curva compuesta

b.- Las deflexiones de la curva compuesta