Curso Nivelacion-Modulo 3

Facultad de Matemáticas – UADY Curso de Nivelación en Matemáticas

Departamento de Matemática Educativa Módulo 3: Geometría analítica

Del 26 de Octubre al 20 de Noviembre de 2009

MÓDULO

3

Geometría analítica

Contenido

1. Conceptos básicos

Al finalizar la unidad, el participante determinará la distancia entre dos puntos así como el punto medio de dos puntos dados.

1.1. Elementos del plano cartesiano

1.2. Distancia entre dos puntos

1.3. Punto medio entre dos puntos

2. Lugares geométricos

Al finalizar la unidad, el participante determinará la ecuación de una curva a partir sus propiedades geométricas, y viceversa.

2.1. Generación de lugares geométricos y sus ecuaciones

3. La línea recta Al finalizar la unidad, el participante utilizará los diferentes modelos de ecuaciones y gráficas de rectas para modelar situaciones en las que interviene una razón de cambio constante y resolver problemas sobre rectas.

3.1. Pendiente de una recta

3.2. Rectas paralelas y perpendiculares

3.3. Modelos analíticos y gráficos de las ecuaciones de la recta

3.4. Distancia de un punto a una recta

4. Secciones cónicas Al finalizar la unidad, el participante utilizará modelos analíticos y gráficos de las secciones cónicas, mediante la identificación de sus propiedades y elementos, para la resolución de problemas.

4.1. Circunferencia

4.2. Parábola

4.3. Elipse

4.4. Hipérbola


Departamento de Matemática Educativa Módulo 3: Geometría analítica

Del 26 de Octubre al 20 de Noviembre de 2009

Bibliografía

1. Fuller, G. (1979). Geometría Analítica. México: CECSA

2. Lehmann, C. (1997). Geometría Analítica. Ed. LIMUSA

3. May, A., Pech, J., Reyna, L. (2002). Matemáticas 3. Trigonometría y Geometría Analítica Básicas. México: Universidad Autónoma de Yucatán

4. Steen, F., Ballou, D. (1985). Geometría Analítica. México: Publicaciones Culturales, S.A. de C.V.

5. Swokowski, E. (2006). Algebra y trigonometría con geometría analítica. (11a. Ed.). Thomson.


Departamento de Matemática Educativa Módulo 3: Geometría Analítica

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1. Conceptos básicos

1.1. Elementos del Plano cartesiano

A cada punto de un plano le asociamos una pareja de números (x,y), llamados coordenadas rectangulares o cartesianas. Estas coordenadas son simplemente las distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas, una de ellas horizontal, llamada eje X, y la otra vertical, llamada eje Y. El punto de intersección de los ejes se llama origen, se representa por la letra O y tiene como coordenada el punto (0,0). La abscisa de un punto es la distancia dirigida del eje vertical (eje Y) al punto y se representa por x. La ordenada de un punto es la distancia dirigida del eje horizontal (eje X) al punto y se representa por y.

1.2. Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) está dada por la fórmula:

( ) ( )221

221 yyxxd -+-=

1.3. Punto medio entre dos puntos

Las coordenadas del punto medio P(x, y) de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son (x1, y1) y (x2, y2), son:

2

xxx

21 += ,

2

yyy

21 +=

Ejercicios

1) Determina el perímetro del triangulo cuyos vértices son (-3, -1), (3, 4), (4, -1).

2) Hallar el valor de y si la distancia entre (7, 1) y (3, y) es 5.

3) Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos: (3, 3), (6, 2), (8, -2).

4) Los vértices de un triángulo son A(3, 8), B(2, -1) y C(6, -1). Si D es el punto medio del lado BC, calcular la longitud de la mediana AD.

5) Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.

6) Determina las coordenadas de P que está sobre la recta que pasa por los puntos A y B, si P está a una distancia doble de B(-3, 1) que de A(2, 2).



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2. Lugar geométrico

2.1. Generación de lugares geométricos y sus ecuaciones

La Geometría Analítica es una parte de las matemáticas que, entre otras cosas, se ocupa de resolver algebraicamente los problemas de la geometría. Y los dos problemas fundamentales que atiende la geometría analítica son:

1. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación.

2. Dada una ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir la gráfica correspondiente.

Al conjunto de puntos de un plano (o espacio) que poseen cierta característica en común o que cumplen ciertas condiciones dadas se denomina lugar geométrico. Ejemplo 1: Circunferencia El lugar geométrico de los puntos que están a 1 cm de un punto P dado es la circunferencia de radio 1 cm con centro en P. (ver Fig. 1). Para determinar un lugar geométrico hay que:

a. Especificar que es lo dado y las condiciones que se deben satisfacer. b. Encontrar varios puntos que satisfagan la(s) condición(es), lo que ayudará a dar forma al

lugar geométrico. c. Conectar los puntos y describir completamente el lugar geométrico.

Ejemplo 2: Mediatriz

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos A y B, es la mediatriz del segmento de línea que une estos dos puntos. (ver Fig. 2). Nota: El conjunto de puntos que conforman un lugar geométrico, se puede interpretar como un punto que se desplaza describiendo una trayectoria que cumple la característica del lugar geométrico.

Fig. 2

Fig. 1

P

1 cm.



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2.1.1. Rectas paralelas a los ejes y recta identidad. Actividad de inducción

1. Un punto se mueve en el plano cartesiano con las trayectorias siguientes en diferentes periodos de tiempo: Periodo 1: siempre permanece a cinco unidades de distancia del eje x Periodo 2: siempre permanece a tres unidades de distancia del eje y Periodo 3: siempre se encuentra a la misma distancia tanto del eje x como del eje y

a) Bosqueja la grafica del los lugares geométricos generados por el movimiento de ese punto. b) Determina la ecuación de cada uno de los lugares geométricos.

2. Representa gráficamente cada uno de los lugares geométricos que se presentan en la tabla:

Descripción del lugar geométrico Representación gráfica

El lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que su distancia al

eje es siempre la misma.

El lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que su distancia al

eje es siempre la misma.

El lugar geométrico del punto que se mueve de tal forma que su distancia al eje

y al eje es siempre igual.



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Ejercicios propuestos 1) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de cuadrados de

distancias a los puntos fijos A (0, 0) y B (2, -4) sea igual a 20.

2) Dados dos puntos P1(2, 4) y P2(5, -3), hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos

P(x, y) de manera que la pendiente de PP1 sea igual a la pendiente PP2 más la unidad.

3) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual al

doble de su distancia al eje X. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica.

4) Una vía férrea está situada entre dos pueblos A, B (dos puntos). La vía está más cerca del

pueblo A que del pueblo B (como se muestra abajo). ¿En qué lugar hay que colocar la estación

(un punto), sobre la vía, para que esté a la misma distancia del pueblo A y del pueblo B?

Justifica tu respuesta.

3. LA LÍNEA RECTA

3.1. Pendiente de una recta

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.

� La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m.

m = tan α

� Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de

la recta es:

21

21

21 ,-

-xx

xx

yym ≠=

A

B



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Ejercicios

1) Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-3, 2)

y (7, -3).

2) Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4.

Hallar su ordenada.

3) La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3, 2) es igual a 4

3. Situar dos puntos

sobre la recta que equidisten 5 unidades de A.

4) Por medio de pendientes explicar porqué los puntos A(-3, 4), B(3,2) y C(6, 1) son colineales.

3.2. Rectas paralelas y perpendiculares

Si dos rectas 1L y 2L tienen pendientes 1m y 2m respectivamente, entonces:

� Son paralelas, si sus pendientes son iguales, es decir:

21 mm =

� Son perpendiculares, si la pendiente de una de ellas es igual al recíproco de la pendiente

de la otra con signo contrario, es decir:

21 m

1-m = , o bien, 1-mm 21 = .

3.3. Modelos analíticos y gráficos de las ecuaciones de la recta

Punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el

punto )y,x(P 111 y cuya pendiente es m

es:

)x-x(my-y 11 =

Pendiente-ordenada en el origen

La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto (0, b) es:

bmxy +=

General Una ecuación de primer grado en las variables x e y se puede escribir de la forma:

0CByAx =++

En donde A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita de esta

forma es B

A-m = y su ordenada en el origen es

B

C-b= .

Observación: Para graficar una recta es necesario tener en cuenta la pendiente de ésta y los cortes con los ejes.



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3.4. Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto )y,x(P 111 a una recta 0CByAx =++ se obtiene sustituyendo las

coordenadas del punto en la fórmula, donde A, B y C son los coeficientes de los términos de la ecuación de la recta:

22

11

BA

CByAxd

+

++=

Ejercicios 1) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene de pendiente 2.

Bosqueja la grafica de la recta. 2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta determinada

por los dos puntos (4, 1) y (-2, 2). Bosqueja la grafica de la recta. 3) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3,

respectivamente. Bosqueja la grafica de la recta. 4) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de

las rectas 2x + y – 8 = 0 y 3x - 2y + 9 = 0. Bosqueja la grafica de la recta.

5) Hallar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas paralelas 12x – 5y +

3 = 0 y 12x – 5y – 6 = 0. Bosqueja la grafica de la recta.

6) Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax – By + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos (-3, 1) y (1, 6).

7) Hallar el valor de k para que la recta 03y)1k(xk 2 =+++ sea perpendicular a la recta

011-y2-x3 = . Bosqueja la grafica de la recta.



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4. SECCIONES CÓNICAS

4.1. Circunferencia Definición. La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio. Ecuación ordinaria y gráficas de circunferencias con centro en y fuera del origen

Circunferencia con centro en el origen (0, 0) y radio

r.

222 ryx =+

Circunferencia con centro en (h, k) y radio r.

( ) ( ) 222rk-yh-x =+

Ecuación general de la circunferencia Toda ecuación de la circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

0FEyDxyx 22 =++++

Si dejamos la ecuación en la forma:

4

4

22

2222F-EDE

yD

x+

=

++

+

El centro es el punto (-D / 2, -E / 2) y el radio F4-ED2

1r 22 +=

Si 0F4-ED 22 >+ , la circunferencia es real.

Si 0F4-ED 22 <+ , la circunferencia es imaginaria.

Si 0F4-ED 22 =+ , el radio es cero y la ecuación representa al punto (-D / 2, -E / 2).



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� Foco: Es el punto fijo F. � Eje Focal: Es la recta que pasa por el Foco y es

perpendicular a la Directriz. Representa el eje de simetría de la parábola. También se conoce como el eje de la parábola.

� Directriz: Es la recta perpendicular al eje focal. Es la recta fija D.

� Vértice V: Punto de intersección de la curva con su eje focal.

� Radio vector: segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

� Parámetro: Es la distancia del vértice al foco de la parábola, se designa por la letra P.

� Lado recto: Es la secante que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. La longitud del lado recto se designa como L.L.R = |4p|

� Excentricidad: e = 1

1

1

D

F

p LR

V

Radio vectora

b

Ejercicios

1) Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones representa o no una circunferencia. Si la respuesta es afirmativa, hallar su centro y su radio.

a) 07y10x6-y2x2 22 =+++

b) 053y8-x28y4x4 22 =+++

c) 077y8x64-y16x16 22 =+++

2) Determina si las circunferencias 013y12x16-y4x4 22 =+++ y

055y36x48-y12x12 22 =+++ son concéntricas.

3) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los

puntos A(1, 3) y B(4, 6).

4) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1, -4), (2, –1) y cuyo centro

está sobre la recta 05y7x4 =++ .

5) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y que es tangente a la

recta 03-y2x =+ en el punto (1,1).

6) Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2) y (7, 3). Hállese su ecuación. (Se tiene comos ecuaciones como solución).

7) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, -2), (-2, -4) y (4, 2). 8) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados están determinados

por las intersecciones de las rectas 02y-x =+ , 01-y3x2 =+ , y 017-yx4 =+ .

4.2. Parábola Definición. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. El punto fijo se llama Foco de la parábola y la recta fija es su directriz. Si la grafica de la parábola fuera la figura de abajo, se identificarían los siguientes elementos: Elementos de la parábola

x



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Ecuaciones ordinarias

Parábola con vértice en el origen

O

Horizontal

Que se extiende hacia la derecha

px4y 2 =

Foco: F(p, 0)

Directriz: x = -p

Que se extiende hacia la izquierda

px4-y 2 =

Foco: F(-p, 0)

Directriz: x = p

Vertical

Que se extiende hacia arriba

py4x2 =

Foco: F(0,p)

Directriz: y = -p

Que se extiende hacia abajo

py4-x2 =

Foco: F(0,-p)

Directriz: y = p

Parábola con Vértice en (h, k)

Horizontal

Que se extiende hacia la derecha

)h-x(p4)k-y( 2 =

Foco: F(h+p, k)

Directriz: x = h-p



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Que se extiende hacia la izquierda

)h-x(p4-)k-y( 2 =

Foco: F(h-p, k)

Directriz: x = h+p

Vertical

Que se extiende hacia arriba

)k-y(p4)h-x( 2 =

Foco: F(h, k+p)

Directriz: y = k -p

Que se extiende hacia abajo

)k-y(p4-)h-x( 2 =

Foco: F(h, k-p)

Directriz: y = k+p

Ecuación general de la parábola Toda ecuación de la parábola vertical se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

02=+++ FEyDxAx

con FyEDA ,, constantes.

Toda ecuación de la parábola horizontal se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

02=+++ FEyDxCy

con FyEDC ,, constantes.



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� Longitud del eje mayor (V1V2) = 2a � Longitud del eje menor (B1B2) = 2b

� Distancia entre los focos (F1F2) = 2c � Se cumple la siguiente relación entre

los parámetros a, b y c:

222 bac −=

� Longitud del lado recto (L.R.) = a

b2 2

� Excentricidad. 1<=

a

ce

LR

Ejercicios 1) Determina la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (3,0).

2) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0.

3) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X pasa por el

punto (-2,4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

4) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4,3) y (-1,3) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y su eje focal.

5) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3,3) y (3,1) respectivamente.

6) La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0 y su foco es el punto (-4,3). Hallar la ecuación de la parábola.

En los ejercicios 7 y 8, reduzca la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y halle las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje focal.

7) 4y2 – 48x – 20y = 71 8) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0

9) Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos

(0,0), (8,-4) y (3,1).

10) Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (4,-1), con eje focal sobre la recta y + 1 =

0 y que pasa por el punto (3,-3).

4.3. Elipse

Definición. La elipse es el lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve sobre un plano de manera tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es siempre constante. Los puntos fijos se llaman focos. Elementos de la elipse



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Elipse con centro en el origen

Horizontal

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Vertical

12

2

2

2

=+a

y

b

x

Elipse con centro en (h, k)

Horizontal

( ) ( )1

2

2

2

2

=−

+−

b

ky

a

hx

Vertical

( ) ( )1

2

2

2

2

=−

+−

a

ky

b

hx

Ecuación general. Toda ecuación de la elipse se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

022=++++ FEyDxCyAx

Siempre que A y C sean del mismo signo.



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Ejercicios 1) Hallar la ecuación de la elipse y realiza un bosquejo de la gráfica si:

a) );0,4(y )0,2( 11 VF

b) 2;12y )0,4(2 =− aF c) 5

3y )4,0(1 =eF

2) Hallar los vértices, focos y excentricidad de la elipse y realiza un bosquejo de la gráfica si:

a) ;12516

22

=+yx

b) ;225259 22=+ yx

c) .1243 22=+ yx

En los ejercicios 3-5 los centros de las elipses se encuentran en el origen:

3) Un foco de la elipse está en )4,0( − y el eje mayor es el doble del eje menor. Obtener su

ecuación y calcular su excentricidad.

4) Una elipse horizontal pasa por el punto )3,2( y su excentricidad es 2

1; obtener su ecuación.

5) Hallar la ecuación de la elipse horizontal que pasa por )2,6(y )3,4( −− .

6) Los focos de una elipse son los puntos ),0,3(),0,3( − y la longitud de los lados rectos es igual a

9. Hallar la ecuación de la elipse. 7) Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus

vértices está en el punto )7,0( − y pasa por el punto

3

14,5

8) Hallar la ecuación de la elipse si: a) Los focos son: )2,3(y )8,3( , y la longitud del eje mayor =10;

b) Los vértices son: )1,5(y )1,3( −−− , y su excentricidad 4

3= ;

c) Los vértices sobre el eje menor: )2,2(y )6,2( − , y la longitud del lado recto =4.

9) Los vértices de una elipse son los puntos )1,7(y )1,1( y su excentricidad es 3

1 . Hallar la

ecuación de la elipse, se centro, las coordenadas de sus focos, las longitudes de su eje mayor y menor y la longitud de su lado recto.

10) Los focos de una elipse son los puntos )2,3(y )8,3( , y la longitud de su eje menor es 8.

Hallar la ecuación de la elipse, su centro, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad.

11) El centro de una elipse es el punto )1,2( − y uno de sus vértices es el punto )1,5( − . Si la

longitud de cada lado recto es 4, hállese la ecuación de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

12) El centro de una elipse es el punto )4,2( − y el vértice y el foco de un mismo lado del centro

son los puntos )4,1(y )4,2( −−−− respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su

excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto. 13) Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria y determine las coordenadas del

centro, vértices y focos:

a) ;0211664 22=++−+ yxyx



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b) ;037183294 22=+−++ yxyx

c) .032849 22=−−+ yyx

14) Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos )3,8(y )4,2( , )1,8( , )4,6( −−−− y cuyos

ejes son paralelos a los ejes coordenados.

4.4. Hipérbola

Definición. La hipérbola es el lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de un plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. Elementos de la hipérbola.

� Centro (C)

� Longitud del eje transverso (V1V2) = 2a

� Longitud del eje conjugado (B1B2) = 2b

� Distancia entre los focos (F1F2) = 2c

222 bac +=

� Longitud del lado recto = a

b22

� Excentricidad. 1>=a

ce


Hipérbola con centro en el origen

Horizontal

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Asíntotas

xa

by ±=



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Vertical

12

2

2

2

=−b

x

a

y

Asíntotas

xb

ay ±=

Hipérbola con centro en (h, k)

Horizontal

( ) ( )1

2

2

2

2

=−

−−

b

ky

a

hx

Asíntotas

Vertical

( ) ( )1

2

2

2

2

=−

−−

b

hx

a

ky

Asíntotas

Ecuación general Toda ecuación de la hipérbola se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

Siempre que A y C sean de signo distinto.

Ejercicios

1. Determina los elementos de las siguientes hipérbolas:

a) 36y4x9 22=−

b) 36x4y9 22=−

c) 078x30yx3 22=++−

d) 01x2y4x 22=+−−

0FyExDyCxA 22 =++++



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2. Los vértices de una hipérbola son V1(2,0), V2(-2,0), y sus focos los puntos F1 (3,0), F2(-3,0). Hallar su ecuación y su excentricidad.

3. El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso está sobre el eje Y. Si un foco

es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3, hállese la ecuación de la hipérbola y la longitud de cada lado recto.

4. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3) y la longitud de

cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y las coordenadas de sus focos. 5. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje X. Hallar su

ecuación sabiendo que su excentricidad es 621 y que la curva pasa por el punto (2,1).

6. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje conjugado está sobre el eje X. La longitud

de cada lado recto es 2/3, y la hipérbola pasa por el punto (-1,2). Hallar su ecuación.

7. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1,3) y (3,3) y su excentricidad = 3/2. Hallar la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos, y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado y de cada lado recto.

8. Los focos de una hipérbola son los puntos (4,-2) y (4,-8) y la longitud de su eje transverso es 4. Hallar la ecuación de la hipérbola, la longitud de su lado recto y su excentricidad.

9. Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola y determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas.

Miscelánea de ejercicios Incluir una miscelánea de ejercicios enfocados a la identificación de las cónicas presentadas como ecuación general

1) Para cada una de las siguientes ecuaciones generales, determina por simple inspección la curva que se presenta: Recta, Circunferencia, Parábola, Elipse o Hipérbola.

a) 043161849 22=−++− yxyx

b) yyxx +−=−22

c) 1433 22=++ xyx

d) 035 =++ yx

e) 86222=−−− yxyx

f) 0612633 22=+−++ yxyx

g) 4

3

2

1−= xy

h) 741025 22+−=−+ yxyx

i) 18623 22+=+−− yxyx

j) 0222=−− yxy



Octubre, 2009 17

2) Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas generales determina si se trata de una circunferencia, elipse o hipérbola con centro en el origen o fuera del origen, en caso de ser una parábola con vértice en el origen o fuera del origen

a) 2322−=++ yxyx

b) yx 202=

c) 100254 22=− yx

d) yxyx 8253 22+=++

e) 017862=+−− xyy

f) 04442 22=+++− yxyx

g) 22 22=+ yx

h) 0822=−+ yx

3) Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas generales determina si se trata de una parábola, elipse o hipérbola y si es horizontal o vertical.

a) 043161849 22=−++− yxyx

b) 741025 22+−=−+ yxyx

c) 18623 22+=+−− yxyx

d) 144169 22=− xy

e) yxyx 8253 22+=++

f) 0222=−− yxy

Curso Nivelacion-Modulo 3

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