Curso Elemental de Geometría

Prlogo

Este libro es el resultado del curso de Geometra dictado por el autor a estudiantes de primer ao deingenieras: industrial, computacin grca, informtica y matemtica. Trata en forma muy elementalla Geometra Euclidiana y est destinado a estudiantes del bachillerato as como a estudiantes queingresan a carreras de ingeniera de universidades, politcnicas. Igualmente, est destinado a profesores dematemtica tanto de nivel medio como superior. En los programas de educacin bsica y el bachilleratodepende de como el maestro adecua estos contenidos, mientras que en el curso preparatorio universitario ypolitcnico tales contenidos pueden cubrirse en un semestre con una carga horaria de seis horas semanales.Tiene nueve captulos, un anexo y referencias bibliogrcas. Cada captulo se subdivide en secciones ysubsecciones.

Con este libro se pretende que el estudiante sea autnomo y autodidacta. Aborda los contenidos enforma clara, precisa, profunda, coherente, sistemtica. Desde el inicio se familiariza al estudiante con ellenguaje de la geometra: las leyes de la lgica matemtica, las deniciones, los teoremas y demostraciones,as como algunas aplicaciones. Cada temtica va acompaada de ejemplos, ejercicios resueltos quepermiten familiarizarse con todos los elementos tratados, forticar y extender la teora, as como unaamplia variedad de ejercicios propuestos muy diversos con diferentes niveles de dicultad los mismosque complementan la teora. Cada temtica viene acompaada de su respectiva interpretacin grcaque ayuda a comprender los argumentos propuestos y aclarar situaciones complejas. Las denicionesy teoremas vienen enmarcados. Casi la totalidad de los teoremas son demostrados y el n de cadademostracin se indica con el smbolo .

En el captulo 1 se d una breve gua de algunos elementos de la historia de la geometra, una orientacinsobre el estudio y lenguaje de la misma as como de su importancia.

El captulo 2 focaliza el estudio de la recta, semirrecta, rayo y centra la atencin en las razones yproporciones, los segmentos y algunas aplicaciones. Luego, se construye la recta numrica que tiene suimportancia en el Anlisis y la Geometra Analtica. Se concluye este captulo con la medida algebraicay longitud de un bipunto que es la base para el estudio de los vectores geomtricos en la recta, el planoy en el espacio.

El captulo 3 est destinado al estudio de ngulos en el plano y la clasicacin de los mismos de acuerdo ala medida y a la posicin. Se naliza con la obtencin de algunos resultados importantes sobre congruenciade ngulos.

En el captulo 4 se tratan los tringulos, sus elementos y clasicacin. En esta parte se d atencin a lacongruencia de tringulos y se establecen tres tipos de congruencia: lado-ngulo-lado (L.A.L.), ngulo-lado-ngulo (A.L.A.) y lado-lado-lado (L.L.L.) y se obtienen algunos resultados bsicos. Se estudianproblemas relativos a rectas paralelas y perpendiculares y se complementa el estudio de la congruenciade ngulos y la de tringulos.

Los polgonos son objeto de estudio del captulo 5. Se estudian los cuadrilteros, particularmenteproblemas relacionados con la congruencia y ciertos tipos de cuadrilteros como son los paralelogramosy los trapecios. Se proponen algunas propiedades de los polgonos convexos. Se concluye con una

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ii

pequesima informacin sobre los mallados que se utilizan en el mtodo de elementos nitos, msparticularmente con los mallados triangulares de regiones poligonales.

El captulo 6 se dedica al estudio de la circunferencia y de problemas relacionados con sta, entre ellosla tangente a una circunferencia, ngulos centrales y arcos, medidas de ngulos inscritos y congruencias,entre otros.

El captulo 7 trata la semejanza y centra la atencin en el teorema de Thales, la semejanza de tringulos.Se obtiene uno de los resultados ms importantes de la geometra: el teorema de Pitgoras, luego seestudian algunos problemas relativos a la semejanza con cuadrilteros, circunferencias. A continuacin setratan algunos problemas relacionados con rectas y puntos notables en el tringulo como el baricentro,ortocentro, circuncentro, incentro. Se concluye el captulo con las relaciones trigonomtricas en el tringulorectngulo, la resolucin de tringulos rectngulos, la ley de los senos y de los cosenos.

En el captulo 8 se estudian permetros y reas de algunas guras planas que han sido arriba objeto deestudio, particularmente la obtencin del nmero .

Finalmente, el captulo 9 est destinado al estudio de los vectores geomtricos en la recta y el plano, ascomo a las aplicaciones geomtricas.

Se incluye un anexo en el que se trata brevemente algunos conceptos de lgica matemtica, conjuntos ysus operaciones, relaciones, funciones, sucesiones. Quienes no estn familiarizados con estos elementos serecomienda que los revise y luego profundice en el texto de Matemtica para el Bachillerato, Tomos 1, 2(a aparecer) de Hernn Benalczar, as como libros de Anlisis Matemtico que se citan en la bibliografa.

En esta primera edicin no se incluye temas relacionados con las transformaciones en el plano as comode geometra en el espacio. Estos tpicos estarn incluidos en la siguiente edicin.

Espero se me comunique sobre los posibles deslices, por cierto infaltables, que se hayan cometido a pesarde los cuidados y controles realizados. Las sugerencias y comentarios sobre la estructura del texto yeventuales correcciones me ayudarn en el futuro a obtener un mejor producto.

Mi agradecimiento al seor Darwin Polivio Narvez Vicente que me ayud en el levantamiento de unaparte del texto y mostr mucha capacidad y profesionalismo.

Hernn Benalczar GmezQuito, octubre de 2008Dedicado a mis padres

ndice general

1. Introduccin 1

1.1. Algo de historia de la Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Qu se estudia en Geometra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Por qu se estudia Geometra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. El lenguaje en la Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Segmentos, rayos y rectas 9

2.1. Conceptos primitivos: punto, recta, plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Recta. Semirrecta. Rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Semirrecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2. Rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. La recta numrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1. Bipuntos en la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.2. Graduacin de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6. Medida algebraica y longitud de un bipunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. ngulos 39

3.1. Denicin de ngulo. Medidas de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Medida de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Separacin de un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3. Clases de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1. ngulos adyacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.2. ngulos opuestos por el vrtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.3. ngulos agudos, rectos, obtusos y colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4. Bisectriz de un ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.5. Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iii

iv NDICE GENERAL

3.3.6. ngulos complementarios y suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.7. Angulo cncavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.8. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.9. ngulos alternos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.10. ngulos correspondientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.11. ngulos alternos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4. Algunos resultados sobre congruencia de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Tringulos 65

4.1. Tringulo. Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2. Clasicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3. Congruencia de tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1. Congruencia L.A.L. y L.L.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.2. Congruencia A.L.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4. Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5. ngulo externo de un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6. Rectas cortadas por una secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.7. Suma de las medidas de los ngulos interiores de un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Polgonos 103

5.1. Clasicacin de los polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2. Cuadrilteros. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3. Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4. Trapecios y trapezoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.5. Algunas propiedades de los polgonos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.6. Mallado de regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6. La circunferencia 141

6.1. Circunferencia y crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2. Segmentos y lneas relacionados con la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.3. Tangentes a circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.3.1. Tangentes desde un punto a una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.3.2. Circunferencias inscritas y circunscritas a polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3.3. Posiciones relativas de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.4. Arcos y ngulos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.5. Angulos inscritos. Medida de ngulos inscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.6. Medidas de ngulos y arcos formados por tangentes y secantes . . . . . . . . . . . . . . . 177

NDICE GENERAL v

7. Semejanza 185

7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.2. El teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.3. Semejanza de tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.4. Alturas de un tringulo. Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.5. Rectas y puntos relacionados con tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.5.1. Mediatrices del tringulo. Circuncentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.5.2. Alturas de un tringulo. Ortocentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.5.3. Bisectrices de un tringulo. Incentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.5.4. Medianas de un tringulo. Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.6. Problemas de semejanza y desigualdades relacionados con crculos . . . . . . . . . . . . . 222

7.7. Polgonos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.8. Relaciones trigonomtricas en el tringulo rectngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7.8.1. Dado el valor numrico de una relacin trigonomtrica calcular todas las dems . . 234

7.8.2. Resolucin numrica de tringulos rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.9. Leyes de los senos y de los cosenos. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.9.1. Ley de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.9.2. Ley de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8. Permetro y rea 249

8.1. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.2. Permetros de regiones acotadas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

8.3. Concepto de rea como funcin de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.4. Clculo de reas de algunas regiones planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8.4.1. Areas de regiones rectangulares y triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8.4.2. Areas de regiones trapezoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

8.4.3. Prueba del teorema de Pitgoras mediante reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.4.4. Area de un polgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8.4.5. Permetro y rea de un crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.4.6. Longitudes de arcos, reas de sectores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.4.7. Figuras equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.5.1. El tringulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.5.2. Una aplicacin en contaminacin ambiental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

vi NDICE GENERAL

9. Vectores geomtricos en la recta y el plano 279

9.1. Denicin de vector en la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.1.1. Adicin en V1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

9.1.2. Multiplicacin de un nmero real por un vector de V1 . . . . . . . . . . . . . . . . 286

9.2. Vectores del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9.2.1. Denicin de vector en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9.3. Operaciones con vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

9.3.1. Adicin en V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

9.3.2. Multiplicacin de un nmero real por un vector de V2 . . . . . . . . . . . . . . . . 295

9.4. Aplicacin de los vectores geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

10.Anexo 303

10.1. Elementos de lgica matemtica y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

10.1.1. Proposiciones. Conectivos lgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

10.1.2. Mtodos de demostracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

10.1.3. Conjuntos. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

10.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

10.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

10.4. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Bibliografa 321

Captulo 1

Introduccin

Resumen

Se consideran algunas referencias histricas, particularmente se destacan algunos hechos y personajes queaportaron signicativamente al desarrollo de la Geometra. A continuacin se dan algunas ideas sobre elestudio y la importancia de la misma. Posteriormente se trata el lenguaje que se utiliza en Geometra.

1.1. Algo de historia de la Geometra

La Geometra es una ciencia muy antigua y que se origin de las necesidades del hombre. La palabraGeometra signica medida de la tierray se deriva de las palabras griegas: geoque signica tierra,metronque signica medir.

Las primeras referencias sobre la Geometra se conocen de los egipcios y babilonios (4000 - 3000 a.c.)quienes desarrollaron una serie de reglas prcticas para medir guras geomtricas sencillas y determinarsus propiedades. Todos esos elementos se muestran en las construcciones tales como las pirmidesde Egipto, los canales de riego, las decoraciones en baldosas, pisos, paredes, casas, templos, puentes,etc. La Geometra que se desarroll en esa poca tena un carcter intuitivo y experimental. No setienen evidencias de que los logros alcanzados y resultados se apoyaran en demostraciones lgicas. Estosconocimientos y experiencias pasaron a los griegos, quienes en un principio le dieron un carcter prctico.Posteriormente, los griegos estudiaron la Geometra ms profundamente y son los que alcanzaron logrosmuy signicativos. Estudiaron la Geometra no solo por los valores prcticos sino por los valores estticos,culturales y loscos.

Segn la historia, algunos nombres de personas importantes que aportaron a la Geometra son: Thalesde Mileto (640 - 546 a.c.), Pitgoras discpulo de Thales ( 500 a.c.), Platn (429 -348 a.c.), Arqumides(287 - 212 a.c.), Eucldes (300 a.c.). Con Thales de Mileto nace la Geometra Demostrativa, es decir quelos resultados que se obtienen se aceptan siempre y cuando previamente son demostrados mediante eluso de argumentos que dan sustento a cada armacin. Desde esta poca, la Geometra deja de tenerun carcter experimental. Es con Eucldes que se fortican y profundizan estos estudios, fue l quienescribi el primer tratado de Geometra denominado Elementos. En este tratado se evidencia el uso dedeniciones, postulados (axiomas) y los argumentos lgicos con los que se demuestran los teoremas.

Posteriormente la Geometra se desarrolla en la poca del renacimiento. Vale precisar los trabajos deDescartes y el desarrollo de la Geometra Analtica. Surgen otras geometras como la Geometra deLobachetski, que refuta el Quinto Postulado de Eucldes: por un punto situado fuera de una rectase puede trazar una sola paralela a ella. Desde entonces, son numerosos los aportes que se dieron aldesarrollo de la Geometra en varias direcciones por parte de Gauss, Lie, Poincar, Riemann, Hilbert(quien public el primer tratado completo de Geometra Euclidiana en 1899), Lebesgue, por citar unospocos. En realidad, en el ltimo siglo se ha dado mucha atencin al estudio de las Geometras y losnombres de quienes dieron sus contribuciones es realmente grande. En la bibliografa se citan algunos

1

2 CAPTULO 1. INTRODUCCIN

libros en los que podr profundizar sobre la historia de la Matemtica y muy particularmente de laGeometra.

1.2. Qu se estudia en Geometra?

En un princicipio, en Geometra se estudian las propiedades de las guras compuestas por puntos, rectas,planos as como las medidas de estas guras (longitudes, reas, volmenes, medidas angulares) y otrasmedidas como distancias entre puntos, rectas, planos, tangentes a curvas, etc.

En la grca que se muestra a continuacin se presenta un rayo (el pequeo crculo negro,desproporcionado por cierto, denota el origen del rayo y la echa indica hacia donde se extiende dichorayo) y una porcin de recta (tambin puede ser visto como un segmento).

Figura 1 Figura 2

Las siguientes corresponden a tres tipos de tringulos: issceles, rectngulo y agudo, respectivamente.

Figura 3 Figura 4 Figura 5

Las guras que se muestran a continuacin corresponden a tres tipos de cuadrilteros: trapecio, rombo,rectngulo.


En la gura siguiente, a la izquierda se muestra un ejemplo de polgono regular (convexo): un hexgono.En el centro se muestra una circunferencia y a la derecha un polgono irregular (hexgono no convexo) yuna traslacin de este.


1.3. POR QU SE ESTUDIA GEOMETRA? 3

A continuacin se muestran tres slidos: un cubo, un cono circular recto y un cilindro.


Todas estas guras nos son familiares desde la escuela primaria.

El nombre de Geometra Euclidiana es en homenaje a Eucldes. Esta Geometra, salvo pequeasmodicaciones, es la que se ensea en la actualidad en el bachillerato.

Ms an, en la actualidad, la Geometra como parte de la Matemtica, involucra una gran variedad deideas y puede ser vista de diferentes maneras, e interacta con muchas otras ramas de la matemticacomo el Anlisis, la Topologa, las Ecuaciones en Derivadas Parciales, el Anlisis Combinatorio, laOptimizacin, por citar unas cuantas, lo que ha permitido desarrollar algunas ramas de la Geometracomo por ejemplo Geometra Afn, Geometra Proyectiva, Geometra Diferencial, Geometra Algebraica,entre otras. Asimismo interacta con sujetos y clases diferentes de la actividad humana: la Fsica yparticularmente la Mecnica (de materiales y estructuras, de uidos), la Qumica, la Biologa, la Medicina,la Economa, los Sistemas de Transportes, el Turismo, etc.

En los ltimos cincuenta aos, con el desarrollo de la industria electrnica, particularmente de loscomputadores se desarrollan la Informtica y el Anlisis Numrico, y junto con la Geometra se desarrollanla Geometra Computacional, Geometra de Vistas Mltiples y Visin Computacional que tiene muchasaplicaciones en la Robtica, las Ingenieras en Computacin Grca, Diseo Industrial Asistido porComputadora, la Simulacin Numrica en las Ingenieras y la Industria, etc. Para tener idea de losavances de la Geometra y las aplicaciones, vale citar los trabajos de Mandelbrot con la teora de losfractales, las curvas y supercies de Bzier en la teora de splines ampliamente utilizadas en la GeometraComputacional en los diseos de programas computacionales como CAD (Computer Aided Design),CAGD (Computer Aided Geometric Design), CAM (Computer Aided Manufacturing), los mtodos degeneracin de mallas ampliamente utilizadas en los mtodos de elementos nitos, volmenes nitos, etc.,que a su vez son utilizados en CAD, CAGD, CAM, en simulacin numrica como en la industria delautomvil, la industria aeronatica, la industria metalmecnica, en la biomecnica y diseo de equipomdico como resonancia magntica, etc., la industria de la cermica, la industria del petrleo, en laagricultura, en la investigacin de nuevos productos y materiales como en los polmeros. La lista deaplicaciones es realmente muy grande.

1.3. Por qu se estudia Geometra?

La Geometra est considerada como una de las mayores sistematizaciones y logros del pensamientohumano. Es parte importante de los currculos de enseanza fundamentalmente en los niveles de educacinbsica; en bachilleratos cientcos (en fsica, qumica, biologa, matemtica), y est comprobado queaporta al individuo con el desarrollo de sus capacidades intelectuales, analticas, creativas, inventivas,innovadoras, de razonamiento, capacidades motrices, capacidades de localizacin plana y espacial, poruna parte; y por otra, nos permite comprender el mundo en evolucin que vivimos, para que se puedanenfrentar nuevos retos.

Su aprendizaje tiene cinco componentes esenciales y cuyo impacto es muy signicativo.

1. Mejora la cultura del estudiante y por lo tanto de la sociedad lo que permite comprender demejor manera muchos problemas de la vida real as como los diferentes desarrollos cientcos y


tecnolgicos, utilizar apropiadamente esos recursos. Fortalece las capacidades creativas, inventivas,constructivas, estticas, etc.

2. Desarrolla la capacidad de pensar, razonar, interpretar, analizar, sintetizar, sistematizar, simplicar,etc. Forma al individuo y genera valores como persona ordenada, disciplinada, entre otros.

3. Establece las bases del lenguaje de las ingenieras, las ciencias y dentro de ellas la economa, dealgunas aplicaciones en los sectores industriales.

4. Como parte del desarrollo de las ingenieras y las ciencias aporta al desarrollo econmico del pas.Nos vuelve libres y no dependientes de otras sociedades.

5. Cimenta las bases del pensamiento losco, particularmente orientado al desarrollo matemtico.

En algn momento de nuestra vida tratamos temas de Geometra, sean en forma directa o indirecta.Finalmente, es parte de los estudios loscos que enriquecen el espritu del individuo y de los quemuchos son felices.

Como se puede apreciar, la Geometra tiene amplias aplicaciones en la Computacin Grca, el DiseoAsistido por Computadora y la Simulacin Numrica que pasan por aplicaciones de ingeniera, economa,biomecnica, de educacin, hasta los de diversin como los lmes realizados con asistencia del computadorpara efectos especiales y dibujos animados. Por todos estos argumentos, es imprescindible alcanzar slidosconocimientos de Geometra.

En el futuro, la Computacin Grca, Diseo Asistido por Computadora y la Simulacin Numrica sevolvern herramientas an ms poderosas de estudios de ciencias, la ingeniera, la industria. Por lo tanto,el estudio de la Geometra se vuelve un imperativo, ms an, se deben ampliar los conocimientos de lamisma y de otras reas de la matemtica para poder llegar a las aplicaciones.

1.4. El lenguaje en la Geometra

La Geometra como parte de la matemtica es esencialmente constructiva. El ncleo de la Geometra loconstituyen los teoremas con sus respectivas demostraciones, la elaboracin de estructuras y de modelos.Como parte principal de la Geometra podemos considerar las aplicaciones que se dan a esos resultadosen las ciencias, las diferentes ramas de la ingeniera, la industria, y la resolucin de problemas de la vidareal. El clculo, la comprobacin o vericacin, la simplicacin de resultados, la resolucin de ejercicios yproblemas, constituyen actividades de refuerzo para familiarizarse con el lenguaje y el correcto aprendizajede ciertos resultados, consecuentemente todas estas actividades se las conceptan como secundarias peroimportantes.

Es fundamental que el estudiante se familiarice con los trminos, la simbologa, las notaciones, losconceptos que se introducen; los mismos que son utilizados sistemticamente y que a su vez constituyenuna parte del lenguaje que se debe aprender.

Se conocen dos tipos de conceptos matemticos: los primitivos y los no primitivos.

Conceptos primitivos

Un concepto primitivo no es susceptible de denicin, es decir que no se expresa con otros trminos opalabras ms sencillas que previamente hayan sido denidas. Se admite que al formular un conceptoprimitivo cada individuo concibe la misma idea respecto a la que tienen todos los dems. Los conceptosprimitivos se los conoce tambin con el nombre de objetos primitivos o nociones primitivas. Cuandose introduce un concepto primitivo hemos de recurrir a una formulacin intuitiva, que por cierto, debemanejarse con mucho cuidado para evitar errores y confusiones.

Los siguientes son algunos de los conceptos primitivos que se tratan en matemtica: punto, recta, plano,espacio, conjunto, elemento, nmero positivo, negativo.

1.4. EL LENGUAJE EN LA GEOMETRA 5

Conceptos no primitivos

Los conceptos no primitivos se denen o expresan en trminos o en funcin de otros ms sencillos, deotros previamente denidos o de conceptos primitivos. Los conceptos no primitivos, en general, surgencomo resultado de construcciones de objetos matemticos, de estructuras, de modelos. Los siguientesson conceptos no primitivos: segmento, ngulos opuestos por el vrtice, ngulos complementarios,suplementarios, circunferencia, ngulos centrales, ngulos inscritos en una circunferencia, esfera, tringulorectngulo, tringulo equiltero, paralelogramos como los rectngulos, paraleleppedos, funcin real,permetro, rea, aplicacin lineal, forma cuadrtica, circunferencia, elipse, parbola, hiprbola, etc.

Deniciones

Las deniciones pueden ser utilizadas para aclarar ambigedades, y las imprecisiones del lenguaje ha-cerlas ms precisas. Estas juegan un papel importante en los argumentos y discusiones. Las denicionessimplemente asignan un signicado a una palabra, a una expresin o frase, introducen abreviacionesconvenientes o nueva simbologa, apropiadas notaciones con sus respectivos signicados, introducennuevas palabras en el lenguaje, etc. Las deniciones no se demuestran, ni tiene sentido intentarlo. El lectortiene que familiarizarse inmediatamente con cada denicin que se propone, pues estas son utilizadassistemticamente en la elaboracin de los conceptos no primitivos.

Proposicin

Una proposicin es una expresin o enunciado o frase acerca de la cual se puede armar sin ambigedadsu verdad o falsedad. A las proposiciones las representeremos con las letras p, q, r; : : : :As, escribiremos

p : frase, expresin o enunciado.

Se llama valor de verdad de una proposicin a la verdad o falsedad de su contenido. Si una proposicin pes verdadera, su valor de verdad se denota con v (p) = V ; y si la proposicin p es falsa, su valor de verdadse denota con v (p) = F . Estos resultados se recogen en la siguiente tabla, llamada tabla de valores deverdad de la proposicin p:

p

VF:

Sean p, q dos proposiciones. Escribimos p q para indicar que el valor de verdad de p y q coinciden. Eneste caso diremos que las proposiciones p; q son idnticas o lgicamente equivalentes. Leeremos p idnticaa q. Si los valores de verdad de p; q, no coinciden escribiremos p 6= q y leeremos p distinta de q, y diremosque las proposiciones p y q no son idnticas o no son lgicamente equivalentes.

Una proposicin compuesta es una proposicin formada por dos o ms proposiciones ligadas de modoadecuado, por ejemplo, mediante el uso de los conectivos lgicos que estudiaremos ms adelante.

Existen otras proposiciones que no corresponden a la categora de la que aqu hemos precisado. Esa clasede proposiciones no sern tratadas. Algunos tipos de proposiciones que en el lenguaje matemtico seemplea corrientemente corresponden a los trminos siguientes: axiomas o postulados, teoremas, lemas,corolarios.

Axiomas o postulados

Los axiomas son proposiciones que se admiten siempre como verdaderas. Estas constituyen la base sobrela cual se demuestran otras proposiciones y se elaboran los conceptos no primitivos. Los axiomas no sedemuestran. A los axiomas se les suele llamar tambin como postulados. Ms an, los axiomas y lospostulados signican lo mismo.

Teoremas

Son proposiciones que se deducen o demuestran a partir de otras anteriores ya demostradas y de losaxiomas, utilizando conceptos primitivos y no primitivos, las deniciones y ciertas reglas de la lgicallamadas reglas de la lgica matemtica.


Los resultados fundamentales en Geometra estn dados por los teoremas con sus correspondientesdemostraciones que sucesivamente se van incorporando a la misma. En este contexto surge la palabrademostracincomo nuevo trmino que debe precisarse su signicado.

Lema

Un lema es una proposicin que se demuestra, por lo tanto es un teorema. Los lemas se proponendentro de la teora como proposiciones (teoremas) previas que permiten obtener resultados preliminareso preparatorios a la demostracin de un teorema que constituye uno de los resultados fundamentales oms importantes de la teora.

Corolario

Un corolario es una proposicin que se demuestra. Es por lo tanto un teorema. Los corolarios son, engeneral, consecuencias de un teorema y se los introduce en la teora matemtica para obtener resultadoscomplementarios.

Demostracin

De manera muy general, podemos decir que la demostracin de un teorema es un procedimiento en elque se enlazan o combinan dos o ms proposiciones o resultados ya establecidos utilizando ciertas reglaslgicas que conducen a establecer la verdad del enunciado del teorema. La validez de la demostracin deun teorema resulta de la validez de las proposiciones, de los resultados utilizados y de las reglas lgicasque en ella intervienen. En denitiva, de todos los argumentos slidos que den sustento al procedimientoestablecido. Las palabras tales como probar, mostrar se utilizarn aqu en el mismo sentido que demostrar.

Con el propsito de aclarar y facilitar la comprensin de las demostraciones de los teoremas, en muchostextos estas se construyen como una lista en dos columnas: una de proposiciones y otra de las razones. Seenuncia la proposicin y al frente de esta se expresa su justicacin como se muestra en la tabla siguiente:

Proposiciones Razones1. Proposicin 1 1. Razn o razones 1

......

m. Proposicin m m. Razn o razones m

Generalmente la conclusin del teorema se obtiene en la m-sima proposicin.

Cuando se utiliza esta forma de demostrar, con frecuencia se hacen muchas simplicaciones quedesembocan en simplemente un listado de proposiciones y simplicaciones en el lenguaje.

En este texto siempre se precisarn todos los argumentos, y se redactarn las demostraciones en las quese conjugan apropiadamente las proposiciones y sus justicaciones o razones. Esto permite una mejorcomprensin del proceso de demostracin del teorema. En muy pocas situaciones cuando en el contextoas lo requiera se asumirn sobrentendidos algunos argumentos, en todas las dems situaciones siempre seprecisar el signicado, simbologa y notaciones que aclaren los conceptos, elementos, etc., que se estntratando. Adems esta forma de demostrar los teoremas ayuda mucho a expresar las ideas y argumentosgeomtricos en forma verbal lo que fortica el lenguaje, la asimilacin de las ideas fundamentales as comola separacin de lo que se supone importante con lo secundario. Es claro que este trabajo representa alinicio mucho ms esfuerzo pero posteriormente tiene muchas ventajas sobre la otra forma de trabajo enla demostracin de teoremas y de ejercicios.

Por otro lado, una grca es simplemente una ayuda visual en el que se observarn las hiptesis y elresultado a obtener; y nos permite comprender mejor los datos y los resultados. Un grco puede estar maldiseado conforme a la realidad de los datos o simplemente evidenciar un bosquejo del mismo que tienecomo propsito desarrollar la intuicin y madurar las ideas del problema a resolver, son las hiptesis y losrazonamientos lgicos que conducirn a la prueba del teorema. Enfatizamos que mostrando una grcano prueba un teorema.

Ejercicios y problemas

1.4. EL LENGUAJE EN LA GEOMETRA 7

Otros trminos que se utilizan frecuentemente en el lenguaje matemtico son: ejercicio y problema.

La resolucin de ejercicios tiene su importancia en toda la matemtica. Su funcin es la de familiarizarcon los diferentes argumentos, resultados de cada uno de los temas. Se introducen los ejercicios comoparte de una prueba intelectual para forticar lo aprendido. Lo consideramos tambin como una prcticao un esfuerzo que sirve para complementar los resultados obtenidos. En algunos casos ser concebido entrminos de repeticin para promover la retencin en la memoria de notaciones y conceptos, teoremas,propiedades, estructuras, modelos, procedimientos de clculo y algoritmos tratatos. En otros casos, losejercicios sern conceptuados como una actividad que se desarrolla para familiarizarse con todos loselementos aprendidos que den como resultado agilidad mental del individuo.

La resolucin de problemas lo entenderemos aqu como una expresin ms profunda de lo que se haconceptuado como ejercicio. Un problema lo consideramos como un enunciado (nuevo dentro del contextoestablecido en la temtica tratada) que debe ser resuelto en base a la aplicacin de resultados propuestosen los teoremas y que son conocidos, de resultados que complementan la teora como son los ejercicios ode un conjunto de problemas, cada uno de ellos, ms simple a resolver.

Las deniciones, los axiomas y los teoremas junto con sus demostraciones son los elementos que se debecomprender bien y familiarizarse, interpretar y utilizar correctamente los resultados que se obtienen. Esall donde el estudiante aprende a pensar, razonar, analizar, calcular, construir, en denitiva a desarrollarla inteligencia. Sentadas las bases, las aplicaciones surgen de manera natural. Por otro lado, los conceptosprimitivos y no primitivos constituyen el lenguaje que enriquece la cultura del individuo y se establecenlos nexos de comunicacin con otras personas u organizaciones. Adicionalmente, las deniciones, losaxiomas y los resultados de los teoremas junto con sus demostraciones y sus consecuencias, la simbologaconstituyen el lenguaje y las herramientas a utilizarse en las otras ciencias, en las ingenieras y en laindustria.

Captulo 2

Segmentos, rayos y rectas

Resumen

Este captulo se inicia con los conceptos primitivos de punto, recta, plano. Se trata la recta, semirrectay rayo. Luego se estudian los segmentos, las medidas de longitudes de segmentos y algunos tipos departiciones de segmentos. Se estudia la recta numrica y la medida algebraica y longitudes de bipuntos.

2.1. Conceptos primitivos: punto, recta, plano

Las palabras: punto, recta, plano, espacio no pueden expresarse con otros trminos o palabras ms simples,pues se tratan de conceptos primitivos, es decir que no pueden denirse en trminos de otros ms sencillos.Admitiremos que todos tenemos la idea comn acerca de ellos.

Como idea intuitiva de punto ser la de una pequea marca que deja la punta de un lpiz bien alado. Pararepresentar un punto en el papel trazamos una pequea marca en el mismo. Para tener una idea intuitivade recta utilizaremos los conceptos primitivos de punto y conjunto; y, podemos recurrir a elementosfsicos tales como el borde de la hoja de papel de esta pgina cuando est muy estirada, o el hilo de unaplomada que cuelga del techo. Asumimos que una recta es un conjunto que est constituida por puntos.Del punto de vista intuitivo, una porcin de plano podemos asociarlo con el de esta pgina cuando estmuy estirada, la supercie del vidrio de una ventana muy grande en posicin vertical, la supercie deuna pared lisa de un edicio. Igualmente, asumimos que un plano es un conjunto que est constituidopor rectas y puntos. El espacio es un conjunto que est constituido por puntos, rectas y planos.

En lo que sigue, prestaremos atencin a los puntos, rectas y planos. Los conjuntos recta y plano, y,a sus elementos los puntos los denotaremos con las letras maysculas del alfabeto con o sin subndicesy precisaremos si se trata de un punto, una recta, un plano. Tambin, utilizaremos algunas letras delalfabeto griego. En la siguiente gura se ha representado un punto A, una porcin de una recta L con unpunto C que pertenece a la recta L; escribimos C 2 L; y, una porcin de un plano que contiene a unaporcin de una recta M que se escribe M y un punto B que se escribe B 2 .

Figura 15

9

10 CAPTULO 2. SEGMENTOS, RAYOS Y RECTAS

2.2. Recta. Semirrecta. Rayo

Como ya se indic, la palabra recta es un concepto primitivo que no puede expresarse en trminos deotros ms sencillos. Como idea intuitiva de recta diremos a un conjunto de puntos que se encuentranalineados en una misma direccin.

Notacin: a las rectas las notaremos con las letras L;M; : : : : Tambin utilizaremos dichas letras consubndices, as diremos las rectas R1; R2; : : : : En la gura siguiente se muestran una parte de las rectasR; R1; R2:

Figura 16

Axioma 1 (de la recta)Dados dos puntos distintos A; B cualesquiera en el plano, existe una y solo una recta L que loscontiene.

En la gura siguiente se muestran los puntos A; B y la recta L que contiene a los puntos A y B:

Figura 17

Para indicar que los puntos A y B pertencen a la recta se usa la notacin A 2 L; B 2 L o tambinA;B 2 L: Se escribir !AB para indicar a la recta L que pasa por A y B:Denicin 1Sean A; B dos puntos distintos cualesquiera y C 2 !AB: Se dice que los tres puntos A; B; C estnalineados o que son colineales.

En la gura siguiente se muestran tres puntos colineales A; B; C:

Figura 18

Note que las rectas !AB;

!BC;

!AC son exactamente la misma recta.

Teorema 1

Sean L; R dos rectas distintas del plano que se intersectan. Existe un nico punto P 2 tal queL \R = fPg:Demostracin.

Probamos este teorema por reduccin al absurdo. Supongamos que existen dos puntos distintos P;Q 2 tales que L\R = fP;Qg: Como P 6= Q; por el axioma de la recta, por los puntos P;Q pasa exactamenteuna sola recta R1 que los contiene que lo notamos

!PQ. Como P;Q 2 L; P;Q 2 R se sigue que

2.2. RECTA. SEMIRRECTA. RAYO 11

L = !PQ = R; lo que contradice la hiptesis del teorema (R y L son rectas distintas). Esta contradiccin

surge por haber supuesto que la interseccin de R con L contiene dos puntos distintos del plano. Locorrecto es que si las dos rectas son distintas y se intersectan, su interseccin contiene exactamente unsolo punto.

2.2.1. Semirrecta

Sean A; O; B tres puntos distintos de una recta R en ese orden. El punto O divide la recta en dos partesque se precisan a continuacin.

i. La una parte que est constituida por el conjunto de puntos de la recta R situados del mismo lado

de O y de A: Este conjunto lo notamos!OA y lo denominamos semirrecta de origen O y que pasa

por A o simplemente semirrecta!OA: El punto O no pertenece al conjunto

!OA:

Figura 19

ii. La otra parte que est formada por todos los puntos de la recta R situados del lado O y de B:

A este conjunto lo notamos!OB y lo denominamos semirrecta de origen O y que pasa por B o

simplemente semirrecta!OB: El punto O no pertenece al conjunto

!OB:

Se tiene!OA [

!OB [ f0g = R y

!OA \

!OB = ;: Los conjuntos

!OA y

!OB tienen la misma direccin

y son de sentidos opuestos.

2.2.2. Rayo

Sean O; A dos puntos distintos de una recta R: Se llama rayo al conjunto fOg [!OA que se escribe

!OA;

esto es,!OA = fOg [

!OA: El punto O se llama origen del rayo. En la gura se muestra el rayo

!OA en la

que se ha puesto una echa que indica la direccin de dicho rayo.

Figura 20

Denicin 2Sean A; O; B tres puntos distintos de la recta L, en ese orden. Diremos que

!OA y

!OB son rayos

opuestos.

En la gura siguiente se muestran los rayos opuestos!OA y

!OB:

Figura 21

Se tiene!OA [ !OB = L:


Denicin 3Dos o ms rayos son colineales si y solo si ellos estn contenidos en la misma recta.

Sea L una recta y O, A1, A2, A3 puntos de L como se muestra en la gura. Los rayos!OA1,

!OA2,

!OA3,!

A1A3 son colineales.Figura 22

Denicin 4Sea R una recta, O, A, B, C 2 R. Los rayos !OA y !BC tienen la misma direccin si ellos son colinealesy uno de ellos contiene al otro.

En la gura se muestra el caso!OA !BC.

Figura 23

Ejemplo

Sean A, B, C tres puntos distintos del plano. Encontrar todas las rectas que pasan por cada dos puntosdados.

Si A, B, C son colineales, existe una sola recta que pasa por A, B, C, vase la gura.

Figura 24

Si A, B, C no son colineales, existen tres rectas R1, R2, R3:

Figura 25

Si se aade a los tres puntos un punto del plano distinto a ellos, cuntas rectas se obtienen?. Si loscuatro puntos son colineales se obtiene una sola recta. Si tres puntos son colineales, se obtienen cuatrorectas. Si no son colineales, se obtienen seis rectas.

Ejercicios 1

1. Sean R una recta y A1,A2,A3, A4 cuatro puntos distintos de R, en ese orden como se muestra enla gura.

Figura 26

2.3. RAZONES Y PROPORCIONES 13

Indicar todas las semirrectas y rayos que pueden obtenerse.

2. a) Sean A, B, C; D cuatro puntos distintos del plano. Encontrar todas las rectas que pasan porcada dos puntos dados. Interprete mediante un grco cada solucin. Cuntos rayos obtiene encada solucin?.

b) Sean A1, A2, A3; A4; A5 cinco puntos distintos del plano. Encontrar todas las rectas que pasanpor cada dos puntos dados. Interprete geomtricamente cada solucin. Cuntas soluciones obtiene?.

3. Sean R una recta y A, B, C; D puntos distintos de R localizados de izquierda a derecha en eseorden: Representar grcamente cada uno de los conjuntos que se indican en cada tem (revise lasoperaciones con conjuntos) y expresar en palabras el conjunto que representa.

a)!AB \ !CA: b)

!AD \

!CB: c)

!AB [ !CD: d) R8!CD: e) R8[!AB \ !CA]: f) R

![AD \

!CB]:

g) [R8!AB] [ [R8!CA]: h) [R8!AD]8

!CB: i)

R8[!AB8!CD]

8!DA: j) R8

!DA \ [!AB8!CD]

:

4. Sean A, B, C; D puntos distintos y colineales del plano :

a) Es!AB [ !CD un rayo?. b) Es !AB [ !CD una recta?.: c) Es !AB \ !CD un rayo?.

d) Es!AB \ !CD una recta?.

2.3. Razones y proporciones

Por cantidades semejantes entenderemos dos cantidades del mismo tipo an cuando las unidades demedicin no sean las mismas. Por ejemplo, medidas de segmentos son del mismo tipo y unidades demedida como metro y pulgada. Medidas de ngulos son del mismo tipo, reas de regiones planas son delmismo tipo. La longitud de un segmento y la medida de un ngulo no son del mismo tipo, por lo tantono son semejantes.

Denicin 5Sean x; y 2 R+ que suponemos semejantes. El cociente r = x

yse llama razn.

El nmero real r no tiene unidades. Adems no depende de la unidad de medicin. Las cantidadessemejantes deben preferentemente expresarse con la misma unidad de medicin.

Ejemplos

1. Si x = 6 m y y = 10 m, r1 =x

y=6 m

10 m=3

5:

2. Sean x; y 2 R+, r = xyy r1 =

y

x: En general r 6= r1, r = r1 () x

y=y

x() x2 = y2 =) x = y.

Note que si k 2 R+, r = xy=kx

ky.

Denicin 6Sean a, b, c, d 2 R+ y r1 = a

b, r2 =

c

d: Se llama proporcin a la igualdad de las razones r1 y r2, es

decir a la igualdada

b=c

d:

Cuando se escribe la igualdada

b=c

dse lee a y b son proporcionales a c y d. Adems, se dice que a y

d son los extremos, y, b y c son los medios. Cuando b = c se tiene la proporcina

b=b

dy se dice que b es


media proporcional entre a y d. De manera similar, cuando a = d se tiene la proporcina

b=c

ay se dice

que a es media proporcional entre b y c.

Teorema 2

Sean a, b, c, d 2 R no nulos. Entonces

i.a

b=c

d() ad = bc:

ii.a

b=c

d() a+ b

b=c+ d

d:

iii.a

b=c

d() a b

b=c dd:

iv.a

b=c

d() b

a=d

c:

v.a

b=c

d() a

c=b

d:

Demostracin.

La demostracin de este teorema es muy sencilla por lo que se propone como ejercicio.

Teorema 3Sean a, b, c, d 2 R no nulos, x; y 2 R no nulos.i. Si

a

b=c

dy a = c entonces b = d

ii. Sia

b=c

xya

b=c

yentonces x = y:

Demostracin.

La demostracin de este teorema es inmediata. Se propone como ejercicio.

Teorema 4

Sean a, b, xi, yi 2 R no nulos, i = 1; :::; n. Supongamos ab=xiyi, i = 1; :::; n, entonces

a

b=

nPi=1xi

nPi=1yi

:

Demostracin.

Sea r =xiyi

i = 1; :::; n, entonces xi = ryi i = 1; :::; n: Luego,

nXi=1

xi =nXi=1

ryi = rnXi=1

yi =) r =

nPi=1xi

nPi=1yi

;

y de la ltima igualdad resulta la tesis.

2.3. RAZONES Y PROPORCIONES 15

Denicin 7Sean ; 2 R.

i. Se dice que a 2 R es media aritmtica de y si y solo si a = 12(+ ):

ii. Se dice que g 6= 0 es media geomtrica de 6= 0 y si y solo si g=

g:

iii. Sen 6= 0; 6= 0 y 6= : Se dice que h 6= 0 es media armnica de ; si y solo si h = 2+

.

Supongamos ; 2 R+. Si = ; se verica inmediatamente que a = g = h: Si < ; la mediaaritmtica, la media geomtrica y la media armnica guardan las siguientes relaciones:

g =pah;

h < g < a: En

efecto, de la denicin de a y h; se tiene

ah =1

2(+ )

2

+ = = g2;

de donde g =pah: Por otro lado,

g h =p 2

+ =p

1 2

p

+

=p

2pp +

+

=p

pp2+

> 0;

con lo que se obtiene g > h: Adems, de la denicin de a y g, resulta

a g = 12(+ )

p =

1

2

2p

p +

=1

2

p

p2> 0;

de donde a > g: Consecuentemente, a > g > h:

Ejercicios 2

1. En cada tem se dan dos nmeros reales ; . Calcule las medias aritmtica, geomtrica y armnica.

a) = 2; = 5: b) = 0;25; = 2;5: c) = 25;2; = 2015;4:

d) a = 4 x; = 4 + x con x 2 [1; 3]: e) a = 13

p5 +

1

2x; =

p5 + x con x > 0:

2. Sean a, b, c 2 R+ que se precisan en cada caso, calcule x:

a) a = 2;1; b = 5; c = 3;a

b=c

x: b) a =

p3; b = 2; c = 1;

a

b=x2

c:

c) a = 0;1; b = 2;25; c = 2;3;b

a=

cpx: d) a =

p10; b = 2

p2; c =

p5;a

b=3px

c:

3. Supongamos ; 2 R+ tales que < : Demostrar la siguiente equivalencia:

h =2

+ () 1

h=1

2

1

+1

:

4. Supongamos ; 2 R+ tales que < . En cada tem demuestre o refute la desigualdad que sepropone.

a) < a < : b) < g < : c) d: d) a2 2: e) < h < :


2.4. Segmentos

Los resultados de la seccin precedente sern aplicados a puntos en una recta. Para el efecto, prime-ramente tratamos los segmentos, a continuacin consideramos la medida de la longitud de un segmentoque en una recta se interpreta como la distancia entre dos puntos.

Denicin 8

i. El segmento cerrado de extremidades M y N es el conjunto de puntos de la recta R situadosentre M y N: A este conjunto de puntos se nota con [MN ] :

ii. El segmento abierto de extremidades M y N es el conjunto de puntos de la recta R situados entreM y N que se nota ]MN [ :

iii. El segmento abierto a la izquierda y de extremidades M y N es el conjunto de puntoscomprendidos entre M y N: Escribiremos ]MN ]:

iv. El segmento abierto a la derecha y de extremidadesM y N es el conjunto de puntos comprendidosentre M y N: Escribiremos [MN [:

En muchos libros y en este, el segmento cerrado de extremidades M y N se le nota como MN; es decirque MN = [MN ]: Cuando M = N; el segmento MM se reduce a un punto, esto es, MM = fMg : En lagura se muestra el segmento cerrado [MN ] marcado con una lnea gruesa.

Figura 27

El conjunto ]MN [ se muestra marcado con un trazo ms grueso en la gura siguiente. Note que M; Nno pertenecen al conjunto

Figura 28

Los conjuntos ]MN ] y [MN [ se representan grcamente en forma similar a la precedente.

Denicin 9Varios segmentos son colineales si ellos pertenecen a la misma recta.

Ejemplo

Sean A, B, C, tres puntos distintos del plano.

Si A, B, C son colineales, existe una sola recta que pasa por A, B, C, en cuyo caso los segmentos AB,AC, BC son colineales, ver la gura que sigue.

Figura 29

2.4. SEGMENTOS 17

Si A, B, C no son colineales, los segmentos AB, AC, BC no son colineales, ver la gura que sigue.

Figura 30

Medida de la longitud de un segmento

La medida de la longitud de un segmento MN se nota con MN . Esta medida es un nmero real nonegativo que depende de la unidad elegida. TenemosMN 2 R yMN 0. En algunos libros, esta medidatambin se le denota d (M;N) : Es preciso indicar que la longitud no es un nmero real, es la medidade esta longitud que es un nmero real no negativo. Adems, la unidad de medida de la longitud enel sistema internacional (S.I.) es el metro con sus mltiplos y submltiplos. En la gura siguiente secomparan las longitudes de dos segmentos de recta [MN ] y [M1N1] : En la izquierda se tiene un segmento[MN ] ms grande que [M1N1] : A la derecha se tiene un segmento [MN ] ms pequeo que [M1N1] : Noteque la longitud de un segmento expresa una cualidad.

Figura 31

Axioma 2 (de la distancia)

Sean A, B, C tres puntos de una recta L. Las medidas AB, BC, AC, verican las propiedadessiguientes:

i. AB = BA:Figura 32

ii. AB = 0() A = B:iii. AC +BC = AB () C 2 AB:

Figura 33

iv. AC + CB > AB () C =2 AB.Figura 34

Las propiedades iii) y iv) precedentes se conocen como desigualdad triangular. (vase las guras adjuntas)

Otra notacin que utilizaremos es la siguiente: sea AB un segmento de la recta R, la medida de la longituddel segmento AB se denota tambin d(A;B) que se lee distancia del punto A al punto B; es decir qued(A;B) = AB:


Denicin 10Dos segmentos [MN ] ; [M1N1] tienen la misma longitud si y solo si d (M;N) = d (M1; N1) : En talcaso se dice que son congruentes y se escribe [MN ] = [M1N1] :

Mediante el uso de las otras notaciones la denicin precedente se expresa como MN = M1N1()MN =M1N1: En la gura siguiente se muestran dos segmentos congruentes.

Figura 35

Por abuso de lenguaje se dice simplemente longitud del segmento MN en vez de medida de la longituddel segmento MN:

Ejemplo

Sean A;B;C;D puntos distintos y consecutivos de una recta R: Supongamos que AC = BD:Demostremos que AB = CD: Vase la gura que sigue (las lneas curvas que unen los puntos A conC y B con D sirven nicamente para poner en evidencia en el dibujo la hiptesis y la tesis).

Figura 36

Efectivamente, del axioma de la distancia se tiene que AD = AB + BC + CD; adicionalmente AD =AC+CD y AD = AB+BD. Por hiptesis AC = BD; luego AC = BD: Entonces AC+CD = AB+BDy por la ley cancelativa (cancelando AC y BD) se obtiene CD = AB: Por la denicin de segmentoscongruentes se obtiene la conclusin: AB = CD:Teorema 5Sean AB; CD; EF segmentos. Se verican las siguientes propiedades:

i. Reexiva: AB = AB:ii. Simtrica: AB = CD entonces CD = AB:iii. Transitiva: AB = CD y CD = EF entonces AB = EF:

Demostracin.

La prueba de este teorema es inmediata.

De acuerdo al teorema precedente la relacin de congruencia de segmentos es una relacin de equivalencia.En la bibliografa encontrar una referencia sobre las relaciones de equivalencia.

Denicin 11Un punto C se llama punto medio del segmento de recta AB si y solo si C 2 AB y AC = CB:

En la gura siguiente se muestra un segmento de recta AB y su punto medio C:

Figura 37

2.4. SEGMENTOS 19

Teorema 6Todo segmento tiene exactamente un punto medio.

Demostracin.

Sea AB un segmento. Probemos que existe un nico punto C 2 AB tal que AC = CB:

Figura 38

Sea C1 2 AB. Por el axioma iv) de la distancia, se tienen las dos relaciones siguientes:AC1 + C1B = AB;AC + CB = AB:

Si C, C1 son puntos medios, de la denicin de punto medio, se verica que AC = CB, AC1 = C1Bentonces AC1 + AC1 = AB, 2AC1 = AB y como AC + CB = AB con AC = CB resulta 2AC = AB.Luego 2AC1 = 2AC o bien AC1 = AC. Adems los segmentos AC y AC1 son colineales y como tienenla misma longitud C1 = C, pues del axioma de la distancia se tiene AC1 + C1C + CB = AB y comoAC1 = AC; se sigue que AC + CB + C1C = AB; de donde

AB + C1C = AB () C1C = 0() C1 = C:

Denicin 12Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento.

En lo que sigue se consideran puntos de una recta que forman segmentos cuyas longitudes tienenpropiedades particulares.

Denicin 13Sean R una recta y A, B, C, D puntos distintos de R como se indica en la gura

Figura 39

i. Se dice que los puntos A, B, C, D forman una cuaterna aritmtica si y solo si cumplen con larelacin

AC AB = AD AC:

ii. Se dice que los puntos A, B, C, D constituyen una cuaterna geomtrica si y solo si satisfacen larelacin

AC

AB=AD

AC:

iii. Se dice que los puntos A, B, C, D constituyen una cuaterna armnica si y solo si cumplen conla relacin

AB

BC=AD

CD:

Observe que los puntos en la grca precedente no necesariamente estn colocados de modo que seaproximen a las relaciones indicadas en la denicin. Es a partir de la vericacin de una de las relacionesque se deben ubicar correctamente (en el dibujo, lo ms aproximado posible) dichos puntos en la recta.Observe que las igualdades dadas en ii) y iii) de la denicin precedente son proporciones.


Sean R una recta y A,B,C,D 2 R: Si los puntos A, B, C, D forman una cuaterna aritmtica, se vericainmediatamente la siguiente relacin:

AC =1

2(AB +AD):

Si los puntos A, B, C, D forman una cuaterna geomtrica, se tiene la siguiente relacin:

AC =pAB AD:

Teorema 7 (Relacin de Descartes)Sean A, B, C, D puntos consecutivos distintos de una recta R. Entonces

1

2

1

AB+

1

AD

=

1

AC() AB

BC=AD

CD:

Demostracin.

Sea R una recta y A; B; C; D puntos consecutivos de R que conforman una cuaterna armnica, comose muestra en la gura

Figura 40

EntoncesAB

BC=AD

CD() AB CD = AD BC:

Como A, B, C, D son puntos colineales, se tiene BC = AC AB, y CD = AD AC: Luego

AB (AD AC) = AD (AC AB)

y de esta desigualdad se tiene

AB AD +AD AB = AD AC +AB AC () 2AB AD = AD AC +AB AC

Como AB > 0, AD > 0, AC > 0 entonces AB AD AC > 0, en consecuencia2AB AD

AB AD AC =AD AC

AB AD AC +AB AC

AB AD AC2

AC=

1

AB+

1

AD;

y de esta ltima igualdad, se obtiene la conclusin.

Si ponemos a = AB, b = AC = a+d; c = AD = b+d con d 2 R+, se observa b = 2aca+ c

; o sea b es media

armnica de a y c: Este resultado se obtiene del siguiente que es una extensin de la media armnica.

Teorema 8Sean A, B, C, D puntos consecutivos de una recta R y k > 0. Se verica la siguiente equivalencia

AB

BC= k

AD

CD() k + 1

AC=

k

AB+

1

AD:

Demostracin.

Como A, B, C, D son puntos consecutivos de la recta R (vase la gura adjunta).

Figura 41

2.4. SEGMENTOS 21

Por el axioma de la distancia, se tiene BC = AC AB, CD = AD AC, luegoAB

BC= k

AD

CD() AB CD = kAD BC

() AB (AD AC) = kAD (AC AB)() AB AD + kAD AB = kAD AC +AB AC() (k + 1)AB AD = kAD AC +AB AC;

y AB AD AC > 0, resultak + 1

AC=

k

AB+

1

AD:

Observacin: Si k = 1, se tiene la relacin de Descartes. Por otro lado, si se verica AB

BC=AD

CDcon

> 0, entonces+ 1

AC=

1

AB+

AD: Pues basta elegir =

1

ky se tiene

1

+ 1

AC=

1

AB

+1

ADy de esta

relacin se obtiene la siguiente:+ 1

AC=

1

AB+

AD:

Teorema 9 (Relacin de Newton)Sean A, B, C, D puntos consecutivos distintos de una recta R que conforman una cuaterna armnicay O el punto medio de AC. Entonces

OC2 = OB OD:Demostracin.

Por hiptesis, los puntos A, B, C, D conforman una cuaterna armnica (ver gura adjunta). Entonces

Figura 42

AB

BC=AD

CD() AB CD = AD BC:

Escribamos AB, CD, AD y BC en funcin del punto medio O del segmento AC. Tenemos AB = AO+OBy como O es punto medio de AC entonces OC = AO. Luego

AB = OC +OB;

CD = AD AC = AD 2OC = AD AO OC = OD OC;AD = AO +OD = OC +OD;

BC = AC AB = AO +OC AO OB = OC OB:Resultan las siguientes equivalencias

AB CD = AD BC () (OC +OB)(OD OC) = (OC +OD)(OC OB)() OC OD OC2 +OB OD = OC2 OC OB +OD OC OD OB() 2OB OD = 2OC2 () OC2 = OB OD:

En el siguiente teorema se prueba un resultado de Euclides que se le conoce como divisin en media yextrema razn. Kepler lo denomin la divina proporcin. Se pretende dividir el segmento AB al tomarun punto O de este segmento de modo que AO sea media geomtrica de AB y OD; como se muestra enla gura siguiente:

Figura 43


Teorema 10 (Seccin aurea de AB)Sea AB un segmento y O 2 AB que verica la condicin AO2 = AB OB: Entonces

AO

OB=1 +p5

2:

Demostracin.

Por hiptesis AO2 = AB OB. Note que AOAB

=OB

AO; es decir que AO es media geomtrica de OB y

AB. Adems, OB = AB AO. LuegoAO2 = AB(AB AO) = AB2 AB AO () AO2 +AB AO AB2 = 0:

Ponemos x = AO y a = AB > 0: Consideramos la ecuacin x2 + ax a2 = 0 cuya solucin est dada acontinuacin:

x =apa2 + 4a2

2=a ap5

2:

Como x > 0, resulta x =a+ ap5

2=

p5 12

a: En consecuencia, de la relacin AB = AO + OB; se

sigue que

AO =

p5 12

AB =

p5 12

(AO +OB)() 1p5 12

!AO =

p5 12

OB;

y de esta ltima igualdad, mediante un clculo sencillo se obtiene la conclusin:AO

OB=1 +p5

2:

Una prueba mucho ms rpida se establece como sigue: ponemos x = AO > 0 y a = OB > 0: Entonces

AO

AB=

OB

AO() AB

AO=AO

OB() x+ a

x=x

a() x2 ax a2 = 0;

x =apa2 + 4a2

2=a ap5

2:

Como x > 0; la solucin es x =1 +p5

2a y de este resultado la conclusin.

Los nmeros reales x1 =1 +p5

2y x2 =

1p52

los denominan nmeros dorados o de seccin aurea

y estos aparecen en algunas aplicaciones, particularmente en los mtodos de optimizacin de funcionesreales continuas de una sola variable, en arquitectura y en computacin grca.

Ejemplos

1. El segmento de recta AB mide 10 m: Sean C;D 2 AB tales que AD = 4 m:a) Justicar si es o no correcto que C;D formen una cuaterna aritmtica:

Los puntos A;C;D;B forman una cuaterna aritmtica si y solo si AD =1

2(AC + AB): Entonces

AC = 2AD AB = 2m, lo que es absurdo, por lo tanto AD no puede medir 4m: Para que setengan una cuaterna aritmtica se debe vericar que AD 1

2AB en cuyo caso AC 0:

b) Justicar si es o no correcto que C;D formen una cuaterna geomtrica:

Nuevamente, los puntos A;C;D;B forman una cuaterna geomtrica si y solo si AD =pAC AB:

Luego, AC =AD2

AB=16m2

10m= 1;6m:

c) Justicar si es correcto que dos puntos C;D formen una cuaterna armnica:

De la relacin de Descartes, los puntos forman una cuaterna armnica si y solo si se tiene que1

2(1

AC+

1

AB) =

1

AD; luego,

1

AC=

2

AD 1AB

=16

40; de donde AC = 2;5m:

2.4. SEGMENTOS 23

2. El segmento de recta AB mide 10m:

a) Sea C 2 AB tal que AC y CB sean secciones aurea.

Por el teorema de la seccin aurea, tenemosAC

CB=1 +p5

2: Por el axioma de la distancia, obtenemos

AB = AC + CB () 10 = 1 +p5

2CB + CB () CB = 4(3

p5)m 3;056m:

Adems, AC = AB CB = 10 4(3p5) = 4p5 2 6;9443m:b) Sean 2 R+; C 2 AB tal que AC y CB estn relacionados como AC = pCB: CalculemosAC y CB:

Del axioma de la distancia se sigue que AB = AC + CB = pCB + CB y como AB = 10m;

se obtiene la siguiente ecuacin t2 + t 10 = 0; donde t = pCB: Como el discriminante deesta ecuacin es d = 2 + 40 > 0; la ecuacin siempre tiene solucin en el conjunto R. Tenemos

t =

p2 + 40

2y siendo t > 0; resulta que la nica solucin es t =

+p2 + 40

2; por lo

tanto CB =

+

p2 + 40

2

!2y AC =

+

p2 + 40

2

!:

3. Sean A; B; C; D puntos de una recta que forman una cuaterna armnica. Supongamos queAD = 5; AB = 2: Calcular BC: En la gura siguiente se muestran estos puntos.

Figura 44

Por hiptesis, los puntos forman una cuaterna armnica por lo que satisfacen la relacin de Descartes

siguiente:1

AB+

1

AD=

2

AC, y de esta se obtiene

2

AC=1

2+1

5=

7

10) AC = 20

7: Como

AC = AB +BC entonces BC = AC AB = 207 2 = 6

7:

4. Sea R una recta del plano y U; N; C; P puntos consecutivos distintos de la recta R con N punto

medio del segmento UP: Demostrar que NC =1

2(UC CP ): En la gura se muestran los puntos

U;N;C; P 2 R:Figura 45

Por hiptesis N es punto medio de UP; entonces UN = NP o bien 2UN = UP: Por el axioma dela distancia, se tiene UC = UN +NC y CP = UP UC = UP UN NC: Entonces

UC CP = UN +NC UP + UN +NC = 2UN + 2NC UP = 2NC:pues 2UN = UP:

5. En este ejemplo y en los siguientes as como en los ejercicios utilizaremos la notacin d(A;B) paraindicar la medida de la longitud del segmento AB; esto es, AB = d(A;B):

Sean A0; A1; : : : ; An; n+ 1 puntos consecutivos de una recta R tales que8>:d (A0; A1) = 1;

d (Ai; Ai+2)

d (Ai+1; Ai+2)= 3 i = 0; 1; : : : ; n 2

: Determinar d (Ai; Ai+1) i = 0; 1; : : : ; n 1 y

d (A0; An) :

Supongamos que los puntos A0; A1; : : : ; An estn dispuestos en la recta R como se indica:

Figura 46


Como son puntos consecutivos, se tiene d (Ai; Ai+2) = d (Ai; Ai+1) + d (Ai+1; Ai+2) ; luego

d (Ai; Ai+2)

d (Ai+1; Ai+2)= 3 , d (Ai; Ai+1) + d (Ai+1; Ai+2)

d (Ai+1; Ai+2)= 3

, d (Ai; Ai+1)d (Ai+1; Ai+2)

= 2, d (Ai; Ai+1) = 2d (Ai+1; Ai+2) i = 0; 1; : : : ; n 2:

De esta ltima igualdad, tenemos los siguientes resultados:

i = 0; d (A0; A1) = 2d (A1; A2), 1 = 2d (A1; A2), d (A1; A2) = 12;

i = 1; d (A1; A2) = 2d (A2; A3), 12= 2d (A2; A3), d (A2; A3) = 1

22;

i = 2; d (A2; A3) = 2d (A3; A4), 122= 2d (A3; A4), d (A3; A4) = 1

23:

De manera general, para 1 i n; d (Ai; Ai+1) = 12i; que muestra que los puntos estn localizados

siguiendo una progresin geomtrica. Por otro lado,

d (A0; An) = d (A0; A1) + d (A1; A2) + + d (An1; An)= 1 +

1

2+1

22+ + 1

2n1= 2 1

2n1:

As, d (A0; An) = 2 12n1

:

Denotemos con I = f0; 1; : : : ; ng e eI = f0; 1; : : : ; n 1g : En el ejemplo se han denido dossucesiones: una de puntos (Ai)i2I de la rectaR; y otra de nmeros reales (bi).i2I esto es, las funciones

A :

I ! Ri 7! A (i) = Ai; y b :

8

2.4. SEGMENTOS 25

De este modo hemos denido dos funciones A :I ! Ri 7! A (i) = Ai; y c :

eI ! Ri 7! c (i) = i+ 1;

con c (i) = d (Ai; Ai+1) i 2 eI; donde I = f0; 1; : : : ; ng e eI = f0; 1; : : : ; n 1g : Como podemosobservar c es una progresin aritmtica, mientras que A es una sucesin de puntos.

Ejercicios 3

1. Sean R una recta y A1,A2,A3, A4 cuatro puntos distintos de R, en ese orden como se muestra enla gura.

Figura 47

a) Indicar todos los segmentos de recta que pueden obtenerse.

b) Si se aade un punto A5 a la derecha del punto A4; escribir todos los segmentos que obtiene conestos cinco puntos.

c) Deduzca una frmula general para calcular el nmero de segmentos que se obtienen con n puntosdistintos de R:

2. Sean R una recta y A1,A2,A3, A4 cuatro puntos distintos y consecutivos de R igualmente espaciados,esto es, A1A2 = A2A3 = A3A4: Escriba todos los pares de segmentos congruentes que se obtienen.

3. Sean A;B;C;D puntos de una recta R, E 2 AB y F 2 CD:a) Supngase que AB = CD y AE = CF; demuestre que EB = FD:b) Si AE = CF y EB = FD; pruebe que AB = CD:c) Si E es punto medio de AB y F es punto medio de CD; pruebe que AE = CF:

4. Sean R una recta y A1,A2,A3, A4 cuatro puntos distintos y consecutivos de R (vase la gura delejercicio 1).

a) Si A1A3 > A2A4; demuestre que A1A2 > A3A4:

b) Si A1A2 < A3A4; demuestre que A1A3 < A2A4:

c) Si A1A2 > A3A4; demuestre que A1A3 > A2A4:

5. Sean R una recta y A, B, C puntos distintos de R. Demostrar:

a) C 2 AB ()d(A;C) < d(A;B); yd(C;B) < d(A;B):

b) C es punto medio de AB si y solo si d(A;C) =1

2d(A;B):

c) C;D 2 AB () d(C;D) < d(A;B):

6. Considrese los segmentos de recta AC y DF: Sean B 2 AC, E 2 DF y supngase que AB = DEy BC = EF: Indique el tem que es verdadero: a) AC > DF: b) AB < DF: c) CB ? FE:d) AC = DF:

7. Sean R una recta del plano y A; B; C; D cuatro puntos consecutivos de R tales que AC = BD:Indique el tem que es verdadero: a) AB = BD: b) AB = CD: c) AC = BC: d)AC = CD:

8. Sean R una recta y A, B, C puntos distintos de R. Escriba las negaciones de las proposiciones delejercicio 5 precedente y represente grcamente cada resultado.


9. Sean A;B puntos de una recta R. El segmento AB se divide en dos segmentos congruentes, seaC1 2 AB tal que AC1 = C1B: Nuevamente, existe C2 2 AC1 tal que AC2 = C2C1: El proceso dedivisin en dos segmentos continua con el segmento AC2; as sucesivamente: En la etapa ksima,cunto vale la longitud de ACk?:

10. El segmento de recta AB mide 1 m, determine un punto C 2 AB como divisin en media y extremarazn:

11. El segmento de recta AB mide 100 m y sean C;D 2 AB tales que ADAC

= 2:

a) Calcular, siempre que sea posible, AC y AD de modo que los puntos C;D 2 AB formen unacuaterna aritmtica.

b) Calcular, siempre que sea posible, AC y AD de modo que los puntos C;D 2 AB formen unacuaterna geomtrica.

c) Calcular, siempre que sea posible, AC y AD de modo que los puntos C;D 2 AB formen unacuaterna armnica:

12. El segmento de recta AB mide 1m y sean C;D 2 AB que cumplen las condiciones que se especicanen cada tem. Siempre que sea posible, calcule AC, CD y represente geomtricamente los resultados.

a)AD

AC= 2;

AD

CD= 2;5: b)

CD

AC=1

3;CB

DB= 3:

c) AD = 3pAC,

pCB

DB=1

2: d) AD = 2(AC)2 1; AD AC = 0;5.

e) AC + CD = 0;2; AD DB = 0;65: f) CB DB = 0;2; AD DB = 0;75:

13. Sea x 2 R+. El segmento de recta AB mide 1m y sean C;D 2 AB tales que ADAC

= x: Determinar

la condicin que ha de vericar x para que sea posible calcular AC y AD de cada tem.

a) Los puntos A;C;D;B forman una cuaterna aritmtica.

b) Los puntos A;C;D;B forman una cuaterna geomtrica.

c) Los puntos A;C;D;B forman una cuaterna armnica:

14. Sea x 2 R+. El segmento de recta AB mide 1m y sean C;D 2 AB tales que pAD = xCB:Determinar la condicin que ha de vericar x para que sea posible calcular AC y AD de cada tem.




15. Sea 2 R+. El segmento de recta AB mide 1m y sean C 2 AB tal que AC = (CB)2 CB:Calcular AC y CB en funcin de : Para = 0;1; tiene sentido el clculo AC y CB?: Justiquesu respuesta.

16. El segmento de recta AB mide 1m. Sean C;D;E 2 AB que cumplen las condiciones quese especican en cada tem. Siempre que sea posible, calcule AC, CD; DE y representegeomtricamente los resultados.

a)AD

AC= 2;

AE

AD= 1;5,

EB

DE= 4: b)

CD

AC=1

2;DE

CD= 2,

DB

EB= 3:

c) AD = 2pAC;

AE

AD= 3,

pEB

DE= 4: d) AD = 2(AC)2; AE AC = 0;5, CB = 4EB:

e) AC + CD = 0;2; AD +DE = 0;75: f) CB DE = 0;2; AD +DE = 0;75:17. Sea 2 R+. El segmento de recta AB mide 1m y sean C;D 2 AB tales que AD = (AC)2:

Determinar la condicin que ha de vericar para que sea posible calcular AC y CD de cada tem.




2.5. LA RECTA NUMRICA. 27

18. Sean A0; A1; : : : ; An; n+1 puntos consecutivos de una recta R que verican las relaciones siguientes:8>:d (A0; A1) = 1

5

d (Ai; Ai+2)=

1

d (Ai; Ai+1)

1

d (Ai+1; Ai+2)i = 0; 1; : : : ; n 2:

a) Demostrar que d (Ai; Ai+1) =

(1; si i es impar,1

4; si i es par.

b) Probar que d (A0; An) =

8>:5

8n; si n es par,5n+ 3

8; si n es impar.

19. Sean A0; A1; : : : ; An; n+1 puntos consecutivos de una recta R que verican las relaciones siguientes:8>:d (A0; A1) = 1

4

d (Ai; Ai+2)=

1

d (Ai; Ai+1)+

1

d (Ai+1; Ai+2)i = 0; 1; : : : ; n:

a) Demostrar que d (Ai; Ai+1) = 1 i = 0; 1; : : : ; n 1:b) Mostrar que d (A0; An) = n:

20. Sean A0; A1; : : : ; An; n+1 puntos de una recta R: En cada tem se propone relaciones que satisfacenestos puntos. Obtenga frmulas para calcular d (Ai; Ai+1) i = 0; 1; : : : ; n1; y d (A0; An) ; siempreque esto sea posible.

a)

8>:d (A0; A1) = 1

d (Ai; Ai+2)

d (Ai+1; Ai+2)=1

3i = 0; 1; : : : ; n 2:

b)

(d (A0; A1) = 1

d (Ai; Ai+2) = d (Ai; Ai+1) + 2 i = 0; 1; : : : ; n 2:

c)

(d (A0; A1) = 4

d (Ai; Ai+2) = 2 + 3d (Ai+1; Ai+2) i = 0; 1; : : : ; n 2:

d)

8>:d (A0; A1) = 2

3

d (Ai; Ai+2)=

4

d (Ai; Ai+1) 3d (Ai+1; Ai+2)

i = 0; 1; : : : ; n 2:

e)

8>:d (A0; A1) =

1

2; d (A1; A2) = 1;

d (Ai; Ai+2) =1

2d (Ai; Ai+1) +

1

3d (Ai+1; Ai+2) +

1

6i = 0; 1; : : : ; n 2:

f)

8>>>:d (A0; A1) = 1; d (A1; A2) =

3

2;

d (Ai; Ai+2)

d (Ai; Ai+1)+

d (Ai; Ai+1)

d (Ai+1; Ai+2)= 2 i = 0; 1; : : : ; n 2:

g)

8>>>:d (A0; A1) =

1

2; d (A1; A2) = 2;

1

d (Ai; Ai+1)+

1

d (Ai+1; Ai+2)+

1

d (Ai; Ai+2)=1

3i = 0; 1; : : : ; n 2:

2.5. La recta numrica.

Sea L una recta. El producto cartesiano LL se dene como el conjunto LL = f(A;B) j A; B 2 Lg :


Un elemento (A;B) de L L se llama par ordenado. El punto A se llama primer componente de (A;B)y B se llama segunda componente del par ordenado (A;B) :

Igualdad

La igualdad de elementos de L L se establece del modo siguiente: dados los pares ordenados (A;B)y (C;D) de L L, se dice que (A;B) y (C;D) son iguales, que se escribe (A;B) = (C;D), si y solo siA = C y B = D:

Para indicar que dos pares ordenados (A;B) y (C;D) de LL no son iguales se escribe (A;B) 6= (C;D) :De la denicin de igualdad de pares ordenados de L L se sigue que, en general, (A;B) 6= (B;A) ; y,(A;B) = (B;A) si y solo si A = B:

2.5.1. Bipuntos en la recta.

Denicin 14Se llama bipunto a todo par ordenado (A;B) 2 L L: El punto A 2 L se llama origen y el puntoB 2 L el extremo.

Diremos (A;B) 2 L L es el bipunto de origen A y extremo B. De la denicin de igualdad de paresordenados, se dir que los bipuntos (A;B) y (C;D) son iguales si y solo si A = C y B = D. Escribiremos(A;B) = (C;D) : Su negacin se escribe (A;B) 6= (C;D) : Note que el bipunto (A;B) es, en general,distinto del bipunto (B;A). De esto se sigue que (A;B) = (B;A) si y solo si A = B:

Sean A;B 2 L con A 6= B, al bipunto (A;B) se lo representa geomtricamente en la recta L con unaecha que une el punto de origen A con el extremo B. El bipunto (A;B) es de sentido opuesto al bipunto(B;A) : En la gura siguiente se muestra los bipuntos (A;B) y (D;C), as como (B;A) y (C;D) :

Figura 48

Sean A;B;C;D 2 L con A 6= B y C 6= D: Dados los bipuntos (A;B) y (C;D), se verica una solacondicin:

1. (A;B) y (C;D) tienen el mismo sentido, o

2. (A;B) y (C;D) son de sentidos opuestos.

En las dos grcas anteriores se muestran bipuntos que tienen sentidos opuestos. En la siguiente gurase muestran los bipuntos (A;B) y (C;D) que tienen el mismo sentido.

Figura 49

En el caso en que A;B 2 L tales que A = B, se tiene el bipunto (A;A), este se representa simplementecomo un punto en la recta.

2.5. LA RECTA NUMRICA. 29

2.5.2. Graduacin de una recta.

Sea L una recta, A;B 2 L: Orientar la recta L signica elegir uno de los dos sentidos de recorrido quese tiene en la recta de modo que se pueda determinar sin ambigedad si el punto A es anterior a B oviceversa. En la gura siguiente se muestran las dos orientaciones posibles de la recta L y el punto A quees anterior a B:

Figura 50

Una forma de orientar una recta L consiste en jar dos puntos A;B 2 L con A 6= B y precisar si Aes anterior a B o viceversa. Si el punto A es anterior al punto B, la orientacin de la recta L quedadeterminada por el sentido del bipunto (A;B): Obviamente, si B es anterior a A; la orientacin de L esla del sentido del bipunto (B;A):

Denicin 15Sean L una recta y O 2 L un punto jo, A 2 L con A 6= O: Una graduacin de la recta L es un bipunto(O;A) : El punto O se llama origen de la graduacin que en lo sucesivo nos referiremos simplementecomo origen de la recta L.

Al punto O le asociamos el nmero real 0 (cero) y al punto A; extremo de la graduacin (O;A), leasociamos el nmero real 1 (uno). Elegimos la orientacin de la recta L de modo que coincida con laorientacin de la graduacin (O;A): En las guras siguientes se muestran una graduacin (O;A) de larecta L as como su orientacin.

Figura 51

Sea B 2 L. A dicho punto asociamos el nmero real x tal que x 0 si los bipuntos (O;A) y (O;B)tienen el mismo sentido; y, x < 0 si los bipuntos (O;A) y (O;B) tienen sentidos opuestos. En la grcase muestran estas dos situaciones:

Figura 52

De esta manera ponemos en correspondencia los nmeros reales y los puntos de la recta L. Lo dichoanteriormente resumimos a continuacin: jados el origen O de la recta L y un punto A de la misma talque O 6= A, asociamos a O el nmero real 0 y al punto A el nmero real 1. A cada punto B 2 L se asociaun nico nmero real x y recprocamente, de modo que

x = 0 si y solo si B = O;

x > 0 si y solo si (O;B) tiene el mismo sentido que (O;A) ;

x < 0 si y solo si (O;B) tiene sentido opuesto a (O;A) :

As, jado la graduacin (O;A) de L, se ha denido una funcin como sigue: :

(L ! RB 7! (B) = x:

El dominio de es L; que escribimos Dom() = L; y su recorrido es R que escribimos: Rec () = R.


Esta funcin es biyectiva, esto signica que para cada punto B de la recta L; existe un nico nmeroreal x tal que (B) = x; y recprocamente, para cada x 2 R existe un nico punto B 2 L relacionadocomo x = (B). La funcin inversa 1 est denida como 1 :

(R ! Lx 7! 1 (x) = B:

El nmero real x se llama abscisa o coordenada de B con respecto de la graduacin (O;A) : En la grcasiguiente se muestra una graduacin (O;A) de la recta L y las abscisas de algunos puntos de esta recta:(B) = x; (C) = y; (D) = 1; (E) = 2; (F ) = 2; donde x; y 2 R.

Figura 53

Denicin 16Una recta L en la que los puntos se identican con los nmeros reales en el sentido precisado ante-riormente, lo llamamos recta numrica o tambin eje X o eje x.

Ejercicios 4

1. Sean L una recta, A;B;C tres puntos distintos de L. Represente geomtricamente los bipuntos(A;B), (A;C), (B;C). Cuntas posibilidades se dan?.

2. Sean A;B;C tres puntos distintos de una recta L con A entre B y C.

a) Representar geomtricamente los bipuntos (A;B) y (A;C). b) Son (A;B) y (A;C) del mismosentido?.

c) Son (A;B) y (C;B) del mismo sentido?. d) Son (C;A) y (A;B) del mismo sentido?.

e) Son (A;B) y (B;C) del mismo sentido?.

3. Sean L una recta, A;B;C tres puntos distintos de L.

a) Los bipuntos (A;B) ; (B;C) y (A;C) tienen todos el mismo sentido. Represente los puntosA;B;C as como los tres bipuntos dados. b) Los bipuntos (A;B) y (C;B) tienen el mismosentido. El sentido del bipunto (A;C) es opuesto al de los dos anteriores. Represente los puntosA;B y C:

4. Dados una recta L y cuatro puntos distintos A;B;C;D de L: Cmo se debe disponer los puntosA;B;C;D en la recta L para que se tenga la situacin que se indica.

a) Los bipuntos (A;B) ; (A;C) y (B;C) son del mismo sentido y (A;D) es de sentido opuesto alos anteriores.

b) Los bipuntos (A;B) y (C;D) son de sentido opuesto a los bipuntos (A;C) y (A;D) :

c) Los bipuntos (A;B), (A;D), (B;D), (C;D) son del mismo sentido, mientras que (A;C) ; (B;C)son opuestos a los anteriores. d) Los bipuntos (D;C) ; (D;A) ; (D;B), (C;A) ; (C;B) ; y (A;B)son del mismo sentido.

5. Utilice una calculadora de bolsillo para obtener aproximaciones con dos y tres cifras luego del puntodecimal de cada uno de los nmeros reales que se indican. Representar en la recta numrica.

a) a = 5 + 3p2: b) p = 2 + 0;1p32 : c) x = 5;41 6;37 3p5: d) y = 2 + 3p72 4p7 :

e) t =4 + 3p5 4 3 4p5 : f) w = 5p2 3p2 4p2: g) u = 1 + 5 3p11

1 5 4p11 + 103p11:

h) v = 45 + 3p5 9 3p5 35 4p5: i) t = (1 +p15)3 ( 3p3 3 4p5)3:

2.6. MEDIDA ALGEBRAICA Y LONGITUD DE UN BIPUNTO. 31

6. Calcule una aproximacin con dos cifras luego del punto decimal de cada uno de los nmeros realesque se indican. Represente en la recta numrica.

a) x = 0;6 0;35 4p20: b) x = 5 3p25: c) x = 20;4 2;6 3p100: d) x = (15 3 3p50)2:

e) x = 4 5217

4p50: f) x =

50 6 3p2521 4 3p50 : g) x =

2;3 + 0;2 3p100

0;45 + 0;25 3p50:

h) x =2 + 3 3

p25

3 2 4p20 : i) x =(2 3 4p5)3(1 2 4p2)2 : j) x = (

p2p7)2 + (1 +

4p3)3

(1 + 2 5p2)4:

2.6. Medida algebraica y longitud de un bipunto.

Medida algebraica.

Denicin 17Sean L una recta, (O;A) una graduacin de L, M;N 2 L y x; y 2 R las abscisas asociadas a lospuntos M y N respectivamente.

i. Se llama medida algebraica del bipunto (M;N), que se denota con m (M;N) ; al nmero realy x, esto es, m (M;N) = y x:

ii. La funcin medida de bipuntos se dene como sigue:

m :

L L ! R(M;N) 7! m (M;N) = y x;

donde x; y 2 R son las abscisas de M y N respectivamente.

Note que x; y dependen de la graduacin (O;A) : Se tiene

m (O;A) = 1 0 = 1; m (A;O) = 0 1 = 1;m (O;M) = x 0 = x; m (M;O) = 0 x = x;m (O;N) = y 0 = y; m (N;O) = 0 y = y;m (M;N) = y x; m (N;M) = x y:

Se verica inmediatamente que

m (M;N) = y x = m (O;N)m (O;M) ;y

m (N;M) = m (O;M)m (O;N) = x y = (y x) = m (M;N) :As, m (N;M) = m (M;N) o lo que es lo mismo m (N;M) +m (M;N) = 0:Teorema 11Sean L una recta, (O;A) una graduacin de L; y, P;Q;R 2 L: Se verican las siguientes relaciones.

i. m (P;Q) +m (Q;R) +m (R;P ) = 0:

ii. m (P;Q) = m (P;R) +m (R;Q) (Relacin de Chasles).

iii. m (P;Q) = m (P;R)m (Q;R) :Demostracin.

Dadas la graduacin (O;A) de la recta L y P;Q;R 2 L; designamos con a; b; c 2 R las abscisas de lospuntos P; Q; R, esto es, m (O;P ) = a; m (O;Q) = b; m (O;R) = c; de modo que

m (P;Q) = m (O;Q)m (O;P ) = b a;m (Q;R) = m (O;R)m (O;Q) = c b;m (R;P ) = m (O;P )m (O;R) = a c:


i. Entonces, de los resultados precedentes, se obtiene

m (P;Q) +m (Q;R) +m (R;P ) = b a+ c b+ a c = a+ b+ c (a+ b+ c) = 0:

Conclusin: m (P;Q) +m (Q;R) +m (R;P ) = 0:

ii. Nuevamente, de los resultados de las medidas algebraicas de los bipuntos (P;R); (R;Q) se obtienenlos siguientes:

m (P;R) = m (R;P ) = (a c) = c a;m (R;Q) = m (Q;R) = (c b) = b c;

entoncesm (P;R) +m (R;Q) = c a+ b c = b a = m (P;Q) :

Conclusin: m (P;R) +m (R;Q) = m (P;Q) :

iii. Se propone como ejercicio.

El siguiente se conoce como teorema de Euler.

Teorema 12Sean L una recta, (O;P ) una graduacin de L; y, A;B;C;D 2 L: Se verica la siguiente relacin:

m(A;B)m(C;D) +m(A;C)m(D;B) +m(A;D)m(B;C) = 0:

Esta igualdad se conoce como relacin de Euler.

Demostracin.

Dadas la graduacin (O;P ) y como A;B;C;D 2 L; designamos con a; b; c; d 2 R las abscisas de lospuntos A; B; C, D; esto es, m (O;A) = a; m (O;B) = b; m (O;C) = c; m(O;D) = d; de modoque m (A;B) = b a; m (C;D) = d c; m (A;C) = c a; m (D;B) = b d; m (A;D) = d a;m (B;C) = c b;

m(A;B)m(C;D) +m(A;C)m(D;B) +m(A;D)m(B;C)= (b a)(d c) + (c a)(b d) + (d a)(c b)= bd bc ad+ ac+ bc cd ab+ ad+ cd bd ac+ ab= 0:

Longitud de un bipunto.

Sea a 2 R: Recordemos que el valor absoluto de a se nota jaj y se dene como: jaj =(

a; si a 0;a; si a < 0:

Adems, se verican las siguientes propiedades: para todo a; b 2 R:

1. jaj 0:

2. jaj = 0() a = 0:

3. jabj = jaj jbj :

4. ja+ bj jaj+ jbj (desigualdad triangular).

5. jjaj jbjj ja bj :


Denicin 18Sean L una recta, (O;A) una graduacin de L; P;Q 2 L; x e y son nmeros reales asociados a lospuntos P;Q con respecto de la graduacin (O;A) :

i. La medida de la longitud de un bipunto (P;Q) ; que se nota (P;Q), se dene como el nmeroreal no negativo

(P;Q) = jm (P;Q)j = jx yj :

ii. La funcin medida de la longitud de bipuntos se dene como sigue:

:

8


iii. De la denicin de la medida de la longitud de un bipunto y tomando en consideracin quem (P;Q) = m (Q;P ) se deduce

(P;Q) = jm (P;Q)j = jm (Q;P )j = jm (Q;P )j = (Q;P ) :Por lo tanto (P;Q) = (Q;P ) :

iv. Apliquemos la desigualdad triangular. De la denicin de la medida de la longitud de un bipunto yde la desigualdad triangular, obtenemos

(P;R) = jm (P;R)j = jz xj = jz y + y xj jz yj+ jy xj :Puesto que

(P;Q) = jm (P;Q)j = jy xj ; (Q;R) = jm (Q;R)j = jz yj ;

remplazando estos resultados en la desigualdad precedente, se tiene la conclusin: (P;R) (P;Q) + (Q;R) :

v. Tenemos

(P;Q) = jm (P;Q)j = jy xj ; (Q;R) = jm (Q;R)j = jz yj ; (P;R) = jm (P;R)j = jz xj :

Tomando en consideracin la desigualdad j jaj jbj j ja bj 8a; b 2 R; y haciendo a = y x;b = y z; se tiene j jy xj jy zj j jy x (y z)j = jz xj ; luego

j (P;Q) (Q;R)j (P;R) :

Ejemplos

1. Sean (O;P ) una graduacin de la recta R; x; y 2 R,M;N 2 R tales quem(O;M) = x; m(O;N) = y:Para x e y que se indican, representemos geomtricamente los bipuntos (O;M); (O;N) y calculemos

la medida algebraica del bipunto (M;N) as como su longitud, si x = 1;25 23

3p0;36 + 25

p11;

y = 0;2515 + 0;3 4p22;5 + 2;2

p25;4:

Para el efecto, primeramente calculamos aproximaciones de x e y: Tenemos x 1;661262495;y 0;9737144308: Con el propsito de representar grcamente, aproximamos con dos cifras luegodel punto decimal: x 1;66; y 0;97: En la gura siguiente se muestran la graduacin (O;P ) ylos bipuntos (O;M); (O;N); (M;N):

Figura 54

Calculemos la medida algebraica del bipunto (M;N): Tenemos

m(M;N) = y x = 0;2515 + 0;3 4q22;5 + 2;2

p25;4

1;25 2

3

3

q0;36 + 25

p11

= 0;9985 + 0;3 4

q22;5 + 2;2

p25;4 +

2

3

3

q0;36 + 25

p11 2;634976926:

La medida de la longitud del bipunto (M;N) est denido como sigue:

(M;N) =j x y j= 0;9985 + 0;3 4q22;5 + 2;2

p25;4 +

2

3

3

q0;36 + 25

p11 2;634976926:


2. Conjuntos de Cantor

La construccin de los conjuntos que vamos a obtener a continuacin se deben a Cantor (1845 - 1918)que tienen especial inters en el anlisis matemtico, particularmente en la teora de integracin.

Primeramente requerimos de algunos argumentos. Sean (O;P ) una graduacin de la recta R;; 2 R+ tales que < , M;N 2 R tales que m(O;M) = ; m(O;N) = : Consideramosdos tipos de conjuntos de puntos:

1) El constituido por todos los nmeros reales comprendidos entre y incluidos estos; al que lonotamos [; ] y lo denominamos intervalo cerrado de extremos y :

2) El segmento MN:

Existe una funcin biyectiva denida como sigue: :[; ] !MNt 7! (

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