Tema 2. Preproceso (realzado y filtrado) de imgenes digitales

- Introduccin- Procesamiento bsico de imgenes- Histograma y realzado de imgenes - Filtrado en el dominio de la frecuencia- Filtrado en el dominio espacial- Filtros morfolgicos

Bibliografa

BSICA: R.C. Gonzlez y R.E. Woods, Digital Image Processing,

Prentice Hall, 2 Edicin, 2002. (caps. 3 y 4) J. Vlez, . Snchez, A.B. Moreno y J.L. Esteban, Visin por

Computador, Ed. Dyckinson y Serv. Public. URJC, 2003. (caps. 3)

COMPLEMENTARIA: G. Pajares y J.M. de la Cruz, Visin por Computador, Ed. Ra-

Ma, 2001. (caps. 2 y 6) M. Sonka et al., Image Processing, Analysis, and Machine

Vision, PWS Publishing, 1999. (cap. 4)

Introduccin El objetivo del preproceso es conseguir algoritmos

que mejoren la calidad y/o la apariencia de la imagen original.

Se resaltan ciertas caractersticas de una imagen (bordes, contraste, ) y se ocultan o eliminan otras (p. ej. ruido)

Etapa previa necesaria para otras fases posteriores de anlisis (segmentacin, extraccin de caractersticas, reconocimiento e interpretacin).

Principales tipos de preproceso: realzado y filtrado. Algoritmos en el dominio espacial y en dominios

transformados (p. ej. transformada de Fourier).

Procesamiento bsico de imgenes (I)

Operaciones a nivel de pxel, que pueden ser: aritmticas, lgicas, de umbralizacin y geomtricas

Operaciones aritmticas entre los pxeles de dos imgenes: c(x,y) = fA(a(x,y), b(x,y)), 0xM, 0yN. Tipos: Suma, resta, multiplicacin y divisin Problemas de desbordamiento reescalar resultado Aplicacin suma: Reduccin ruido de la imagen Aplicacin resta: Estudio del movimiento (entre

imgenes consecutivas de una secuencia)

Procesamiento bsico de imgenes (II)

Operaciones lgicas: Aplicables a imgenes binarias (que pueden obtenerse

mediante umbralizacin de una imagen de grises) Tipos: not, or, and, xor Operaciones relacionales: , , , max, min, ... Aplicaciones: uso en imgenes binarias como mscaras

para deteccin de caractersticas y para anlisis de formas.

Procesamiento bsico de imgenes (III)

Ejemplos de operaciones aritmticas y lgicas sobre imgenes en niveles de gris.

A B -A A or B

A and B (A+B)/2 max(0,A-B)Los pxeles negros corresponden al nivel de gris 0 y los pxeles blancos al 255.

Procesamiento bsico de imgenes (IV)

Umbralizacin (thresholding). Permite crear una imagen binaria a partir de una imagen

de grises a partir de un nivel de umbral U. B(i,j) = 1, si I(i,j) UB(i,j) = 0, si I(i,j) < U

U =127

Procesamiento bsico de imgenes (V)

Operaciones geomtricas: Modifican las relaciones espaciales entre pxeles de una imagen Tipos: traslacin, escalado y rotacin Matrices de transformacin (uso de coordenadas homogneas) Composicin de transformaciones Puede ser necesario combinarlas con un algoritmo de

interpolacin (necesidad de coordenadas enteras)

Procesamiento bsico de imgenes (VI)

Matrices de transformaciones geomtricas:

=

11000000

1''

yx

ss

yx

y

x

=

11001001

1''

yx

dd

yx

y

x

=

11000)cos()sen(0)sen()cos(

1''

yx

yx

Traslacin Escalado Rotacin

Procesamiento bsico de imgenes (VII)

Ejemplo de rotacin. (a) imagen original que se desea rotar entorno al punto P de coordenadas (x,y). (b) resultado de la primera traslacin. (c) resultado del giro. (d) resultado final

(-x,-y) (x,y)

(a) (b) (c) (d)

P

Ejemplo de composicin de transformaciones geomtricas.

Tx,y R T-x,-y = F

+

=

100

)())cos(1()cos()(

)())cos(1()()cos(

100

10

01

100

0)cos()(

0)()cos(

100

10

01

xsenysen

ysenxsen

-y

-x

sen

sen

y

x

Histograma y realzado de imgenes (I)

El histograma de una imagen es una representacin grfica de la frecuencia con la que los niveles de gris aparecen en ella.

Herramienta fundamental para el anlisis de imgenes digitales. Permite condensar informacin sobre la imagen (probabilidades

de cada nivel de gris) pero se pierde la localizacin espacial.

Su rango dinmico es el conjunto de niveles de gris presentes.

0 (negro) Niveles intermedios de gris 255 (blanco)

200puntos

Las modificaciones del histograma se pueden visualizar mediante funciones de transferencia, que corresponden a curvas acotadas en abscisas y ordenadas entre 0 y 1.

Histograma y realzado de imgenes (II)

0 0.5 1

1

0.5

0

0 0.5 1

1

0.5

0

0 0.5 1

1

0.5

0

Cuadrado Raz cuadrada Lineal

Operaciones de realzado: aumento del contraste y ecualizacin del histograma.

Histograma y realzado de imgenes (III)

Transformaciones del histograma: (a) imagen original y su histograma; (b) resultado deuna operacin de disminucin de contraste; (c) resultado de aumentar el contraste.

(b)

(a)

(c)

La ecualizacin tiene por objetivo obtener un nuevo histograma, a partir del original, con una distribucin uniforme de los diferentes niveles de intensidad.

Para todos los niveles de gris se tiene el mismo nmero de pxeles mejora la apariencia visual de la imagen.

Para que la ecualizacin sea til toda la imagen debe reunir las mismas propiedades (imagen clara u oscura).

Ecualizacin por ventanas.

Histograma y realzado de imgenes (IV)

Filtrado en el dominio de la frecuencia (I)

Un filtro puede verse como un mecanismo de cambio o transformacin de una seal de entrada a la que se le aplica una funcin, conocida como funcin de transferencia, para obtener una seal de salida.

Todas estas seales y funciones pueden ser discretas o continuas, y aunque en el tratamiento de imgenes se usan seales y funciones discretas.

Filtro discreto con entrada E, salida S y funcin de transferencia H.

HSE

Filtrado en el dominio de la frecuencia (II) Las representaciones en el dominio de la frecuencia, en base a

explicar cmo se repiten los pxeles de una imagen, consiguen representar la informacin de tal imagen.

Esta representacin es especialmente til, ya que teniendo la frecuencia de repeticin de los elementos que componen una imagen, se pueden apreciar y alterar directamente elementos como el ruido, los bordes, las texturas, etc.

Transformadas en el dominio de la frecuencia usadas en tratamiento de imgenes: Transformada de Fourier (funciones base: senos y cosenos) Transformada del coseno (funciones base: cosenos) Transformadas wavelet (funciones base: Haar, Daubechies,...) Transformada de Karhaunen-Loeve o Anlisis de Componentes

Principales (PCA)

Filtrado en el dominio de la frecuencia (IV)Transformada de Fourier.

Una serie de Fourier puede considerarse como la suma de un conjunto de funciones sinusoidales de diferentes frecuencias, promediada por unos coeficientes, con el objetivo de aproximarse a una funcin f(x).

Una funcin peridica en el tiempo, de periodo To (T0=2/0), puede expresarse como:

Estos coeficientes evalan qu peso tiene cada una de las funciones sinusoidales a la hora de construir la funcin f(x).

El conjunto de seales sinusoidales (senos y cosenos), constituye una base de funciones en el dominio de la frecuencia.

La transformada de Fourier de una funcin f(x) es una extensin de las series de Fourier a seales no peridicas.

=++=

1000 )sencos()(

kkk xkbxkaaxf

= dxexfuF uxj 2)()(

= dueuFxf uxj 2)()((transformada directa)

(transformada inversa)

Filtrado en el dominio de la frecuencia (IV)Transformada de Fourier.

Filtrado en el dominio de la frecuencia (V)Transformada discreta de Fourier.

Una seal discreta o muestreada es aqulla constituida por un conjunto finito de valores: F = {f(0), f(1), ... f(N-1)}.

Modificaciones con respecto a la transformada continua:1) Integrales por sumatorios.2) Cambio de variable sobre los coeficientes (an, bn),

para que la funcin se defina en un intervalo general [0,N-1] en vez de en el intervalo: [-, ].

3) Se puede utilizar la frmula de Euler a fin de encontrar una notacin ms compacta, transformado el coeficiente (an, bn) en un nmero complejo.

Filtrado en el dominio de la frecuencia (VI)Transformada discreta de Fourier.

Para una seal temporal f(x) la transformada discreta de Fourier es:

siendo u la frecuencia de la seal transformada. Se ha pasado de tener una seal discreta en el dominio del

tiempo: f = {f(0), f(1), ... f(N-1)}, a tener una seal discreta en el de la frecuencia: F = {F(0) ,F(1), ..., F(N-1)}.

Transformada discreta inversa de Fourier:

=

=

1

0

2

)(1)(N

x

uxN

jexf

NuF

1,...,1,0 = Nu

=

=1

0

2

)()(N

u

uxN

jeuFxf

1,...,1,0 = Nx

Filtrado en el dominio de la frecuencia (VII)Transformada rpida de Fourier (FFT)

La primera optimizacin es calcular la exponencial fuera del sumatorio. Se precalcula la parte exponencial de la frmula y se almacena en un array PRE.

La segunda optimizacin se basa en calcular por separado los trminos pares e impares de la serie de Fourier. Esta optimizacin hace que para el clculo de un trmino de la serie sean necesarias slo N/2 sumas frente a N.

Por ltimo, si el nmero de valores N de la funcin a aproximar es 2k, la idea de calcular de manera independiente trminos pares e impares se puede aplicar de manera sucesiva (algoritmo de divide y vencers).

Filtrado en el dominio de la frecuencia(VIII)Transformada de Fourier para imgenes

(a) (b) (c)

Imagen de Lena (a) sobre la que se realiza una transformada de Fourier. (b) y (c) corresponden, respectivamente, a la representacin matricial de los mdulos y de las fases de los coeficientes de Fourier normalizados entre 0 y 1 y en falso color.

=

=

+==

1

0

1

0

)(2),(1)),((),(

M

x

N

y

Nvy

Muxj

eyxfMN

yxfvuF

para: u = 0, 1, 2, ,M-1 y v = 0, 1, 2,, N-1

Filtrado en el dominio de la frecuencia (IX)Transformada de Fourier para imgenes

La matriz de mdulos de coeficientes |F(u,v)| contiene informacin relativa a los valores de intensidad de la imagen (amplitudes de las sinusoides).

La matriz de fases (u,v) contiene la informacin relativa a la posicin de los pxeles (posicin de los flancos de subida y bajada de las sinusoides).

Transformada inversa de Fourier de una imagen discreta:

para: x = 0, 1, , M-1 e y =0, 1, , N-1 Si se realiza la transformada inversa usando slo la matriz de fases se

obtiene una imagen parecida al trazado de bordes de la imagen original. La transformada inversa usando slo la matriz de mdulos proporciona una imagen de manchas con tonos parecidos a los de la original.

=

=

+ ==1

0

1

0

)(21 ),()),((),(M

u

N

v

Nvy

Muxj

evuFvuFyxf

Filtrado en el dominio de la frecuencia (X)Propiedades de la transformada de Fourier 2D

Separabilidad: El clculo de una transformada de Fourier 2D (y de su inversa) puede realizarse como dos transformaciones 1D de Fourier aplicadas sucesivamente.

Traslacin: f(x,y)exp(2j(u0 x+v0 y)/N) F(u-u0,v-v0)

f(x-x0, y-y0) F(u,v) exp(-2j(ux0 + v y0)/N)

Periodicidad: F(u,v) = F(u+N,v) = F(u,v+N) = F(u+N,v+N)

Rotacin:Rotando f(x,y) por un ngulo se rota F(u,v) por el mismo ngulo.

Distributividad : La transformada de Fourier y su inversa son distributivas con respecto a la adicin pero no con respecto a la multiplicacin.

Escalado: a f(x,y) a F(u,v)

f(ax,by) F(u/a,v/b) / |ab|

Valor medio: Si entonces: m=F(0,0)

=

==

1

0

1

02 ),(

1 N

x

N

yyxf

Nm

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XI)Transformada de Fourier para imgenes

Filtros paso bajo. Eliminan altas frecuencias, dejando pasar bajas frecuencias

(aqullas por debajo una frecuencia de corte) Se ponen a cero los mdulos de los coeficientes de Fourier

relativos a las altas frecuencias, dejando sin modificar los relativos a las bajas frecuencias.

(a) (b) (c)Resultado de la transformada inversa sobre la matriz de coeficientes modificadas

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XII)Transformada de Fourier para imgenes

Filtros paso alto. Eliminan bajas frecuencias, dejando pasar altas frecuencias. Se ponen a cero los mdulos de los coeficientes de Fourier

relativos a las bajas frecuencias, dejando sin modificar los relativos a las altas frecuencias.

Resultado de la transformada inversa sobre la matriz de coeficientes modificadas (a) (b) (c)

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XIII)Transformada de Fourier para imgenes

Filtros paso banda. Permanece inalterada una banda (o rango) de frecuencias,

Eliminacin de ruido estructural usando un filtrado paso banda

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XIV)Wavelets

Las wavelets son funciones que cumplen ciertas propiedades matemticas y se usan para representar datos y otras funciones.

Permiten procesar datos a diferentes escalas o resoluciones.

El anlisis de wavelets consiste en la descomposicin de una seal arbitraria f en versiones escaladas y trasladadas de la wavelet original.

Para analizar (y aproximar) funciones usando wavelets se usa algn prototipo de funcin base o wavelet madre (Haar, Daubechies, )

Se emplearon inicialmente (Morlet, 1984) para analizar seales donde sus componentes de alta frecuencia ocurran en intervalos cortos de tiempo mientras que las componentes de baja frecuencia aparecan durante ms tiempo.

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XV)Wavelets

Como la seal o funcin original se puede expresar mediante una combinacin lineal de funciones wavelet, solo se requieren los coeficientes de dicha expansin.

Aplicaciones sobre imgenes: Compresin

Filtrado

Edicin multirresolucin

Bsqueda por contenido,

Similitudes entre las transformadas de Fourier y de wavelets:Transformaciones lineales

Funciones base localizadas en frecuencia

Propiedades matemticas similares de las matrices de ambas transformaciones

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XVI)Wavelets

Diferencias entre las transformadas de Fourier y de wavelets:En la transformada de Fourier las funciones base son senos y cosenos; en las transformadas de wavelets las funciones de base son ms complejas podemos adems tener diferentes tipos de funciones de base).En Fourier, las funciones base no tienen soporte compacto; las wavelets, s.Las funciones de base wavelets estn localizadas espacialmente (adems de en frecuencia); las de Fourier, solo en frecuencia.

En el plano tiempo-frecuencia, para Fourier todas las ventanas son iguales (la resolucin del anlisis es la misma en todas las posiciones); en la transformada wavelet, al variar el tamao de las ventanas (dado por las funciones de base), podemos realizar una anlisis a distintas resoluciones.

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XVII)Transformada wavelet

= dxxxfc nmnm )()( ,,

La transformada wavelet continua de una funcin f(x) es:

donde {m,n(x)} es una familia de bases reales y ortonormales obtenidas mediante escalado (por m) y traslacin (por n) de una funcin (x) llamada wavelet madre:

La funcin original se puede reconstruir a partir de los coeficientes cm,n(transformada inversa wavelet):

)2(2)( 2/, nxxmm

nm =

=nm

nmnm xcxf,

,, )()(

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XVIII)Transformada wavelet

)2(2)( 2/, nxxmm

nm =

Para realizar el anlisis multirresolucin, se necesita: la wavelet madre(x) y unas funciones de escalado (y translacin) {m,n(x)}:

donde (x) es una funcin de escalado base.

Las funciones de escalado definen aproximaciones groseras de una funcin (a diferentes niveles de resolucin) y las funciones waveletscodifican el detalle (diferencia entre aproximaciones adyacentes).

Sean Vj=Span{j,n(x)} y Wj=Span{j,n(x)}, los subespacios generados por las funciones base de escalado y wavelet, respectivamente, para un nivel de resolucin j (para todo valor de n). Se cumple que: Vj+1=VjWjdonde denota la unin de subespacios. Se cumple que todos los elementos de Vj son ortogonales a los de Wj

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XIX)Transformada wavelet

)2()(2)(

)2()(2)(

kxkhx

kxkhx

k

k

=

=

A su vez, cualquier funcin (x) y (x) pueden ser expresadas mediante las ecuaciones (al ser estos espacios generados por lasfunciones de escalado de resolucin inmediatamente superior):

donde solo se requieren los coeficientes h(k) y h(k) para realizar la transformada wavelet. Estos coeficientes est relacionados por la siguiente ecuacin:

)1()1()( khkh k =

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XX)Transformada wavelet de Haar

Unas funciones de escalado {m,n(x)} y de wavelets {m,n(x)} muy usadas son las de Haar.

La transformada de Haar es separable y para ella existen implementaciones de complejidad lineal.

En ella al ser, adems, ortonormales, las bases de funciones a distintos niveles de resolucin, se tiene que la imagen transformada conserva la energa de la imagen original.

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXI)Transformada wavelet de Haar

Distintas wavelets de Haar:

L2(R)=Vj0 Wj0 Wj1

siendo j0 una escala arbitraria de comienzo.

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXII)Transformada wavelet de Haar

Reconstruccin de y=x2 usando la

expansin mediante series de wavelets de

Haar

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXIII)Transformada wavelet para imgenes

Al igual que en Fourier, se pueden definir las transformadas waveletdiscreta (DWT) y rpida (FWT).

Existen diversas formas de generalizar las transformadas wavelet 1D a 2D para poder ser empleadas en imgenes. Se necesita una funcin de escalado 2D (x,y) y tres de wavelets 2D: H(x,y), V(x,y) y D(x,y), que son separables:

(x,y)=(x)(y), H(x,y)=(x)(y), V(x,y)=(x)(y), D(x,y)=(x)(y)

Ahora las funciones de base 2D son:

siendo: i = {H,V,D}.

)2,2(2),( 2/,,

nymxyx jjijinmj

=)2,2(2),( 2/,, nymxyx

jjjnmj =

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXIV)Transformada wavelet para imgenes

La generalizacin de las transformadas wavelet 1D a 2D para poder ser empleadas en imgenes se puede realizar eficientemente (usando la forma de la FWT):

La idea es ir alternando la transformada wavelet unidimensional (p.ej. la de Haar) sobre las filas y sobre las columnas de la imagen, obtenindose una regin que contiene los coeficientes con los valores medios de la seal (coeficientes de anlisis) y tres regiones con los coeficientes de detalle horizontales verticales y diagonales.

Posteriormente se aplica el mismo procedimiento sobre la regin de coeficientes con los valores medios.

=

= +

=

DVHi jj

inmj

m n

i

nmjm n

yxnmjWMN

yxnmjWMN

yxf

,,,,

,,0

0

0

),(),,(1

),(),,(1),(

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXV)Transformada wavelet para imgenes

Descomposicin resultante de la FWT en 2D

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXVI)Transformada wavelet para imgenes

FWT en 2D (fase de anlisis)

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXVII)Transformada wavelet para imgenes

FWT en 2D (fase de sntesis)

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXVIII)Transformada wavelet para imgenes

Imagen original nivel j (resolucin 256256) y su descomposicinj-2 usando wavelets de Haar (resolucin 6464).

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXIX)Transformada wavelet para imgenes: filtrado

Filtrado en el dominio de la frecuencia (XXX)Transformada wavelet para imgenes: compresin

Filtrado en el dominio espacial (I)

Tcnicas que operan directamente con los valores de los pxeles de la imagen. Se puede demostrar matemticamente que la transformacin al dominio de la

frecuencia (F), la aplicacin del filtro (H) sobre los coeficientes, y la aplicacin de la inversa de la transformada (F-1), se puede realizar directamente en el dominio espacial.

Esta operacin se conoce como convolucin (*) y exige el conocimiento de la transformada inversa del filtro (h), que se conoce como funcin impulsional.

La carga computacional de esta operacin se reduce usando una funcin de transferencia h que tenga un nmero de elementos muy inferior a NxN. Estas funciones impulsionales reducidas se llaman funciones de filtrado espacial.

= =

==2

2

2

2

),(),(),(*),(),('

N

Ni

N

Nj

jyixhjiIyxhyxIyxI

Filtrado en el dominio espacial (II)

Proceso de convolucinespacial aplicado al pxel I(x,y) creando como resultado el pxel de la posicin O(x,y).

Filtrado en el dominio espacial (III) Filtro espacial paso bajo.

El filtrado espacial lineal paso bajo se basa en el promediado de los pxeles adyacentes al pxel que se evala.

Se usa para quitar ruido y eliminar pequeos detalles de la imagen. El filtro paso bajo ms simple que se puede disear es una matriz de

3x3 con todos los elementos a 1.

Otros filtros de paso bajo:

111111111

91

=

111121111

101h

=

121242121

161h

Filtrado en el dominio espacial (IV) Filtro espacial paso alto.

El filtrado espacial lineal paso alto se usa para resaltar el detalle finode la imagen o para recuperar cierto detalle perdido durante su captura.

El detalle (informacin) de una imagen est en los bordes (valores de altas frecuencias) que son aquellos pxeles alrededor de los cuales la imagen presenta una variacin brusca en los niveles de gris.

Las derivadas (primera y segunda) de una imagen I(x,y) informan de cmo se producen los cambios de intensidad en la misma.

Primera derivada: operador gradiente.

Segunda derivada: operador laplaciana.

yx uyIu

xIyxI rr

+

= )),((

yx uyIu

xIyxIyxI rr 2

2

2

22 )),(()),((

+

==

Filtrado en el dominio espacial (V)

Filtro espacial paso alto: operadores de primera derivada. El gradiente de una imagen I(x,y) en un punto (x,y) se define como un

vector bidimensional apuntando en la direccin de variacin mxima de I en (x,y). La magnitud del vector (I(x,y)) es:

y su direccin es:

- Mscara 33 para operador de Sobel:

|||||| 22 yxyx ++=

= x

ytanyx 1),(

=

121000121

41

x

=101202101

41

y

Filtrado en el dominio espacial (VI)

Filtro de Sobel en la direccin y :

Otros filtros basados en el gradiente:

=101202101

41

y

=

111000111

31

x

=101101101

31

yPrewitt:

Roberts:

=10

01x

=0110

y

Filtrado en el dominio espacial (VII) Filtro espacial paso alto: operadores de segunda derivada.

La laplaciana es la segunda derivada de una funcin; al igual que el operador de gradiente puede implementarse de diferentes formas.

Este operador se hace cero cuando la primera derivada se hace mximo. El requerimiento bsico al definir la laplaciana de forma digital es que el

coeficiente asociado con el pxel central sea negativo(o positivo) y los asociados con otros pxeles sean positivos (o negativos).

Ejemplo de aplicacin de la laplaciana:

010141010

41

111181111

81

(4-vecinos) (8-vecinos)

Filtros morfolgicos (I)

Tcnica de anlisis de imgenes basada en la geometra y la forma.

Las operaciones morfolgicas (que son filtros no lineales) simplifican las imgenes y las formas de los objetos.

Aplicaciones: suavizar bordes de regiones, separar regiones unidas o unir regiones separadas tras la segmentacin, contar el nmero de regiones en una imagen, etc.

Aplicable a imgenes binarias y en niveles de gris. Operaciones bsicas: erosin, dilatacin, apertura y cierre. Operaciones derivadas: esqueletizacin, adelgazamiento,

ensanchado, granulacin, ...

Filtros morfolgicos (II) Morfologa binaria

El lenguaje de la morfologa matemtica es la teora de conjuntos.

Los conjuntos en morfologa matemtica representan las formas de los objetos en una imagen.

Las imgenes binarias se pueden considerar subconjuntos del espacio Z2. Las imgenes de niveles de grises, subconjuntos de Z3.

Filtros morfolgicos (III) Morfologa binaria: operaciones bsicas

Dilatacin. Sean A y B dos conjuntos en Z2, la dilatacin de A con B, denotada como AB, se define:

A B = {c Z2 | c = a + b, para algn aA y bB}

El elemento B es el elemento que dilata a A, y se conoce como elemento estructurante de la dilatacin.Ejemplo:

A

BA B

Filtros morfolgicos (IV) Morfologa binaria: operaciones bsicas

Erosin. Sean A y B dos conjuntos en Z2, la erosin de Acon B, denotada como AB, se define:

AB = {x Z2 | x + bA y bB}Ejemplo:

A B

A B

Filtros morfolgicos (V) Morfologa binaria: operaciones bsicas

Apertura. Se define como: A B = (A B) B Cierre. Se define como: A B = (A B) B

Ejemplos:

A B

A B

A B

Filtros morfolgicos (VI) Morfologa binaria: operaciones bsicas

Filtros morfolgicos (VII) Morfologa binaria: operaciones bsicas

Ejemplos (Imagen de Lenna con elemento estructurante de 33):

Imagen binaria Dilatacin Erosin

Apertura Cierre