CUANTIFICADORES

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO SISTEMA INTERACTIVO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA. (SAIA).

ESCUELA DE INGENIERÍA CABUDARE

Nombre y apellidoC.I

Alexander Barrios24400942

Asignatura Estructuras discretas

Nombre de profesor

Domingo Méndez

Fecha 18/05/16

Objetivos específicos

Funciones proposicionales Cuantificadores Cuantificador universal Cuantificador existencial Cuantificador existencial de

unicidad Reglas de negación de

cuantificadores.

Funciones proposicionales Con mucha frecuencia hallamos ciertos juicios declarativos

que, sin ser proposiciones, están estrechamente relacionados con éstas.

Ejemplo: sea la función proposicional (A, p(x)),donde

A= {-1,0,1,2,3,4} y P(x): x <3

En esta función, reemplazar la variable x por cada uno de los elementos del dominio A, obtenemos las siguientes seis

proposiciones:

a. P(-1): -1<3 (V)b. P(0): 0<3 (V)c. P(1): 1<3 (V)

d. P(2): 2<3 (V)

e. P(3): 3<3 (F)f. P(4): 4<3 (F)

Estos juicios declarativos se llamaran funciones proposicionales o proposiciones abiertas pero no solo basta con tener un juicio declarativo para obtener una función proposicional que tenga variables (como el ejemplo que vimos anteriormente) a estas variables las llamaremos dominio de la función proposicional.

Sea (A, P(x)) una función proposicional. Se llama dominio de verdad de esta función proposicional al conjunto formado por todos los elementos de A tales que P(a) es verdadera.

Ejemplo: sea la función proposicional (Z, Q(x), donde Z es el conjunto de los números enteros y Q(x) : x2 < 5

El dominio de verdad de esta función proposicional es el conjunto:

{-2, -1, 0, 1, 2}

CuantificadoresConsideremos una función proposicional (A, P(x)).

Recordemos que P(x) es una proposición abierta que contiene la variable x y A es el dominio o universo de discurso para la proposición abierta. El dominio o el universo comprende todas las opciones que se le

permite tomar a la variable x.De aquí surge la pregunta ¿para cuantos elementos de A, P(x) es verdadera? Como posibles respuestas

tenemos: Para todos los elementos de A Para algunos elementos de A Para un solo elemento de A Para ningún elemento de A

Cuantificador universal El cuantificador todos se llama cuantificador universal y se le denota con el símbolo ∀, que es un A invertida.Al cuantificar la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal obtenemos la proposición:Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente:

(∀x ∈ A)(P(x))Otras maneras de leer la proposición:

Para cada x en A, P(x) P(x) para cada x en A Cualquiera sea x en A, P(x) P(x), para todo x en A

El cuantificador existencial

El cuantificador alguno o existe al menos uno se llama cuantificador existencial, y se le denota con el símbolo ∃, que es una E al revés.A la proposición:

Existe al menos un x de A tal que P(x)La escribiremos del modo siguiente:

(∃x ∈ A) (P(x))Otras maneras de leer la proposición:

Para algun x en A, P(x). Existe un x en A tal que P(x) P(x), para algún x en A

Cuantificador existencial de unicidad

Como un caso particular del cuantificador existencial “existe al menos uno” tenemos el cuantificador: existe un único o existe solo uno, que es llamado cuantificador existencial de unicidad y lo simbolizaremos así:

(∃!x ∈ A) (P(x))

Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:

Existe un único x en A tal que P(x) Existe un solo x en A tal que P(x) Existe uno y solo un x tal que P(x) P(x), para un único x en A

Reglas de la negación de cuantificadores

La negación de una declaración universal de la forma∀ x ∈ D, Q ( x )

Es lógicamente equivalente a la declaración de la forma:∃ x ∈ D, ¬ Q ( x )

Escrito como equivalencia:¬ ( ∀ x ∈ D, Q ( x)) ≡ ∃ x ∈ D, ¬ Q ( x )

Ejemplo: Indique cuáles opciones contienen una negación de: Todos los alumnos de estructuras discretas son inteligentes.Todos los alumnos de estructuras discretas no son inteligentes.