INVESTIGAR SOBRE TEMA GENERAL: CUANTIFICADORES FUNCIONES LOGICAS Y CONJUNTO DE VALIDEZ

TAMBA FUEGO CARAMELO EL CANTANTE EL DIA DE MI SUERTE TU AUSENCIA What up non blondes Lo pasado pasado Ella ya me olvido Ojitos negros Sandro Fabula S que estas llorando por m Naila

Matemticas Discretas, Lgica: Predicados y CuantificadoresProf. Vctor Bravo11Universidad

de los Andes

A-2008Predicados Cuantificadores Preguntas

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Agenda 1 Predicados

Tautologas y Contradicciones Definiciones 2 Cuantificadores Definiciones Implicaciones y Equivalencias Lgicas 3 PreguntasPredicados Cuantificadores Preguntas Tautologas y Contradicciones

Tautologas tiles Tautologas tiles Ley del absurdo (p ! q ^ :q) ! :p Ley de la importacin (p ! (q ! r )) ! (p ^ q ! r ) Ley de la exportacin (p ^ q ! r ) ! (p ! (q ! r )) Ley del silogismo hipottico (p ! q) ^ (q ! r ) ! (p ! r ) Ley de la adjuncin p ^ q ! p ^ q Ley de la simplicacin p ^ q ! p Modus tollendo pollens :p ^ (p _ q) ! q Modus tollendo tollens :q ^ (p ! q) ! :p Ley de la separacin p ^ (p ! q) ! pPredicados Cuantificadores Preguntas Tautologas y Contradicciones

Tipos de elementos en la lgica de Predicados Constantes Objetos concretos, formando un universo de discurso, un conjunto U. Variables Objetos genricos que normalmente denotamos con las letras x, y, z, . . . y que podrn sustituirse por objetos de U.Predicados Cuantificadores Preguntas Tautologas y Contradicciones

Predicados Qu es un predicado? Los predicados son sentencias abiertas, en las que se incluyen una o ms variables. Tambin se les llama funcin proposicional. Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos, si no se especifican los valores de las variables. Un predicado se convierte en una proposicin cuando todas las variables que aparecen en l, se remplazan por opciones permisibles del universo de discurso.Predicados Cuantificadores Preguntas Tautologas y Contradicciones

Representacin de predicados Cmo se representan los predicados? Los predicados se representan por smbolos del tipo p(x), q(x) o p(x,y), q(x,y,z), etc. Por ejemplo: Si p(x) = x > 100, p(x) se convierte en proposicin al sustituir x por algn nmero natural. p(101) es Verdadera. p(50) es Falsa.Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Definicin de cuantificador Qu es un cuantificador?

Otra forma de crear una proposicin o de cerrar una funcin proposicional abierta, es la Cuantificacin. Una proposicin abierta se cierra, si todas sus variables se cuantifican. Trataremos con dos tipos de cuantificadores: 1 Existencial 2 UniversalPredicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Cuantificador Existencial Qu es un cuantificador existencial? Denota que existe al menos un elemento x del Universo, para el cual p(x) es verdadera. Notacin: 9x p(x) 9x9y p(x; y) $ 9x; y p(x; y)Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Cuantificador Existencial En lenguaje natural decimos... Formas de expresarlo: Hay un x Para algn x Para al menos un x Existe un x tal que Resumiendo... La proposicin es Verdadera, si existe al menos un elemento x del universo tal que p(x) sea verdadera. De lo contrario es falsa.Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Cuantificador Existencial Veamos un ejemplo Si p(x) es x < 100 Tenemos... Cerramos p(x) al escribir 9x p(x), donde el universo consiste en todos los nmeros reales. Importante Siempre debemos denotar el universo del discurso, ya que para algunos universos la proposicin puede ser verdadera y para otros universos es falsa.Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Cuantificador Universal Qu es un cuantificador universal? Indica que una proposicin es Verdadera para todos los valores de una variable en un universo en particular. p(x) es verdadera, para todos los valores de x en el dominio. Notacin 8x p(x) 8x; 8y p(x; y) $ 8x; y p(x; y)Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Cuantificador Universal En lenguaje natural decimos...

Formas de expresarlo: Para todo x Para cada x Para cualquier x Para todo x y y Para todo x,y Resumiendo... La proposicin es Verdadera, si para cada reemplazo de x, p(x) es verdadera. Es falsa, si existe al menos un x para el cual p(x) es falsa.Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Traducciones de Cuantificadores Frase de ejemplo Todo estudiante de la clase de Matemticas Discretas vive en Mrida Traduccin: Se define el dominio: todas las personas p(x) : estudiante de la clase de Matemticas Discretas q(x) : vive en Mrida Frase lgica Para todo persona x, si la persona x es un estudiante de la esta clase, entonces la persona x vive en Mrida.Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Traducciones de Cuantificadores Lo que se traduce en: 8x p(x) ! q(x) donde: x : dominio: de todas las personas p(x) : es estudiante de la clase de Matemticas Discretas q(x) : vive en MridaPredicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Ejemplo 2 Cuantificadores Frase en lenguaje natural Algn venezolano es medallista olmpico Se traduce en: Existe al menos un venezolano que cumple con la condicin de ser medallista olmpico Las variables Existe al menos un venezolano x que cumple la condicin que x es medallista olmpicoPredicados Cuantificadores Preguntas Definiciones

Ejemplo 2 Cuantificadores ...contina... Predicados q(x) x es un futbolista p(x) x es venezolano Construyamos la proposicin El dominio es de todas las personas, entonces: 9x(p(x) ^ q(x))Predicados Cuantificadores Preguntas Implicaciones y Equivalencias Lgicas

Como funcionan las tautologas y contradicciones?

Si la implicacin lgica p(x) ! q(x) es verdadera para cada x del universo, entonces se escribe: Implicacin 8[p(x) ! q(x)] y se dice que p(x) implica lgicamente a q(x)Predicados Cuantificadores Preguntas Implicaciones y Equivalencias Lgicas

Equivalencias lgicas Dos proposiciones p(x) y q(x) son lgicamente equivalente, si se escribe: Equivalencia 8x[p(x) $ q(x)] Cuando la bicondicional p(x) $ q(x) es verdadera para cada x del universo.Predicados Cuantificadores Preguntas

Preguntas, Dudas y Comentarios _ Si un hombre se imagina una cosa, otro la tornar en realidad._ Julio Verne

CuantificadoresLos cuantificadores permiten que una expresin regular coincida con un nmero o un rango de nmeros de cualquier caracter, una clase de caracteres o un subpatrn. Los cuantificadores se colocan entre llaves ({ y }). Tiene la forma general{[apariciones-mnimas][,[apariciones-mximas]]}

Su uso se explica mejor en este ejemplo:{1}

Exactamente 1 aparicin.{0,1}

Cero o 1 apariciones.{,1}

Lo mismo, pero con menos trabajo ;){5,10}

Como mnimo 5 y como mximo 10 apariciones.{5,}

Como mnimo 5 apariciones, sin mximo. Adems, hay algunas abreviaturas:*

(asterisco) Similar a {0,}, encuentra cualquier nmero de apariciones.

+

(signo ms) Similar a {1,}, al menos 1 aparicin.

?

(signo de interrogacin) Similar a {0,1}, cero o 1 apariciones.

CodiciaCuando se utilizan cuantificadores sin mximo, las expresiones regulares tratan de coincidir con la mayor parte posible de la cadena buscada, conocindose este comportamiento como codicioso. Los procesadores de expresiones regulares modernos, proporcionan los medios para desactivar la codicia, aunque en los entornos grficos depende del interfaz el tener acceso a esta caracterstica. Por ejemplo, un dilogo de bsqueda que permita expresiones regulares, podra tener una casilla de comprobacin llamada Coincidencia mnima. Adems podra haber una indicacin sobre que el comportamiento predeterminado es el codicioso.

Ejemplos en contextoEstos son algunos ejemplos que utilizan cuantificadores:^\d{4,5}\s

Coincide con los dgitos en 1234 ya y 12345 ahora, pero no con los de 567 once ni los de 223459 algn lugar.\s+

Coincide con uno o ms espacios en blanco.(bla){1,}

Coincide con blablabla y con el bla de blanco o tabla./?>

Coincide con /> en as como con > en .

Un cuantificador se utiliza para indicar cuntos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen dos tipos de cuantificadores, cuyas caractersticas resumimos en la siguiente tabla: Nombre Notacin Se lee cuantificador universal Para todo x... cuantificador existencial Existe por lo menos un x... Los cuantificadores: - Cuantificador universal (para todo). El cuantificador universal permite referirse a todos los individuos del universo del discurso. - Cuantificador existencial (existe). El cuantificador existencial permite referirse a algunos de los individuos del universo del discurso.

Las variables, tambin pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que tpicamente se utilizan en lgica de predicados son: El cuantificador universal; " indica que la frmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo: "X.... Establece que "para todo X, es verdad que . . . " El cuantificador existencial;$ , indica que la frmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algn valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo: $X.... Establece que "existe un X, tal que . . . " A continuacin se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados: " X, [nio (X) => le_gusta (X, helados)]. " Y, [mamfero (Y) => nace (Y, vivo)]. $ Z, [cartero(Z) ^ mordi (boby, Z)]. Desde el punto vista de representacin, los cuantificadores son difciles de usar. Por lo que es deseable reemplazarlos con alguna representacin equivalente, ms fcil de manipular. El caso del cuantificador universal es ms simple ya que se asume a todas las variables como universalmente cuantificadas.

El cuantificador existencial es ms difcil de reemplazar. El cuantificador existencial garantiza la existencia de uno o ms valores particulares (instancias) de la variable cuantificada, que hace a la clusula verdadera. Si se asume que existe una funcin capaz de determinar los valores de la variable que hace la clusula verdadera, entonces simplemente se remueve el cuantificador existencial y se reemplaza las variables por la funcin que retorna dichos valores. Para la resolucin de problemas reales, esta funcin, llamada funcin de Skolem, debe ser conocida y definida.

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma que se leen "para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".

El cuantificador universal, representado por . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe . (1) La proposicin (1) suele usarse como la equivalente de

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe . (2) La proposicin (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposicin LGICA DE PREDICADOS El lenguaje es el instrumento que se usa para la comunicacin entre humanos. El lenguaje est formado por frases, entre ellas podemos distinguir: frases imperativas, frases interrogativas y frases declarativas. La definicin de lgica, disciplina que estudia mtodos de formalizacin del conocimiento humano "de los mtodos de formalizacin de frases declarativas".(Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin, E.U.I.T.I.O.) La lgica se clasifica: Lgica proposicional o lgica de enunciados: Se parte de un elemento simple, las frases declarativas simples, las cuales tienen significado ellas mismas o la unin entre ellas,forman una frase. Esto inicia una unidad de comunicacin de conocimientos, las cuales se les denomina proposiciones, y toman el valor verdadero o falso. Lgica de predicados: Estudia las frases declarativas,teniendo en cuenta la estructura interna de las proposiciones. Los objetos y las relaciones entre los objetos sern los elementos bsicos. Podemos distinguir: - "Qu se afirma: relacin - De quin se afirma: objeto" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin,

E.U.I.T.I.O.) Lgica de Predicados (LP de Orden Cero). Con la lgica de predicados intentamos conseguir sistemas de demostracin automtica de teoremas. Partimos de elementos bsicos como las frases declarativas simples o proposiciones que son aquellos elementos de una frase que constituyen por s solos una unidad de comunicacin de conocimientos y pueden ser considerados Verdaderos y Falsos. La lgica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones. Se tomarn como elemento bsico los objetos y las relaciones entre dichos objetos. Se distingue: "Qu se afirma (predicado o relacin) De quin se afirma (objeto)" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin, E.U.I.T.I.O.) Definimos a continuacin las reglas sintcticas para construir frmulas: Definicin 1:El alfabeto de la lgica de predicados estar formado por los siguientes conjuntos simblicos: Conjunto de Smbolos de Variables(VAR): Es un conjunto de las ltimas letras del alfabeto en minsculas. Se utilizan subndices, por ejemplo: Conjunto de smbolos de Constantes (CONS): Este conjunto lo forman las primeras letras del alfabeto en minsculas,tambin utilizaremos subndices: Conjunto de letras de funcin(FUNC): Representaremos a este conjunto por las letras f,g,h,L. Incluimos subndices para poder diferenciar las funciones: Conjunto de letras de Predicado (PRED): Se representan mediante letras maysculas, Smbolos de conectivas: = Negacin = Conectiva "o" = Conectiva "y" = implicacin = Doble implicacin o equivalencia Cuantificadores: =existencial =Universal Signos de puntuacin: Parntesis ( ) y coma. Definicin 2: Trmino es una cadena de smbolos que representan a objetos y dependen de las siguientes reglas: "Toda variable o constante individual es un trmino." (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin, E.U.I.T.I.O.) "Si t1,t2,L,tn son trminos y fn es una funcin de aridad n entonces fn(t1,t2,L,tn) es un trmino" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin, E.U.I.T.I.O.)

Todos los trminos posibles se generan aplicando nicamente las dos reglas anteriores Cualquier trmino lo generamos a partir de las dos reglas dichas anteriormente. Definicin 3: Un tomo es una cadena de smbolos de la forma: donde Pn es un predicado de aridad n y sin trminos Definicin 4: Definimos el conjunto de frmulas bien formadas (fbf): 1. "Todo tomo (P,Q,R,S,...) es una frmula bien formada. (Se denominar frmula atmica)." 2. "Si es una frmula bien formada, A tambin lo es. 3. Si y son frmulas bien formadas, tambin lo son (A B), (A B) y (A B). 4. No hay ms frmulas." (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin, E.U.I.T.I.O.) Podemos hacer razonamientos con la deduccin natural. Ejemplo: Tenemos la frase Todos los estudiantes de informtica son listos (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin, E.U.I.T.I.O.), lo podemos formalizar de la siguiente manera usando predicados: I(x)=x estudia informtica y L(x)=x es listo como: "Existen estructuras deductivas que la lgica de proposiciones no puede formalizar de forma adecuada, por ejemplo, la deduccin: "Todos los informticos son listos, Pedro es informtico, luego Pedro es listo" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin, E.U.I.T.I.O.) En lgica de predicados de orden cero lo formalizamos con tres proposiciones p,q y r independientes y la frmula resultante pqr no sera vlida. Lgica de primer orden En lgica de predicados de primer orden "se permite la cuantificacin de variables" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernndez Lanvin, E.U.I.T.I.O.). As de esta manera, se formaliza el razonamiento: En la lgica de predicados de primer orden (x (Informtico(x)Listo(x)) Informtico (Pedro)) Listo (Pedro) La lgica de predicados de primer orden es la ms bsica, es una extensin de lgica de predicados de orden cero, slo que admite los cuantificadores ( y ), y reglas de deduccin natural. Las variables en lgica de primer orden pertenecen a un dominio, tienen una asignacin. Pueden existir constantes y las frmulas en esta lgica se pueden unificar de formas nuevas que antes no tenamos o podamos. La LP1 es suficiente para formalizar la teora de conjuntos, el problema es que, a diferencia de LP0, la lgica de primer orden no es predecible. No existe un procedimiento de decisin que nos permita decidir si para una frmula,esta es vlida o no.Church y Turing lo demostradon de forma independiente. Ejemplo sobre lgica de predicados Dada la siguiente expresin -La variable x est ligada ya que aparece en el mbito del cuantificador universal y adems

la tiene como variable de cuantificacin. -Se dice que la variable y es una variable libre ya que aunque est en el mbito del cuantificador universal,esta no la tiene como variable de cuantificacin. -mbito de los cuantificadores Podemos definir mbito de los cuantificadores aquella zona de una frmula que se ve afectada por sus efectos. Las variables que se encuentran en su radio de accin se llaman variables ligadas y las no afectadas, variables libres. A su vez, las frmulas sin variables libres se llaman frmulas cerradas y las que s tienen, frmulas abiertas. Ejemplo de variables libres y ligadas: Cuando dos variables se muestran con la misma letra, podemos decir que: 1. Son la misma variable si estn en el radio de accin del mismo cuantificador o si las dos son libres. 2. Son variables diferentes si no estn en el radio de accin del mismo cuantificador o si una es libre y la otra no. Segn el ejemplo anterior, tendremos que: Para evitar confusiones innecesarias, el ejemplo anterior tambin se podra haber escrito as: u[P(u) tQ(t, z) yR(u, y)] Q(z, x)

Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Curso: Matemtica Discreta usando ISETLAo 2007 Responsable del curso: Sylvia da Rosa (docente del InCo) Participa: Luis Sierra (docente del InCo) Alumno: Diego Martorell2 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell

ndicendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................2 Acerca del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................4 Fundamentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................5 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................7 Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................8 Mdulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................8 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................8 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................8 Ejemplo de resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................9 Mdulo I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ejemplo de resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Mdulo II I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ejemplo de resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Mdulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Clculo Proposiciona l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 La matemtica discreta como formacin bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Qu es matemtica discreta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Manual de ISETL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Pequeo Manual de ISETL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 3 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Introduccin a la lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Aprenda a crear Diagramas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Introduccion a la inteligencia artificia l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Notacin de las operaciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Notacin de algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 4 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego

Martorell

Acerca del trabajoEste trabajo es resultado de lo aprendido durante el Curso de Matemticas Discreta usando ISETL dictado por la Ing. Sylvia Da Rosa. Luego de haber analizado las distintas posibilidades que ISETL ofrece para trabajar con Matemtica, he encontrado un tema interesante como lo es el de la lgica proposicional. La idea es la de tratar este tema, desde lo ms bsico, como son las tablas de verdad, creando algoritmos y dems que permitan el clculo de cualquier tipo de predicados. Adems, estudiar la consistencia y validez de distintos razonamientos. Y por ltimo manejar el concepto ligado de funciones lgicas de una o varias variables. Es un tema bastante amplio, y que considero interesante, pudindose aplicar en un nivel secundario, como tambin podra ser encarado para un nivel como el de primer ao de Profesorado de Matemtica. Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 5 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell

FundamentacinActualmente, la enseanza y aprendizaje de las Matemticas se encuentra en un momento dficil. Son muchas las razones, pero la bsqueda de soluciones son pocas y sera bueno que todos los que en cierto modo formamos parte de el sistema educativo colaboremos. Una forma de hacerlo es mediante este trabajo, el cual busca la integracin de la enseanza en el aula con la utilizacin de recursos informticos. Muchas veces se ensea Matemticas sin hacer uso de distintos recursos didcticos que estn al alcance pero que se ignoran, sera bueno comenzar a utilizarlos con mayor frecuencia. Obviamente existen otros aspectos importantes que seran de gran ayuda para el desarrollo de la enseanza y aprendizaje de las Matemticas, como ser la presentacin de los temas con un relacionamiento de por qu y para qu se ensea. En lo que respecta a mi reciente experiencia como alumno, no recuerdo haberme acercado a ese tipo de justificaciones con frecuencia, lo cual me hubiese resultado ms interesante. Incluso, en niveles universitarios, sera bueno tambin manejar esto, no creo que sea lo mejor, el formar una persona para que sea una mquina de aplicar frmulas o sacar cuentas, para ello nos debemos asistir en las calculadoras y en las inumerables herramientas que nos proveen las computadoras. Son datos verificados, que surgen de varias investigaciones, por ejemplo la Organizacin para la Cooperacin y el Desarrollo Econmico (OCDE) indica que la mayora de los alumnos, entre 15 y 16 aos, que utilizan un ordenador desde hace cinco aos tienen resultados superiores a la media en matemticas, mientras que los que carecen de acceso o lo usan desde hace menos de un ao

obtienen unos resultados por debajo del nivel general de su curso. En resumen, es oportuno realizar este trabajo visto que un lenguaje como ISETL nos permite agregar un recurso ms para trabajar en el Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 6 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell aula y alcanzar un desarrollo del aprendizaje y enseanza de la Matemticas mejor. Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 7 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell

IntroduccinA continuacin se presenta la propuesta de trabajo para implementar en el aula. Se trata de cubrir una serie de conceptos bsicos relacionados con la lgica proposicional y las funciones lgicas. Se estructurar el tema en cuatro mdulos. El primero, que tratar acerca de lo que es una proposicin, el concepto relacionado de valor de verdad y las distintas tablas de verdad en cuestin. Luego, como segunda parte, la relacin de las proposiciones con ciertos teoremas, leyes y reglas lgicas, para conocer la consistencia y validez de un razonamiento. En tercer lugar, la relacin entre las proposiciones y la lgica funcional, de donde se desprenden los conceptos de Funciones Lgicas y Conjuntos de Validez. Por ltimo, un cuarto mdulo acerca de la lgica aplicada a la Matemtica y a la Programacin. En ste no se pretender trabajar sobre conceptos, sino que se intentar ver si el alumno ha captado que la lgica y la matemtica estn ms cerca de ellos y en todos los mbitos donde se desarrollan. El orden de presentacin de los distintos puntos no debera cambiar, lo que si es flexible es el tiempo destinado a cada uno de ellos, el cual depende del grupo y sera fijado en base a las dificultades que vayan surgiendo. Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 8 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell

DesarrolloMdulo I

ObjetivoEn esta primera parte, se introducirn los conceptos bsicos de la lgica proposicional. Siendo ms explcitos, las definicionas a considerar seran: Proposicin Tipos de proposiciones Valor de Verdad

Operaciones bsicas Tablas de verdad Tautologa Contradiccin Contingencia Cabe aclarar que el alumno no solo manejar conceptos de lgica, por ejemplo, en uno de los ejemplos se pide realizar un algoritmo o diagrama que le permitir al estudiante implementarlo luego en ISETL de la forma correcta.

ActividadesMediante los dos ejercicios que se presentan a continuacin, se formarn los conceptos mencionados anteriormente, la mejor forma de definir lo que es una proposicin e introducir que tipos de ellas existen ser mediante ejemplos y simples ejercicios como los que se presentan a continuacin. Ejercicio 1) __________________________________________________________________ ____ __ Clasificar las siguientes proposiciones en simples y compuestas: Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 9 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Jos es alto Jos no es alto Marcos es alto y Pedro es bajo. Si es jueves, Julio estudia ISETL. Simbolizar las proposiciones anteriores y realizar las correspondientes tablas de verdad. Ejercicio 1-ISETL) ________________________________________________________________ Mediante ISETL, imprimir en pantalla las distintas tablas de verdad de las operaciones bsicas (negacin, conjuncin, disyuncin, condicional y bicondicional). Ejercicio 2) __________________________________________________________________ ____ __ Pensar una algoritmo que dada una proposicin nos indique si se trata de una tautologa, una contradiccin o una contingencia. Ejercicio 2) ISETL) ______________________________________________________________ Implementar lo anterior en ISETL mediante una funcin.

Ejemplo de resolucinEjercicio 1)Proposicin Tipo Simbolizacin Jos es alto simple p: Jos es alto --- p

Jos no es alto simple p: Jos es alto --- - p Marcos es alto y Pedro es bajo. compuesta p: Marcos es alto q: Pedro es bajo p^q Si es jueves, Julio estudia ISETL. compuesta p: Es jueves q: Julio estudia ISETL p -> q

Ejercicio 1-ISETL) Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 10 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Tabla de verdad de la negacin for p in [true, false] do write p, not p; writeln; end; Tabla de verdad de la conjuncin for p, q in [true, false] do write p, q, p and q; writeln; end; Tabla de verdad de la disyuncin for p, q in [true, false] do write p, q, p or q; writeln; end; Tabla de verdad del condicional for p, q in [true, false] do write p, q, p impl q; writeln; end; Tabla de verdad del condicional for p, q in [true, false] do write p, q, p impl q; writeln; end; Tabla de verdad del bicondicional Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 11 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell for p,q in [true, false] do write p, q, (p impl q) and (q impl p); writeln; end;

Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 12 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Ejercicio 2) Ejercicio 2-ISETL) Una forma de implementar la situacin anterior en ISETL sera mediante una funcin a la cual se le pasase la proposicin. Se iran obteniendo los distintos valores de verdad y comparando el que se obtiene con el anterior. En caso de que estos sean diferentes, la Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 Inicio ProposicinTabla de verdad de la proposicin

Existen dos valores de verdad La proposicin es una contingencia La proposicin es una contradiccin La proposicin es una tautologa El valor de verdad que se repite es Fin SI SI NO NO 13 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell proposicin ser contingente, de lo contrario, tendremos que la proposicin es una contradiccin o una tautologa y sabremos a cual de los dos casos corresponde por el ltimo valor de verdad hallado. Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 14 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Mdulo II

ObjetivoEn esta segunda parte, ya habiendo introducido y manejado los conceptos bsicos relacionados con la lgica proposicional, se tratara el tema de las reglas lgicas y las leyes lgicas, las cuales le permitirn al alumno, estudiar la validez y consistencia de un razonamiento.

Actividades

Las siguientes actividades pretenden, a partir de lo desarrollado en el mdulo I, formar el concepto de Regla Lgica y de Leyes Lgicas para luego aplicarlos en el anlisis de la validez y consistencia de un reazonamiento. Simplemente, definiremos a una regla lgica como una proposicin tautolgica y a una ley lgica como la equivalencia entre dos proposiciones. Entendemos por equivalencia, que los valores de verdad de stas, para cada permutacin de valores de las proposiciones simples en cuestin, son los mismos. En los dos primeros ejercicios, el alumno observar que lo hecho en el ejercicio 2 del primer mdulo es til, visto que podr recurrir al algoritmo realizado para determinar si las proposiciones presentadas pertenecen o no al conjunto de las tautologas. Luego se darian a conocer los nombres por los cuales dichas reglas y leyes son conocidas comunmente (Ley de De Morgan, Modus Ponens, Identidad, Doble Negacin, Dilema Constructivo, etc.). En cuanto a la implementacin en ISETL, en el primer caso, se comenzar a aplicar la funcin programada anteriormente para determinar si las proposiciones dadas son o no reglas lgicas. Por otro lado se pedir la implementacin de una funcin que permita conocer si dos proposiciones son equivalentes. En este caso, esta funcin recibir dos proposiciones por lo que exigir un grado mayor de complejidad. Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 15 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Mediante el ejercicio 3, el alumno podr ser capaz de decir si un razonamiento es o no consistente y/o vlido. Para ello, ser necesario definir lo que es un razonamiento, un concepto cercano a la realidad y ejemplificado. En esta ocasin diremos que un razonamiento es un conjunto de proposiciones (simples o compuestas), a las cuales llamaremos premisas que se relacionan con una premisa (simple o compuesta) a la que denominaremos conclusin. Para conocer la validez de dicho razonamiento, se presentarn dos caminos, uno de ellos consiste en analizar el valor de verdad del condicional existente entre las premisas (como antecedente) y la conclusin (como consecuente), al cual llamaremos condicional asociado al razonamiento. Si ste es tautolgico, el razonamiento ser vlido. La otra forma de conocer la validez de un razonamiento consiste en estudiar su consistencia. Si el razonamiento es inconsistente (la conjuncin de las premisas es falsa), decimos que el mismo es vlido mientras que si el razonamiento es consistente (la conjuncin de las premisas es verdadera), debemos recurrir a otro mtodo conocido como prueba frmal, en la cual se aplican leyes y reglas lgicas. Ejercicio 1) __________________________________________________________________ ____

__ Sabiendo que una regla lgica es una proposicin perteneciente al conjunto de las tautologas, decir si las siguientes proposiciones son reglas lgicas: p -> p [ (p->q) ^ p] -> q ( p ^ q ) -> p [ ( p->q) ^ (r->s) ^(pvr) ] -> (qvs) Ejercicio 1-ISETL) ________________________________________________________________ Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 16 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Verificar los resultados obtenidos en el ejercicio anterior mediante ISETL. Ejercicio 2) __________________________________________________________________ ____ __ Sabiendo que una ley lgica es una equivalencia entre dos proposiciones, determinar si las siguientes, son o no leyes lgicas: pp (p->q) (-pvq) - (p->q) (p^-q) - (pvq) (-p^-q) (p q) [ (p -> q) ^ (q -> p) ] Ejercicio 2-ISETL) ________________________________________________________________ Implementar una funcin, a la cual se le pasan dos proposiciones y determina si las mismas son equivalentes o no. Ejercicio 3) __________________________________________________________________ ____ __ Investigar la consistencia del siguiente razonamiento y determinar si es vlido o no: u -> r (r^s) -> (pvt) q -> (u^s) -t q -> p Ejercicio 3-ISETL) ________________________________________________________________ Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 17 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Cmo hara para investigar la vlidez de un razonamiento en ISETL

utilizando el cdigo desarrollado en los ejercicios anteriores? Analizar e implementar en ISETL una funcin que permita saber si un razonamiento es consistente o no.

Ejemplo de resolucinEjercicio 1) Todas las proposiciones son reglas lgicas, y la forma de saberlo es realizando las tablas de verdad correspondientes. Ejercicio 1-ISETL) En este ejercicio, ser necesario aplicar la funcin implementada en el Ejercicio 1-ISETL del primer mdulo. Ejercicio 2) Todas son leyes lgicas y basta realizar las tablas de verdad correspondientes para observar que se da la equivalencia de valores. Ejercicio 2-ISETL) Una forma de realizar este ejercicio, sera realizando la tabla de verdad de la primera proposicin y guardar los valores de verdad que se van obteniendo en una lista, luego realizar lo mismo con la segunda y finalmente comparar uno a uno los valores almacenados en las listas. En caso de que al comparar, se encuentren valores de verdad diferentes, diremos que no es una ley lgica, de lo contrario podremos afirmar que si lo es. Ejercicio 3) El razonamiento es vlido, verificamos que es consistente y recurrimos a la prueba frmal, donde observamos que definitivamente, el razonamiento es vlido. 1) p -> (q^r) Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 18 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell 2) q -> s 3) s -> t 4) (s^t) -> -u 5) u -p Suponemos que existe una permutacin de valores de verdad para p, q, r, s, t y u que haga que la conjuncin de las premisas sea verdadera. Si encontrsemos alguna contradiccin, el razonamiento sera inconsistente y por tanto vlido. De lo contrario recurriremos a la prueba frmal. Supongo que V [(p -> (q^r)) ^ (q -> s) ^ (s -> t) ^ ((s^t) -> -u) ^ u] = 1 por lo tanto: V [p -> (q^r)] = 1 y V [q -> s] = 1 y V [s -> t] = 1 y V [(s^t) -> -u] = 1 y V [u] = 1 Cmo V [u] = 1, V [-u]=0.

Luego, V [(s^t) -> -u] = 1 y V [-u] = 0 entonces V [s^t] = 0. Tenemos que V [s^t] = 0 y V [s -> t] = 1, por lo que V [s] = 0 y elijo V [t] = 0. Sabemos que V [s] = 0 y que V [q -> s] = 1, de donde V [q] = 0. Finalmente V [p -> (q^r)] = 1 y V [q^r] =0 porque V [q] =0, entonces V [p] = 0 y elijo V [r] = 1. De lo anterior, deducimos que el razonamiento es consistente, por lo que recurriremos a la prueba frmal. 6) - (s^t) Modus Tollens entre 4) y 5) 7) -s v -t Ley de De Morgan en 6) 8) -q v -s Dilema Destructivo entre 2), 3) y 7) 9) - (q^r) Ley de De Morgan en 8) Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 19 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell 10) -p Modus Tollens entre 1) y 9) Ejercicio 3-ISETL) Para saber si un razonamiento es consistente, bastara con conocer todos los valores de verdad que la conjuncin de las premisas toma, en caso de encontrar una asignacin de valores que haga a esta conjuncin falsa, diremos que el razonamiento es inconsistente y vlido, de lo contrario solo diremos que es vlido. Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 20 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Mdulo III

ObjetivoEn este tercer mdulo, luego de haber abarcado una serie de conceptos importantes se proceder a relacionar las proposiciones con la lgica funcional lo que nos llevar a introducir los conceptos de Funciones Lgicas y Conjuntos de Validez.

ActividadesEn los siguientes ejercicios, se pretende dejarle al alumno, una simple nocin de lo que es una Funcin Lgica y de lo que es un Conjunto de Validez, para que pueda ver la relacin existente entre temas que pueden parecer distantes pero que estn muy ligados como son los conjuntos, la lgica proposicional y las funciones. Previo a la presentacin de los ejercicios, se definir lo que es una Funcin Lgica, diciendo que: si tenemos un conjunto A no vaco, P(x) es una funcin lgica definidad en dicho conjunto si y slo si al tomar un elemento cualquiera de A, P(a) es una proposicin. Por otro lado, definiremos Conjunto de Validez como el conjunto de aquellos elementos de A que hagan que la proposicin mencionada anteriormente sea verdadera. Ejercicio 1)

__________________________________________________________________ ____ __ Sean f(x) y g(x) definidas en A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , decir si son funciones lgicas y si lo son hallar el o los conjuntos de validez correspondientes: F(x): x + 0 = 1 G(x): 2x + 9 < 0 Ejercicio 1-ISETL) ________________________________________________________________ Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 21 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Obtener el conjunto de validez de las funciones anteriormente presentadas.

Ejemplo de resolucinEjercicio 1) F(x) es una funcin lgica y su conjunto de validez est compuesto por el nmero 1. G(x) es una funcin lgica cuyo conjunto de validez es el conjunto vaco ya que no existe ningn natural que al sumarle nueve a su doble, esta suma resulte ser negativa. Ejercicio 1-ISETL) En este ejercicio se introduce el concepto de conjunto mediante ISETL, mediante la siguiente lnea el alumno habr encontrado los distintos conjuntos de validez de las funciones lgicas F y G.F:={x : x in {1 .. 10} | x + 0 = 1}; G:={x : x in {1 .. 10} | 2*x + 9 < 0};

Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 22 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell Mdulo IV

ObjetivoLa idea de este mdulo es la de observar si los alumnos han logrado comprender la relacin que existe entre la lgica, la Matemtica, la Programacin y todo lo que es el mundo de la electrnica y las computadoras que tan cerca de ellos estn. Curso de Matemtica Discreta usando ISETL -- Ao 2007 23 Lgica proposicional y funciones lgicas usando ISETL Diego Martorell

ConclusionesA lo largo del desarrollo del curso y de esta investigacin he observado una serie de cosas que son muy importantes que quizs en el apuro de todos los das, atados a una costumbre o tradicin, acostumbrados a una forma de aprender y de ensear que no se ha renovado mucho en los ltimos aos, no las observamos. Sera bueno detenerse como lo hicimos en esta ocasin mediante este curso, para

ver lo fantstico que sera poder utilizar las nuevas tecnologas antes de que dejen de ser nuevas. Sera bueno, y sin nimos de crticar y desprestigiar, que aquellos docentes de gran experiencia, aquellos docentes que siguen enseando con el mismo cuaderno y de la misma forma que como lo hacan cuando comenzaron, se dieran cuenta de que los alumnos y el mundo cambian, por lo que ellos deberan innovar, cambiar y pensar en caminos que permitan mejorar una situacin que se est dando en el aprendizaje y enseanza de las matemticas que no es la deseada. De mi parte, me hubiese gustado trabajar con un grupo de estudiantes, pero no tengo la oportunidad, no tengo experiencia como docente pero si la tengo como alumno y de sta experiencia se aprende y mucho, desde el liceo hasta incluso en mbitos Universitarios, se puede observar la existencia de enormes dificultades que son en parte generadas por la forma en que se ensea. Creo en una educacin diferente que debe ser mejorada entre aquellos que si tienen experiencia junto a aquellos que buscan y estudian formas de innovar como ser la utilizacin de este lenguaje como recurso didctico. Por ltimo, me gustara agradecer a la docente que guo el curso as como tambin a todos los compaeros que con su experiencia y su participacin en clase, me permitieron ver aspectos importantes de la Matemtica.